第19章 矩形、菱形与正方形
19.1矩形
1．矩形的性质
第1课时 矩形的性质
教学目标
1．理解矩形的概念．
2．掌握矩形的性质．
情景问题引入
已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有其他的特殊性质．大家还记得平行四边形都有哪些特殊的性质吗？
同样对于平行四边形来说也有一些特殊情况，今天我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形．利用多媒体展示一组生活中的图片，观察图中有哪些图形是矩形？你能说说为什么吗？
[学生用书P88]
1．矩形的定义
定 义：有一个内角为直角的__平行四边形__叫做矩形．
2．矩形的性质
性质定理1：矩形的四个角都是直角．
性质定理2：矩形的对角线__相等__．
[学生用书P88]
类型之一 矩形性质的应用
如图，在矩形ABCD中，点O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为20 cm，则AB的长为( D )
A．1 cm B．2 cm C. cm D. cm
【点悟】 解决与矩形有关的计算与证明问题时需理清矩形的边、角、对角线，选择合适的方法．与矩形密切联系的是直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余、勾股定理等．
[2017·荆州]如图，在矩形ABCD中，连结对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.
(1)求证：△ACD≌△EDC；
(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，
由平移的性质得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，
∴AD＝EC，
在△ACD和△EDC中，
∴△ACD≌△EDC.
(2)△BDE是等腰三角形．理由如下：
∵AC＝BD，DE＝AC，∴BD＝DE，
∴△BDE是等腰三角形．
【点悟】 矩形的性质有对角线相等、对边平行且相等．
类型之二 用定义识别矩形
如图，在△ABC中，AB＝BC，BD是中线，过点D作DE∥BC，过点A作AE∥BD，AE与DE交于点E.四边形ADBE是矩形吗？请说明理由．
解：四边形ADBE是矩形．
理由：∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD.
∵AE∥BD，DE∥BC，
∴∠EAD＝∠BDC，∠ADE＝∠DCB，
∴△ADE≌△DCB，∴AE＝DB，
∴四边形ADBE是平行四边形．
∵AB＝CB，点D是AC的中点，
∴BD⊥AC，即∠ADB＝90°，
∴平行四边形ADBE是矩形．
[学生用书P88]
1．在下列说法中，矩形不一定具有的性质是( D )
A．对角相等 B．是轴对称图形
C．是中心对称图形 D．对角线互相垂直
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为( A )
A．4 B．3 C．2 D．1
第2题图
第3题图
3．[2017·兰州]如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝( B )
A．5 B．4 C．3.5 D．3
[学生用书P89]
1．下列说法错误的是( C )
A．矩形的对角线互相平分
B．矩形的对角线相等
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
2．如图是一张矩形纸片ABCD，AB＝10，AD＝4.若用剪刀沿∠ABC的平分线BE剪下，则DE的长等于( C )
A．4 B．5 C．6 D．7
3．如图，在矩形ABCD中，AB第3题图
第4题图
4．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，点E为AD的中点，CE＝5，则AD＝__6__．
5．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AB＝AO. 求∠ABD的度数．
解：∵ 四边形ABCD为矩形，∴AO＝BO.
又∵AB＝AO，
∴AB＝AO＝BO，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠ABD＝60°.
6．[2018·洛宁县期末]如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E，BD＝15 cm，求AC、AB的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝15 cm，
∵OA＝AC，OB＝BD，
∴OA＝OB＝7.5 cm.
∵AE垂直且平分线段BO，
∴AB＝OA＝7.5 cm.
7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点M、N分别为OA、OD的中点．求证：BM＝CN.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OC＝OD＝OB.
∵点M、N分别是OA、OD的中点，即AM＝OM，ON＝DN，
∴OM＝ON.
在△BOM和△CON中，
∴△BOM≌△CON，∴BM＝CN.
8．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点，连结AF、CE.求证：
(1)△BEC≌△DFA；
(2)四边形AECF是平行四边形．
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠EBC＝∠FDA＝90°.
又∵E、F分别是边AB、CD的中点，
∴BE＝DF.
在Rt△BEC和Rt△DFA中，
∴△BEC≌△DFA.
(2)∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AB∥CD.
∵点E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，∴AE＝CF.
∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．
9．[2018·九台区期末]如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，△DEF为等腰直角三角形，∠DEF＝90°，AD＋CD＝10，AE＝2.求AD的长．
解：设AD＝x.
∵△DEF为等腰三角形，
∴DE＝EF，∠FEB＋∠DEA＝90°.
又∵∠AED＋∠ADE＝90°.
∴∠FEB＝∠EDA.
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠A＝90°，
∴△ADE≌△BEF(AAS)，
∴AD＝BE，
∴AD＋CD＝AD＋AB＝x＋x＋2＝10.
解得x＝4.
即AD＝4.
10．[2018·渝北区期末]如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连结OE，且∠ODE＝15°.
(1)求证：CO＝CE；
(2)求∠OED的度数．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴EC＝DC.
又∵∠BDE＝15°，
∴∠CDO＝60°.
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD＝OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD，
∴CO＝CE.
(2)∵△COD是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，∠OCB＝90°－∠DCO＝30°.
∵∠CDE＝∠CED＝45°，
又∵CD＝CE＝CO，
∴∠COE＝∠CEO，
∴∠CEO＝(180°－30°)÷2＝75°，
∴∠OED＝∠CEO－∠CED＝30°.
11．[2017·柳北区校级模拟]如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC的延长线上，AE＝BF.
(1)求证：四边形ABFE是平行四边形；
(2)若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠BCD＝90°.
∴∠BCF＝180°－∠BCD＝180°－90°＝90°.
∴∠D＝∠BCF.
在Rt△ADE和Rt△BCF中，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF，
∴∠1＝∠F，
∴AE∥BF.
∵AE＝BF，
∴四边形ABFE是平行四边形．
(2)∵∠D＝90°，∴∠DAE＋∠1＝90°.
∵∠BEF＝∠DAE，∴∠BEF＋∠1＝90°.
∵∠BEF＋∠1＋∠AEB＝180°，
∴∠AEB＝90°.
在Rt△AEB中，AE＝3，BE＝4，
∴AB＝＝＝5.
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴EF＝AB＝5.
19.1矩形
1．矩形的性质
第2课时 矩形的性质的运用
教学目标
会运用矩形的性质解决问题．
情景问题引入
四个学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处，这样的队形对每个人公平吗？为什么？
[学生用书P91]
矩形的性质
定理1：矩形的四个角都是__直角__．
定理2：矩形的对角线__互相平分__．
推论：直角三角形斜边上的中线等于__斜边的一半__．
[学生用书P91]
类型之一 与矩形的性质有关的计算
如图，矩形ABCD的两对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AC＝6 cm.
(1)判断△AOB的形状；
(2)求矩形ABCD各边的长．
解：(1)∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形．
(2)∵AC＝6 cm，∴CD＝AB＝OA＝AC＝3 cm，AD＝BC＝＝3(cm)．
【点悟】 矩形的四个角都是直角，充分运用直角三角形的性质解答问题．
类型之二 与矩形的性质有关的证明
如图，在矩形ABCD中，点F是BC上一点，且AF＝BC，DE⊥AF，垂足是点E，连结DF.求证：
(1)△ABF≌△DEA；
(2)DF是∠EDC的平分线．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AFB.
∵DE⊥AF，∴∠DEA＝∠B＝90°.
∵AF＝BC，∴AF＝AD.
在△DEA和△ABF中，
∴△DEA≌△ABF.
(2)由(1)知△DEA≌△ABF，∴DE＝AB.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，DC＝AB，∴DC＝DE.
在Rt△DEF和Rt△DCF中，
∴Rt△DEF≌Rt△DCF，
∴∠EDF＝∠CDF，∴DF是∠EDC的平分线．
【点悟】 矩形性质中的边角关系、对角线关系可作为判定全等三角形的条件．
类型之三 与矩形的性质有关的创新应用
如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是__4.8__．
【点悟】 通过适当的连线，把三角形分成几个三角形的面积和，利用面积相等解决问题，这样的方法即是面积法．
[学生用书P91]
1．如图，有一个矩形ABCD，则下列不一定正确的是( D )
A．AD∥BC
B．AB＝CD
C．对角线AC与BD互相平分
D．对角线AC⊥BD
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则AB的长为( D )
A. cm B. cm
C．2 cm D．4 cm
3．如图，矩形ABCD的边AB长为4，点M为BC的中点，∠AMD＝90°，则矩形ABCD的周长是__24__．
[学生用书P91]
1．如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( B )
A．△AFD≌△DCE B．AF＝AD
C．AB＝AF D．BE＝AD－DF
第1题图
第2题图
2．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ADB＝30°，那么∠E＝__15__度．
3．[2017·辽阳]如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连结CE.若BC＝7，AE＝4，则CE＝__5__．
4．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，交矩形一边于点E.若∠CAE＝15°，则∠BOC＝__120°__．
5．如图，在矩形ABCD中，BC＝2，DC＝1，如果将该矩形沿对角线折叠，使点C落在点C′处，那么图中重叠阴影部分的面积是____．
6．[2017·百色]如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交DB于G、H两点．
求证：(1)四边形AFCE是平行四边形；
(2)EG＝HF.
证明：(1)∵ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，
∵E、F分别是AD、BC中点，∴AE＝CF.
又∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形．
(2)∵四边形AFCE是平行四边形，
∴EC∥AF，
∴∠FHB＝∠CGH.
又∵∠CGH＝∠DGE，
∴∠DGE＝∠FHB.
∵AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBH.
∵E、F分别是AD、BC的中点，AD＝BC，
∴DE＝BF，∴△DEG≌△BFH，∴EG＝HF.
7．[2018·宁夏]将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1＝40°，则∠2的度数是( D )
A．40° B．50°
C．60° D．70°
8．[2017·葫芦岛]如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为( D )
A．10 B．4
C．4.5 D．5
9．[2018·湘西州]如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连结DE、CE.
(1)求证：△ADE≌△BCE；
(2)若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．
解：(1)证明：∵矩形ABCD，
∴AD＝BC，∠A＝∠B.
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE.
在△ADE和△BCE中，
∴△ADE≌△BCE(SAS)．
(2)∵AB＝6，E是AB的中点，
∴AE＝BE＝3.
在Rt△ADE中，AD＝4，AE＝3，
根据勾股定理得DE＝＝＝5.
∵△ADE≌△BCE，
∴DE＝CE＝5.
又∵CD＝AB＝6，
∴△CDE的周长＝DE＋CE＋CD＝5＋5＋6＝16.
10．[2018·天津]如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连结DE.
求证：(1)△ADE≌△CED；
(2)△DEF是等腰三角形．
,)
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD.
由折叠的性质可得BC＝CE，AB＝AE，
∴AD＝CE，AE＝CD.
在△ADE和△CED中，
∴△ADE≌△CED(SSS)．
(2)由(1)得△ADE≌△CED，
∴∠DEA＝∠EDC，即∠DEF＝∠EDF，
∴EF＝DF，
∴△DEF是等腰三角形．
11．[2017·衢州改编]如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F.
(1)求证：△AEF≌△CDF；
(2)求DF的长．
解：(1)证明：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，
∴AE＝AB，∠E＝∠B＝90°.
又∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，
∴AE＝DC.
在△AEF与△CDF中，
∴△AEF≌△CDF.
(2)∵△AEF≌△CDF，
∴EF＝DF.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝4.
∵Rt△AEF≌Rt△CDF，∴FC＝FA.
设FA＝x，则FC＝x，FD＝6－x，
在Rt△CDF中，CF2＝CD2＋DF2，
即x2＝42＋(6－x)2，解得x＝，
则DF＝6－x＝.
12．[2017秋·九江期末]如图，已知矩形ABCD和BCEF，AF＝BE，AF与BE交于点G，∠AGB＝60°.
(1)求证：AF＝DE；
(2)若AB＝6，BC＝8，求AF的长．
,) ,答图)
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴BC∥EF，BC＝EF，
∴AD＝EF，AD∥EF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AF＝DE；
(2)连结BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝6，
∵BC＝8，
∴BD＝＝10，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴AF∥DE，
∴∠AGB＝∠BED＝60°.
∵AF＝DE＝BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴AF＝BE＝BD＝10.
13．如图，在矩形ABCD中，点F是CD的中点，连结AF，并延长交BC的延长线于点E，连结AC.
(1)求证：△ADF≌△ECF；
(2)若AB＝1，BC＝2，求四边形ACED的面积．
解：(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠ADF＝∠ECF＝90°.
又∵点F为CD的中点，
∴DF＝CF，
∴AB＝2CF，
∴CF为△ABE的中位线，
∴BC＝CE，∴AD＝CE，
在Rt△ADF和Rt△ECF中，
∴△ADF≌△ECF(SAS)．
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，AB＝CD＝1，CD⊥AD.
由(1)知，△ADF≌△ECF.∴AD＝CE.
∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED的面积＝AD×DC＝2.
14．[2018·繁昌县期末]某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD(AB＜BC)的对角线交点O旋转(如图1→图2→图3)，图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．
,图1 图2 图3)
(1)该学习小组中一名成员意外地发现：在图1(三角板的一直角边与OD重合)中，BN2＝CD2＋CN2；在图③(三角板的一直角边与OC重合)中，CN2＝BN2＋CD2.请你对这名成员在图1和图3中发现的结论选择其一说明理由；
(2)试探究图2中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
解：(1)证明：如答图1，连结DN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD.
∵∠DON＝90°，
∴BN＝DN.
∵∠BCD＝90°，
∴DN2＝CD2＋CN2，
∴BN2＝CD2＋CN2.
, 答图1 答图2)
(2)证明：如答图2，延长NO交AD于点P，连结PM、MN.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OB，AD∥BC，
∴∠DPO＝∠BNO，∠PDO＝∠NBO，
在△BON和△DOP中，
∴△BON≌△DOP(AAS)，
∴ON＝OP，BN＝PD.
∵∠MON＝90°，
∴PM＝MN.
∵∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴PM2＝PD2＋DM2，MN2＝CM2＋CN2，
∴PD2＋DM2＝CM2＋CN2，
∴BN2＋DM2＝CM2＋CN2.
