2.矩形的判定
第1课时 矩形的判定
教学目标
1．掌握运用矩形的定义判定矩形．
2．掌握矩形判定定理并能运用其判定四边形是矩形．
情景问题引入
小华想要制作一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他制作的是矩形相框吗？看看谁的方法可行？
[学生用书P94]
矩形的判定方法
定 义：__有一个角是直角__的平行四边形是矩形．
定理1：有三个角是直角的__四边形__是矩形．
定理2：对角线相等的__平行四边形__是矩形．
注 意：(1)若已知四边形是平行四边形，可通过证其有一个角为90°或对角线相等，从而得到其为矩形；
(2)若已知四边形为一般四边形，则可通过证其三个角为直角，或者证其对角线相等且互相平分，从而得到其为矩形．
[学生用书P94]
类型之一 有一个角是直角的平行四边形是矩形
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连结DO，并延长到点E，使OE＝OD，连结AE、BE.求证：四边形AEBD是矩形．
证明：由题意得：OA＝OB，OE＝OD.
∴四边形AEBD是平行四边形．
∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC.
∴∠ADB＝90°，∴平行四边形AEBD是矩形．
类型之二 有三个角是直角的四边形是矩形
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，求证：四边形ADCE为矩形．
证明：在△ABC中，AB＝AC，
AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC.
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝×180°＝90°.
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°.
∴四边形ADCE为矩形．
类型之三 对角线相等的平行四边形是矩形
如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，△AOB是等边三角形，AB＝4 cm.
(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；
(2)求平行四边形ABCD的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，△AOB是等边三角形，
∴AB＝CD＝OA＝OB＝OC＝OD，即AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
(2)∵AB＝4 cm，在Rt△ABC中，由(1)可知，AC＝8 cm，则BC＝4 cm，
∴SABCD＝4×4＝16 (cm2)．
[学生用书P94]
1．数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( D )
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量三个角是否为直角
2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( D )
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AC＝BD
3．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.若OA＝OB＝OC＝OD，则这个四边形是__矩形__．
[学生用书P94]
1．下列关于矩形的说法，正确的是( D )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．矩形的对角线相等且互相平分
2．[2018·上海]已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( B )
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C
C．AC＝BD D．AB⊥BC
3．在ABCD中增加下列条件中的一个，这个四边形就是矩形，则增加的条件是( C )
A．对角线互相平分 B．AB＝BC
C．∠A＋∠C＝180° D．AB＝AC
4．如图，在ABCD中，请再添加一个条件，使得四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是__AC＝BD(答案不唯一)__．
5．延长等腰△ABC的腰BA到点D，CA到点E，分别使AD＝AB，AE＝AC，则四边形BCDE是__矩形__，其判别的依据是__对角线互相平分且相等的四边形是矩形__．
6．[2018·紫阳县期末]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝5，BC＝12，AC＝13.
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
又∵在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，
满足132＝52＋122，
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
7．[2018·厦门期末]如图，在ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边交于点E，∠AEB＝45°，证明：四边形ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC.
∵BE平分∠ABC，∠AEB＝45°，
∴∠ABE＝∠EBC＝45°，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
8．[2018·宁波模拟]如图，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE，求证：
(1)△ABF≌△DCE；
(2)四边形ABCD是矩形．
解：(1)证明：∵BE＝CF，BF＝BE＋EF，CE＝CF＋EF，
∴BF＝CE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC.
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE(SSS)．
(2)∵△ABF≌△DCE，
∴∠B＝∠C.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B＋∠C＝180°，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
9．[2017春·铜山区月考]如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、DC上的点，且AE＝CF.
(1)证明：△ADE≌△CBF；
(2)当∠DEB＝90°时，试说明四边形DEBF为矩形．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠A＝∠C，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∵AE＝CF，∴BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
又∵∠DEB＝90°，
∴四边形DEBF是矩形．
10．如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，四边形EFGH是怎么样的特殊四边形？证明你的结论．
解：四边形EFGH是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵BH、CH分别平分∠ABC与∠BCD，
∴∠HBC＝∠ABC，∠HCB＝∠BCD，
∴∠HBC＋∠HCB＝(∠ABC＋∠BCD)＝×180°＝90°，∴∠H＝90°.
同理可得∠HEF＝∠F＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
11．[2017·日照]如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.
(1)求证：△DCA≌△EAC；
(2)只需添加一个条件，即__AD＝BC(答案不唯一)__，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．
解： (1)证明：在△DCA和△EAC中，
∴△DCA≌△EAC.
(2)添加AD＝BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：
∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，
由(1)得：△DCA≌△EAC，
∴∠D＝∠E＝90°，
∴四边形ABCD为矩形．
12．[2018·通辽]如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝CD，连结CF.
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
解：(1)证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
又∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠EAF＝∠EDB，
∴△AEF≌△DEB(AAS)．
(2)四边形ADCF是矩形．
证明：∵AF∥CD，且AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵△AEF≌△DEB，
∴AF＝BD，
∴BD＝CD，即AD是△ABC的中线．
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF是矩形．
13．如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE.
(1)求∠CAE的度数；
(2)取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．
解：(1)在等边△ABC中，
∵点D是BC边的中点，
∴∠DAC＝30°.
又∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，∴∠CAE＝30°.
(2)在等边△ABC中，
∵点F是AB边的中点，点D是BC边的中点，
∴CF＝AD，∠CFA＝90°.
又∵AD＝AE，∴AE＝CF.
由(1)知∠CAE＝30°，∴∠EAF＝60°＋30°＝90°.
∴∠CFA＋∠EAF＝180°，∴CF∥AE.
∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵∠CFA＝90°，∴平行四边形AFCE是矩形．
2.矩形的判定
第2课时 矩形的判定的运用
教学目标
会运用矩形的判定定理解决问题．
情景问题引入
一位工人师傅在修理一个矩形桌面时，手上只有一把刻度尺，他怎样才能判断该四边形是个矩形？请说明如何操作，并画图写出证明过程．如果允许换工具，你还有其他方法吗？
[学生用书P97]
矩形的判定方法
定 义：有一个角是__直角__的平行四边形是矩形．
定理1：有三个角是__直角__的四边形是矩形．
定理2：对角线__相等__的平行四边形是矩形．
[学生用书P97]
类型 矩形的判定
如图，在ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连结AF、CE.
(1)求证：△BEC≌△DFA；
(2)连结AC，当AC＝BC时，判断四边形AECF是什么特殊四边形，并证明你的结论．
解：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D.
又∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝DF.
在△BEC和△DFA中，
∴△BEC≌△DFA.
(2)四边形AECF是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.
∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC＝BC，点E是AB的中点，
∴CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【点悟】 证明一个平行四边形为矩形的常用方法是：(1)证明此平行四边形有一个角为直角；(2)证明此平行四边形的对角线相等．
[2017·徐州]如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连结DO并延长，交AB延长线于点E，连结ED、EC.
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝__100__°时，四边形BECD是矩形．
解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∴∠OEB＝∠ODC，
又∵O为BC的中点，
∴BO＝CO.
在△BOE和△COD中，
∴△BOE≌△COD，
∴OE＝OD，
∴四边形BECD是平行四边形．
(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝50°.
∵∠BOD＝∠BCD＋∠ODC，
∴∠ODC＝100°－50°＝50°＝∠BCD，
∴OC＝OD.
∵BO＝CO，OD＝OE，
∴DE＝BC.
∵四边形BECD是平行四边形，
∴四边形BECD是矩形．
【点悟】 判定一个四边形为矩形，往往先判定这个四边形是平行四边形，再结合一个角是直角或对角线相等来证明．
[学生用书P97]
1．下列命题中正确的是( C )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
2．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：
①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.
从中选出3个，则不能使四边形ABCD成为矩形的一组是( C )
A．①②③ B．②③④
C．②⑤⑥ D．④⑤⑥
第2题图
第3题图
3．如图，AB∥CD，PM、PN、QM、QN分别为∠APQ、∠BPQ、∠CQP、∠DQP的平分线，则四边形PMQN是__矩形__．
[学生用书P97]
1．[2017·上海]已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( C )
A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB
2．四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是( C )
A．AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝90°
B．AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD
C．∠BAD＝∠ABC＝90°，∠BCD＋∠ADC＝180°
D．∠BAD＋∠ADC＝180°，∠ABC＝∠ADC＝90°
3．如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H.
求证：(1)△PHC≌△CFP；
(2)四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形．
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，AD∥BC.
又∵EF∥AB，AD∥GH，∴ EF∥CD，BC∥GH，
∴∠CPF＝∠HCP, ∠CPH＝∠PCF，
∵CP＝CP ，∴△PHC≌△CFP；
(2)由(1)知AB∥EF∥CD, AD∥GH∥BC，
∴四边形PEDH和四边形PFBG都是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形．∴∠D＝∠B＝90°，
∴平行四边形PEDH和平行四边形PFBG都是矩形．
4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，点E、F分别在边AB、BC上，AE＝DF＝DC.
(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；
(2)当∠FDC与∠EFB满足数量关系__∠FDC＝2∠EFB__时，四边形AEFD是矩形，并说明理由．
解：(1)证明：∵DF＝DC，
∴∠DFC＝∠C.
∵∠B＝∠C，
∴∠DFC＝∠B，
∴AE∥DF.
∵AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形．
(2)当∠FDC＝2∠EFB时，四边形AEFD是矩形．理由如下：
∵2∠DFC＋∠FDC＝180°，∠FDC＝2∠EFB，
∴2∠DFC＋2∠EFB＝180°，
∴∠DFC＋∠EFB＝90°，
∴∠DFE＝180°－90°＝90°.
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴四边形AEFD是矩形．
5．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(3)当OD与AC满足怎样的数量关系时，四边形ABCD是矩形？并说明理由．
解：(1)证明：∵点O是AC的中点，∴OA＝OC.
∵AE＝CF，∴OE＝OF.
∵DF∥BE，∴∠OEB＝∠OFD，
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF.
(2)∵△BOE≌△DOF，∴OD＝OB.
∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形．
(3)结论：当OD＝AC时，四边形ABCD是矩形．
理由：∵OD＝AC，OD＝OB，
∴BD＝AC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
6．[2018·涵江区期末]如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H.
(1)求证：四边形AGPH是矩形；
(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
,) ,答图)
解：(1)证明∵AC＝9，AB＝12，BC＝15，
∴AC2＝81，AB2＝144，BC2＝225，
∴AC2＋AB2＝BC2，
∴∠A＝90°.
∵PG⊥AC，PH⊥AB，
∴∠AGP＝∠AHP＝90°，
∴四边形AGPH是矩形．
(2)存在．理由如下：
如答图，连结AP.
∵四边形AGPH是矩形，
∴GH＝AP.
∵当AP⊥BC时，AP最短．
∴9×12＝15·AP.
∴AP＝.
7．[2018·娄星区期末]如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1.
(1)判断△BEC的形状，并说明理由；
(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；
(3)求四边形EFPH的面积．
解：(1)△BEC是直角三角形．
理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝∠ABP＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝2，
由勾股定理得CE＝＝＝，
同理可得BE＝2，
∴CE2＋BE2＝5＋20＝25.
∵BC2＝52＝25，
∴BE2＋CE2＝BC2，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是直角三角形．
(2)四边形EFPH为矩形．
证明：∵在矩形ABCD，AD＝BC，AD∥BC，
∴四边形DEBP是平行四边形，
∴BE∥DP.
又∵DE＝BP，
∴AE＝CP，
∴四边形AECP是平行四边形，
∴AP∥CE，
∴四边形EFPH是平行四边形．
∵∠BEC＝90°，
∴平行四边形EFPH是矩形．
(3)在Rt△PCD中，FC⊥PD，
由三角形的面积公式得PD·CF＝PC·CD，
∴CF＝＝，
∴EF＝CE－CF＝－＝.
∵PF＝＝，
∴S矩形EFPH＝EF·PF＝.
8．[2018·宽城区期末]如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝4，CF＝3，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
,) ,答图)
解：(1)证明：如答图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6.
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF.
(2)∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°，
∵CE＝4，CF＝3，
∴EF＝＝5，
∴OC＝EF＝.
(3)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
