19.2菱形
1．菱形的性质
第1课时 菱形的性质
教学目标
1．理解菱形的概念．
2．经历菱形性质的探究过程，掌握菱形的性质．
情景问题引入
如图，准备四根木棒拼成平行四边形，使其一边慢慢地平移，提出问题：整个变化过程中四边形是否仍然是平行四边形？相邻两边长度相等时停止移动，问与原平行四边形有什么不同？
[学生用书P100]
1．菱形的概念
定 义：有__一组邻边相等__的平行四边形叫做菱形．
注 意：(1)菱形的概念是建立在平行四边形的基础之上，菱形的概念包含两个条件，即是平行四边形且有一组邻边相等，两个条件缺一不可；
(2)菱形的概念既是菱形的性质，又是它的一个重要的识别方法；
(3)菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．它有两条对称轴，分别是它的对角线所在的直线．
2．菱形的性质
性质定理1：菱形的四条边都相等．
性质定理2：菱形的对角线互相垂直．
说 明：(1)菱形是特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的一切特征；
(2)菱形的对角线互相垂直、平分，若菱形的对角线的长分别为a和b，则菱形的面积为ab.
[学生用书P100]
类型之一 利用菱形的性质进行计算
[2018·怀远期末]如图，四边形ABCD是边长为10 cm的菱形，其对角线BD的长为16 cm，求：
(1)对角线AC的长度；
(2)菱形ABCD的面积．
解：(1)∵四边形ABCD为菱形，
∴∠AOD＝90°.
∵OD＝BD＝×16＝8(cm)，
∴AO＝＝6(cm)，
∴AC＝2AO＝2×6＝12(cm)．
(2)S菱形ABCD＝S△ABD＋S△BDC
＝BD·AO＋BD·CO
＝BD·(AO＋CO)
＝BD·AC
＝×12×16
＝96(cm2)．
类型之二 利用菱形的性质进行证明
[2018·怀柔区期末]如图，在菱形ABCD中，E、F分别为DC、BC上一点，且DE＝BF.求证：∠AEF＝∠AFE.
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
∵E、F分别为DC、BC上一点，且DE＝BF，
∴△ADE≌△ABF(SAS)，
∴AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE.
[学生用书P100]
1．[2018·十堰]菱形不具备的性质是( B )
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
2．在菱形ABCD中，点O是两对角线AC、BD的交点，则下列结论中正确的是( A )
A．AC⊥BD
B．AB≠BC
C．AC＝BD
D．∠ABC＝∠BCD
3．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是( C )
A．1 B. C．2 D.
4．[2018·徐州]若菱形的两条对角线的长分别为6 cm和8 cm，则其面积为__24__cm2.
[学生用书P101]
1．如图，在菱形ABCD中，∠ADB与∠ABD的大小关系是( C )
A．∠ADB＞∠ABD
B．∠ADB＜∠ABD
C．∠ADB＝∠ABD
D．无法确定
2．如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线．若∠BAC＝50°，则∠ABC的度数为( C )
A．40° B．50°
C．80° D．100°
3．[2018·淮安]如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( A )
A．20 B．24
C．40 D．48
4．如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连结BO.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为( C )
A．28° B．52°
C．62° D．72°
5．[2017·菏泽]在菱形ABCD中，∠A＝60°，其周长为24 cm，则菱形的面积为__18__cm2.
6．[2018·黔三州]已知一个菱形的边长为2，较长对角线长为2，则这个菱形的面积是__2__．
7．[2018·柳州]如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2.
(1)求菱形ABCD的周长；
(2)若AC＝2，求BD的长．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2.
∴菱形ABCD的周长为8.
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC＝1，OB＝OD，且∠AOB＝90°，
∴在Rt△AOB中，OB＝＝＝，∴BD＝2OB＝2.
8．[2017·自贡]如图，点E、F分别在菱形ABCD的边DC、DA上，且CE＝AF.求证：∠ABF＝∠CBE.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，AB＝CB.
在△AFB和△CEB中，
∴△AFB≌△CEB，
∴∠ABF＝∠CBE.
9．[2018·潮安区期末]如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连结AE、CF，求证：△ADE≌△CDF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD.
∵点E、F分别为边CD、AD的中点，
∴AD＝2DF，CD＝2DE，
∴DE＝DF.
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF(SAS)．
10．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB，交AB的延长线于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F.求证：DF＝BE.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC，∠ABC＝∠ADC.
∴∠CBE＝∠CDF.
∵CF⊥AD，CE⊥AB，
∴∠CFD＝∠CEB＝90°.
在△CBE和△CDF中，
∴△CEB≌△CFD，
∴DF＝BE.
11．[2018·昌平区期末]如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，求菱形的面积及线段DH的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，
∴S菱形ABCD＝·AC·BD＝120，AO＝12，OD＝5，AC⊥BD，
∴AD＝AB＝＝13.
∵DH⊥AB，
∴AO·BD＝DH·AB，
∴12×10＝13×DH，
∴DH＝.
12．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连结CE.
(1)求证：BD＝EC；
(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
又∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD＝EC.
(2)∵四边形BECD是平行四边形，
∴BD∥CE，
∴∠ABO＝∠E＝50°.
又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°.
13．[2018·开福区校级期末]如图，在菱形ABCD中，AB＝4，E为BC的中点，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G.
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)求∠CHA的度数．
,) ,答图)
解：(1)如答图，连结AC，
∵E为BC的中点，AE⊥BC，
∴AB＝AC.
又∵AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AE＝AB＝×4＝2，
∴S菱形ABCD＝BC·AE＝4×2＝8.
(2)在等边三角形ABC中，∵AE⊥BC，
∴∠CAE＝∠BAC＝×60°＝30°，
同理∠CAF＝30°，
∴∠EAF＝∠CAE＋∠CAF＝30°＋30°＝60°.
∵AE∥CG，
∴∠CHA＝180°－∠EAF＝180°－60°＝120°.
19.2菱形
1．菱形的性质
第2课时 菱形的性质的运用
教学目标
会运用菱形的性质解决问题．
情景问题引入
如图，3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离并在点B、M处固定．已知菱形ABCD的边长为13 cm，要使挂钩A、C间的距离为24 cm，求B、M间的距离．
,) ,)
[学生用书P103]
菱形的性质
定 义：有一组邻边相等的__平行四边形__是菱形．
定理1：菱形的四条边__相等__．
定理2：菱形的对角线__互相垂直__．
[学生用书P103]
类型之一 利用菱形的性质计算
如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝a.求：
(1)∠ABC的度数；
(2)对角线AC的长；
(3)菱形ABCD的面积．
答图
解：(1)如答图，连结BD.
∵点E是AB的中点，且DE⊥AB，∴AD＝BD.
又∵AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴∠ABC＝120°(菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角)．
(2)设AC与BD相交于点O，∴OB＝.
∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝a.
根据勾股定理可得
OC＝＝，∴AC＝a.
(3)菱形ABCD的面积＝a×a×＝a2.
【点悟】 菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直平分，所以解决菱形问题时，要善于利用图中的等腰三角形和直角三角形．
类型之二 利用菱形的性质证明
如图，菱形ABCD的边长为2，对角线BD＝2，点E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2.
(1)求证：△BDE≌△BCF；
(2)判断△BEF的形状并说明理由．同时指出△BCF是由△BDE经过怎样的变换得到的．
解：(1)证明：∵菱形ABCD的边长为2，BD＝2，
∴△ABD和△BCD都为等边三角形．
∴∠BDE＝∠C＝60°.
又∵AE＋CF＝2，AE＋DE＝2，
∴DE＝CF.
在△BDE和△BCF中，
∴△BDE≌△BCF.
(2)△BEF是等边三角形．理由如下：
由(1)可知△BDE≌△BCF，
∴BE＝BF，∠DBE＝∠CBF，
∴∠EBF＝∠DBE＋∠DBF＝∠CBF＋∠DBF＝∠DBC＝60°，
∴△BEF是等边三角形．
由图可知，将△BDE绕点B顺时针旋转60°即可得到△BCF.
【点悟】 本题考查了菱形的四条边都相等的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及旋转变换．根据菱形的对角线BD与菱形的边相等判定出等边三角形是解题的关键．
[学生用书P103]
1．如图，在菱形ABCD中，下列结论一定正确的是( C )
A．AD＝BD
B．菱形ABCD的面积是AC和BD的积
C．∠DAC＝∠BAC
D．∠ACB＝30°
第1题图
第2题图
2．如图，已知四边形ABCD是菱形，过顶点D作DE⊥AD，交对角线AC于点E.若∠DAE＝20°，则∠CDE的度数是( C )
A．70° B．60° C．50° D．40°
3．[2017·十堰]如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连结OE.若∠ABC＝140°，则∠OED＝__20°__．
[学生用书P103]
1．[2018·定州市期末]如图所示的坐标系中，四边形ABCD是菱形，顶点A、B在x轴上，AB＝5，点C在第一象限，且菱形ABCD的面积为20，点A的坐标为(－2，0)，则顶点C的坐标为( C )
A．(4，3) B．(5，4)
C．(6，4) D．(7，3)
第1题图
第2题图
2．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD＝80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且BE＝BO，则∠BEO＝__65__度．
3．如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，求阴影部分的面积．
解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积＝×6×8＝24.
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积＝×24＝12.
4．[2018·沈阳改编]如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E.
(1)求证：四边形OCED是矩形；
(2)若CE＝1，DE＝2，求菱形ABCD的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°.
∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形．
∵∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形．
(2)S菱形ABCD＝AC·BD＝2DE·CE＝4.
5．[2018·宁晋县期中]如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，且AE＝AD，∠EAD＝2∠BAE，求∠BAE的度数．
解：∵在菱形ABCD中，AB＝AD，
AE＝AD，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB.
设∠BAE＝x，则∠EAD＝2x，
∵AD∥BC，
∴AEB＝∠EAD＝2x.
在△BAE中，∠ABE＝∠AEB＝2x，
∴x＋2x＋2x＝180°，
解得x＝36°，即∠BAE＝36°.
6．[2018·岳池县期中]如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)证明：四边形ACDE是平行四边形；
(2)若AC＝4，BD＝3，求△ADE的周长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴AE∥CD，∠AOB＝90°.
∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，
∴∠AOB＝∠EDB，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝3，
∴AO＝2，DO＝1.5，AD＝CD＝＝2.5.
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE＝CD＝2.5，DE＝AC＝4，
∴△ADE的周长＝AD＋AE＋DE＝2.5＋2.5＋4＝9.
7．[2017·沈阳]如图，在菱形ABCD中，过点D作 DE⊥AB 于点 E，作DF⊥BC 于点F，连结EF.
求证：(1)△ADE≌△CDF；
(2)∠BEF＝∠BFE.
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C.
∵DE⊥AB，DF⊥CB，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
∴△ADE≌△CDF.
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB.
∵△ADE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∴AB－AE＝ CB－CF，
∴BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE.
8．如图，在ABCD中，BC＝2AB＝4，点E、F分别是BC、AD的中点．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．
解：(1)证明：∵在ABCD中，AB＝CD，
BC＝AD，∠B＝∠D.
又∵BE＝EC＝BC，
AF＝DF＝AD，
∴BE＝DF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF.
(2)∵四边形AECF为菱形，∴AE＝EC.
又∵点E是边BC的中点，∴BE＝EC，即BE＝AE.
又∵BC＝2AB＝4，∴AB＝BC＝BE，
∴AB＝BE＝AE，即△ABE为等边三角形，
ABCD的BC边上的高为2×sin 60°＝，
∴菱形AECF的面积为2×＝2.
9．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP＝BQ.试判断△PDQ的形状，并证明．
解： △PDQ为等边三角形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴AD＝AB＝BD，∠ADB＝∠ABD＝∠CBD＝∠CDB＝60°.
在△ADP和△BDQ中，
∴△ADP≌△BDQ，∴DP＝DQ，∠ADP＝∠QDB.
又∵∠ADB＝60°，∴∠PDQ＝60°.
∴△PDQ为等边三角形．
10．[2017秋·白云区校级期中]如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2.
(1)若CE＝1，求BC的长；
(2)求∠BCD的度数．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠ACD.
∵∠1＝∠2，
∴∠ACD＝∠2，
∴CM＝DM.
∵ME⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝1，
∴BC＝CD＝2.
(2)如答图，连结BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，∠ACB＝∠ACD.
∵F为边BC的中点，
答图
∴CF＝CB.
∵CE＝CD，
∴CE＝CF.
在△MCF和△MCE中，
∴△FCM≌△ECM(SAS)，
∴∠CFM＝∠CEM＝90°，
∴DF⊥BC，
∴BD＝CD，
∴BC＝CD＝BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD＝60°.
11．[2018·新疆]如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC的一个动点，点M、N分别是AB、BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是( B )
A. B．1 C. D．2
,) ,答图)
【解析】如答图，取AD的中点M′，连结M′N交AC于点P，则由菱形的轴对称性可知M，M′关于直线AC对称，从而PM′＝PM，此时MP＋PN的值最小，而易知四边形CDM′N是平行四边形，故M′N＝CD＝1，于是，MP＋PN的最小值是1，故选B.
