2.菱形的判定
第1课时 菱形的判定定理1
教学目标
1．理解利用菱形的定义．
2．掌握菱形的判定定理1.
情景问题引入
小明参加剪纸艺术兴趣班时，老师给他布置了一个作业：“一张矩形纸片经过怎样折叠之后剪一次就能得到一个美丽的菱形图案呢”？
[学生用书P106]
菱形的判定方法
定 义：有一组邻边相等的__平行四边形__是菱形．
定理1：四条边相等的__四边形__是菱形．
[学生用书P106]
类型之一 利用菱形的定义判定菱形
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA.求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵∠B＝60°，AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠FAC＝∠ACE＝120°.
∵AD平分∠FAC，CD平分∠ECA，
∴∠DAC＝∠FAC＝60°，∠ACD＝∠ACE＝60°，
∴∠DAC＝∠ACB，∠ACD＝∠BAC，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形．
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为点M，AN⊥DC，垂足为点N.若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN.求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵AD∥BC，
∴∠BAD＋∠B＝180°.
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BCD＋∠B＝180°.
∴AB∥DC.∴四边形ABCD是平行四边形．
∴∠B＝∠D.
∵AM＝AN，AM⊥BC，AN⊥DC，
∴Rt△ABM≌Rt△ADN.∴AB＝AD.
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点悟】 判定菱形的一般方法有：(1)四条边相等；(2)是平行四边形，并且有一组邻边相等．
类型之二 利用“四边相等”判定菱形
如图，已知BD是矩形ABCD的对角线.
(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于点E、F(保留作图痕迹，不写作法和证明)；
(2)连结BE、DF，问四边形BEDF是什么四边形，请说明理由.
答图
解： (1)如答图所示，EF为所求直线；
(2)四边形BEDF是菱形．
理由：∵EF垂直平分BD，
∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF.
∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF.
又∵BF＝DF，∴BE＝ED＝DF＝BF，
∴四边形BEDF是菱形．
【点悟】 如果已知图形是四边形，只要找四条边相等，则这个四边形是菱形．
[学生用书P106]
1．四边相等的四边形一定是( B )
A．矩形 B．菱形
C．平行四边形 D．无法判定
2．如图，若要使ABCD成为菱形，则需要添加的条件是( C )
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AC＝BD
第2题图
第3题图
3．如图，在平行四边形ABCD中，
∵∠1＝∠2，∴BC＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形(__有一组邻边相等的平行四边形是菱形__)．(请在括号内填上理由)
[学生用书P106]
1．下列命题中，正确的是( D )
A．有一个角是60°的平行四边形是菱形
B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．有两边相等的平行四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
2．[2018·嘉兴]用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( C )
,A) ,B)
,C) ,D)
3．小明和小亮在做一道习题：若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形．小明补充的条件是AB＝BC；小亮补充的条件是AC＝BD，你认为下列说法正确的是( B )
A．小明、小亮都正确
B．小明正确，小亮错误
C．小明错误，小亮正确
D．小明、小亮都错误
4．如图，四边形 ABCD 是轴对称图形，且直线 AC 是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形 ABCD 是菱形；④△ABD≌ △CDB.其中正确的是__①②③④__(填序号)．
5．[2017春·西华县期末]如图，在△ABC中，AD是角平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且DE∥AC，DF∥AB，试说明四边形AEDF是菱形．
证明：如图，∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵DF∥AB，∴∠ADF＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠ADF，∴AF＝DF，
∴四边形AEDF是菱形．
6．[2017·宁夏]在△ABC中，M是AC边上的一点，连结BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．
答图
证明：如答图，由折叠得AB＝AD，BM＝DM，∠1＝∠2，
∵DM∥AB，∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，∴AD＝DM，
∴AB＝AD＝BM＝DM，
∴四边形ABMD是菱形．
7．[2018·岱岳区期中]如图，在四边形ABCF中，∠ACB＝90°，点E是AB边的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的对称点．
(1)证明：四边形AECF为菱形；
(2)连结EF交AC于点O，若BC＝16，求线段OF的长．
解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，点E是AB边的中点，
∴CE＝AB＝EA.
∵点F是点E关于AC所在直线的对称点，
∴AE＝AF，CE＝CF，
∴CE＝EA＝AF＝CF，
∴四边形CFAE为菱形．
(2)∵四边形CFAE为菱形，
又∵E是AB边的中点，
∴OA＝OC，OE＝OF，
∴OE＝BC＝8，
∴OF＝8.
8．[2018·内江]如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别是AB、BC上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD .
求证：(1)△AED≌△CFD；
(2)四边形ABCD是菱形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C.
在△AED和△CFD中，
∴△AED≌△CFD(ASA)；
(2)由(1)得△AED≌△CFD，∴AD＝DC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
9．如图，小刚在研究矩形性质时，把两张完全相同的矩形纸片叠放在一起(矩形ABCD和矩形BFDE)，请你帮他判断重叠部分的四边形BNDM的形状，并给出证明．
解：四边形BNDM是菱形．
∵四边形ABCD、四边形BFDE是矩形，
∴MB∥DN，BN∥MD，
∴四边形BNDM是平行四边形．
在△ABM和△EDM中，
∴△ABM≌△EDM，
∴BM＝DM，
∴四边形BNDM是菱形．
10．[2017春·邗江区校级月考]如图，在△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，垂足分别为点D、E、F、G，DF、EG相交于点P.判断四边形MDPE的形状，并说明理由．
答图
解：四边形MDPE为菱形，理由：
如答图，连结AM.
∵ME⊥AC，DF⊥AC，∴ME∥DF.
∵MD⊥AB，EG⊥AB，∴MD∥EG，
∴四边形MDPE是平行四边形．
∵AB＝AC，M是BC的中点，∴AM是角平分线，
∴MD＝ME，∴四边形MDPE为菱形．
11．如图，在ABCD中，点E为BC边上的一点，连结AE、BD，且AE＝AB.
(1)求证：∠ABE＝∠EAD；
(2)若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．
解：(1)证明：在ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD.
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠EAD.
(2)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBE.
∵∠ABE＝∠AEB，∠AEB＝2∠ADB，
∴∠ABE＝2∠ADB.
∴∠ABD＝∠ABE－∠DBE＝2∠ADB－∠ADB＝∠ADB，
∴AB＝AD.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形．
菱形的判定
第2课时 菱形的判定定理2
教学目标
1．掌握菱形的判定定理2.
2．理解并掌握菱形的性质与判定．
情景问题引入
用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．任意转动木条，这个四边形总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？
继续转动木条，观察什么时候橡皮筋周围的四边形变成菱形？你能证明你的猜想吗？
,) ,)
[学生用书P109]
菱形的判定方法
定 义：有一组邻边相等的__平行四边形__是菱形．
定理1：四条边相等的__四边形__是菱形．
定理2：__对角线互相垂直__的平行四边形是菱形．
[学生用书P109]
类型之一 利用“对角线互相垂直的平行四边形”证明菱形
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连结DE，并延长交AF于点F，连结FC.求证：四边形ADCF是菱形．
证明：∵AF∥BC，
∴∠EAF＝∠ECD，∠EFA＝∠EDC.
又点E是AC的中点，∴AE＝CE，
∴△AEF≌△CED，∴AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AC＝2AB，∴AE＝AB.
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠BAD.
在△AED和△ABD中，
∵∴△AED≌△ABD，
∴∠AED＝∠B＝90°，∴DF⊥AC，
∴平行四边形ADCF是菱形．
【点悟】 判定一个四边形是否是菱形，既可以从一般四边形入手说明四条边相等，也可以在平行四边形的基础上再说明对角线互相垂直或一组邻边相等．
类型之二 菱形的判定与性质的综合运用
[2018·淮安区期中]如图，△ABC≌△DBC，AD平分∠BAC，AD交BC于点O.
(1)如图1，求证：四边形ABDC是菱形；
(2)如图2，点E为BD边的中点，连结AE交BC于点F.若∠AFO＝∠ADC，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图2中所有长度是线段EF长度的偶数倍的线段．
,图1) ,图2)
解：(1)证明：∵△ABC≌△DBC，
∴AB＝BD，AC＝CD，
∴∠BAD＝∠BDA，∠CAD＝∠CDA.
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠DAC，∠ADB＝∠ADC，
在△ADB和△ADC中，
∴△ADB≌△ADC，
∴AB＝AC，
∴AB＝BD＝CD＝AC，
∴四边形ABDC是菱形．
(2)长度是线段EF长度的偶数倍的线段有BF、AF、CF.理由如下：
∵∠AFO＝∠ADC＝∠ADB，
又∵∠AFO＋∠EFO＝180°，
∴∠EFO＋∠EDO＝180°，
∴∠FED＋∠FOD＝180°.
∵四边形ABDC是菱形，
∴AD⊥BC，
∴∠FED＝∠FOD＝90°.
∵BE＝ED，
∴AB＝AD，
∴AB＝AD＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠EBF＝∠ABD＝30°.
在Rt△BEF中，BF＝2EF，
∵∠FBA＝∠FAB＝30°，
∴FA＝FB，
∴在Rt△AFC中，CF＝2AF＝4EF.
【点悟】 本题综合运用了菱形的判定与性质，同时可知“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．
[学生用书P109]
1．下列说法正确的是( A )
A．四边相等的四边形是菱形
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相平分的四边形是菱形
2．[2017·河南]如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列条件不能判定ABCD是菱形的只有( C )
A．AC⊥BD B．AB＝BC
C．AC＝BD D．∠1＝∠2
第2题图
第3题图
3．如图，已知AB＝BC＝CD＝AD，∠DAC＝40°，那么∠B＝__100°__. [学生用书P110]
1．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是( B )
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
2．[2017·聊城]如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是( D )
A．AB＝AC
B．AD＝BD
C．BE⊥AC
D．BE平分∠ABC
3．[2018·龙东]如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件__AB＝BC或AC⊥BD__，使平行四边形ABCD是菱形．
4．[2017·西宁]如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AC⊥BD，求平行四边形ABCD的面积．
解：(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC.
∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
在△AOD和△COB中，
∴△AOD≌△COB，
∴OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴S菱形ABCD＝AC·BD＝24.
5．[2018·三台县期中]如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连结CD，求证：
(1)AC⊥BD；
(2)四边形ABCD是菱形．
证明：(1)∵AE∥BF，
∴∠BCA＝∠CAD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴BA＝BC，
∴△BAC是等腰三角形．
∵BD平分∠ABC，
∴AC⊥BD.
(2)∵△BAC是等腰三角形，
∴AB＝CB.
∵∠CBD＝∠ABD＝∠BDA，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AB＝AD，
∴DA＝CB，
∵BC∥DA，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
6．给出如下定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC、BD相交于点O.在OC上截取OE＝OA，连结BE、DE.
(1)求证：AC垂直平分BD；
(2)判断四边形ABED的形状．
解：(1)证明：∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上．
∵BC＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上．
∴AC垂直平分BD.
(2)四边形ABED是菱形，理由：
∵AC垂直平分BD，∴OB＝OD.
∵OE＝OA，∴四边形ABED是平行四边形．
又∵AB＝AD，∴平行四边形ABED是菱形．
7．如图，把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分的形状吗？说明你的理由．
答图
解：重叠部分为菱形．理由如下：
如答图所示，∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．分别作CD、BC边上的高AE、AF.
∵两纸条相同，∴纸条宽度AE＝AF，
∴SABCD＝AE·CD＝BC·AF，
∴CD＝BC，∴平行四边形ABCD为菱形．
8．[2018·北京]如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连结OE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB＝，BD＝2，求OE的长．
解：(1)证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC.
∵AB∥DC，
∴∠DCA＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴DA＝DC.
又∵AB＝AD，
∴AB＝DC.
又∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝DB＝1，AC⊥BD.
在Rt△ABO中，由勾股定理，得
OA＝＝＝2.
∴AC＝2OA＝4.
∵CE⊥AE，OA＝OC，
∴OE＝AC＝2.
9．[2018·郴州]如图，在ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD、BC于点E、F，连结BE、DF.求证：四边形BFDE是菱形．
证明：∵BD垂直平分EF，∴EO＝FO，∠EOD＝∠FOB＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∴△EOD≌△FOB，∴OD＝OB.∵EO＝FO，EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形．
10．如图，在ABCD中，点E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB，交CB的延长线于点G.
(1)求证：DE∥BF；
(2)若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD，
∴BE＝DF.又∵BE∥DF，
∴四边形DFBE是平行四边形，∴DE∥BF.
(2)∵∠G＝90°，AG∥BD，AD∥BG，
∴四边形AGBD是矩形，∴∠ADB＝90°.
在Rt△ADB中，∵点E为AB的中点，
∴AE＝BE＝DE.
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴平行四边形DEBF是菱形．
