19.3 正方形 导学案（含答案）
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文档简介
19. 正方形
教学目标
1．理解并掌握正方形的概念．
2．掌握正方形的性质和判定．
3．理解正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的关系．
情景问题引入
把一张长方形的纸片按如图的方式折一下，可以截出正方形纸片，这是为什么呢？如果是长方形木板，又怎样从中截出面积最大的正方形木板呢？
[学生用书P114]
1．正方形的性质
性 质：(1)正方形__四条边__都相等；
(2)正方形__四个角__都是直角；
(3)正方形的对角线__相等且互相垂直平分__．
注 意：正方形是中心对称图形，对称中心是__两条对角线的交点__，也是轴对称图形，它有__4__条对称轴．
2．正方形的判定方法
定理1：有一个角是__直角__的菱形是正方形．
定理2：有一组邻边__相等__的矩形是正方形．
[学生用书P114]
类型之一 正方形的性质
如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( C )
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
【点悟】 本题考查了等腰三角形的概念以及正方形的性质：四边相等，对角线相等且互相垂直平分．
类型之二 正方形的判定
如图，在△ACD中，∠ADC＝90°，∠ADC的平分线交AC于点E，EF⊥AD，交AD于点F，EG⊥DC，交DC于点G.求证：四边形EFDG是正方形．
证明：∵DE平分∠ADC，EF⊥AD，EG⊥CD，∴EF＝EG，∴∠EFD＝∠EGD＝90°.
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形EFDG是矩形．
∵EF＝EG，∴四边形EFDG是正方形．
【点悟】 本题考查正方形的判定和角平分线的性质．要注意证明一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形是菱形或矩形．
类型之三 正方形的性质与判定的综合运用
[2008春·秀山县期末]E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CM＝DN，四边形EFMN是什么图形？证明你的结论．
解：四边形EFMN是正方形．
证明：∵AE＝BF＝CM＝DN，
∴AN＝DM＝CF＝BE.
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE，
∴EF＝EN＝NM＝MF，
∴四边形EFMN是菱形．
又∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN＋∠DNM＝90°，
∴∠ENA＋∠DNM＝90°，
∴∠ENM＝90°，
∴四边形EFMN是正方形．
【点悟】 (1)在正方形中，常利用边角关系证明线段相等；(2)熟练掌握菱形与正方形之间的变化条件与方法．
[学生用书P114]
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( A )
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直平分且相等
2．[2017·十堰]下列命题错误的是( C )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
3．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明( B )
A．AB＝AD且AC⊥BD
B．AB＝AD且AC＝BD
C．∠A＝∠B且AC＝BD
D．AC和BD互相垂直平分
4．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连结EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为__5__．
[学生用书P115]
1．在四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，能判定这个四边形为正方形的是( D )
A．AD∥BC，∠B＝∠D
B．AC＝BD，AB＝CD，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC
D．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD
2．如图，点E是正方形ABCD的对角线BD上的一点，DE≠EB，则图中的全等三角形的对数共有( C )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
第2题图
第3题图
3．如图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，使CE＝CA，连结AE，交CD于点F，则∠AFC的度数是( D )
A．150° B．125°
C．135° D．112.5°
4．[2017·黄冈]如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED的度数为__45°__．
5．[2017·兰州]在平行四边形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是__①③④__．
6．[2018·广安]如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上的点，连结AM，延长AD至点E，使得AE＝AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F.求证：AB＝EF.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠EAF＝∠BMA.
∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°＝∠B，
在△ABM和△EFA中，
∴△ABM≌△EFA(AAS)，∴AB＝EF.
7．[2018·洛宁县期末]如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连结EB、ED.
(1)写出图中所有的全等三角形；
(2)延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，求∠AFE的度数．
解：(1)根据正方形的对称性，正方形ABCD关于直线AC成轴对称，所以全等的三角形有：△ADC≌△ABC，△ADE≌△ABE，△DCE≌△BCE.
(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝CB，∠DCE＝∠BCE＝45°，且CE＝CE，
∴△DCE≌△BCE，
∴∠DEC＝∠BEC.
∵∠DEB＝140°，
∴∠DEC＝∠BEC＝70°，
∴∠EBC＝65°，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CBE＝65°.
8．[2018·灵石县期末]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的平分线，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC交其延长线于点F.求证：四边形ABFE是正方形．
证明：∵AE∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABC＋∠BAE＝180°，
∴∠BAE＝90°.
∵EF⊥BC于点F，
∴∠F＝90°，
∵∠F＝∠ABC＝∠BAE＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝45°，
∴∠AEB＝∠EBF＝45°，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝AE，
∴四边形ABFE是正方形．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．
证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°.
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形CEDF是矩形．
∵DE＝DF，
∴矩形CEDF是正方形．
10．[2018·肥城市期末]如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝3，E为OC上一点，OE＝1，连结BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G.
(1)BE与AG相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；
(2)求AF的长．
解：(1)BE＝AG.
证明：∵AF⊥BE，
∴∠AFE＝∠OAG＋AEF＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO＝BO，
∴∠AOG＝∠OAG＋∠AGO＝90°，
∴∠AEF＝∠AGO.
在△AOG和△BOE中，
∴△AOG≌△BOE(AAS)，
∴AG＝BE.
(2)∵△AOB是等腰直角三角形，且AB＝3，
∴BO＝3.
∵OE＝1，
∴AE＝3＋1＝4.
由勾股定理得BE＝＝，
S△ABE＝BE·AF＝AE·OB，
∴××AF＝×4×3，
∴AF＝.
11．[2018·吉林改编]如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE，垂足为G.
(1)求证：AF＝BE；
(2)如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？请说明理由．
,图1) ,图2)
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝AD，∠BAD＝∠D＝90°，
∴∠FAD＋∠AFD＝90°.
∵AF⊥BE，∴∠AGE＝90°，
∴∠FAD＋∠AEG＝90°，
∴∠AFD＝∠AEG，
∴△DAF≌△ABE(AAS)，
∴AF＝BE.
(2)MP＝NQ.理由：如答图，过点A作AF∥MP交CD于点F，过点B作BE∥NQ交AD于点E，得到BEQN和AFPM，
,答图)
∴AF＝MP，BE＝NQ.
∵AF∥MP，BE∥NQ，MP⊥NQ，
∴AF⊥BE，∴由(1)得AF＝BE，∴MP＝NQ.
12．[2018·惠城区期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，过点A作直线AE交DO的延长线于点E，使∠EAB＝∠C，连结BE.
(1)求证：BC∥AE；
(2)求证：四边形AEBD是矩形；
(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AEBD是正方形，并说明理由．
解：(1)证明：∵AB＝AC，
∴∠CBA＝∠C.
又∵∠EAB＝∠C，
∴∠EAB＝∠CBA，
∴BC∥AE.
(2)证明：∵点O为AB的中点，
∴BO＝AO.
在△BOD和△AOE中，
∴△BOD≌△AOE(ASA)，∴BD＝EA.
∵BC∥AE，即BD∥AE，
∴四边形AEBD是平行四边形．
又∵在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，∴∠BDA＝90°，
∴四边形AEBD是矩形．
(3)当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形AEBD是正方形．理由如下：
∵AD是△ABC的角平分线，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠DBA＝∠BAD＝45°，∴BD＝DA.
∵四边形AEBD是矩形，
∴四边形AEBD是正方形．
13．[2018·成都期末]如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连结DE.过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连结AG.
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)求AG＋AE的值．
,) ,答图)
解：(1)证明：如答图，作EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB.
∵EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N，
∴EM＝EN.
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是正方形，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN.
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．
(2)∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE，
∴AG＝CE，
∴AE＋AG＝AE＋EC＝AC＝AD＝4.
14．[2017·宿迁]如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE＝1，若点P在对角线BD上移动，则PA＋PE的最小值是____．
答图
【解析】 作出点E关于BD的对称点E′交BC于E′，连结AE′与BD交于点P，此时AP＋PE最小，
∵PE＝PE′，
∴AP＋PE＝AP＋PE′＝AE′，
在Rt△ABE′中，AB＝3，BE′＝BE＝1，
根据勾股定理得AE′＝，
则PA＋PE的最小值为.
教学目标
1．理解并掌握正方形的概念．
2．掌握正方形的性质和判定．
3．理解正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的关系．
情景问题引入
把一张长方形的纸片按如图的方式折一下，可以截出正方形纸片，这是为什么呢？如果是长方形木板，又怎样从中截出面积最大的正方形木板呢？
[学生用书P114]
1．正方形的性质
性 质：(1)正方形__四条边__都相等；
(2)正方形__四个角__都是直角；
(3)正方形的对角线__相等且互相垂直平分__．
注 意：正方形是中心对称图形，对称中心是__两条对角线的交点__，也是轴对称图形，它有__4__条对称轴．
2．正方形的判定方法
定理1：有一个角是__直角__的菱形是正方形．
定理2：有一组邻边__相等__的矩形是正方形．
[学生用书P114]
类型之一 正方形的性质
如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( C )
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
【点悟】 本题考查了等腰三角形的概念以及正方形的性质：四边相等，对角线相等且互相垂直平分．
类型之二 正方形的判定
如图，在△ACD中，∠ADC＝90°，∠ADC的平分线交AC于点E，EF⊥AD，交AD于点F，EG⊥DC，交DC于点G.求证：四边形EFDG是正方形．
证明：∵DE平分∠ADC，EF⊥AD，EG⊥CD，∴EF＝EG，∴∠EFD＝∠EGD＝90°.
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形EFDG是矩形．
∵EF＝EG，∴四边形EFDG是正方形．
【点悟】 本题考查正方形的判定和角平分线的性质．要注意证明一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形是菱形或矩形．
类型之三 正方形的性质与判定的综合运用
[2008春·秀山县期末]E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CM＝DN，四边形EFMN是什么图形？证明你的结论．
解：四边形EFMN是正方形．
证明：∵AE＝BF＝CM＝DN，
∴AN＝DM＝CF＝BE.
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE，
∴EF＝EN＝NM＝MF，
∴四边形EFMN是菱形．
又∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN＋∠DNM＝90°，
∴∠ENA＋∠DNM＝90°，
∴∠ENM＝90°，
∴四边形EFMN是正方形．
【点悟】 (1)在正方形中，常利用边角关系证明线段相等；(2)熟练掌握菱形与正方形之间的变化条件与方法．
[学生用书P114]
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( A )
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直平分且相等
2．[2017·十堰]下列命题错误的是( C )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
3．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明( B )
A．AB＝AD且AC⊥BD
B．AB＝AD且AC＝BD
C．∠A＝∠B且AC＝BD
D．AC和BD互相垂直平分
4．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连结EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为__5__．
[学生用书P115]
1．在四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，能判定这个四边形为正方形的是( D )
A．AD∥BC，∠B＝∠D
B．AC＝BD，AB＝CD，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC
D．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD
2．如图，点E是正方形ABCD的对角线BD上的一点，DE≠EB，则图中的全等三角形的对数共有( C )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
第2题图
第3题图
3．如图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，使CE＝CA，连结AE，交CD于点F，则∠AFC的度数是( D )
A．150° B．125°
C．135° D．112.5°
4．[2017·黄冈]如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED的度数为__45°__．
5．[2017·兰州]在平行四边形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是__①③④__．
6．[2018·广安]如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上的点，连结AM，延长AD至点E，使得AE＝AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F.求证：AB＝EF.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠EAF＝∠BMA.
∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°＝∠B，
在△ABM和△EFA中，
∴△ABM≌△EFA(AAS)，∴AB＝EF.
7．[2018·洛宁县期末]如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连结EB、ED.
(1)写出图中所有的全等三角形；
(2)延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，求∠AFE的度数．
解：(1)根据正方形的对称性，正方形ABCD关于直线AC成轴对称，所以全等的三角形有：△ADC≌△ABC，△ADE≌△ABE，△DCE≌△BCE.
(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝CB，∠DCE＝∠BCE＝45°，且CE＝CE，
∴△DCE≌△BCE，
∴∠DEC＝∠BEC.
∵∠DEB＝140°，
∴∠DEC＝∠BEC＝70°，
∴∠EBC＝65°，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CBE＝65°.
8．[2018·灵石县期末]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的平分线，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC交其延长线于点F.求证：四边形ABFE是正方形．
证明：∵AE∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABC＋∠BAE＝180°，
∴∠BAE＝90°.
∵EF⊥BC于点F，
∴∠F＝90°，
∵∠F＝∠ABC＝∠BAE＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝45°，
∴∠AEB＝∠EBF＝45°，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝AE，
∴四边形ABFE是正方形．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．
证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°.
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形CEDF是矩形．
∵DE＝DF，
∴矩形CEDF是正方形．
10．[2018·肥城市期末]如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝3，E为OC上一点，OE＝1，连结BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G.
(1)BE与AG相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；
(2)求AF的长．
解：(1)BE＝AG.
证明：∵AF⊥BE，
∴∠AFE＝∠OAG＋AEF＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO＝BO，
∴∠AOG＝∠OAG＋∠AGO＝90°，
∴∠AEF＝∠AGO.
在△AOG和△BOE中，
∴△AOG≌△BOE(AAS)，
∴AG＝BE.
(2)∵△AOB是等腰直角三角形，且AB＝3，
∴BO＝3.
∵OE＝1，
∴AE＝3＋1＝4.
由勾股定理得BE＝＝，
S△ABE＝BE·AF＝AE·OB，
∴××AF＝×4×3，
∴AF＝.
11．[2018·吉林改编]如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE，垂足为G.
(1)求证：AF＝BE；
(2)如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？请说明理由．
,图1) ,图2)
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝AD，∠BAD＝∠D＝90°，
∴∠FAD＋∠AFD＝90°.
∵AF⊥BE，∴∠AGE＝90°，
∴∠FAD＋∠AEG＝90°，
∴∠AFD＝∠AEG，
∴△DAF≌△ABE(AAS)，
∴AF＝BE.
(2)MP＝NQ.理由：如答图，过点A作AF∥MP交CD于点F，过点B作BE∥NQ交AD于点E，得到BEQN和AFPM，
,答图)
∴AF＝MP，BE＝NQ.
∵AF∥MP，BE∥NQ，MP⊥NQ，
∴AF⊥BE，∴由(1)得AF＝BE，∴MP＝NQ.
12．[2018·惠城区期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，过点A作直线AE交DO的延长线于点E，使∠EAB＝∠C，连结BE.
(1)求证：BC∥AE；
(2)求证：四边形AEBD是矩形；
(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AEBD是正方形，并说明理由．
解：(1)证明：∵AB＝AC，
∴∠CBA＝∠C.
又∵∠EAB＝∠C，
∴∠EAB＝∠CBA，
∴BC∥AE.
(2)证明：∵点O为AB的中点，
∴BO＝AO.
在△BOD和△AOE中，
∴△BOD≌△AOE(ASA)，∴BD＝EA.
∵BC∥AE，即BD∥AE，
∴四边形AEBD是平行四边形．
又∵在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，∴∠BDA＝90°，
∴四边形AEBD是矩形．
(3)当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形AEBD是正方形．理由如下：
∵AD是△ABC的角平分线，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠DBA＝∠BAD＝45°，∴BD＝DA.
∵四边形AEBD是矩形，
∴四边形AEBD是正方形．
13．[2018·成都期末]如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连结DE.过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连结AG.
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)求AG＋AE的值．
,) ,答图)
解：(1)证明：如答图，作EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB.
∵EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N，
∴EM＝EN.
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是正方形，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN.
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．
(2)∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE，
∴AG＝CE，
∴AE＋AG＝AE＋EC＝AC＝AD＝4.
14．[2017·宿迁]如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE＝1，若点P在对角线BD上移动，则PA＋PE的最小值是____．
答图
【解析】 作出点E关于BD的对称点E′交BC于E′，连结AE′与BD交于点P，此时AP＋PE最小，
∵PE＝PE′，
∴AP＋PE＝AP＋PE′＝AE′，
在Rt△ABE′中，AB＝3，BE′＝BE＝1，
根据勾股定理得AE′＝，
则PA＋PE的最小值为.