27．1 圆的认识
1 圆的基本元素(第1课时)
教学目标
一、基本目标
1．理解并掌握圆的定义及与圆有关的概念，并能够根据给定的条件作圆．
2．掌握圆的半径、直径、弦、弧、圆心角等概念，并掌握弧的分类和表示方法．
二、重难点目标
【教学重点】
圆的基本元素．
【教学难点】
弧长短的比较．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P36～P37的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．(1)圆的定义：
(运动观点)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径；
(集合观点)平面上到定点的距离等于定长的所有点的集合组成的图形叫做圆，其中定点称为圆心，定长称为半径．圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径的长度确定．半径相等的两个圆称为等圆.以点O为圆心的圆记作“⊙O”读作“圆O”．
(2)连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，小于半圆的圆弧叫做劣弧，大于半圆的圆弧叫做优弧.
(3)在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
(4)顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角.
2．如图，图中有1条直径，2条非直径的弦；圆中以点A为一个端点的优弧有4条，劣弧有4条．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】A、B是半径为5的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是( )
A．AB＞0 B．0＜AB＜5
C．0＜AB＜10 D．0＜AB≤10
【互动探索】(引发学生思考)连结圆上任意两点的线段是弦，求弦AB的取值范围，就要知道连结圆上任意两点构成的最长线段和最短线段．
【答案】D
【互动总结】(学生总结，老师点评)圆上最长的弦是直径，则圆上不同两点构成的弦长大于0小于等于直径长．
【例2】设AB＝3 cm，画图说明满足下列要求的图形．
(1)到点A和点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形；
(2)到点A和点B的距离都小于2 cm的所有点组成的图形．
【互动探索】(引发学生思考)这是一道作图题，根据圆的集合性定义和点与圆的位置关系作图．
【解答】(1)如图，分别以点A和B为圆心，2 cm为半径画⊙A与⊙B，两圆的交点C、D为所求．
(2)如图，分别以点A和点B为圆心，2 cm为半径画⊙A与⊙B，两圆的重叠部分(阴影部分，不包括边线)为所求．
【互动总结】(学生总结，老师点评)满足条件的点一般以圆周为分界线，要分清是否包括边界．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．给出下列说法：①直径是弦；②优弧是半圆；③半径是圆的组成部分；④两个半径不相等的圆中，大圆半圆周的弧长小于小圆的周长．其中正确的是①.(填序号)
2．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中有几条弦？分别是哪些？
解：图中有3条弦，分别是弦AB、BC、CE.
3．如图，点A、N在半圆O上，四边形ABOC、DNMO均为矩形，求证：BC＝MD.
证明：连结ON、OA.∵点A、N在半圆O上，∴ON＝OA.∵四边形ABOC、DNMO均为矩形，∴ON＝MD，OA＝BC，∴BC＝MD.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C＝90°，∠D＝90°，点O是AB的中点．求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一圆上．
【互动探索】要使A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一圆上，结合圆的集合性定义，需要证明OA＝OB＝OC＝OD.
【证明】连结OC、OD.
∵在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，点O是AB的中点，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝AB，
∴A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一圆上．
【互动总结】(学生总结，老师点评)此问题中要证明几点共圆，需要根据圆的集合性定义，圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)进行证明．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
圆
练习设计
请完成本课时对应练习！
2 圆的对称性
第2课时 圆的对称性
教学目标
一、基本目标
1．理解并掌握圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．
2．理解同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．
二、重难点目标
【教学重点】
圆的对称性、圆心角、弧、弦之间的关系．
【教学难点】
利用同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系解决问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P37～P39的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其圆心.
2．(1)在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等．
(2)在同圆或等圆中，如果两弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
(3)在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.
3．圆是轴对称图形，它的任意一条直径都是它的对称轴.
4．如图，在⊙O中，若∠AOB＝∠COD，则AB＝CD，＝；
若＝，则∠AOB＝∠COD，AB＝CD；
若AB＝CD，则∠AOB＝∠COD，＝，＝.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，AB、DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且＝.BE与CE的大小有什么关系？为什么？
【互动探索】(引发学生思考)根据圆心角、弦、弧之间的关系可得＝，再结合已知条件＝即可通过等量代换及同圆中相等的弧所对的弦相等得出结论．
【解答】BE＝CE.理由：
∵∠AOD＝∠BOE，∴＝.
又∵＝，∴＝，∴BE＝CE.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，应从同圆中圆心角、弦、弧之间的关系进行判断．
【例2】如图，A、B、C是⊙O上三点，∠AOB＝120°，C是的中点，试判断四边形OACB的形状，并说明理由．
【互动探索】(引发学生思考)观察法：由∠AOB＝120°，C是的中点，可想到连结OC→OA＝AC＝OC＝BC＝OB→四边形OACB是菱形．
【解答】四边形OACB是菱形．
理由如下：如图，连结OC.
∵∠AOB＝120°，C是的中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°.
又∵CO＝BO，
∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC.
同理可得，△OCA是等边三角形，∴OA＝AC.
又∵OA＝OB，∴OA＝AC＝BC＝BO，
∴四边形OACB是菱形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，由弧中点联想到弧、弦、圆心角的关系定理，作辅助线(连结弧中点和圆心)解决问题．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，在⊙O中，已知＝，则AC与BD的关系是( A )
A．AC＝BD B．AC＜BD
C．AC＞BD D．不确定
2．如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数．
解：连结OC.∵BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC.又∵AB是⊙O的直径，∴∠BOD＝×180°＝120°.
3．如图，在⊙O中，弦AB＝CD，那么∠AOC和∠BOD相等吗？请说明理由．
解：∠AOC＝∠BOD.理由如下：∵在⊙O中，弦AB＝CD，∴∠AOB＝∠COD，∴∠AOB－∠COB＝∠COD－∠COB，∴∠AOC＝∠BOD.
4．如图，AB、CD为⊙O的直径，＝.求证：BD＝CE.
证明：连结AC.∵＝，∴AC＝CE.∵∠AOC＝∠BOD，∴AC＝BD，∴BD＝CE.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB.求证：＝.
【互动探索】求证＝，由弧、弦、圆心角的关系定理，考虑作辅助线连结OC、OD，从而通过证明∠COM＝∠DON来得到＝.
【证明】如图，连结OC、OD.
∵AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，
∴OM＝ON.
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠OMC＝∠OND＝90°.
在Rt△OMC和Rt△OND中，∵
∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)，
∴∠COM＝∠DON，∴＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)在同圆或等圆中，如果两条弧(一般同为优弧或劣弧)、两条弦、两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
圆的对称性
练习设计
请完成本课时对应训练！
第3课时 *垂径定理
教学目标
一、基本目标
1．理解与掌握垂径定理及其推论．
2．运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题．
二、重难点目标
【教学重点】
垂径定理及其推论．
【教学难点】
利用垂径定理及其推论解决相关计算或证明问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P39～P40的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．*垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.即一条直线如果满足：①直线经过圆心O且与圆交于C、D两点；②AB⊥CD交CD于M.那么AM＝BM＝AB，＝，＝.
2．垂径定理的推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.(2)平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水(如图1)，此时的水面宽AB为0.6米，求此时的水深(即阴影部分的弓形高)．
图1 图2
【互动探索】(引发学生思考)要求此时的水深，即阴影部分的弓形高→结合垂径定理，作辅助线(如图2)→构造直角三角形求出CD长即可．
【解答】如图2，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连结OB.
根据垂径定理，得C是AB的中点，D是的中点，CD就是水深，
则BC＝AB＝0.3米．
又由题意可知，OD＝OB＝0.5米，
所以在Rt△OBC中，由勾股定理，得OC＝＝0.4米，
所以CD＝OD－OC＝0.1米，
即此时的水深为0.1米．
【互动总结】(学生总结，老师点评)在圆中求半径、弦等线段的长时，常常借助垂径定理构造直角三角形，再在直角三角形中运用勾股定理来解决．
【例2】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是所在圆的圆心)，其中CD＝600 m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90 m，求这段弯路的半径．
【互动探索】(引发学生思考)要求这段弯路的半径，可转化为求OC的长，结合已知条件，在Rt△OCF中利用勾股定理即可求得OC的长．
【解答】连结OC.
设弯路的半径为R m，则OF＝(R－90)m.
∵OE⊥CD，
∴CF＝CD＝×600＝300(m)．
在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2，
即R2＝3002＋(R－90)2.
解得R＝545.
∴这段弯路的半径为545 m.
【互动总结】(学生总结，老师点评)常用辅助线：连结半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，则弦AB的长是多少？
解：弦AB的长是6.
2．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的半径OB＝10 cm，水面宽AB＝16 cm.求截面圆心O到水面的距离．
解：截面圆心O到水面的距离为6 cm.
3．如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是的中点，OE交弦AC于点D，若AC＝8 cm，DE＝2 cm，求OD的长．
解：OD＝3 cm.
4．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
解：不需要采取紧急措施．理由如下：如图，连结OM，设OA＝R m．由题意知，在Rt△AOC中，AC＝AB＝30 m，CD＝18 m，∴由勾股定理，得R2＝302＋(R－18)2，解得R＝34.又在Rt△MOE中，ME＝MN＝16 m，∴342＝162＋(34－DE)2，解得DE＝4 m或64 m(不合题意，舍去)，∴DE＝4 m．∵4＞3.5，∴不需要采取紧急措施．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知⊙O的半径为13，弦AB＝24，弦CD＝10，AB∥CD，求这两条平行弦AB、CD之间的距离．
【互动探索】画出几何示意图→要求两条平行弦AB、CD之间的距离→利用垂径定理求解→作辅助线，构造直角三角形
【解答】分两种情况讨论：当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连结OC、OA.
由题意可知，OA＝OC＝13.
∵AB∥CD，OF⊥CD，∴OE⊥AB.
又∵AB＝24，CD＝10，
∴由垂径定理，得AE＝AB＝12，CF＝CD＝5，
∴由勾股定理，得EO＝＝5，OF＝＝12，
∴EF＝OF－OE＝7.
图1 图2
当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，过点O作OF⊥CD于点F，反向延长OF交AB于点E，连结OC、OA.
同理可得，EO＝5，OF＝12，∴EF＝OF＋OE＝17.
综上，两条平行弦AB与CD之间的距离为7或17.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要考虑两弦在圆心的同侧还是异侧，再结合实际作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．要注意分类讨论思想的应用，小心别漏解．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
垂径定理及其逆定理，以及常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形)．
练习设计
请完成本课时对应训练！
3 圆周角
教学目标
一、基本目标
1．理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并能解决相关问题．
2．理解圆内接多边形和多边形的外接圆，掌握圆内接四边形的性质．
3．体会分类、归纳的数学思想方法，提高解决实际问题的能力．
二、重难点目标
【教学重点】
圆周角的概念，圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质．
【教学难点】
探究并论证圆周角定理及其推论．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P40～P44的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
2．半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.
3．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.
4．圆周角定理的推论1：90°的圆周角所对的弦是直径．
5．如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做圆内接多边形.
6．圆周角定理的推论2：圆内接四边形的对角互补.
7．如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，则∠1＝∠4，∠2＝∠7，∠3＝∠6，∠5＝∠8，∠BAD＋∠BCD＝∠ABC＋∠ADC＝180°.若BD是直径，则∠BAD＝∠BCD＝90°.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的外角，若∠D＝110°，则∠CBE的度数是________.
【教师点拨】由圆内接四边形的性质可得，∠D＋∠CBA＝180°.由∠CBA＋∠CBE＝180°，可得∠D＝∠CBE＝110°.
【答案】110°
【例2】如图，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径．求证：∠BAE＝∠CAD.
【互动探索】(引发学生思考)要证∠BAE＝∠CAD→由AD⊥BC，AE是直径，考虑在△ADC和△ABE中证明→利用圆周角定理的推论1及等角的余角相等进行证明．
【证明】连结BE.
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE＋∠E＝90°.
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＋∠C＝90°.
∵是∠E和∠C所对的弧，
∴∠E＝∠C(圆周角定理)．
∵∠BAE＋∠E＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD.
【互动总结】(学生总结，老师点评)涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．在⊙O中，弦AB所对的圆心角的度数为50°，则它所对的圆周角的度数为( C )
A．25° B．50°
C．25°或155° D．50°或130°
2．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为70°.
3．如图，A、B、C为⊙O上的任意三点，若∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为130°.
4．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求∠BAD的度数．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵∠ACD＝25°，∴∠B＝∠ACD＝25°，
∴∠BAD＝90°－∠B＝65°.
5．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6 cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长．
解：连结OC.
∵∠AOC＝2∠B，∠DAC＝2∠B，
∴∠AOC＝∠DAC，∴CO＝AC.
又∵OA＝OC，∴AO＝AC＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝AO＝AD＝3 cm.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点(在直径AB的同一侧)，且＝，弦AC、BD相交于点P，如果∠APB＝110°，求∠ABD的度数．
【互动探索】连结CD、CB，首先求出∠CBD的度数，进而求出∠CAB的度数，最后求出∠ABD的度数．
【解答】如图，连结CD、CB.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵∠APB＝∠DPC＝110°，
∴∠CBD＝∠DPC－∠ACB＝20°.
∵＝，
∴BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝20°，
∴∠CAB＝∠CDB＝20°，
∴∠ABD＝180°－∠APB－∠CAB＝50°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题的关键是正确作出辅助线，求出∠CBD的度数．
【例4】如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝20°，＝.请连结线段CB，求四边形ABCD各内角的度数．
【互动探索】利用圆周角定理的推论2求出∠D的度数，再根据等弧与所对的圆周角相等求出∠DAC、∠DCA的度数，从而求出其他角的度数．
【解答】如图，连结BC.
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠BAC＝20°，
∴∠B＝90°－∠BAC＝70°.
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠D＝180°－∠B＝110°.
∵＝.
∴∠DAC＝∠DCA＝(180°－∠D)＝35°，
∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝55°，
∠DCB＝∠DCA＋∠ACB＝125°.
即四边形ABCD各内角的度数为55°，70°，125°，110°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题综合运用了圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质．解题时，要仔细审题，明确已知条件和所求问题，一步一步进行推导和计算，做到有理有据．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．
2．推论1：90°的圆周角所对的弦是直径．
3．推论2：圆内接四边形的对角互补．
练习设计
请完成本课时对应训练！
