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《22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质》导学案
课题 二次函数y=ax2的图像和性质 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1.会用描点法画出形如y=ax2(a≠0)的二次函数图象,了解抛物线的有关概念. 2.通过观察图象能说出二次函数y=ax2(a≠0)的图象特征和性质.
重点难点 重点： 画出二次函数y=ax2的图象,根据图象观察、分析出二次函数y=ax2的性质难点：二次函数y=ax2的性质的应用
教学过程
知识链接 什么是二次函数？ 一次函数的图像是一条直线，通常怎样画一个函数的图像?二次函数的图像是什么形状呢?
合作探究 知识点1、二次函数y=ax2的图象和画法例1、画二次函数y=x2的图象。解：（1）列表： 思考：自变量x的取值范围是什么?x取整数还是取其他数较好?y是一个数的平方,它的值与x的值有什么关系?在x的取值范围内列出函数对应值表：在直角坐标系中描点：思考：在画坐标系时x轴的正、负半铀和y轴的正、负半轴是否都要画的一样长?(3)连线：观察这7个点的位置,它们是否在一条直线上?我们应该怎样连接这7个点? 请画函数y=－x2的图像 提问：观察这两个函数的图象，它有什么特点?●归纳：抛物线概念：像这样的曲线通常叫做 。顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的 。抛物线y=x2的顶点 是它的最 点.抛物线y=－x2的顶点 是它的最 点.从图象可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是 图形, 是它们的对称轴.全班学生分为两组，第一组完成操作1、第二组完成操作2，然后回答下列的问题：操作1、在同一直角坐标系中画出函数y=x2和y=2x2的图像 函数y=x2和y=2x2的图像与函数y=x2的图像相比,有什么共同点和不同点?具有怎样的性质？ 操作2、在同一直角坐标系中画出函数y=－x2和y=－2x2的图像 函数y=－x2和y=－2x2的图像与y=-x2的图像相比,有什么共同点和不同点? 思考：在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线y= -x2的位置有什么关系？ 一般地，抛物线y=ax2与抛物线y=-ax2呢？ ●总结：一般地,抛物线y=ax2的对称轴是 y轴 (?http:?/??/?www.21cnjy.com?),顶点是 。当a>0时,抛物线的开口 ,顶点是抛物线的最 点,a越大,抛物线的开口 ,在对称轴的左侧,y随x的增大而 ,在对称轴的右侧,y随x的增大而 。当a<0时,抛物线的开口向 ,顶点是抛物线的最 点,a越大,抛物线的开口越 ,在对称轴的左侧,y随x的增大而 ,在对称轴的右侧,y随x的增大而 。?你能说一说，二次函数在生活中有哪些应用吗？例、已知y=(n+2)是关于x的二次函数 (1)求函数满足条件的 n 的值； (2)当 n 为何值时，抛物线有最高点； (3)当 n 为何值时，抛物线开口向上．
自主尝试 1、函数y=πx2的图象的开口____________,对称轴____________,顶点是_________ ;是抛物线的最_______点2、函数y=－4x2的图象的开口____________,对称轴____________,顶点是_________;是抛物线的最_______点
当堂检测 1.函数y=2x2的图象的开口___________, 对称轴___________,顶点是___________; 在对称轴的左侧，y随x的增大而___________ ,在对称轴的右侧, y随x的增大而___________. 2.函数y=-3x2的图象的开口___________,对称轴___________ ,顶点是__________ ;在对称轴的左侧, y随x的增大而___________,在对称轴的右侧, y随x的增大而___________ . 3.已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（-2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）．A.y1＞0＞y2 B.y2＞0＞y1 C.y1＞y2＞0 D.y2＞y1＞04.已知y=（k+2）x k2+k-4 是二次函数，且当x>0时，y随X增大而增大，则k= ___________； 5.如图：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比较 a，b，c，d 的大小，用“＞”连接____________6.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8） （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。
小结反思 谈谈收获与困惑或发现。
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《22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质》导学案
课题 二次函数y=ax2的图像和性质 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1.会用描点法画出形如y=ax2(a≠0)的二次函数图象,了解抛物线的有关概念. 2.通过观察图象能说出二次函数y=ax2(a≠0)的图象特征和性质.
重点难点 重点： 画出二次函数y=ax2的图象,根据图象观察、分析出二次函数y=ax2的性质难点：二次函数y=ax2的性质的应用
教学过程
知识链接 什么是二次函数？ 2.一次函数的图像是一条直线，通常怎样画一个函数的图像?二次函数的图像是什么形状呢? 我们可以类比一次函数的学习方法来研究二次函数的图形和性质，本节课我们先来学习y=ax2（其中a≠0）的图像和性质。
合作探究 知识点1、二次函数y=ax2的图象和画法1.同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)2.我们能否类比研究一次函数性质方 (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)例1、画二次函数y=x2的图象。解：（1）列表： 思考：自变量x的取值范围是什么?x取整数还是取其他数较好?y是一个数的平方,它的值与x的值有什么关系? 在x的取值范围内列出函数对应值表：x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …y … 9 4 1 0 1 4 9 …在直角坐标系中描点：思考：在画坐标系时x轴的正、负半铀和y轴的正、负半轴是否都要画的一样长? 用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。连线：观察这7个点的位置,它们是否在一条直线上?我们应该怎样连接这7个点? 用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。请画函数y=－x2的图像 提问：观察这两个函数的图象，它有什么特点?让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。●归纳：抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.从图象可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是轴对称图形,y轴是它们的对称轴.全班学生分为两组，第一组完成操作1、第二组完成操作2，然后回答下列的问题：操作1、在同一直角坐标系中画出函数y=x2和y=2x2的图像 函数y=x2和y=2x2的图像与函数y=x2的图像相比,有什么共同点和不同点?具有怎样的性质？共同点：开口向上，顶点是原点，对称轴是y轴，顶点是抛物线的最低点除顶点外,图像都在x轴上方不同点：开口大小不同性质：a>0，图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大开口越小，反之越大操作2、在同一直角坐标系中画出函数y=－x2和y=－2x2的图像 函数y=－x2和y=－2x2的图像与y=-x2的图像相比,有什么共同点和不同点?共同点：开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴，顶点是抛物线的最高点除顶点外,图像都在x轴下方不同点：开口大小不同性质：当a＜0时，图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大。思考：在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线y= -x2的位置有什么关系？ 一般地，抛物线y=ax2与抛物线y=-ax2呢？ 答：抛物线抛物线y=x2与抛物线 y= -x2 既关于x轴对称，又关于原点对称。抛物线y=ax2与抛物线y=-ax2也有同样的关系。●总结：一般地,抛物线y=ax2的对称轴是 y轴 (?http:?/??/?www.21cnjy.com?),顶点是 (0,0) 。当a>0时,抛物线的开口 向上 ,顶点是抛物线的最 低 点,a越大,抛物线的开口 越小 ,在对称轴的左侧,y随x的增大而 减小 ,在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大 。当a<0时,抛物线的开口向 下 ,顶点是抛物线的最 高 点,a越大,抛物线的开口越 大 ,在对称轴的左侧,y随x的增大而 增大 ,在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小 。?你能说一说，二次函数在生活中有哪些应用吗？（学生举例、教师点评）例、已知y=(n+2)是关于x的二次函数 (1)求函数满足条件的 n 的值； (2)当 n 为何值时，抛物线有最高点； (3)当 n 为何值时，抛物线开口向上． 思路点拨：(1)n 需满足两个条件：①n2＋n－4＝2；②n＋2≠0.(2)(3)中 n 值的确定都与二次项系数的正负有关．解：（1）当 n＝2 或 n＝－3 时，原函数为二次函数． (2)当 n＝－3 时，n＋2<0，∴当 n＝－3 时，抛物线有最高点． (3)当 n＝2 时，n＋2>0，∴n＝2 时，抛物线开口向上．
自主尝试 1、函数y=πx2的图象的开口____________,对称轴____________,顶点是_________ ;是抛物线的最_______点2、函数y=－4x2的图象的开口____________,对称轴____________,顶点是_________;是抛物线的最_______点答案：1. 向上、y轴、（0,0）、低 2.向下、y轴、（0,0）、高
当堂检测 1.函数y=2x2的图象的开口___________, 对称轴___________,顶点是___________; 在对称轴的左侧，y随x的增大而___________ ,在对称轴的右侧, y随x的增大而___________. 答案：向上、y轴、（0,0）、减小、增大 2.函数y=-3x2的图象的开口___________,对称轴___________ ,顶点是__________ ;在对称轴的左侧, y随x的增大而___________,在对称轴的右侧, y随x的增大而___________ .答案：向下、y轴、（0，0）、增大、减小 3.已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（-2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）．CA.y1＞0＞y2 B.y2＞0＞y1 C.y1＞y2＞0 D.y2＞y1＞04.已知y=（k+2）x k2+k-4 是二次函数，且当x>0时，y随X增大而增大，则k= ___________；答案：2 5.如图：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比较 a，b，c，d 的大小，用“＞”连接____________答案：a＞b＞d＞c6.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8） （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得-8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为 y= -2x2. （2）因为-4≠-2(-1)2，所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上。
小结反思 谈谈收获与困惑或发现。
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22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质
人教版 九年级上
新知导入
一般地,形如
的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)
二次函数:
一次函数的图像是一条直线,二次函数的图像是什么形状呢?通常怎样画一个函数的图像?
还记得如何用
描点法画一个
函数的图象呢？
新知讲解
类比一次函数的研究内容和研究方法，画出二次函数 y = x2 的图象，并分析二次函数图像的特征和性质。
①用描点法画最简单的二次函数 y = x2 的图象.
②用数形结合法分析二次函数的图像特征和性质.
二次函数y=ax2的图象和画法
新知讲解
画函数y=x2的图像
解: (1) 列表
(2) 描点
(3) 连线
根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=x2的图像.
y=x2
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y
… 9 4 1 0 1 4 9 …
新知讲解
请画函数y=－x2的图像
解: (1) 列表
(2) 描点
(3) 连线
根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=x2的图像.
y=－x2
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y
… -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
新知讲解
y=x2的图像叫做抛物线y=x2
y=－x2的图像叫做抛物线y=－x2
从图象可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条曲线，这条曲线叫做抛物线
y=x2
y=－x2
实际上，二次函数的图像都是抛物线，它们的开口向上或者向下，一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c
这是一条抛物线
新知讲解
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.
抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.
y=x2
y=－x2
从图象可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是轴对称图形,y轴是它们的对称轴.
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。顶点是抛物线的最低点或最高点
这是抛物线的顶点
对称轴是y轴
轴对称图形
巩固练习
1、函数y=πx2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ;是抛物线的最_______点
2、函数y=－4x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ;是抛物线的最_______点
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
低
(0,0)
高
新知讲解
解:(1)列表
(2)描点
(3)连线
8
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
4.5
二次函数y=ax2性质
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y= x2
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2
新知讲解
共同点:
不同点:
开口向上，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，对称轴是y轴，
除顶点外,图像都在x轴上方
开口大小不同
性质：a>0，图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，
a越大开口越小，反之越大
新知讲解
操作2、在同一直角坐标系中画出函数y=－ x2和y=－2x2的图像
y=－2x2
y=- x2
0
-2
-2
-8
-8
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
y=2x2
0
-2
-2
-8
-8
新知讲解
共同点:
不同点:
开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴，顶点是抛物线的最高点
除顶点外,图像都在x轴下方
开口大小不同
性质：当a＜0时，图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，
a越大，抛物线的开口越大。
新知讲解
思考：在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线
y= -x2的位置有什么关系？ 一般地，抛物线y=ax2
与抛物线y= -ax2呢？
答：抛物线抛物线y=x2与抛物线 y= -x2 既关于x轴对称，又关于原点对称。
抛物线y=ax2与抛物线y= -ax2也有同样的关系。
新知讲解
当a>0时，在对称轴的左侧，
y随着x的增大而减小。
当a>0时，在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大。
当a<0时，在对称轴的左侧，
y随着x的增大而增大。
当a<0时，在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小。
新知讲解
二次函数y=ax2的性质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
归纳：
y＝ax2 a＞0 a＜0
图象
开口
对称性
顶点
增减性
新知讲解
二次函数y = ax2的实际应用
二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.
物体自由下落的高度h与下落时间t之间的关系（g代表重力加速度，为定值）
质量为m的物体运动时的能量E与其运动速度v之间的关系（m为定值）
物体做匀加速运动时，行驶路程与时间的关系（a代表加速度，为定值）
例题讲解
(1)求函数满足条件的 n 的值；
(2)当 n 为何值时，抛物线有最高点；
(3)当 n 为何值时，抛物线开口向上．
思路点拨：(1)n 需满足两个条件：①n2＋n－4＝2；②n＋
2≠0.(2)(3)中 n 值的确定都与二次项系数的正负有关．
例题讲解
解得 n1＝2，n2＝－3.
即当 n＝2 或 n＝－3 时，原函数为二次函数．
(2)当 n＝－3 时，n＋2<0，
∴当 n＝－3 时，抛物线有最高点．
(3)当 n＝2 时，n＋2>0，
∴n＝2 时，抛物线开口向上．
巩固练习
1.函数y=2x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧，y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
2.函数y=-3x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧, y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
减小
减小
增大
增大
巩固练习
3.已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（-2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）．
A.y1＞0＞y2 B.y2＞0＞y1 C.y1＞y2＞0 D.y2＞y1＞0
C
解析 ∵抛物线y=ax2(a＞0)，∴A（-2，y1）关于y轴的对称点的坐标为（2，y1），又∵a＞0，∴ 当x＞0时，y随x的增大而增大，又∵0＜1＜2， ∴ 0＜y2＜y1.
2
5.如图：
①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.
比较 a，b，c，d 的大小，用“＞”连接．
巩固练习
__________________________
a>b>d>c
巩固练习
6.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得
-8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为
y= -2x2.
课堂总结
y=ax2
顶点
对称轴
开口方向
图象
y轴左侧
y轴右侧
a＞0
(0,0)
最低点
y轴
向上
x增大
y减小
x增大
y增大
a＜0
(0,0)
最高点
y轴
向下
x增大
y增大
x增大
y减小
作业布置
教材32页练习1题
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