第二章基本初等函数（I）学案

§2.1　指数函数
2.1.1　指数与指数幂的运算
学习目标　1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化(重点).3.掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质(重点).
知识点1　根式
1.n次方根
(1)定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)个数：
n是奇数
a>0
x>0
x仅有一个值，记为
a<0
x<0
n是偶数
a>0
x有两个值，且互为相反数，记为±
a<0
x不存在
2.根式
(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a，＝(其中n>1且n∈N*).
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当n∈N*时，都有意义.(　　)
(2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数.(　　)
(3)＝a.(　　)
提示　(1)×　当n是偶数时，没有意义；
(2)×　负数没有偶次方根；
(3)×　当n为偶数，且a<0时，＝－a.
知识点2　指数幂及其运算性质
1.分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数指数幂
规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂
规定：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
2.有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q).
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q).
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).
3.无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
【预习评价】
计算：(π－3)0＋3－1×的结果为(　　)
A. B.
C. D.
解析　原式＝1＋×＝1＋×＝.
答案　A

题型一　根式的运算
【例1】　求下列各式的值.
(1)；(2)；(3)；
(4)－，x∈(－3，3).
解　(1)＝－2.
(2)＝＝.
(3)＝|3－π|＝π－3.
(4)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，
当－3当1因此，原式＝
规律方法　根式化简与求值的思路及注意点
(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简.
(2)注意点：①正确区分()n与两式；②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论.
【训练1】　求下列各式的值：
(1)；(2)－＋.
解　(1)＝|x－y|，
当x≥y时，＝x－y；
当x(2)原式＝－＋＝＋－(2－)＋2－＝2.
题型二　根式与分数指数幂的互化
【例2】　用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)：
(1)a2；(2)；
(3)·；(4)()2·.
解　(1)原式＝a2a＝a2＋＝a.
(2)原式＝＝＝a.
(3)原式＝a·a＝a＋＝a.
(4)原式＝·(ab3)＝a·ab＝a＋b＝
ab.
规律方法　根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子.
(2)当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由里向外用分数指数幂依次写出.
【训练2】　把下列根式化成分数指数幂的形式(a>0，b>0)：
(1)；(2)；(3).
解　(1)＝b＝b－×＝b－.

(3)原式＝[(a3＋b3)2]－＝(a3＋b3)2×＝(a3＋b3)－.
题型三　分数指数幂的运算
【例3】　计算下列各式：
(1)2××；
(2)＋0.1－2＋－－3π0＋；
(3).
解　(1)原式＝2×3××12＝21＋＋×3＋＋＝2×3＝6.
(2)原式＝＋＋－－3×1＋＝＋100＋－3＋＝100.
(3)原式＝＝6×a＋－×b＋－＝6ab－.
规律方法　1.指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.
2.根式化简的步骤
(1)将根式化成分数指数幂的形式.
(2)利用分数指数幂的运算性质求解.
【训练3】　化简：(1)a·a·a(a>0)；
(2)－·(a>0，b>0).
解　(1)原式＝a＋＋＝a.
(2)原式＝4·＝＝.
题型四　由条件求值
【例4】　已知a＋a－＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
解　(1)将a＋a－＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.
(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
规律方法　由条件求值问题的解题步骤
(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的特点；
(2)化简：化简已知条件与所求代数式；
(3)把已知条件代入求值.
【训练4】　已知a－a－＝，则a＋a－＝________.
解析　因为＝a＋a－1＋2＝＋4＝5＋4＝9，又因为a＋
a－>0，所以a＋a－＝3.
答案　3
课堂达标
1.下列运算结果中，正确的是(　　)
A.a2a3＝a5 B.(－a2)3＝(－a3)2
C.(－1)0＝1 D.(－a2)3＝a6
解析　a2a3＝a2＋3＝a5，(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6，若(－1)0＝1成立，需要满足a≠1，(－a2)3＝－a6，故正确的是A，故选A.
答案　A
2.＋的值是(　　)
A.0 B.2(a－b)
C.0或2(a－b) D.a－b
解析　当a－b≥0时，
原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)；
当a－b＜0时，原式＝b－a＋a－b＝0.
答案　C
3.(a>0)的值为________.
解析　原式＝a3·a－·a－＝a3－－＝a.
答案　a
4.计算：0.25×－4÷20－－＝________.
解析　原式＝×16－4÷1－＝4－4－4＝－4.
答案　－4
5.化简下列各式(式中字母均为正数)：
(1)；
(2)4x÷(结果为分数指数幂).
解　(1)＝b×a－×a×b－＝a.
(2)4x÷＝2x＋＋·y－＋＝2xy.
课堂小结
1.掌握两个公式：(1)()n＝a(n∈N*)；(2)n为奇数且n∈N*时，＝a，n为偶数且n∈N*时，＝|a|＝
2.根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.
基础过关
1.下列各式正确的是(　　)
A.＝－3 B.＝a
C.＝2 D.＝2
解析　由于＝3，＝|a|，＝－2，故A，B，D错误，故选C.
答案　C
2.若(1－2x)－有意义，则x的取值范围是(　　)
A.x∈R B.x∈R且x≠
C.x＞ D.x＜
解析　∵(1－2x)－＝，∴1－2x＞0，
得x＜.
答案　D
2.1.2　指数函数及其性质
第1课时　指数函数的图象及性质
学习目标　1.了解指数函数的概念(易错点).2.会画出指数函数图象(重点).3.掌握并能应用指数函数的性质(重、难点).
知识点1　指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝－2x是指数函数.(　　)
(2)函数y＝2x＋1是指数函数.(　　)
(3)函数y＝(－3)x是指数函数.(　　)
提示　(1)×　因为指数幂2x的系数为－1，所以函数y＝－2x不是指数函数；
(2)×　因为指数不是x，所以函数y＝2x＋1不是指数函数；
(3)×　因为底数小于0，所以函数y＝(－3)x不是指数函数.
知识点2　指数函数的图象及性质
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域：R
值域：(0，＋∞)
过点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1
在R上是增函数
在R上是减函数
【预习评价】
(1)函数y＝2－x的图象是(　　)
(2)函数f(x)＝ax＋1－2(a>0且a≠1)的图象恒过定点________.
解析　(1)y＝2－x＝是(－∞，＋∞)上的单调递减函数，故选B.
(2)令x＋1＝0，则x＝－1，f(－1)＝a0－2＝－1，则f(x)的图象恒过点(－1，－1).
答案　(1)B　(2)(－1，－1)
题型一　指数函数的概念及应用
【例1】　(1)给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.4
(2)已知函数f(x)是指数函数，且f＝，则f(3)＝________.
解析　(1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.⑤中，底数－2＜0，不是指数函数.
(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f＝a－＝5－，故a＝5，故f(x)＝5x，所以f(3)＝53＝125.
答案　(1)B　(2)125
规律方法　判断一个函数是指数函数的方法
(1)看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征.
(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数.
【训练1】　若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则(　　)
A.a＝1或－1 B.a＝1
C.a＝－1 D.a>0且a≠1
解析　由条件知解得a＝－1.
答案　C
题型二　指数函数图象的应用
【例2】　(1)函数f(x)＝2ax＋1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________.
(2)已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝＋2的图象？并画出相应图象.
(1)解析　因为y＝ax的图象过定点(0，1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f(x)＝－1，故f(x)＝2ax＋1－3的图象过定点(－1，－1).
答案　(－1，－1)
(2)解　y＝＋2＝3－(x＋1)＋2.
作函数y＝3x的图象关于y轴的对称图象得函数y＝3－x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)＋2＝＋2的图象，如图所示.
规律方法　处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性.
【训练2】　(1)函数y＝2|x|的图象是(　　)
(2)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A.a>1，b<0
B.a>1，b>0
C.00
D.0解析　(1)y＝2|x|＝故选B.
(2)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有00，即b<0.
答案　(1)B　(2)D
题型三　指数型函数的定义域、值域问题
【例3】　(1)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A.(－3，0] B.(－3，1]
C.(－∞，－3)∪(－3，0] D.(－∞，－3)∪(－3，1]
(2)函数f(x)＝－1，x∈[－1，2]的值域为________.
(3)函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为________.
解析　(1)由题意得自变量x应满足解得－3(2)∵－1≤x≤2，∴≤≤3，∴－≤－1≤2，∴值域为.
(3)函数的定义域为R，又y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，易知2x>0，故y>1，即函数的值域为(1，＋∞).
答案　(1)A　(2)　(3)(1，＋∞)
规律方法　指数型函数y＝af(x)的定义域、值域的求法
(1)定义域：函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同.
(2)值域：①换元，t＝f(x).
②求t＝f(x)的定义域为x∈D.
③求t＝f(x)的值域为t∈M.
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域.
【训练3】　求函数y＝5的定义域和值域.
解　由2x－4>0，得x>2，故函数的定义域为{x|x>2}.
因为>0，所以y＝5>1，故函数的值域为{y|y>1}.
课堂达标
1.若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝(　　)
A.()x B.2x
C. D.
解析　由题意，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(2)＝a2＝2，得a＝，所以f(x)＝()x.
答案　A
2.当x∈[－2，2)时，y＝3－x－1的值域是(　　)
A. B.
C. D.
解析　y＝3－x－1，x∈[－2，2)是减函数，∴3－2－1答案　A
3.已知函数f(x)＝2x，则f(1－x)的图象为(　　)
解析　f(1－x)＝21－x＝是减函数，故排除选项C，D，又当x＝0时，＝2，排除A，故选B.
答案　B
4.函数f(x)＝2·ax－1＋1的图象恒过定点________.
解析　令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2×1＋1＝3，所以f(x)的图象恒过定点(1，3).
答案　(1，3)
5.函数f(x)＝(a>0，且a≠1)的定义域是(－∞，0]，求实数a的取值范围.
解　由题意，当x≤0时，ax≥1，所以0课堂小结
1.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.
2.指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的性质分底数a>1，03.由于指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同.
4.求函数y＝af(x)(a>0且a≠1)的值域的关键是求f(x)的值域.
基础过关
1.函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是(　　)
A.4 B.1或3
C.3 D.1
解析　由题意得得a＝3，故选C.
答案　C
2.函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是(　　)
A.[0，8) B.(0，8)
C.[0，8] D.(0，8]
解析　∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，∴0<23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，∴函数y＝8－23－x的值域为[0，8).
答案　A
3.已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　)
解析　由于0答案　C
4.指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________.
解析　由题意可知，0<2－a<1，即1答案　(1，2)
5.函数f(x)＝3的定义域为________.
解析　由x－1≥0可得x≥1，所以函数f(x)＝3的定义域为[1，＋∞).
答案　[1，＋∞)
6.已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域.
解　(1)因为函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，
所以a2－1＝a＝.
(2)由(1)得f(x)＝(x≥0)，
函数为减函数，
当x＝0时，函数取最大值2，
故f(x)∈(0，2]，
所以函数y＝f(x)＋1＝＋1(x≥0)∈(1，3]，
故函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域为(1，3].
7.设f(x)＝3x，g(x)＝.
(1)在同一平面直角坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
解　(1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝＝3；
f(π)＝3π，g(－π)＝＝3π；
f(m)＝3m，g(－m)＝＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称.
能力提升
8.下图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　)
A.aC.1解析　法一　当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0且小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴.得b法二　令x＝1，由图知c1>d1>a1>b1，∴b答案　B
9.函数f(x)＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是(　　)
解析　函数f(x)的图象恒过(－1，0)点，只有图象D适合.
答案　D
10.函数f(x)＝的值域是________.
解析　函数y＝f(x)＝，即有3x＝，由于3x>0，则>0，解得0答案　(0，1)
11.已知实数a，b满足等式＝，给出下列五个关系式：①0解析　画出函数y＝和y＝的图象(图略)，借助图象进行分析.由于实数a，b满足等式＝，若a，b均为正数，则a>b>0；若a，b均为负数，则a答案　③④
12.设0≤x≤2，y＝4x－－3·2x＋5，试求该函数的最值.
解　令t＝2x，0≤x≤2，
∴1≤t≤4.
则y＝22x－1－3·2x＋5＝t2－3t＋5.
又y＝(t－3)2＋，t∈[1，4]，
∴y＝(t－3)2＋在t∈[1，3]上是减函数，在t∈[3，4]上是增函数，
∴当t＝3时，ymin＝；当t＝1时，ymax＝.
故函数的最大值为，最小值为.
13.(选做题)已知f(x)为定义在(－1，1)上的奇函数，当x∈(0，1)时，f(x)＝2x2－2x.
(1)求f(x)在(－1，1)上的解析式；
(2)求函数f(x)的值域.
解　(1)∵f(x)在(－1，1)上为奇函数，∴f(0)＝0；
当x∈(－1，0)时，－x∈(0，1)，f(－x)＝2x2＋2x＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2＋2x；
∴f(x)＝
(2)当x∈(0，1)时，由复合函数的单调性可知，f(x)＝2x2－2x在(0，1)上单调递减，∴f(x)∈；
∵f(x)为奇函数，∴当x∈(－1，0)时，
f(x)∈；
∴综上所述：f(x)的值域为{y|－1第2课时　指数函数及其性质的应用
学习目标　1.理解指数函数的单调性与底数的关系(重点).2.能运用指数函数的单调性解决一些问题(重、难点).
考查
方向
　题型一　指数函数单调性的应用
方向1　比较两数的大小
【例1－1】　(1)下列大小关系正确的是(　　)
A.0.43<30.4<π0 B.0.43<π0<30.4
C.30.4<0.43<π0 D.π0<30.4<0.43
(2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.aC.b解析　(1)0.43<0.40＝1＝π0＝30<30.4，故选B.
(2)∵1.50.6>1.50＝1，0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6，又函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)上是减函数，且1.5>0.6，所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6，选C.
答案　(1)B　(2)C
方向2　解简单的指数不等式
【例1－2】　(1)不等式≤2的解集为________；
(2)已知a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围.
(1)解析　∵2＝，∴原不等式可化为≤.∵函数y＝在R上是减函数，∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x|x≥0}.
答案　{x|x≥0}
(2)解　当a>1时，∵a－5x>ax＋7，∴－5x>x＋7，解得x<－；
当0ax＋7，∴－5x－.
综上所述，x的取值范围是：当a>1时，x<－；当0－.
方向3　指数型函数的单调性
【例1－3】　判断f(x)＝的单调性，并求其值域.
解　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
又∵y＝在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝，u∈[－1，＋∞)，
∴0＜≤＝3，
∴原函数的值域为(0，3].
规律方法　1.比较幂值大小的三种类型及处理方法
2.解指数不等式的类型及应注意的问题
(1)形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，要对a分为01两种情况分类讨论.
(2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解.
3.函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧
当a>1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相同，当0题型二　指数函数的实际应用
【例2】　某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始溶液含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少.
(1)写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式；
(2)过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？
解　(1)过滤1次后的杂质含量为×＝×；
过滤2次后的杂质含量为×＝×；
过滤3次后的杂质含量为×＝×；
…
过滤n次后的杂质含量为×(n∈N*).
故y与n的函数关系式为y＝×(n∈N*).
(2)由(1)知当n＝7时，y＝×＝>，
当n＝8时，y＝×＝<，
所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.
规律方法　指数函数在实际问题中的应用
(1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题.
(2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型.
【训练1】　春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天.
解析　假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半.
答案　19
题型三　指数函数性质的综合应用
【例3】　已知定义在R上的函数f(x)＝a＋是奇函数.
(1)求a的值；
(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围.
解　(1)∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，
∴f(0)＝0，即a＋＝0，∴a＝－.
(2)由(1)知f(x)＝－＋，
故f(x)在R上为减函数.
(3)∵f(x)为奇函数，
∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为f(t2－2t)由(2)知f(x)在R上单调递减，
∴t2－2t>k－2t2，
即3t2－2t－k>0对于一切t∈R恒成立，
∴Δ＝4＋12k<0，得k<－，
∴k的取值范围是.
规律方法　解决指数函数性质的综合问题的注意点
(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧.
(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行.
(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.
【训练2】　已知函数f(x)＝·x3.
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)证明：f(x)>0.
(1)解　由题意得2x－1≠0，即x≠0，
∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
(2)解　由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称.
令g(x)＝＋＝，φ(x)＝x3，则f(x)＝g(x)·φ(x).
∵g(－x)＝＝＝－g(x)，φ(－x)＝(－x)3＝－x3＝－φ(x)，
∴f(－x)＝g(－x)·φ(－x)＝[－g(x)]·[－φ(x)]＝g(x)·φ(x)＝f(x)，
∴f(x)＝·x3为偶函数.
(3)证明　当x>0时，2x>1，
∴2x－1>0，∴＋>0.∵x3>0，∴f(x)>0.
由偶函数的图象关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立.故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0.
课堂达标
1.已知0.3m>0.3n，则m，n的大小关系为(　　)
A.m>n B.mC.m＝n D.不能确定
解析　因为函数y＝0.3x是R上的减函数，且0.3m>0.3n，所以m答案　B
2.已知函数f(x)＝3x－，则f(x)(　　)
A.是奇函数，且在R上是增函数
B.是偶函数，且在R上是增函数
C.是奇函数，且在R上是减函数
D.是偶函数，且在R上是减函数
解析　f(x)的定义域为R，f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，则f(x)为奇函数.y＝3x为增函数，y＝为减函数，则f(x)＝3x－为增函数，故选A.
答案　A
3.函数y＝的单调递增区间为(　　)
A.(－∞，＋∞) B.(0，＋∞)
C.(1，＋∞) D.(0，1)
解析　定义域为R.设u＝1－x，y＝.
∵u＝1－x在(－∞，＋∞)上为减函数，
又∵y＝在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴y＝在(－∞，＋∞)上是增函数，∴选A.
答案　A
4.不等式23－2x<0.53x－4的解集为________.
解析　原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，则解集为{x|x<1}.
答案　{x|x<1}
5.比较下列各组值的大小：
(1)1.8－0.1，1.8－0.2；
(2)1.90.3，0.73.1；
(3)a1.3，a2.5(a>0，且a≠1).
解　(1)因为函数y＝1.8x是R上的增函数，且－0.1>－0.2，所以1.8－0.1>1.8－0.2.
(2)因为1.90.3>1.90＝1，0.73.1<0.70＝1，所以1.90.3>0.73.1.
(3)当a>1时，函数y＝ax是R上的增函数，又1.3<2.5，故a1.3当0a2.5.
课堂小结
1.比较两个指数式值大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性.
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am＜c且c＜bn，则am＜bn；若am＞c且c＞bn，则am＞bn.
2.解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解.如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论.
(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解.
(3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解.
基础过关
1.若<，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.(1，＋∞)
C.(－∞，1) D.
解析　函数y＝在R上为减函数，所以2a＋1>8－2a，所以a>.故选A.
答案　A
2.函数f(x)＝ax＋(a>0且a≠1)是(　　)
A.奇函数也是偶函数 B.偶函数
C.既非奇函数也非偶函数 D.奇函数
解析　f(x)的定义域为R，且f(－x)＝a－x＋ax＝＋ax＝f(x)，故f(x)是偶函数.
答案　B
3.已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
解析　a＝30.2∈(1，3)，b＝0.2－3＝＝53＝125，c＝(－3)0.2＝<0，所以b>a>c.
答案　B
4.已知函数f(x)＝为奇函数，则n的值为________.
解析　由f(0)＝＝0，解得n＝2，当n＝2时，f(x)＝，易证其是奇函数.
答案　2
5.函数y＝2－x2＋ax在(－∞，1)内单调递增，则a的取值范围是________.
解析　由复合函数的单调性知，－x2＋ax的对称轴x＝≥1，即a≥2.
答案　[2，＋∞)
6.已知函数f(x)＝.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；
(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值.
解　(1)当a＝－1时，f(x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，y＝在R上是减函数，∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞).
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，
由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1.因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，实数a的值为1.
7.某林区2016年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到了5%.经过x年后该林区的木材蓄积量为多少万平方米？经过9年后，该林区的木材蓄积量约为多少万立方米？(精确到0.1)
解　列表如下：
经过的年数
木材蓄积量(万立方米)
0
200
1
200(1＋5%)
2
200(1＋5%)2
3
200(1＋5%)3
…
…
x
200(1＋5%)x
由上表得，经过x年后，该林区的木材蓄积量为f(x)＝200(1＋5%)x＝200×1.05x.
当x＝9时，f(9)＝200×1.059≈310.3(万立方米).
故经过9年后，该林区的木材蓄积量约为310.3万立方米.
能力提升
8.若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为(　　)
A.(1，＋∞) B.(1，8)
C.(4，8) D.[4，8)
解析　由题意可知，f(x)在R上是增函数，
所以解得4≤a＜8，故选D.
答案 　D
9.，34，的大小关系为(　　)
A.34>>
B.>34>
C.34>>
D.>>34
解析　因为y＝是R上的减函数，所以<＝1，又34＝81，＝(3－1)－2＝9，所以34>>.
答案　A
10.已知f(x)＝x2，g(x)＝－m.若对任意x1∈[－1，3]，总存在x2∈[0，2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，则实数m的取值范围是________.
解析　由f(x)的单调性可知f(x)＝x2在[－1，3]上的最小值为f(0)＝0，又g(x)在[0，2]上是减函数，故g(x)的最小值为g(2)＝－m，由题意得0≥－m，即m≥.
答案　
11.设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________.
解析　由题意得：当x>时，2x＋2x－>1恒成立，即x>；当01恒成立，即01?x>－，即－答案　
12.已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在区间[2，3]上有最大值4和最小值1.设f(x)＝.
(1)求a，b的值.
(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1，1]上有解，求实数k的取值范围.
解　(1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，
因为a>0，所以g(x)在区间[2，3]上是增函数，故解得
(2)由(1)可得f(x)＝x＋－2，
所以f(2x)－k·2x≥0可化为2x＋－2≥k·2x，
化为1＋－2·≥k.
令t＝，则k≤t2－2t＋1.
因x∈[－1，1]，故t∈.
记h(t)＝t2－2t＋1，因为t∈，故h(t)max＝1，所以实数k的取值范围是(－∞，1].
13.(选做题)若定义域为R的函数f(x)＝是奇函数.
(1)求a，b的值；
(2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数.
(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)(1)解　因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，得b＝1.
又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.
(2)证明　由(1)知，f(x)＝.
任取x1，x2∈R，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
因为x10，又(2x1＋1)(2x2＋1)>0，故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
所以f(x)为R上的减函数.
(3)解　因为t∈R，不等式f(t2－2t)由f(x)为减函数，所以t2－2t>k－2t2，即k<3t2－2t恒成立，而3t2－2t＝3－≥－，
所以k<－，即k的取值范围是.
§2.2　对数函数
2.2.1　对数与对数运算
第1课时　对　数
学习目标　1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点).
知识点1　对　数
1.对数
(1)指数式与对数式的互化及有关概念：
(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.
2.常用对数与自然对数
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.(　　)
(2)对数式log32与log23的意义一样.(　　)
(3)对数的运算实质是求幂指数.(　　)
提示　(1)×　因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；
(2)×　log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；
(3)√　由对数的定义可知(3)正确.
知识点2　对数的基本性质
(1)负数和零没有对数.
(2)loga1＝0(a>0，且a≠1).
(3)logaa＝1(a>0，且a≠1).
【预习评价】
若log3＝1，则x＝________；若log3(2x－1)＝0，则x＝________.
解析　若log3＝1，则＝3，即2x－3＝9，x＝6；若log3(2x－1)＝0，则2x－1＝1，即x＝1.
答案　6　1
题型一　对数的定义
【例1】　(1)在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是________；
(2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log125＝6.
(1)解析　由题意可知解得2答案　(2，3)∪(3，4)
(2)解　①由54＝625，得log5625＝4.
②由log216＝4，得24＝16.
③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2.
④由log125＝6，得()6＝125.
规律方法　指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
【训练1】　将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)＝n；(4)lg 1000＝3.
解　(1)因为43＝64，所以log464＝3；
(2)因为ln a＝b，所以eb＝a；
(3)因为＝n，所以logn＝m；
(4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.
题型二　利用指数式与对数式的互化求变量的值
【例2】　(1)求下列各式的值.
①log981＝________.②log0.41＝________.③ln e2＝________.
(2)求下列各式中x的值.
①log64x＝－；②logx8＝6；
③lg 100＝x；④－ln e2＝x.
(1)解析　①设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2；②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0；③设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2.
答案　①2　②0　③2
(2)解　①由log64x＝－得x＝64－＝43×(－)＝4－2＝；
②由logx8＝6，得x6＝8，又x>0，即x＝8＝23×＝；
③由lg 100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2；
④由－ln e2＝x，得ln e2＝－x，所以e－x＝e2，
所以－x＝2，即x＝－2.
规律方法　对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想.
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解.
(2)基本方法.
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.
②利用幂的运算性质和指数的性质计算.
【训练2】　利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值.
(1)log2x＝－；(2)logx25＝2；
(3)log5x2＝2.
解　(1)由log2x＝－，得2－＝x，
∴x＝.
(2)由logx25＝2，得x2＝25.
∵x＞0，且x≠1，∴x＝5.
(3)由log5x2＝2，得x2＝52，
∴x＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，
∴x＝5或x＝－5.
题型三　利用对数的性质及对数恒等式求值
【例3】　(1)71－log75；(2)100；
(3)alogab·logbc(a，b为不等于1的正数，c>0).
解　(1)原式＝7×7－log75＝＝.
(2)原式＝100lg 9×100－lg 2＝10lg 9×＝9×
＝9×＝.
(3)原式＝(alogab)logbc＝blogbc＝c.
规律方法　对数恒等式alogaN＝N的应用
(1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可.
(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解.
【训练3】　(1)设3log3(2x＋1)＝27，则x＝________.
(2)若logπ(log3(ln x))＝0，则x＝________.
解析　(1)3log3(2x＋1)＝2x＋1＝27，解得x＝13.
(2)由logπ(log3(ln x))＝0可知log3(ln x)＝1，所以ln x＝3，解得x＝e3.
答案　(1)13　(2)e3
课堂达标
1.有下列说法：(1)只有正数有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；(3)以5为底25的对数等于±2；(4)3log3(－5)＝－5成立.其中正确的个数为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
解析　(1)正确；(2)，(3)，(4)不正确.
答案　B
2.使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　)
A.a>且a≠1 B.0C.a>0且a≠1 D.a<
解析　由题意知解得0答案　B
3.方程lg(2x－3)＝1的解为________.
解析　由lg(2x－3)＝1知2x－3＝10，解得x＝.
答案　
4.计算：2log23＋2log31－3log77＋3ln 1＝________.
解析　原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.
答案　0
5.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
(1)2－3＝；(2)＝b；(3)lg ＝－3；
(4)ln 10＝x.
解　(1)由2－3＝可得log2＝－3；
(2)由＝b得logb＝a；
(3)由lg ＝－3可得10－3＝；
(4)ln 10＝x可得ex＝10.
课堂小结
1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a＞0，且a≠1，N＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.
2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.
3.指数式与对数式的互化
基础过关
1.有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是(　　)
A.①③ B.②④
C.①② D.③④
解析　lg(lg 10)＝lg 1＝0，ln(ln e)＝ln 1＝0，故①②正确；若10＝lg x，则x＝1010，故③错误；若e＝ln x，则x＝ee，故④错误.
答案　C
2.logab＝1成立的条件是(　　)
A.a＝b B.a＝b且b>0
C.a>0，a≠1 D.a>0，a＝b≠1
解析　由logab＝1得a>0，且a＝b≠1.
答案　D
3.设a＝log310，b＝log37，则3a－b的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析　3a－b＝3a÷3b＝3log310÷3log37＝10÷7＝.
答案　A
4.若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝________.
解析　由题意知1－x＝(1＋x)2，
解得x＝0或x＝－3.
验证知，当x＝0时，log(1－x)(1＋x)2无意义，
故x＝0时不合题意，应舍去.所以x＝－3.
答案　－3
5.若log3(a＋1)＝1，则loga2＋log2(a－1)＝________.
解析　由log3(a＋1)＝1得a＋1＝3，即a＝2，所以loga2＋log2(a－1)＝log22＋log21＝1＋0＝1.
答案　1
6.将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式.
(1)35＝243；(2)2－5＝；
(3)log81＝－4；(4)log2128＝7.
解　(1)log3243＝5；(2)log2＝－5；(3)＝81；(4)27＝128.
7.求下列各式中的x的值.
(1)logx27＝；
(2)log2x＝－；
(3)logx(3＋2)＝－2；
(4)log5(log2x)＝0；
(5)x＝log27.
解　(1)由logx27＝，得x＝27，∴x＝27＝32＝9.
(2)由log2x＝－，得2－＝x，
∴x＝＝.
(3)由logx(3＋2)＝－2，得3＋2＝x－2，
∴x＝(3＋2)－＝－1.
(4)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1.∴x＝21＝2.
(5)由x＝log27，得27x＝，
即33x＝3－2，
∴x＝－.
能力提升
8.对于a>0且a≠1，下列说法正确的是(　　)
(1)若M＝N，则logaM＝logaN；(2)若logaM＝logaN，则M＝N；(3)若logaM2＝logaN2，则M＝N；(4)若M＝N，则logaM2＝logaN2.
A.(1)(2) B.(2)(3)(4)
C.(2) D.(2)(3)
解析　(1)中若M，N小于或等于0时，logaM＝logaN不成立；(2)正确；(3)中M与N也可能互为相反数且不等于0；(4)中当M＝N＝0时不正确.
答案　C
9.已知log3(log5a)＝log4(log5b)＝0，则的值为(　　)
A.1 B.－1
C.5 D.
解析　由log3(log5a)＝0得log5a＝1，即a＝5，同理b＝5，故＝1.
答案　A
10.方程3log2x＝的解是________.
解析　3log2x＝3－3，∴log2x＝－3，x＝2－3＝.
答案　
11.若正数a，b满足2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)，则＋＝________.
解析　设2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)＝k，则a＝2k－2，b＝3k－3，a＋b＝6k，即4a＝2k，27b＝3k，所以108ab＝6k，∴108ab＝a＋b，∴108＝＋.
答案　108
12.(1)若f(10x)＝x，求f(3)的值；
(2)计算23＋log23＋35－log39.
解　(1)令t＝10x，则x＝lg t，
∴f(t)＝lg t，即f(x)＝lg x，∴f(3)＝lg 3.
(2)23＋log23＋35－log39＝23·2log23＋
＝23×3＋＝24＋27＝51.
13.(选做题)若log2(log(log2x))＝log3(log(log3y))＝log5(log(log5z))＝0，试确定x，y，z的大小关系.
解　由log2(log(log2x))＝0，得log(log2x)＝1，log2x＝，x＝2＝(215).
由log3(log(log3y))＝0，得log(log3y)＝1，log3y＝，y＝3＝(310).
由log5(log(log5z))＝0，得log(log5z)＝1，log5z＝，z＝5＝(56).∵310>215>56，∴y>x>z.
第2课时　对数的运算
学习目标　1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算(重点).2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数(重点).
知识点1　对数的运算性质
若a>0且a≠1，M>0，N>0，则有：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.
(2)loga＝logaM－logaN.
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差.(　　)
(2)loga(xy)＝logax·logay.(　　)
(3)loga(－2)3＝3loga(－2).(　　)
提示　(1)√　根据对数的运算性质可知(1)正确；
(2)×　根据对数的运算性质可知loga(xy)＝logax＋logay；
(3)×　公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M应为大于0的数.
知识点2　换底公式
logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0).
【预习评价】
(1)log35·log56·log69＝________.
(2)若log34×log48×log8m＝log416，则m＝________.
解析　(1)原式＝··＝＝＝2.
(2)原方程可化为××＝＝2，即lg m＝2lg 3＝lg 9，∴m＝9.
答案　(1)2　(2)9
题型一　利用对数的运算性质化简、求值
【例1】　计算下列各式的值：
(1)lg－lg ＋lg；
(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
解　(1)法一　原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10
＝.
法二　原式＝lg－lg 4＋lg 7＝lg
＝lg(·)＝lg＝.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
规律方法　利用对数运算性质化简与求值的原则和方法
(1)基本原则：
①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.
(2)两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
【训练1】　计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
(2).
解　(1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2)
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
(2)原式＝
＝
＝.
题型二　利用换底公式化简、求值
【例2】　(1)(log43＋log83)(log32＋log92)＝________；
(2)已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值.
(1)解析　原式＝＝
·＝×＝.
答案　
(2)解　法一　∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.
于是log3645＝＝＝
＝＝.
法二　∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.
于是log3645＝＝＝.
法三　∵log189＝a，18b＝5，∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18.
∴log3645＝＝＝
＝＝.
规律方法　利用换底公式化简与求值的思路
【训练2】　(1)已知log1227＝a，求log616的值；
(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值.
解　(1)由log1227＝a，得＝a，
∴lg 2＝lg 3.
∴log616＝＝＝＝.
(2)法一　原式＝·

＝
＝log25·(3log52)
＝13log25·＝13.
法二　原式＝
＝
＝＝13.
法三　原式＝(log2153＋log2252＋log2351)·(log512＋log5222＋log5323)
＝(log52＋log52＋log52)
＝log25·3log52＝×3＝13.
题型三　利用对数式与指数式的互化解题
【例3】　(1)设3a＝4b＝36，求＋的值；
(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z.
解　(1)法一　由3a＝4b＝36，
得a＝log336，b＝log436，
由换底公式得＝log363，＝log364，
∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1.
法二　由3a＝4b＝36，
两边取以6为底数的对数，得
alog63＝blog64＝log636＝2，
∴＝log63，＝log64＝log62，
∴＋＝log63＋log62＝log66＝1.
(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，
由＋＋＝1，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，
∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
规律方法　利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
【训练3】　已知3a＝5b＝M，且＋＝2，则M＝________.
解析　由3a＝5b＝M，得a＝log3M，b＝log5M，故＋＝logM3＋logM5＝logM15＝2，∴M＝.
答案　
课堂达标
1.lg －2lg ＋lg 等于(　　)
A.lg 2 B.lg 3
C.lg 4 D.lg 5
解析　lg －2lg ＋lg ＝lg＝lg 2.故选A.
答案　A
2.已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是(　　)
A.a－2 B.5a－2
C.3a－(1＋a)2 D.3a－a2
解析　原式＝log323－2log32－2log33＝log32－2＝a－2.
答案　A
3.若logab·log3a＝4，则b的值为________.
解析　logab·log3a＝·＝＝4，所以lg b＝4lg 3＝lg 34，所以b＝34＝81.
答案　81
4.已知2m＝5n＝10，则＋＝________.
解析　因为m＝log210，n＝log510，
所以＋＝log102＋log105＝lg 10＝1.
答案　1
5.求下列各式的值：
(1)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18；
(2).
解　(1)法一　原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
法二　原式＝lg 14－lg＋lg 7－lg 18
＝lg＝lg 1＝0.
(2)原式＝＝＝＝.
课堂小结
1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数.换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.
2.运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，
③logaM±logaN＝loga(M±N).
基础过关
1.若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于(　　)
A.2 B.
C.100 D.
解析　∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴由根与系数的关系得：lg a＋lg b＝－＝2，∴ab＝100.故选C.
答案　C
2.化简log612－2log6的结果为(　　)
A.6 B.12
C.log6 D.
解析　原式＝log6－log62＝log6＝log6.
答案　C
3.已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为(　　)
A.6 B.9
C.12 D.18
解析　∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝log2k，b＝log3k，∴＝logk2，＝logk3.∵2a＋b＝ab，∴＋＝2logk3＋logk2＝logk9＋logk2＝logk18＝1，∴k＝18.
答案　D
4.计算100lg 9－lg 2－log98·log4＝________.
解析　100lg 9－lg 2－log98·log4＝10lg 9÷10lg 4－·＝－·＝－＝2.
答案　2
5.已知3a＝2，3b＝，则2a－b＝________.
解析　∵3a＝2，3b＝，两边取对数得a＝log32，b＝log3＝－log35，∴2a－b＝2log32＋log35＝log320.故答案为log320.
答案　log320
6.计算下列各式的值：
(1)log3＋lg 25＋lg 4＋7log72；
(2)2log32－log3＋log38－52log53.
解　(1)原式＝log3＋lg(25×4)＋2＝log33－＋lg 102＋2＝－＋2＋2＝.
(2)原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－5log532
＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.
7.设3x＝4y＝6z＝t>1，求证：－＝.
证明　法一　∵3x＝4y＝6z＝t>1，
∴x＝，y＝，z＝，
∴－＝－＝＝＝.
法二　∵3x＝4y＝6z＝t>1，
两边同时取以t为底的对数，
得xlogt3＝ylogt4＝zlogt6＝1，
∴＝logt6，＝logt3，＝logt4，
∴－＝logt6－logt3＝logt2＝logt4＝.
能力提升
8.已知x，y为正实数，则(　　)
A.2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B.2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C.2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D.2lg(xy)＝2lg x·2lg y
解析　2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg(xy).故选D.
答案　D
9.已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为(　　)
A.3 B.8
C.4 D.log48
解析　由2x＝3得：x＝log23，∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋＝log23＋(3log22－log23)＝3.
答案　A
10.已知x3＝3，则3log3x－logx23＝________.
解析　3log3x＝log3x3＝log33＝1，而logx23＝log33＝log33＝，∴3log3x－logx23＝1－＝－.
答案　－
11.已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f＝4，则f(2 016)＝________.
解析　由f＝alog2＋blog3＋2＝4，得－alog22 016－blog32 016＝2.∴alog22 016＋blog32 016＝－2.
∴f(2 016)＝alog22 016＋blog32 016＋2＝－2＋2＝0.
答案　0
12.求值：(1)lg＋lg；
(2)log89·log2732－()lg 1＋log535－log57.
解　(1)lg＋lg＝lg＝lg 10＝1.
(2)log89·log2732－()lg 1＋log535－log57＝×－1＋log5＝×－1＋1＝.
13.(选做题)2016年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，那么过多少年后国民生产总值是2016年的2倍(lg 2≈0.301 0，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年).
解　设经过x年国民生产总值为2016年的2倍.
经过1年，国民生产总值为a(1＋8%)，
经过2年，国民生产总值为a(1＋8%)2，
…
经过x年，国民生产总值为a(1＋8%)x＝2a，
∴1.08x＝2，两边取常用对数，得x·lg 1.08＝lg 2.
∴x＝≈≈9.
故约经过9年，国民生产总值是2016年的2倍.
2.2.2　对数函数及其性质
第1课时　对数函数的图象及性质
学习目标　1.理解对数函数的概念(易错点).2.初步掌握对数函数的图象和性质(重点).
知识点1　对数函数的概念
一般地，把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
　(1)函数y＝logx是对数函数.(　　)
(2)函数y＝2log3x是对数函数.(　　)
(3)函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞).(　　)
提示　(1)×　对数函数中自变量x在真数的位置上，且x>0，所以(1)错；
(2)×　在解析式y＝logax中，logax的系数必须是1，所以(2)错；
(3)×　由对数式y＝log3(x＋1)的真数x＋1>0可得x>－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以(3)错.
知识点2　对数函数的图象和性质
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
过定点
过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
函数值
的变化
当0＜x＜1时，y＜0
当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0
当x＞1时，y＜0
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
【预习评价】
(1)函数f(x)＝loga(2x－1)＋2的图象恒过定点________.
(2)若函数y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________.
解析　(1)令2x－1＝1，得x＝1，又f(1)＝2，故f(x)的图象恒过定点(1，2).
(2)由题意2a－3>1，得a>2，即a的取值范围是(2，＋∞).
答案　(1)(1，2)　(2)(2，＋∞)
知识点3　反函数
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数.
【预习评价】
设函数f(x)＝2x的反函数为g(x)，若g(2x－3)>0，则x的取值范围是________.
解析　易知f(x)＝2x的反函数为y＝log2x，即g(x)＝log2x，g(2x－3)＝log2(2x－3)>0，所以2x－3>1，解得x>2.
答案　(2，＋∞)
题型一　对数函数的概念及应用
【例1】　(1)下列函数表达式中，是对数函数的有(　　)
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1).
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
(2)若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________.
解析　(1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0，且a≠1，
∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x的系数为2，
∴⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义.
(2)由题意设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，则f(4)＝loga4＝－2，所以a－2＝4，故a＝，f(x)＝logx，所以f(8)＝log8＝－3.
答案　(1)B　(2)－3
规律方法　判断一个函数是对数函数的方法
【训练1】　若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________.
解析　由题意可知
解得a＝4.
答案　4
题型二　对数型函数的定义域
【例2】　(1)函数f(x)＝＋ln(x＋1)的定义域为________；
(2)函数f(x)＝的定义域为________.
解析　(1)若使函数式有意义需满足条件：?解得：x∈(－1，2)，故函数的定义域为(－1，2).
(2)由题意有解得x>－且x≠0，则f(x)的定义域为∪(0，＋∞).
答案　(1)(－1，2)　(2)∪(0，＋∞)
规律方法　求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负.
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
【训练2】　求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋；
(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x).
解　(1)要使函数有意义，需满足
解得x＞2且x≠3.
∴函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).
(2)要使函数有意义，需满足
解得－1＜x＜0或0＜x＜4.
∴函数的定义域为(－1，0)∪(0，4).
题型三　对数函数的图象问题
【例3】　(1)函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(　　)
A.(1，2) B.(2，1)
C.(－2，1) D.(－1，1)
(2)如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应函数y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，则(　　)
A.a4>a3>1>a2>a1>0
B.a3>a4>1>a1>a2>0
C.a2>a1>1>a4>a3>0
D.a1>a2>1>a3>a4>0
(3)作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象.
解析　(1)令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1，故函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(－1，1).
(2)作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.
答案　(1)D　(2)A
(3)解　第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示.
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示.
第三步：将y＝log2(1＋x)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示.
第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示.
规律方法　1.对数函数图象过定点问题
求函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m).
2.根据对数函数图象判断底数大小的方法
作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.
3.函数图象的变换规律：
(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移，再沿y轴向上或向下平移得到的.
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.
【训练3】　已知a>0且a≠1，函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是(　　)
解析　函数y＝logax与y＝ax的单调性相同，故排除B；A中，由y＝logax与y＝ax的图象知a＞1，而由y＝x＋a的图象知0＜a＜1，矛盾；D中，由y＝logax与y＝ax的图象知0＜a＜1，而由y＝x＋a的图象知a＞1，矛盾，故选C.
答案　C
课堂达标
1.下列函数是对数函数的是(　　)
A.y＝loga(2x) B.y＝log22x
C.y＝log2x＋1 D.y＝lg x
解析　选项A，B，C中的函数都不具有“y＝logax(a＞0且a≠1)”的形式，只有D选项符合.
答案　D
2.设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝(　　)
A.(1，2) B.(1，2]
C.(－2，1) D.[－2，1)
解析　由4－x2≥0得－2≤x≤2，∴A＝[－2，2]，由1－x＞0得x＜1，∴B＝(－∞，1).∴A∩B＝[－2，1)，故选D.
答案　D
3.若函数f(x)＝ax－1的反函数的图象过点(4，2)，则a＝________.
解析　∵f(x)的反函数的图象过(4，2)，∴f(x)的图象过(2，4)，∴a2－1＝4，∴a＝4.
答案　4
4.函数f(x)＝的定义域为________.
解析　要使函数f(x)有意义，则logx＋1>0，即logx>－1，解得0答案　(0，2)
5.已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)当0f(2)的a值.
解　(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示.
(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由如图所示的图象知：当0f(2)的a值.
课堂小结
1.判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a＞0，且a≠1)这种形式.
2.在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质.
3.涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.
基础过关
1.函数y＝1＋log(x－1)的图象一定经过点(　　)
A.(1，1) B.(1，0)
C.(2，1) D.(2，0)
解析　∵函数y＝logx恒过定点(1，0)，而y＝1＋log(x－1)的图象是由y＝logx的图象向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，∴定点(1，0)也是向右平移一个单位，向上平移一个单位，∴定点(1，0)平移以后即为定点(2，1)，故函数y＝1＋log(x－1)恒过的定点为(2，1).故选C.
答案　C
2.函数y＝的定义域为(　　)
A.(－∞，2) B.(2，＋∞)
C.(2，3)∪(3，＋∞) D.(2，4)∪(4，＋∞)
解析　要使原函数有意义，则解得23，所以原函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选C.
答案　C
3.函数y＝ax与y＝－logax(a＞0，且a≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是(　　)
解析　函数y＝－logax恒过定点(1，0)，排除B项；当a＞1时，y＝ax是增函数，y＝－logax是减函数，当0答案　A
4.已知f(x)为对数函数，f＝－2，则f＝________.
解析　设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
则loga＝－2，
∴＝，即a＝，
∴f(x)＝logx，
∴f()＝log＝log2()2＝log22＝.
答案　
5.设函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，若f(x1x2…x2 017)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)＝______.
解析　∵f(x)＋f(x)＋f(x)＋…＋f(x)
＝logax＋logax＋logax＋…＋logax
＝loga(x1x2x3…x2 017)2
＝2loga(x1x2x3…x2 017)
＝2f(x1x2x3…x2 017)，
∴原式＝2×8＝16.
答案　16
6.求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝log(x－1)(3－x)；
(2)f(x)＝＋log2(3x－1).
解　(1)由题意知解得1(2)由题意知解得x>且x≠1，故f(x)的定义域为∪(1，＋∞).
7.若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象.
解　∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.
又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴f(－x)＝lg(1－x).又f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－lg(1－x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝
∴f(x)的大致图象如图所示：
能力提升
8.已知0解析　当0＜a＜1时，函数y＝ax在R上是减函数，排除A，B；y＝loga(－x)与y＝logax的图象关于y轴对称，故选D.
答案　D
9.若函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　)
解析　由题意y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过(3，1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符，故选B.
答案　A
10.已知函数y＝log2，关于其图象有下列说法：
①关于原点对称；②关于y轴对称；③过原点.其中正确的是________.
解析　由于函数定义域为(－2，2)，关于原点对称，又f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)，故函数为奇函数，故其图象关于原点对称，①正确；因为当x＝0，y＝0，所以③正确.
答案　①③
11.已知f(x)＝|log3x|，若f(a)>f(2)，则a的取值范围为________.
解析　作出函数f(x)的图象，如图所示，由于f(2)＝f，故结合图象可知02.
答案　∪(2，＋∞)
12.已知函数f(x)＝log2.
(1)求证：f(x1)＋f(x2)＝f；
(2)若f＝1，f(－b)＝，求f(a)的值.
(1)证明　左边＝log2＋log2
＝log2
＝log2，
右边＝log2＝log2，
所以左边＝右边，
所以f(x1)＋f(x2)＝f.
(2)解　因为f(－b)＝log2
＝－log2＝，
所以f(b)＝log2＝－，
利用(1)可知：f(a)＋f(b)＝f，
所以f(a)－＝1，
解得f(a)＝.
13.(选做题)已知f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x.
(1)当x∈(－∞，0)时，求函数f(x)的解析式；
(2)在给出的坐标系中画出函数f(x)的图象，写出函数f(x)的单调区间，并指出单调性.
解　(1)设x∈(－∞，0)，
则－x∈(0，＋∞)，
所以f(－x)＝log2(－x)，
又f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，得f(－x)＝f(x)，
所以f(x)＝log2(－x)(x∈(－∞，0)).
(2)函数图象如图.
f(x)的单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－∞，0).
第2课时　对数函数及其性质的应用
学习目标　1.进一步理解对数函数的性质(重点).2.能运用对数函数的性质解决相关问题(重、难点).
题型一　比较对数值的大小
【例1】　(1)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是(　　)
A.bC.c(2)下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)(　　)
A.loga5.1log2.2
C.log1.1(a＋1)解析　(1)因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，a＝log23＝log49>log46>1，log32<1，所以b(2)对于选项A，因为a和1大小的关系不确定，无法确定指数函数和对数函数的单调性，故A不成立；对于选项B，因为以为底的对数函数是减函数，所以成立；对于选项C，因为以1.1为底的对数函数是增函数，所以不成立；对于选项D，log32.9>0，log0.52.2<0，故不成立，故选B.
答案　(1)D　(2)B
规律方法　比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同，找中间量.
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
【训练1】　比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；
(2)log23，log0.32；
(3)logaπ，loga3.14(a>0，a≠1).
解　(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，
所以log31.9(2)因为log23>log21＝0，log0.32所以log23>log0.32.
(3)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则有logaπ>loga3.14；
当0则有logaπ综上所得，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0logaπ题型二　与对数函数有关的值域和最值问题
【例2】　(1)函数f(x)＝log(x2＋2x＋3)的值域是________；
(2)若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值等于________.
(3)求y＝(logx)2－logx＋5在区间[2，4]上的最大值和最小值.
解析　(1)f(x)＝log(x2＋2x＋3)＝log[(x＋1)2＋2]，因为(x＋1)2＋2≥2，所以log[(x＋1)2＋2]≤log2＝－1，所以函数f(x)的值域是(－∞，－1].
(2)当a>1时，f(x)在[0，1]上单调递增，则最大值和最小值之和为f(1)＋f(0)＝a＋loga2＋1＝a，解得a＝，不满足a>1，舍去；当0答案　(1)(－∞，－1]　(2)
(3)解　因为2≤x≤4，所以log2≥logx≥log4，
即－1≥logx≥－2.设t＝logx，则－2≤t≤－1，
所以y＝t2－t＋5，其图象的对称轴为直线t＝，
所以当t＝－2即logx＝－2，x＝4时，ymax＝10；
当t＝－1即logx＝－1，x＝2时，ymin＝.
规律方法　求函数值域或最大(小)值的常用方法
(1)直接法：根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域.
(2)配方法：当所给的函数是可化为二次函数形式的(形如y＝a·[f(logax)]2＋bf(logax)＋c)，求函数值域问题时，可以用配方法.
(3)单调性法：根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域.
(4)换元法：求形如y＝logaf(x)型函数值域的步骤：①换元，令u＝f(x)，利用函数图象和性质求出u的范围；②利用y＝logau的单调性、图象求出y的取值范围.
【训练2】　函数f(x)＝log(3＋2x－x2)的值域为________.
解析　设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4，因为u>0，所以0答案　[－2，＋∞)
考查
方向
　题型三　对数函数性质的综合应用
方向1　解对数不等式
【例3－1】　已知log0.3(3x)A. B.
C. D.
解析　因为函数y＝log0.3x是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价于解得x>.
答案　A
方向2　与对数函数有关的奇偶性问题
【例3－2】　已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数的单调区间.
解　(1)要使此函数有意义，则有或
解得x>1或x<－1，故此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
(2)由(1)可得f(x)的定义域关于原点对称.
∵f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.
f(x)＝loga＝loga，
函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减，
所以当a>1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减；当0方向3　与对数函数有关的复合函数的单调性
【例3－3】　(1)求函数y＝log0.3(3－2x)的单调区间；
(2)函数f(x)＝log(3x2－ax＋7)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围.
解　(1)由3－2x>0，解得x<，设t＝3－2x，x∈，∵函数y＝log0.3t是减函数，且函数t＝3－2x是减函数，∴函数y＝log0.3(3－2x)在上是增函数，即函数y＝log0.3(3－2x)的单调递增区间是，没有单调递减区间.
(2)解　令t＝3x2－ax＋7，则y＝logt单调递减，故t＝3x2－ax＋7在[－1，＋∞)上单调递增且t>0.因为t＝3x2－ax＋7的对称轴为x＝，所以
解得－10规律方法　1.两类对数不等式的解法
(1)形如logaf(x)①当0g(x)>0；
②当a>1时，可转化为0(2)形如logaf(x)①当0ab；
②当a>1时，可转化为02.形如y＝logaf(x)的函数的单调性
首先要确保f(x)>0，
当a>1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性一致.
当00的前提下与y＝f(x)的单调性相反.
【训练3】　函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A.(－∞，－2) B.(－∞，1)
C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)
解析　要使函数有意义，则：x2－2x－8>0，解得：x<－2或x>4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则，可得函数的单调增区间为(4，＋∞)，故选D.
答案　D
课堂达标
1.不等式log(2x＋3)A.(－∞，3) B.
C. D.
解析　由题意可得解得答案　D
2.设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则(　　)
A.aC.a解析　∵1＝log55>log54>log53>log51＝0，
∴1>a＝log54>log53>b＝(log53)2.
又∵c＝log45>log44＝1.∴c>a>b.
答案　D
3.函数y＝log(x2－6x＋11)的值域为________.
解析　∵x2－6x＋11＝(x－3)2＋2≥2，∴log(x2－6x＋11)≤log2＝－1，故所求函数的值域为(－∞，－1].
答案　(－∞，－1]
4.函数f(x)＝log2x2的单调递增区间是________.
解析　令t＝x2，易知t＝x2在(0，＋∞)上单调递增，而y＝log2t在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)的单调递增区间是(0，＋∞).
答案　(0，＋∞)
5.判断函数f(x)＝log2(＋x)的奇偶性.
解　易知f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，又f(－x)＋f(x)＝log2(－x)＋log2(＋x)＝log2(x2＋1－x2)＝log21＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.
课堂小结
1.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性.若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a＞1和0＜a＜1两类分别求解.
2.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.
基础过关
1.已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a＝－f，b＝f，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.c解析　由题意：a＝f＝f(log25)，
且log25>log24.1>2，1<20.8<2，
因此log25>log24.1>20.8，
结合函数的单调性有：f(log25)>f>f(20.8)，
所以a>b>c，即c答案　C
2.函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.a
解析　∵0＜a＜1，∴f(x)＝logax在[a2，a]上是减函数，
∴f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2.
答案　C
3.函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上(　　)
A.是增函数 B.是减函数
C.先增后减 D.先减后增
解析　当a>1时，y＝logat和t＝(a－1)x＋1都是增函数，所以f(x)是增函数；当0答案　A
4.已知a为非零常数，函数f(x)＝alg(－1解析　由f(－x)＝alg＝－alg＝－f(x)且－1答案　1
5.已知f(x)＝log(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________.
解析　二次函数y＝x2－ax＋3a的对称轴为x＝，由已知，应有≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，即解得－4答案　(－4，4]
6.已知函数y＝f(x)的图象与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称，且g(x)的图象过点(9，2).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，求x的取值范围.
解　(1)∵g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象过点(9，2)，
∴loga9＝2，解得a＝3，∴g(x)＝log3x.
又∵函数y＝f(x)的图象与g(x)＝log3x的图象关于x轴对称，∴f(x)＝logx.
(2)∵f(3x－1)>f(－x＋5)，即log(3x－1)>
log(－x＋5)，则解得∴x的取值范围为.
7.讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性.
解　由3x2－2x－1＞0得函数的定义域为
.
则当a＞1时，若x＞1，则u＝3x2－2x－1为增函数，
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数.
若x＜－，则u＝3x2－2x－1为减函数.
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数.
当0＜a＜1时，
若x＞1，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数；
若x＜－，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数.
能力提升
8.已知y＝loga(8－3ax)在[1，2]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A.(0，1) B.
C. D.(1，＋∞)
解析　因为a>0，所以t＝8－3ax为减函数，而当a>1时，y＝logat是增函数，所以y＝loga(8－3ax)是减函数，于是a>1.由8－3ax>0，得a<在[1，2]上恒成立，所以a<＝＝.故a∈.
答案　B
9.设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)
A.c>b>a B.b>c>a
C.a>c>b D.a>b>c
解析　a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，
b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，
c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，
∵log32>log52>log72，∴a>b>c，故选D.
答案　D
10.若定义域为(－2，－1)的函数f(x)＝log(2a－3)(x＋2)，满足f(x)<0，则实数a的取值范围是________.
解析　由x∈(－2，－1)，得0又log(2a－3)(x＋1)<0，所以2a－3>1，解得a>2.
答案　(2，＋∞)
11.已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________.
解析　∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，
∴a的取值需满足
解得2＜a≤3.
答案　{a|2＜a≤3}
12.已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中(a>0且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x).
(1)求h(x)的定义域；
(2)判断h(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)若a＝log327＋log2，求使f(x)>1成立的x的集合.
解　(1)由题意得即－1(2)因为对任意的x∈(－1，1)，－x∈(－1，1)，h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝－h(x)，所以h(x)＝
loga(1＋x)－loga(1－x)是奇函数.
(3)由a＝log327＋log2，得a＝2.
故f(x)＝loga(1＋x)>1，即log2(1＋x)>log22，
所以1＋x>2，即x>1.
故使f(x)>1成立的x的集合为{x|x>1}.
13.(选做题)已知函数f(x)＝－log2，求f(x)的定义域并讨论它的奇偶性和单调性.
解　要使函数有意义，需满足
解得－1∴函数f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1).
∵函数f(x)的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有f(－x)＝－－log2＝
－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数.
任取x1，x2∈(0，1)，且x1＝－
＝－
＝－log2.
∵00，x1x2>0，0<1＋x1<1＋x2，0<1－x2<1－x1，
∴0<(1＋x1)(1－x2)<(1－x1)(1＋x2).
∴0<<1，
∴>0，log2<0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0，1)上是单调减函数.
又f(x)是奇函数，∴f(x)在(－1，0)上也是单调减函数，
故f(x)在(－1，0)和(0，1)上都是单调减函数.
§2.3　幂函数
学习目标　1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(易错点).2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点).
知识点1　幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
　(1)函数y＝x－是幂函数.(　　)
(2)函数y＝2－x是幂函数.(　　)
(3)函数y＝－x是幂函数.(　　)
提示　(1)√　函数y＝x－符合幂函数的定义，所以是幂函数；
(2)×　幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y＝2－x不是幂函数；
(3)×　幂函数中xα的系数必须为1，所以y＝－x不是幂函数.
知识点2　幂函数的图象和性质
(1)五个幂函数的图象：
(2)幂函数的性质：
幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞)，增
x∈(－∞，0]，减
增
增
x∈(0，＋∞)，减
x∈(－∞，0)，减
公共点
都经过点(1，1)
【预习评价】
(1)设函数f(x)＝x，则f(x)是(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.既不是奇函数也不是偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
(2)3.17－3与3.71－3的大小关系为________.
解析　(1)易知f(x)的定义域为R，又f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数.
(2)易知f(x)＝x－3＝在(0，＋∞)上是减函数，又3.17<3.71，所以f(3.17)>f(3.71)，即3.17－3>3.71－3.
答案　(1)A　(2)3.17－3>3.71－3
题型一　幂函数的概念
【例1】　(1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.
解析　(1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B.
(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
答案　(1)B　(2)5或－1
规律方法　判断函数为幂函数的方法
(1)只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数.
(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式.
【训练1】　若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________.
解析　设f(x)＝xα，因为f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得：α＝log23，∴f＝＝.
答案　
题型二　幂函数的图象及应用
【例2】　(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)
A.－2，－，，2
B.2，，－，－2
C.－，－2，2，
D.2，，－2，－
(2)点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，分别有：①f(x)>g(x)；
②f(x)＝g(x)；③f(x)(1)解析　根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B.
答案　B
(2)解　设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵()α＝2，(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示.由图象知：
①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
②当x＝1时，f(x)＝g(x)；
③当x∈(0，1)时，f(x)规律方法　解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：
①在x∈(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在x∈(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断.
【训练2】　如图是函数y＝x(m，n∈N*，m，n互质)的图象，则(　　)
A.m，n是奇数，且<1
B.m是偶数，n是奇数，且>1
C.m是偶数，n是奇数，且<1
D.m是奇数，n是偶数，且>1
解析　由图象可知y＝x是偶函数，而m，n是互质的，故m是偶数，n是奇数，又当x∈(1，＋∞)时，y＝x的图象在y＝x的图象下方，故<1.
答案　C
典例
迁移
　题型三　利用幂函数的性质比较大小
【例3】　比较下列各组数中两个数的大小：
(1)与；(2)与.
解　(1)因为幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上是单调递增的，
又>，所以>.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，所以>.
【迁移1】　(变换条件)若将例3(1)中的两数换为“与”，则二者的大小关系如何？
解　因为＝30.3，而y＝x0.3在(0，＋∞)上是单调递增的，
又<3，所以<30.3，即<.
【迁移2】　(变换条件)若将例3(1)中的两数换为“与0.3”，则二者的大小关系如何？
解　因为y1＝在(0，＋∞)上为减函数，又0.3<，所以>，又因为函数y2＝x在(0，＋∞)上为增函数，且>0.3，所以>0.3，所以>0.3.
规律方法　比较幂值大小的三种基本方法
课堂达标
1.已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝(　　)
A. B.4
C. D.
解析　设幂函数为y＝xα，∵幂函数的图象经过点，∴＝4α，∴α＝－，∴y＝x－，∴f(2)＝2－＝，故选C.
答案　C
2.下列函数中，其定义域和值域不同的函数是(　　)
A.y＝x B.y＝x－
C.y＝x D.y＝x
解析　A中定义域、值域都是R；B中定义域、值域都是(0，＋∞)；C中定义域、值域都是R；D中定义域为R，值域为[0，＋∞).
答案　D
3.设a∈，则使函数y＝xa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是(　　)
A.1，3 B.－1，1
C.－1，3 D.－1，1，3
解析　当a＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当a＝1时，函数y＝x的定义域是R且为奇函数；当a＝时，函数y＝x的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数.当a＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数.故选A.
答案　A
4.函数y＝x的图象是(　　)
解析　显然函数定义域为R，且满足“－f(x)＝f(－x)”，说明函数是奇函数.又由当0x，当x>1时，x答案　B
5.比较下列各组数的大小：
(1)－8－与－；(2)－与－.
解　(1)－8－＝－，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，又>，则>.从而－8－<－.
(2)－＝－＝－，－＝－.因为函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，
又>，所以－<－.
课堂小结
1.幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量.
2.幂函数在第一象限内指数变化规律
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.
3.简单幂函数的性质
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.
(2)如果α＞0，则幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数.
(3)如果α＜0，则幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.
基础过关
1.已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则log2f(2)的值为(　　)
A. B.－
C.2 D.－2
解析　由题意设f(x)＝xn，由幂函数y＝f(x)的图象过点，∴＝＝?n＝.∴f(x)＝x，f(2)＝2，log2f(2)＝log22＝.
答案　A
2.函数y＝x－2在区间上的最大值是(　　)
A. B.
C.4 D.－4
解析　易知y＝x－2在上单调递减，所以当x＝时，函数y＝x－2的最大值是＝4.
答案　C
4.若幂函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2在x∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m的值是________.
解析　因为函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以?解得m＝3.
答案　3
5.当α∈时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限.
解析　当α＝－1，1，3时，y＝xα的图象经过第一、三象限；当α＝时，y＝xα的图象经过第一象限.
答案　二、四
6.比较下列各组数的大小：
(1)1.10.1，1.20.1；(2)0.24－0.2，0.25－0.2；(3)0.20.3，0.30.3，0.30.2.
解　(1)由于函数y＝x0.1在第一象限内单调递增，又因为1.1<1.2，所以1.10.1<1.20.1.
(2)由于函数y＝x－0.2在第一象限内单调递减，又因为0.24<0.25，所以0.24－0.2>0.25－0.2.
(3)首先比较指数相同的两个数的大小，由于函数y＝x0.3在第一象限内单调递增，而0.2<0.3，所以0.20.3<0.30.3.
再比较同底数的两个数的大小，由于函数y＝0.3x在定义域内单调递减，而0.2<0.3，所以0.30.3<0.30.2.
所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.
7.已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋3)－<(5－2a)－的a的取值范围.
解　因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3，又m∈N*，所以m＝1，2.
因为函数的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1，则原不等式可化为(a＋3)－<(5－2a)－.
因为y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a＋3>5－2a>0或5－2a能力提升
8.如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)
A.－1＜n＜0＜m＜1
B.n＜－1，0＜m＜1
C.－1＜n＜0，m＞1
D.n＜－1，m＞1
解析　法一　在(0，1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示.根据“点低指数大”，有0＜m＜1，n＜－1.
法二　根据幂函数图象增减性知m>0，n<0，由x＝1右侧指数逆时针增大，知n<－1，由图象上凸知0答案　B
9.如图，函数y＝x的图象是(　　)
解析　幂函数y＝x是偶函数，图象关于y轴对称，所以可排除选项A，B，C，选D.
答案　D
10.已知幂函数f(x)＝x，若f(10－2a)解析　因为f(x)＝x＝(x≥0)，易知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
又f(10－2a)所以解得所以3答案　(3，5]
11.若y＝xa2－4a－9是偶函数，且在(0，＋∞)内是减函数，则整数a的值是________.
解析　由题意得，a2－4a－9应为负偶数，即a2－4a－9＝(a－2)2－13＝－2k(k∈N*)，(a－2)2＝13－2k，当k＝2时，a＝5或－1；当k＝6时，a＝3或1.
答案　1，3，5，－1
12.已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；
(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.
求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0，3]时f(x)的值域.
解　因为m∈{x|－2当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；
当m＝1时，f(x)＝x0条件(1)，(2)都不满足.
当m＝0时，f(x)＝x3条件(1)，(2)都满足，且在区间[0，3]上是增函数，所以x∈[0，3]时，函数f(x)的值域为[0，27].
13.(选做题)已知函数f(x)＝x的定义域是非零实数，且在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，求最小自然数α.
解　因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以1－α<0，α>1，又因为f(x)在(－∞，0)上是增函数，且在(0，＋∞)上是减函数，所以1－α＝－2k，k∈N*，α＝2k＋1，k∈N*，所以最小的自然数α为3.
习题课　基本初等函数(Ⅰ)
学习目标　1.能够熟练进行指数、对数的运算(重点).2.进一步理解和掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，并能应用它们的图象和性质解决相关问题(重、难点).
1.三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是(　　)
A.0.76<60.7C.log0.76<60.7<0.76 D.log0.76<0.76<60.7
解析　由指数函数和对数函数的图象可知：60.7>1，0<0.76<1，log0.76<0，∴log0.76<0.76<60.7，故选D.
答案　D
2.已知0A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析　因为0答案　C
3.lg 32－lg ＋lg ＝________.
解析　原式＝lg 25－lg 2＋lg 5＝lg 2－2lg 2＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝.
答案　
4.函数f(x)＝log2(－x2＋2x＋7)的值域是________.
解析　∵－x2＋2x＋7＝－(x－1)2＋8≤8，
∴log2(－x2＋2x＋7)≤log28＝3，故f(x)的值域是(－∞，3].
答案　(－∞，3]
类型一　指数与对数的运算
【例1】　计算：
(1)2log32－log3＋log38－5log53；
(2)0.064－－＋[(－2)3]－＋16－0.75＋0.01.
解　(1)原式＝log3－3＝2－3＝－1.
(2)原式＝0.43×－1＋2－4＋24×＋0.1＝－1＋＋＋＝.
规律方法　指数、对数的运算应遵循的原则
(1)指数的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算；其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的；
(2)对数的运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明的常用技巧.
【训练1】　计算：
(1)－＋0.25×；
(2)log3＋2log510＋log50.25＋71－log72.
解　(1)原式＝－4－1＋×()4＝－3.
(2)原式＝log3＋log5(100×0.25)＋7÷7log72＝log33－＋log552＋＝－＋2＋＝.
类型二　指数、对数型函数的定义域、值域
【例2】　(1)求函数y＝(0≤x≤3)的值域；
(2)已知－3≤logx≤－，求函数f(x)＝log2·log2的最大值和最小值.
解　(1)令t＝x2－2x＋2，则y＝.
又t＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，0≤x≤3，
∴当x＝1时，tmin＝1；
当x＝3时，tmax＝5.故1≤t≤5，
∴≤y≤，故所求函数的值域为.
(2)∵－3≤logx≤－，∴≤log2x≤3，
∴f(x)＝log2·log2＝(log2x－1)(log2x－2)＝(log2x)2－3log2x＋2＝－.
当log2x＝3时，f(x)max＝2；
当log2x＝时，f(x)min＝－.
规律方法　函数值域(最值)的求法
(1)直观法：图象在y轴上的“投影”的范围就是值域的范围.
(2)配方法：适合二次函数.
(3)反解法：有界量用y来表示.如y＝中，由x2＝≥0可求y的范围，可得值域.
(4)换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围.
(5)单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数.
【训练2】　(1)函数f(x)＝＋的定义域是________；
(2)函数f(x)＝的值域为________.
解析　(1)由题意可得
解得0≤x<1，
则f(x)的定义域是[0，1).
(2)当x≥1时，logx≤log1＝0，当x<1时，0<2x<21＝2，
所以f(x)的值域为(－∞，0]∪(0，2)＝(－∞，2).
答案　(1)[0，1)　(2)(－∞，2)
类型三　指数函数、对数函数、幂函数的图象问题
【例3】　(1)若loga2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝ax＋1的图象大致是(　　)
(2)当0A. B.
C.(1，) D.(，2)
解析　(1)由loga2<0(a>0，且a≠1)，可得0(2)∵0∴即对0∴解得答案　(1)A　(2)B
规律方法　函数图象及应用
(1)根据函数解析式特征确定其图象时，一般要从函数的性质(如单调性、奇偶性)和函数图象所过的定点，或函数图象的变换等几个方面考虑，若是选择题，还要结合选择题的排除法求解.
(2)判断方程根的个数、求参数问题，若不能具体解方程或不等式，则一般转化为判断指数函数、对数函数、幂函数等图象交点个数问题.
【训练3】　(1)函数y＝的图象大致是(　　)
(2)已知a>0且a≠1，函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则a的取值范围是________.
解析　(1)当x<0时，y＝x2的图象是抛物线的一部分，可排除选项C和D；当x≥0时，y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向下平移一个单位得到，故排除A，选B.
(2)当a>1时，在同一坐标系中作出函数y＝|ax－2|和y＝3a的图象，因为a>1，所以3a>3，故两函数图象只有一个交点.
当0综上所述，a的取值范围是.
答案　(1)B　(2)
类型四　比较大小问题
【例4】　比较下列各组中两个值的大小：
(1)1.10.9，log1.10.9，log0.70.8；(2)log53，log63，log73.
解　(1)∵1.10.9>1.10＝1，log1.10.9∴1.10.9>log0.70.8>log1.10.9.
(2)∵0∴log53>log63>log73.
规律方法　数(式)的大小比较常用的方法及技巧
(1)常用方法：作差法(作商法)、单调性法、图象法、中间量法.
(2)常用的技巧：
①当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较.
②比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”、“大于或等于0且小于或等于1”、“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小.
【训练4】　(1)已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>b>a
(2)设a＝log2，b＝log3，c＝，则(　　)
A.aC.b解析　(1)∵a＝log20.320＝1，0c>a.故选C.
(2)∵a＝log2<0，b＝log3<0，log30，∴b答案　(1)C　(2)D
类型五　指数函数、对数函数、幂函数的综合应用
【例5】　已知函数f(x)＝lg在x∈(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围.
解　因为f(x)＝lg在x∈(－∞，1]上有意义，
所以1＋2x＋a·4x>0在(－∞，1]上恒成立.
因为4x>0，
所以a>－在(－∞，1]上恒成立.
令g(x)＝－，x∈(－∞，1].
由y＝－与y＝－在(－∞，1]上均为增函数，可知g(x)在(－∞，1]上也是增函数，
所以g(x)max＝g(1)＝－＝－.
因为a>－在(－∞，1]上恒成立，
所以a应大于g(x)的最大值，即a>－.
故所求a的取值范围为.
规律方法　函数性质的综合应用
指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等分段化归为基本的指数、对数、幂函数来研究.
【训练5】　函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值.
解　(1)要使函数有意义，则有
解得－3(2)函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]＝
loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4].
∵－3∵0由loga4＝－2，得a－2＝4，∴a＝4－＝.
1.函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题.
2.从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查.
基础过关
1.若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为(　　)
A.(－∞，－1) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(1，＋∞)
解析　由题意f(x)＝－f(－x)，即＝－，所以(1－a)(2x＋1)＝0，所以a＝1，f(x)＝，由f(x)＝>3得，1<2x<2，所以0答案　C
2.函数y＝＋1的图象关于直线y＝x对称的图象大致是(　　)
解析　函数y＝＋1的图象如图所示，关于y＝x对称的图象大致为A选项对应图象.
答案　A
3.函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为(　　)
A.(0，＋∞) B.(－∞，0)
C.(2，＋∞) D.(－∞，－2)
解析　要使f(x)单调递增，需有解得x<－2.
答案　D
4.计算：log2＝________，2log23＋log43＝________.
解析　log2＝log22－＝－；2log23＋log43＝2log23×2log43＝3×＝3.
答案　－　3
5.2－3，3，log25三个数中最大的数是________.
解析　2－3＝<1，3＝>1，log25>log24＝2>，所以log25最大.
答案　log25
6.求函数y＝的定义域.
解　要使函数有意义，则1－loga(x＋a)>0，
即loga(x＋a)<1＝logaa，
(1)当a>1时，函数y＝logat在(0，＋∞)上递增，
∴0(2)当0∴x＋a>a，即x>0.
综上所述，当a>1时，所求的定义域为(－a，0)；当07.函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上有最大值14，求a的值.
解　y＝(ax)2＋2ax－1＝(ax＋1)2－2.
令ax＝t，则y＝(t＋1)2－2，对称轴方程为t＝－1.
①当a>1时，因为－1≤x≤1，所以≤ax≤a，
即≤t≤a，函数图象在对称轴右侧，是单调递增的，
所以当t＝a时有最大值，所以(a＋1)2－2＝14，
所以a＝3.
②当0即a≤t≤，函数图象在对称轴右侧，是单调递增的，
所以当t＝时有最大值，所以－2＝14，
所以a＝.所以a的值为3或.
能力提升
8.设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
解析　取对数：xln 2＝yln 3＝zln 5，＝>(由ln 32>ln 23可得)，∴2x>3y.xln 2＝zln 5，则＝<(由ln 52答案　D
9.已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(　　)
A.－ B.－
C.－ D.－
解析　∵f(a)＝－3，∴当a≤1时，f(a)＝2a－1－2＝－3，则2a－1＝－1，此等式显然不成立.当a>1时，－log2(a＋1)＝－3，解得a＝7，∴f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－，故选A.
答案　A
10.若(a＋1)－<(3－2a)－，则a的取值范围是________.
解析　令f(x)＝x－＝，∴f(x)的定义域是(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，故原不等式等价于解得答案　
11.下列说法中，正确的是________(填序号).
①任取x＞0，均有3x＞2x；
②当a＞0，且a≠1时，有a3＞a2；
③y＝()－x是增函数；
④y＝2|x|的最小值为1；
⑤在同一坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称.
解析　对于①，可知任取x＞0，3x＞2x一定成立.
对于②，当0＜a＜1时，a3＜a2，
故②不一定正确.
对于③，y＝()－x＝，因为0＜＜1，故y＝()－x是减函数，故③不正确.
对于④，因为|x|≥0，
∴y＝2|x|的最小值为1，正确.
对于⑤，y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称是正确的.
答案　①④⑤
12.已知函数f(x)＝lg(3＋x)＋lg(3－x).
(1)求函数y＝f(x)的定义域；
(2)判断函数y＝f(x)的奇偶性；
(3)若f(2m－1)解　(1)要使函数有意义，
则解得－3故函数y＝f(x)的定义域为(－3，3).
(2)由(1)可知，函数y＝f(x)的定义域为(－3，3)，关于原点对称.
对任意x∈(－3，3)，则－x∈(－3，3)，
∴f(－x)＝lg(3－x)＋lg(3＋x)＝f(x)，
∴函数y＝f(x)为偶函数.
(3)∵函数f(x)＝lg(3＋x)＋lg(3－x)＝lg(9－x2)，
∴由复合函数单调性判断法则知，
当0≤x<3时，函数y＝f(x)为减函数.
又函数y＝f(x)为偶函数，
∴不等式f(2m－1)解得－113.(选做题)已知函数f(x)＝x－2m2＋m＋3(m∈N)为偶函数，且f(3)(1)求m的值，并确定f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝loga[f(x)－ax](a>0，且a≠1)在[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围.
解　(1)由f(3)∴<1＝.
∵y＝为减函数，
∴－2m2＋m＋3>0，
解得－1∵m∈N，∴m＝0或1.
当m＝0时，f(x)＝x－2m2＋m＋3＝x3为奇函数，不合题意；
当m＝1时，f(x)＝x－2m2＋m＋3＝x2为偶函数，∴m＝1，此时f(x)＝x2.
(2)由(1)知，当x∈[2，3]时，g(x)＝loga(x2－ax).
①当00，∴无解；
②当a>1时，y＝logau在其定义域内单调递增，要使g(x)在[2，3]上单调递增，则需u(x)＝x2－ax在[2，3]上单调递增，且u(x)>0，∴
解得1∴实数a的取值范围为1章末复习课
网络构建
核心归纳
1.指数函数的图象和性质
一般地，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象与性质如下表所示.
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x>0时，01
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞) 上是减函数
注意　(1)对于a>1与0(2)a>1时，a值越大，图象向上越靠近y轴，递增速度越快；0(3)在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图.
2.对数函数的图象和性质
a>1
0图象
性质
定义域是(0，＋∞)
值域是R
当x＝1时，y＝0，即图象过定点(1，0)
当x>1时，y>0；当0当x>1时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞) 上是减函数
3.指数函数与对数函数的关系
对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称.(如图)
4.幂函数的性质
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1).
(2)如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上为增函数.
(3)如果α<0，则幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴.
(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数.
要点一　指数、对数的运算
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.
【例1】　(1)化简：÷×；
(2)求值：(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.
解　(1)原式＝××ab＝×a×ab＝a.
(2)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52
＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5
＝(1＋1)lg 2＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
【训练1】　(1)化简：()－×()÷；
(2)计算：2log32－log3＋log38－25log53.
解　(1)原式＝－×÷10＝2－1×103×10－＝2－1×10＝.
(2)原式＝log34－log3＋log38－5log59
＝log3－9＝2－9＝－7.
要点二　指数函数、对数函数、幂函数的图象问题
函数图象的画法
画法
应用范围
画法技巧
基本
函数
法
基本初等函数
利用一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的有关知识，画出特殊点(线)，直接根据函数的图象特征作出图象
变换法
与基本初等函数有关联的函数
弄清所给函数与基本函数的关系，恰当选择平移、对称等变换方法，由基本函数图象变换得到函数图象
描点法
未知函数或较复杂的函数
列表、描点、连线
【例2】　函数y＝2log4(1－x)的图象大致是(　　)
解析　法一　当x＝0时，y＝0，故可排除选项A，由1－x>0，得x<1，即函数的定义域为(－∞，1)，排除选项B，又易知函数在其定义域上是减函数，故选C.
法二　函数y＝2log4(1－x)的图象可认为是由y＝log4x的图象经过如下步骤变换得到的：(1)函数y＝log4x的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2log4x的图象；(2)把函数y＝2log4x的图象关于y轴对称得到函数y＝2log4(－x)的图象；(3)把函数y＝2log4(－x)的图象向右平移1个单位，即可得到y＝2log4(1－x)的图象，故选C.
答案　C
【训练2】　在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　)
解析　幂函数f(x)＝xa的图象不过(0，1)点，故A错；B项中由对数函数f(x)＝logax的图象知01，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错.
答案　D
要点三　大小比较问题
数的大小比较常用方法：
(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法.
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较.
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于或等于0且小于或等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小.
【例3】　设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.a>c>b D.c>b>a
解析　因为π>2，所以a＝log2π>1，b＝logπ<0.因为π>1，所以0<π－2<1，即0c>b.
答案　C
【训练3】　设a＝log3，b＝，c＝2，则(　　)
A.a＜b＜c B.c＜b＜a
C.c＜a＜b D.b＜a＜c
解析　a＝log3＜0，0＜b＝＜1，c＝2＞1，
故有a＜b＜c.
答案　A
要点四　函数的定义域与值域
　函数值域(最值)的求法
(1)直观法：图象在y轴上的“投影”的范围就是值域的范围.
(2)配方法：适合二次函数.
(3)反解法：有界量用y来表示.如y＝中，由x2＝≥0可求y的范围，可得值域.
(4)换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围.
(5)单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数.
【例4】　(1)函数f(x)＝的定义域为(　　)
A.(－∞，2) B.(2，＋∞)
C.(2，3)∪(3，＋∞) D.(2，4)∪(4，＋∞)
(2)设0≤x≤2，y＝4x－－3·2x＋5，试求该函数的最值.
(1)解析　由题意知解得所以函数f(x)的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).
答案　C
(2)解　令k＝2x(0≤x≤2)，∴1≤k≤4.则y＝22x－1－3·2x＋5＝k2－3k＋5＝(k－3)2＋，k∈[1，4].∵y＝(k－3)2＋在k∈[1，3]上是减函数，在k∈[3，4]上是增函数，∴当k＝3即x＝log23时，ymin＝；当k＝1即x＝0时，ymax＝，即函数的最大值为，最小值为.
【训练4】　(1)若f(x)＝，则函数f(x)的定义域为(　　)
A. B.(0，＋∞)
C. D.
(2)函数f(x)＝ln＋的定义域为________.
解析　(1)f(x)＝的定义域为：
，
即，
解得{x|－(2)由条件知??x∈(0，1].
答案　(1)C　(2)(0，1]
基础过关
1.若100a＝5，10b＝2，则2a＋b＝(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
解析　∵100a＝5，10b＝2，∴lg 100a＝lg 5，lg 10b＝lg 2，即2a＝lg 5，b＝lg 2，∴2a＋b＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
答案　B
2.当a≠0时，函数y＝ax＋b和y＝bax的图象只可能是(　　)
解析　选项A中，函数y＝ax＋b的图象是一条直线，由其图象得a>0，0答案　A
3.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.b解析　因为f(x)是奇函数且在R上是增函数，所以当x>0时，f(x)>0，
从而g(x)＝xf(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数.
a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
20.8<2，又4<5.1<8，
则2所以0<20.8g(20.8)所以b答案　C
4.化简：＝________.
解析　原式＝＝23n＋3－2n－1－2n＋6＝28－n.
答案　28－n
5.当x∈[－2，0]时，函数f(x)＝＋2的值域是________.
解析　易知f(x)是[－2，0]上的减函数，故f(x)的最大值为f(－2)＝＋2＝8＋2＝10，最小值为f(0)＝＋2＝4，即f(x)的值域为[4，10].
答案　[4，10]
6.设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，≤x≤4.
(1)若t＝log2x，求t的取值范围；
(2)求f(x)的最值，并给出取最值时对应的x的值.
解　(1)因为t＝log2x，≤x≤4，所以log2≤t≤log24，即－2≤t≤2.
(2)f(x)＝(2＋log2x)(1＋log2x)＝logx＋3log2x＋2，令t＝log2x，则－2≤t≤2，且y＝t2＋3t＋2＝－，所以当t＝－即log2x＝－，x＝2－时，f(x)min＝－，当t＝2即x＝4时，f(x)max＝12.
能力提升
8.设函数f1(x)＝x，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2 018)))等于(　　)
A.2 018 B.2 0182
C. D.
解析　f3(2 018)＝2 0182，f2(2 0182)＝2 018－2，
f1(2 018－2)＝2 018－1＝，即原式＝.
答案　C
9.设<<<1，那么(　　)
A.aaC.ab解析　∵<<<1，∴0ab，根据y＝xa的单调性可知aa答案　C
10.设f(x)＝则满足f(x)＝的x的值为________.
解析　原方程等价于或即或即x＝3.
答案　3
11.若f(x)＝x－＋1，且f(a＋1)解析　易知f(x)是(0，＋∞)上的减函数，故原不等式等价于解得3答案　(3，5)
12.已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x.
(1)求f(－1)的值；
(2)求f(x)的解析式；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围.
解　(1)因为定义域为R的函数f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－＝.
(2)因为定义域为R的函数f(x)是奇函数，
所以f(0)＝0.
当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝－2－x，
又因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝＋2－x.
综上所述f(x)＝
(3)因为f(1)＝－且f(x)在R上单调，
所以f(x)在R上单调递减，
由f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0得
f(t2－2t)<－f(2t2－k).
因为f(x)是奇函数，所以f(t2－2t)又因为f(x)是减函数，所以t2－2t>k－2t2，
即3t2－2t－k>0对任意t∈R恒成立，
所以Δ＝4＋12k<0，得k<－即为所求.
13.(选做题)已知偶函数f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，f＝0，求不等式f(logax)＞0(a＞0，且a≠1)的解集.
解　∵f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
又f＝0，
∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，f＝0.
故若f(logax)＞0，则有logax＞或logax＜－.
①当a＞1时，由logax＞或logax＜－，
得x＞或0＜x＜.
②当0＜a＜1时，由logax＞或logax＜－，
得0＜x＜或x＞.
综上可知，当a＞1时，f(logax)＞0的解集为∪(，＋∞)；
当0＜a＜1时，f(logax)＞0的解集为(0，)∪.
章末检测(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)
1.已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则(　　)
A.A∩B＝{x|x<0} B.A∪B＝R
C.A∪B＝{x|x>1} D.A∩B＝?
解析　A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}＝{x|x<0}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}，选A.
答案　A
2.下列函数中，在区间(0，1)上为增函数的是(　　)
A.y＝2x2－x＋3 B.y＝
C.y＝x D.y＝logx
解析　∵y＝2x2－x＋3的对称轴为x＝，∴函数y＝2x2－x＋3在区间(0，1)上不是增函数，故A错；y＝的底数大于0且小于1，∴函数y＝为减函数，故B错；同理y＝logx为减函数，故D错；y＝x中，指数>0，∴函数y＝x在[0，＋∞)上单调递增，C正确.故选C.
答案　C
3.函数f(x)＝ln＋x的定义域为(　　)
A.(0，＋∞) B.(1，＋∞)
C.(0，1) D.(0，1)∪(1，＋∞)
解析　要使函数有意义，则有即解得x>1.
答案　B
4.已知函数t＝－144lg的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(小时)表示达到打字水平N(字/分)所需的学习时间，N表示打字速度(字/分)，则按此曲线要达到90字/分的水平，所需的学习时间是(　　)
A.144小时 B.90小时
C.60小时 D.40小时
解析　t＝－144lg＝－144lg＝144.
答案　A
5.如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(　　)
A.①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
B.①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
C.①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1
D.①y＝x3，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1
解析　因为y＝x3的定义域为R且为奇函数，故应为图①；y＝x2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确.
答案　B
6.已知f(x)＝a－x(a>0且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是(　　)
A.a>0 B.a>1
C.a<1 D.0解析　∵f(－2)>f(－3)，∴f(x)＝a－x＝是增函数，∴>1，∴0答案　D
7.设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.aC.b解析　由y＝0.6x在区间(0，＋∞)上是单调减函数可知，0<0.61.5<0.60.6<1，又1.50.6>1，故选C.
答案　C
8.若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)
A.a＋＜＜log2(a＋b)
B.＜log2(a＋b)＜a＋
C.a＋＜log2(a＋b)＜
D.log2(a＋b)＜a＋＜
解析　令a＝2，b＝，则a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log2∈(1，2)，则＜log2(a＋b)＜a＋，故选B.
答案　B
9.已知函数f(x)＝lg(1－x)的值域为(－∞，1]，则函数f(x)的定义域为(　　)
A.[－9，＋∞) B.[0，＋∞)
C.(－9，1) D.[－9，1)
解析　因为函数f(x)＝lg(1－x)的值域为(－∞，1]，所以lg(1－x)≤1，即0<1－x≤10，解得－9≤x<1，所以函数f(x)的定义域为[－9，1).
答案　D
10.已知c<0，下列不等式中成立的是(　　)
A.c>2c B.c>
C.2c< D.2c>
解析　在同一坐标系中分别作出y＝x，y＝，y＝2x的图象，如图，当x<0时，x<2x<，即当c<0时，c<2c<.
答案　C
11.已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有<0成立，则实数a的取值范围为(　　)
A.(－∞，2) B.
C.(－∞，2] D.
解析　∵对任意的实数x1≠x2都有<0成立，∴当x1f(x2)，可得函数f(x)是定义在R上的减函数，因此，①当x≥2时，函数f(x)＝(a－2)x为一次函数且为减函数，有a<2…(*)；
②当x<2时，f(x)＝－1也是减函数.同时，还需满足：2(a－2)≤－1，解之得a≤，再结合(*)可得实数a的取值范围是：，故选B.
答案　B
12.若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是(　　)
A.0C.1解析　令g(x)＝x2－ax＋1(a>0，且a≠1)，①当a>1时，由题意知g(x)的最小值＞0，∴1答案　C
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
13.已知lg 2＝a，lg 3＝b，则用a，b表示log125的值为________.
解析　∵lg 2＝a，lg 3＝b，∴log125＝＝＝.
答案　
14.已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f的值为________.
解析　∵1>0，∴f(1)＝log21＝0，
f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2.∵log3<0，
∴f＝3－log3＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3.
∴f(f(1))＋f＝2＋3＝5.
答案　5
15.已知当x>0时，函数f(x)＝(2a－1)x的值总大于1，则函数y＝
a2x－x2的单调增区间是________.
解析　当x>0时，函数f(x)＝(2a－1)x的值总大于1，故2a－1>1，解得a>1.设t＝2x－x2，则函数y＝ax为增函数，则要求函数y＝a2x－x2的单调增区间，即求t＝2x－x2的增区间.∵函数t＝2x－x2的增区间为(－∞，1)，∴函数y＝a2x－x2的单调增区间是(－∞，1).
答案　(－∞，1)(或(－∞，1])
16.给出下列结论：①＝±2；②y＝x2＋1，x∈[－1，2]，y的值域是[2，5]；③幂函数图象一定不过第四象限；④函数f(x)＝ax＋1－2(a>0，a≠1)的图象过定点(－1，－1)；⑤若ln a<1成立，则a的取值范围是(－∞，e).
其中正确的序号是________.
解析　①＝2，因此不正确；②y＝x2＋1，x∈[－1，2]，y的值域是[1，5]，因此不正确；③幂函数图象一定不过第四象限，正确；④当x＝－1时，f(－1)＝a0－2＝－1，∴函数f(x)＝ax＋1－2(a>0，a≠1)的图象过定点(－1，－1)，正确；⑤若ln a<1成立，则a的取值范围是(0，e)，因此不正确.综上可得：只有③④正确.
答案　③④
三、解答题(本大题共6个小题，共70分)
18.(12分)已知函数f(x)＝a2x＋2ax－1(a>1，且a为常数)在区间[－1，1]上的最大值为14.
(1)求f(x)的表达式；
(2)求满足f(x)＝7时x的值.
解　(1)令t＝ax>0，∵x∈[－1，1]，a>1，∴ax∈，即t∈，f(x)＝y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，故当t＝a时，函数y取得最大值为a2＋2a－1＝14，求得a＝3，∴f(x)＝32x＋2×3x－1.
(2)由f(x)＝7，可得32x＋2×3x－1＝7，即(3x＋4)(3x－2)＝0，求得3x＝2，∴x＝log32.
19.(12分)已知函数f(x)＝xm－且f(4)＝.
(1)求m的值；
(2)判断f(x)的奇偶性.
解　(1)由f(4)＝得，＝4m－，∴4m＝4，∴m＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝x－，f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数.
20.(12分)若函数f(x)＝为奇函数.
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域.
解　函数f(x)＝＝a－.
(1)由奇函数的定义，可得f(－x)＋f(x)＝0，即2a－－＝0，∴a＝－；
(2)由(1)知，f(x)＝－－，∴3x－1≠0即x≠0.∴函数f(x)＝－－的定义域为{x|x≠0}.
21.(12分)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝log(－x＋1).
(1)求f(0)，f(1)；
(2)求函数f(x)的解析式；
(3)若f(a－1)<－1，求实数a的取值范围.
解　(1)因为当x≤0时，f(x)＝log(－x＋1)，所以f(0)＝0.又函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝log[－(－1)＋1]＝log2＝－1，即f(1)＝－1.
(2)令x>0，则－x<0，从而f(－x)＝log(x＋1)＝f(x)，∴x>0时，f(x)＝log(x＋1).
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝
(3)设x1，x2是任意两个值，且x1－x2≥0，∴1－x1>1－x2>0.
∵f(x2)－f(x1)＝log(－x2＋1)－log(－x1＋1)＝log>log1＝0，
∴f(x2)>f(x1)，
∴f(x)＝log(－x＋1)在(－∞，0]上为增函数.
又f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数.
∵f(a－1)<－1＝f(1)，∴|a－1|>1，
解得a>2或a<0.
故实数a的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞).
22.(12分)设f(x)＝log＋x为奇函数，a为常数.
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)在x∈(1，＋∞)上的单调性，并说明理由；
(3)若对于区间[3，4]上的每一个x值，不等式f(x)>＋m恒成立，求实数m的取值范围.
解　(1)∵f(x)＝log＋x为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0对定义域内的任意x都成立，
∴log－x＋log＋x＝0，
∴·＝1，解得a＝－1或a＝1(舍去).
(2)由(1)知f(x)＝log＋x，任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1－＝>0，
∴>>0，
∴log∴log＋x1(3)令g(x)＝f(x)－，x∈[3，4]，
∵y＝在x∈[3，4]上是减函数，
∴由(2)知，g(x)＝f(x)－在x∈[3，4]上是增函数，∴g(x)min＝g(3)＝.
∵对于区间[3，4]上的每一个x值，不等式f(x)>＋m恒成立，即m∴m<，即m的取值范围是.