§3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
学习目标 1.理解函数零点的定义，会求某些函数的零点(重点).2.掌握函数零点的判定方法(重、难点).3.了解函数的零点与方程的根的联系(重点).
知识点1 函数的零点
(1)概念：函数f(x)的零点是使f(x)＝0的实数x.
(2)函数的零点与函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
【预习评价】
(1)函数f(x)＝x2－4x的零点是________.
(2)若2是函数f(x)＝a·2x－log2x的零点，则a＝________.
解析 (1)令f(x)＝0，即x2－4x＝0，
解得x＝0或x＝4，
所以f(x)的零点是0，4.
(2)由f(2)＝4a－1＝0得a＝.
答案 (1)0，4 (2)
知识点2 函数零点的判断
(1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.
(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)设f(x)＝，由于f(－1)f(1)<0，所以f(x)＝在(－1，1)内有零点( )
(2)若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.( )
(3)若函数f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内只有一个零点.( )
提示 (1)× 由于f(x)＝的图象在[－1，1]上不是连续不断的曲线，所以不能得出其有零点的结论.
(2)× 反例：f(x)＝x2－2x在区间(－1，3)内有零点，但f(－1)·f(3)>0.
(3)× 反例：f(x)＝x(x－1)(x－2)，区间为(－1，3)，满足条件，但f(x)在(－1，3)内有0，1，2三个零点.
题型一 函数零点的概念及求法
【例1】 (1)函数y＝1＋的零点是( )
A.(－1，0) B.x＝－1
C.x＝1 D.x＝0
(2)设函数f(x)＝21－x－4，g(x)＝1－log2(x＋3)，则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为________.
(3)若3是函数f(x)＝x2－mx的一个零点，则m＝________.
解析 (1)令1＋＝0，解得x＝－1，故选B.
(2)令f(x)＝21－x－4＝0，解得x＝－1，即f(x)的零点为－1.令g(x)＝1－log2(x＋3)＝0，解得x＝－1，即g(x)的零点为－1，所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2.
(3)由f(3)＝32－3m＝0解得m＝3.
答案 (1)B (2)－2 (3)3
规律方法 函数零点的两种求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
【训练1】 函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________.
解析 ∵函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，∴2a＋b＝0?b＝－2a，∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1).∵－ax(2x＋1)＝0?x＝0，x＝－，∴函数g(x)＝bx2－ax的零点是0，－.
答案 0，－
题型二 确定函数零点的个数
【例2】 判断下列函数零点的个数.
(1)f(x)＝x2－x＋；
(2)f(x)＝ln x＋x2－3.
解 (1)由f(x)＝0，即x2－x＋＝0，得Δ＝－4×＝－<0，
所以方程x2－x＋＝0没有实数根，即f(x)零点的个数为0.
(2)法一 函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数.
在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点.从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点.
法二 由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
所以f(1)·f(2)<0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1，2)上是不间断的，
所以f(x)在(1，2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个.
规律方法 判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.
(3)结合单调性，利用零点存在性定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点问题.
【训练2】 函数f(x)＝ln x－的零点的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 如图画出y＝ln x与y＝的图象，由图知y＝ln x与y＝(x>0，且x≠1)的图象有两个交点.故函数f(x)＝ln x－的零点有2个.
答案 C
题型三 判断函数零点所在的区间
【例3】 (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是( )
A.(－3，－1)和(2，4) B.(－3，－1)和(－1，1)
C.(－1，1)和(1，2) D.(－∞，－3)和(4，＋∞)
(2)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，4) D.(4，＋∞)
解析 (1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2，4)内有根.故选A.
(2)∵f(x)＝－log2x，∴f(x)为(0，＋∞)上的减函数，且f(1)＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－2＝－<0，由零点存在性定理，可知包含f(x)零点的区间是(2，4).
答案 (1)A (2)C
规律方法 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
【训练3】 (1)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A.(－2，－1) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(1，2)
(2)若方程xlg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于( )
A.－2 B.1
C.－2或1 D.0
解析 (1)∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)·f(1)＜0，又f(x)的图象在(0，1)内是一条连续不断的曲线，∴f(x)在(0，1)内有零点.
(2)由题意知，x≠0，则原方程即为lg(x＋2)＝，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝lg(x＋2)与y＝的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1，2)上，所以k＝－2或k＝1.故选C.
答案 (1)C (2)C
课堂达标
1.函数f(x)＝2x2－4x－3的零点有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.不能确定
解析 由f(x)＝0，即2x2－4x－3＝0，因为Δ＝(－4)2－4×2×(－3)＝40>0，所以方程2x2－4x－3＝0有两个不相等的实根，即f(x)有两个零点.
答案 C
2.函数f(x)＝4x－2x－2的零点是( )
A.(1，0) B.1
C. D.－1
解析 由f(x)＝4x－2x－2＝(2x－2)(2x＋1)＝0得2x＝2，解得x＝1.
答案 B
3.函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是( )
A.(1，＋∞) B.
C. D.
解析 f(1)＝2－1＝1，f＝2－2＝－2<0，即ff(1)<0，且f(x)的图象在内是一条连续不断的曲线，故f(x)的零点所在的区间是.
答案 B
4.函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是________.
解析 函数f(x)＝x2－2x的零点个数，等价于函数y＝2x，y＝x2的图象交点个数.如图，画出函数y＝2x，y＝x2的大致图象.
由图象可知有3个交点，即f(x)＝x2－2x有3个零点.
答案 3
5.若是函数f(x)＝2x2－ax＋3的一个零点，求f(x)的另一个零点.
解 由f＝2×－a＋3＝0得a＝5，则f(x)＝2x2－5x＋3.令f(x)＝0，即2x2－5x＋3＝0，解得x1＝，x2＝1，所以f(x)的另一个零点是1.
课堂小结
1.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.
2.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标.
3.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.
基础过关
1.下列函数没有零点的是( )
A.f(x)＝0 B.f(x)＝2
C.f(x)＝x2－1 D.f(x)＝x－
解析 函数f(x)＝2，对任意x∈R不能满足方程f(x)＝0，因此函数f(x)＝2没有零点.
答案 B
2.对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)＜0，则( )
A.方程f(x)＝0一定有实数解
B.方程f(x)＝0一定无实数解
C.方程f(x)＝0一定有两实数解
D.方程f(x)＝0可能无实数解
解析 ∵函数f(x)的图象在(－1，3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)＜0，但未必函数y＝f(x)在(－1，3)上有零点，即方程f(x)＝0可能无实数解.
答案 D
3.函数f(x)＝－x3－3x＋5的零点所在的大致区间是( )
A.(－2，0) B.(0，1)
C.(1，2) D.(2，3)
解析 ∵函数f(x)＝－x3－3x＋5是单调递减函数，又∵f(1)＝－13－3×1＋5＝1>0，f(2)＝－23－3×2＋5＝－9<0，∴函数f(x)的零点必在区间(1，2)上，故必存在零点的区间是(1，2)，故选C.
答案 C
4.函数f(x)＝的零点是________.
解析 令f(x)＝0，即＝0，则x－1＝0或ln x＝0，∴x＝1，故函数f(x)的零点为1.
答案 1
5.函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是________.
解析 函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数，即为函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1图象的交点个数.
在同一坐标系内分别作出函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1的图象，如图，
由图可知函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是2.
答案 2
6.已知函数f(x)＝x2＋(lg a＋2)x＋lg b，－1是函数F(x)＝f(x)＋2的一个零点，且对于任意x∈R，恒有f(x)≥2x成立，求实数a，b的值.
解 由已知条件知，F(－1)＝0，∴lg b－lg a＋1＝0；又f(x)≥2x恒成立，有x2＋xlg a＋lg b≥0恒成立，∴Δ＝(lg a)2－4lg b≤0.由lg b－lg a＋1＝0得，lg a＝lg b＋1；∴(lg b＋1)2－4lg b≤0，∴(lg b－1)2≤0.故lg b＝1，即b＝10，则a＝100.
7.设函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，且g(1)＝－.
(1)求证：函数g(x)有两个零点；
(2)讨论函数g(x)在区间(0，2)内的零点个数.
(1)证明 ∵g(1)＝a＋b＋c＝－，∴3a＋2b＋2c＝0，
∴c＝－a－b.∴g(x)＝ax2＋bx－a－b，∴Δ＝b2－4a＝(2a＋b)2＋2a2.∵a>0，∴Δ>0恒成立，
故函数f(x)有两个零点.
(2)解 根据g(0)＝c，g(2)＝4a＋2b＋c，又由(1)知3a＋2b＋2c＝0，∴g(2)＝a－c.
(ⅰ)当c>0时，有g(0)>0，又∵a>0，
∴g(1)＝－<0，
故函数g(x)在区间(0，1)内有一个零点，故在区间(0，2)内至少有一个零点.
(ⅱ)当c≤0时，g(1)<0，g(0)＝c≤0，g(2)＝a－c>0，
∴函数f(x)在区间(1，2)内有一零点，
综合(ⅰ)(ⅱ)，可知函数g(x)在区间(0，2)内至少有一个零点.
能力提升
8.偶函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，则方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.0
解析 由函数零点存在性定理可知，函数f(x)在区间[0，a]只有一个零点，设为x0，则f(x0)＝0，又因为f(x)为偶函数，所以f(－x0)＝f(x0)＝0，即－x0是函数在[－a，0]内唯一的零点，故方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数为2.
答案 B
9.方程lg x＝8－2x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k等于( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析 令f(x)＝lg x＋2x－8，
则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且在(0，＋∞)上连续.
因为f(1)＝－6<0，f(2)＝lg 2－4<0，
f(3)＝lg 3－2<0，f(4)＝lg 4>0，所以f(3)f(4)<0，
函数零点所在的区间是(3，4)，所以k＝3.
答案 B
10.若a
A.(a，b)和(b，c)内
B.(－∞，a)和(a，b)内
C.(b，c)和(c，＋∞)内
D.(－∞，c)和(c，＋∞)内
解析 ∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b).∵a0，f(b)<0，f(c)>0.∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.故选A.
答案 A
11.设x1，x2，x3依次是方程logx＋2＝x，log2(x＋2)＝，2x＋x＝2的实根，则x1，x2，x3的大小关系为________.
解析 logx＝x－2，令y＝logx与y＝x－2，在同一坐标系中作出y＝logx与y＝x－2的图象，如图①.
由图形可知，两图象交点横坐标x1满足1同理作出y＝log2(x＋2)与y＝的图象，如图②.
由图形可知，两图象交点的横坐标x2满足－1作出y＝2x与y＝－x＋2的图象，如图③.
由图形可知，两图象交点的横坐标x3满足0综上可述，x2答案 x212.已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值.
解 (1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ>0，即4＋12(1－m)>0，可解得m<.
由Δ＝0，可解得m＝；
由Δ<0，可解得m>.
故当m<时，函数有两个零点；
当m＝时，函数有一个零点；
当m>时，函数无零点.
(2)由题意知0是对应方程的根，故有1－m＝0，可解得m＝1.
13.(选做题)已知二次函数f(x)满足：f(0)＝3，f(x＋1)＝f(x)＋2x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)令g(x)＝f(|x|)＋m(m∈R)，若函数g(x)有4个零点，求实数m的取值范围.
解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝3，
∴c＝3，∴f(x)＝ax2＋bx＋3.
f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋3
＝ax2＋(2a＋b)x＋(a＋b＋3)，
f(x)＋2x＝ax2＋(b＋2)x＋3.
∵f(x＋1)＝f(x)＋2x，∴
解得a＝1，b＝－1，∴f(x)＝x2－x＋3.
(2)由(1)，得g(x)＝x2－|x|＋3＋m，
在平面直角坐标系中，画出函数g(x)的图象，如图所示，
由于函数g(x)有4个零点，则函数g(x)的图象与x轴有4个交点.由图象得
解得－3＜m＜－，
即实数m的取值范围是.
3.1.2 用二分法求方程的近似解
学习目标 1.了解二分法求方程近似解的步骤.2.能用二分法求出方程的近似解.
知识点1 二分法的定义
(1)满足的条件：
在区间[a，b]上连续不断的函数y＝f(x)且在区间端点的函数值满足：f(a)f(b)<0.
(2)操作过程：
把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值.
【预习评价】
二分法求函数的零点的近似值适合于( )
A.零点两侧函数值异号的函数
B.零点两侧函数值同号的函数
C.所有函数都适合
D.所有函数都不适合
解析 由函数零点存在性定理可知选A.
答案 A
知识点2 二分法求函数零点近似值的步骤
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解.( )
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点.( )
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内.( )
提示 (1)× 如函数f(x)＝x－2用二分法求出的解就是精确解.
(2)× 对于函数f(x)＝|x|，不存在区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，所以不能用二分法求其零点.
(3)× 函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内.
题型一 二分法概念的理解
【例1】 (1)下列函数中，不能用二分法求零点的是( )
(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________.
解析 (1)观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，故B不能用二分法求零点.
(2)设f(x)＝2x＋3x－7，则f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，故f(x)零点所在的区间为(1，2)，∴方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1，2).
答案 (1)B (2)(1，2)
规律方法 运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左右函数值异号.
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.
【训练1】 已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A.4，4 B.3，4
C.5，4 D.4，3
解析 图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；零点左、右函数值异号的有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.
答案 D
题型二 用二分法求函数的零点
【例2】 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点(精确度0.01).
解 经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1，1.5]内存在零点x0.
取区间(1，1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25，1.5).
如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：
(a，b)
(a，b)的中点
中点函数值符号
(1，1.5)
1.25
f(1.25)<0
(1.25，1.5)
1.375
f(1.375)>0
(1.25，1.375)
1.312 5
f(1.312 5)<0
(1.312 5，1.375)
1.343 75
f(1.343 75)>0
(1.312 5，1.343 75)
1.328 125
f(1.328 125)>0
(1.312 5，1.328 125)
1.320 312 5
f(1.320 312 5)<0
因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5<0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328 125.
规律方法 用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成).
(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
【训练2】 证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一一个零点，并求出这个零点(精确度0.1).
解 ∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一的零点，设该零点为x0，则x0∈(1，2).取x1＝1.5，则f(1.5)≈1.33>0，f(1)f(1.5)<0，
∴x0∈(1，1.5).
取x2＝1.25，则f(1.25)＝0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，
∴x0∈(1，1.25).
取x3＝1.125，则f(1.125)＝－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125，1.25).
取x4＝1.187 5，则f(1.187 5)＝－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5，1.25).
∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，∴可取x0＝1.25，则函数f(x)的一个零点可取x0＝1.25.
题型三 用二分法求方程的近似解
【例3】 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1).
解 令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0，
所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0，1)内有解.
取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0，
又f(1)＞0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b)
中点c
f(a)
f(b)
f()
(0，1)
0.5
f(0)＜0
f(1)＞0
f(0.5)＜0
(0.5，1)
0.75
f(0.5)＜0
f(1)＞0
f(0.75)＞0
(0.5，0.75)
0.625
f(0.5)＜0
f(0.75)＞0
f(0.625)＜0
(0.625，0.75)
0.687 5
f(0.625)＜0
f(0.75)＞0
f(0.687 5)＜0
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5＜0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.
规律方法 用二分法求方程的近似解的思路和方法
(1)思路：求方程f(x)＝0的近似解，可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.
(2)方法：对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点的近似值，然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解.
【训练3】 求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1).
解 设f(x)＝x2－2x－1.因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，所以可以确定区间(2，3)作为计算的初始区间.
用二分法逐步计算，列表如下：
端点(中点)
端点或中点的函数值
取值区间
f(2)＝－1，f(3)＝2
(2，3)
x1＝＝2.5
f(2.5)＝0.25>0
(2，2.5)
x2＝＝2.25
f(2.25)＝－0.437 5<0
(2.25，2.5)
x3＝＝2.375
f(2.375)<0
(2.375，2.5)
x 4＝＝2.437 5
f(2.437 5)>0
(2.375，2.437 5)
由于|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，
因此可以选取区间(2.375，2.437 5)内的任意一个数，例如取2.4作为函数的一个零点，从而方程x2＝2x＋1的一个近似解为2.4.
课堂达标
1.下列函数中能用二分法求零点的是( )
解析 在A和D中，函数虽有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点.在B中，函数无零点.在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中的函数能用二分法求其零点.
答案 C
2.用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( )
A.0.9 B.0.7
C.0.5 D.0.4
解析 由题意可知函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.7，满足|0.7－0.68|<0.1，故选B.
答案 B
3.用二分法求关于x的方程ln x＋2x－6＝0的近似解时，能确定为解所在的初始区间的是( )
A.(2，3) B.(0，2)
C.(1，2) D.(0，＋∞)
解析 令函数f(x)＝ln x＋2x－6，可判断f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵f(1)＝－4，f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0，∴根据函数的零点判断方法可得：零点在(2，3)内，方程ln x＋2x－6＝0的解所在的初始区间为(2，3).故选A.
答案 A
4.某方程有一无理根在区间D＝(1，3)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分________次后，所得近似值的精确度达到0.1.
解析 由<0.1，得2n－1>10，∴n－1≥4，即n≥5.
答案 5
5.判定方程3x－x2＝0在区间[1，2]内是否有实数解，若有，求出精确度为0.01的近似解；若没有，请说明理由.
解 方程3x－x2＝0在区间[1，2]内没有实数解，下面说明理由.
设f(x)＝3x－x2，则f(1)＝2>0，f(2)＝5>0，
又根据函数y＝3x，y＝x2增长速度可知，当x∈[1，2]时，3x－x2>0恒成立，
故不存在x∈[1，2]，使3x－x2＝0，
即方程3x－x2＝0在区间[1，2]内没有实数解.
课堂小结
1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·f(b)＜0.
上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.
基础过关
1.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
0
1
2
3
f(x)
3.1
0.1
－0.9
－3
那么函数f(x)一定存在零点的区间是( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，＋∞)
解析 因为f(1)f(2)<0，所以f(x)在(1，2)内一定存在零点.
答案 B
2.以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( )
解析 根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C的图象经过零点时函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点.
答案 C
3.在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是( )
A.[1，4] B.[－2，1]
C. D.
解析 ∵第一次所取的区间是[－2，4]，∴第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，∴第三次所取的区间可能为，，，.
答案 D
4.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________.
解析 设函数f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(4)＝51>0，∴下一个有根区间是(2，3).
答案 (2，3)
5.关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的有________.
①“二分法”求方程的近似解一定可将f(x)＝0在[a，b]内的所有根得到
②“二分法”求方程的近似解有可能得到f(x)＝0在[a，b]内的重根
③“二分法”求方程的近似解有可能得到f(x)＝0在[a，b]内没有根
④“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解
解析 利用二分法求方程f(x)＝0在[a，b]内的根，那么在区间[a，b]内肯定有根存在，而对于重根无法求解出来，且所得的近似解可能是[a，b]内的精确解.
答案 ④
6.用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据：
x
1.125
1.25
1.375
1.5
1.625
1.75
1.875
2x
2.18
2.38
2.59
2.83
3.08
3.36
3.67
解 令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4<0，
f(2)＝22＋2－4>0.
区间
区间中点值xn
f(xn)的值及符号
(1，2)
x1＝1.5
f(x1)＝0.33>0
(1，1.5)
x2＝1.25
f(x2)＝－0.37<0
(1.25，1.5)
x3＝1.375
f(x3)＝－0.035<0
(1.375，1.5)
∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，
∴2x＋x＝4在[1，2]内的近似解可取为1.375.
7.已知函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上为增函数，求方程f(x)＝0的正根(精确度0.01).
解 由于函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上为增函数，故在(0，＋∞)上也单调递增，
因此f(x)＝0的正根最多有一个.
因为f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，
所以方程的正根在(0，1)内，取(0，1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：
区间
中点值
中点函数近似值
(0，1)
0.5
0.732
(0，0.5)
0.25
－0.084
(0.25，0.5)
0.375
0.328
(0.25，0.375)
0.312 5
0.124
(0.25，0.312 5)
0.281 25
0.021
(0.25，0.281 25)
0.265 625
－0.032
(0.265 625，0.281 25)
0.273 437 5
－0.005 43
(0.273 437 5，0.281 25)
因为|0.273 437 5－0.281 25|＝0.007 812 5<0.01，所以方程的根的近似值为0.273 437 5，即f(x)＝0的正根约为0.273 437 5.
能力提升
8.函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.437 5)＝0.162
f(1.406 25)＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.1)为( )
A.1.2 B.1.3
C.1.4 D.1.5
解析 ∵f(1.437 5)＝0.162，f(1.406 25)＝－0.054，
∴f(1.437 5)·f(1.406 25)<0，
即方程有一个近似解在(1.406 25，1.437 5)内.
又∵|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25＜0.1，
∴可取方程近似解为1.4.
答案 C
9.用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2，3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1.( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析 开区间(2，3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n此操作后，区间长度变为，故有≤0.1，∴n≥4，∴至少需要操作4次.故选C.
答案 C
10.用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.
解析 二分法要不断地取区间的中点值进行计算.由f(0)＜0，f(0.5)＞0，知x0∈(0，0.5).再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以判断x0更准确的位置.
答案 (0，0.5) f(0.25)
11.函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________.
解析 ∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，
∴函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，
∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.
答案 a2＝4b
12.求函数y＝2x＋3x－7的近似零点(精确度为0.1).
解 设f(x)＝2x＋3x－7，根据二分法逐步缩小函数的零点所在的区间.
经计算，f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，
所以函数f(x)＝2x＋3x－7在[1，2]内存在零点.
取[1，2]的中点1.5，经计算，f(1.5)≈0.33>0，
又f(1)＝－2<0，所以函数f(x)＝2x＋3x－7在[1，1.5]内有零点.
如此下去，得到函数f(x)＝2x＋3x－7的零点所在的区间，
如下表：
左端点
右端点
第1次
1
2
第2次
1
1.5
第3次
1.25
1.5
第4次
1.375
1.5
第5次
1.375
1.437 5
因为|1.437 5－1.375|＝0.062 5＜0.1，
所以1.4是函数y＝2x＋3x－7的近似零点.
13.(选做题)如图，有一块边长为15 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子.
(1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；
(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少(精确度为0.1 cm)?
解 (1)盒子的体积y以x为自变量的函数解析式是y＝(15－2x)2x，其定义域为{x|0(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么有方程(15－2x)2x＝150.
下面用二分法来求方程在(0，7.5)内的近似解.
∵f(0)＝0－150＜0，
f(1)＝(15－2)2×1－150＞0，
f(2)＝(15－4)2×2－150＞0，
f(3)＝(15－6)2×3－150＞0，
f(4)＝(15－8)2×4－150＞0，
f(5)＝(15－10)2×5－150＜0，
f(6)＝(15－12)2×6－150＜0，
f(7)＝(15－14)2×7－150＜0，
f(7.5)＝0－150＜0，
又f(x)在(0，7.5)内连续，故函数f(x)在定义域内分别在区间(0，1)和(4，5)内各有一个零点，即方程(15－2x)2x＝150分别在区间(0，1)和(4，5)内各有一个解.下面用二分法求方程的近似解.
取区间(0，1)的中点x1＝0.5，用计算器可算得f(0.5)＝－52.
∵f(0.5)·f(1)<0，∴x0∈(0.5，1).
再取(0.5，1)的中点x2＝0.75，用计算器可算得f(0.75)≈－13.31.
∵f(0.75)·f(1)<0，
∴x0∈(0.75，1).
同理可得x0∈(0.75，0.875)，x0∈(0.75，0.812 5)，此时区间的长度小于0.1，∴方程在区间(0，1)内的近似解可取为0.8.
同理可得方程在区间(4，5)内的近似解可取为4.7.
∴如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长大约是0.8 cm或4.7 cm.
§3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
学习目标 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义(重点).2.会分析具体的实际问题，并进行数学建模解决实际问题(重点).
知识点 三种函数模型的性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化趋势
随x增大逐渐近似与y轴平行
随x增大逐渐近似与x轴平行
随n值而不同
增长速度
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢
②存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.( )
(2)函数y＝log2x增长的速度越来越慢.( )
(3)不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.( )
提示 (1)√ 因为一次函数的图象是直线，所以当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值.
(2)√ 由函数y＝log2x的图象可知其增长的速度越来越慢.
(3)× 根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.
题型一 几类函数模型的增长差异
【例1】 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )
A.y＝2 017x B.y＝x2 017
C.y＝log2 017x D.y＝2 017x
(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
32 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
则关于x呈指数型函数变化的变量是________.
解析 (1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.
(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化.
答案 (1)A (2)y2
规律方法 常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
(2)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m>0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”.
(4)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定.
【训练1】 下列函数中随x的增大而增长速度最快的是( )
A.y＝ex B.y＝100 ln x
C.y＝x100 D.y＝100·2x
解析 指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快，应选A.
答案 A
典例
迁移
题型二 指数函数、对数函数与幂函数模型的比较
【例2】 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 011)，g(2 011)的大小.
解 (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，所以1x2，从图象上可以看出，当x1x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 011)>g(2 011).又因为g(2 011)>g(6)，所以f(2 011)>g(2 011)>g(6)>f(6).
【迁移1】 (变换条件)在例2中，若将“函数f(x)＝2x”改为“f(x)＝3x”，又如何求解第(1)题呢？
解 由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝3x.
【迁移2】 (变换所求)本例条件不变，例2(2)题中结论改为：试结合图象，判断f(8)，g(8)，f(2 015)，g(2 015)的大小.
解 因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，所以1x2，从图象上可以看出，当x1x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 015)>g(2 015)，又因为g(2 015)>g(8)，所以f(2 015)>g(2 015)>g(8)>f(8).
规律方法 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数.
题型三 函数模型的选择问题
【例3】 某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
解 根据题意可列方程组
解得
所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①
同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.②
再将x＝4分别代入①与②式得
f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t).
与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好.
规律方法 建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论.
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.
【训练2】 某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元.作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？
解 A种债券的收益是每100元一年到期收益3元；B种债券的半年利率为，所以100元一年到期的本息和为100≈105.68(元)，收益为5.68元；C种债券的利率为，100元一年到期的本息和为100≈103.09(元)，收益为3.09元.通过以上分析，应购买B种债券.
课堂达标
1.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为( )
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
解析 随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型.故选A.
答案 A
2.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( )
A.y＝3x B.y＝log3x
C.y＝x3 D.y＝3x
解析 几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.
答案 D
3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
解析 设该林区的森林原有蓄积量为a，
由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，
∴y＝f(x)的图象大致为D中图象.
答案 D
4.当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是( )
A.2x＞x2＞log2x B.x2＞2x＞log2x
C.2x＞log2x＞x2 D.x2＞log2x＞2x
解析 法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象(图略)，在区间(2，4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2＞2x＞log2x.
法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x＝3，经检验易知选B.
答案 B
5.有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是p万元和q万元，它们与投入资金m(万元)的关系式为p＝m，q＝.今有3万元资金投入这两种商品.
若设甲商品投资x万元，投资两种商品所获得的总利润为y万元.
(1)写出y关于x的函数表达式；
(2)如何分配资金可使获得的总利润最大？并求最大利润的值.
解 (1)由题意知，对甲种商品投资x万元，获总利润为y万元，
则对乙种商品的投资为(3－x)万元，
所以y＝x＋·(0≤x≤3).
(2)令t＝(0≤t≤)，
则x＝3－t2，
所以y＝(3－t2)＋t
＝－＋，
所以当t＝时，ymax＝＝1.05(万元).
由t＝＝可求得x＝0.75(万元)，3－x＝2.25(万元)，
所以为了获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，
此时获得最大利润为1.05万元.
课堂小结
三种函数模型的选取
(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.
(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快.
基础过关
1.某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A.一次函数 B.二次函数
C.指数型函数 D.对数型函数
解析 对数函数的增长速度是先快后慢，故D符合题意.
答案 D
2.下列函数中，随x增大而增大速度最快的是( )
A.2 017ln x B.y＝x2 017
C.y＝ D.y＝2 017·2x
解析 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝2 017·2x的增长速度最快.故选D.
答案 D
3.若x∈(1，2)，则下列结论正确的是( )
A.2x＞x＞lg x B.2x＞lg x＞x
C.x＞2x＞lg x D.x＞lg x＞2x
解析 ∵x∈(1，2)，∴2x＞2.
∴x∈(1，)，lg x∈(0，1).
∴2x＞x＞lg x.
答案 A
4.函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________.
解析 当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比xln x增长的要快.
答案 y＝x2
5.三个变量y1，y2，y3随变量x的变化情况如表：
x
1.00
3.00
5.00
7.00
9.00
11.00
y1
5
135
625
1 715
3 645
6 655
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5.00
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40
其中关于x呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________.
解析 根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y2随着x的增大而迅速增加，呈指数函数型变化，y3随着x的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化，y1相对于y2的变化要慢一些，呈幂函数型变化.
答案 y3 y2 y1
6.有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐.
乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次.
请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？
解 设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4a.
乙方案在10年后树木产量为：
y2＝2a(1＋20%)5＝2a×1.25≈4.98a.
y1－y2＝4a－4.98a<0，因此，乙方案能获得更多的木材(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算).
7.现有某种细胞100个，每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，且每次只有占总数的细胞分裂，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3≈0.477，lg 2≈0.301)
解 现有细胞100个，先考虑经过1，2，3，4个小时后的细胞总数：
1小时后，细胞总数为×100＋×100×2＝×100(个)；
2小时后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100(个)；
3小时后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100(个)；
4小时后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100(个).
可归纳出，细胞总数y(个)与时间x(小时)之间的函数关系为y＝100×()x，x∈N*.
由100×()x>1010，得()x>108，
两边同时取以10为底的对数，得xlg>8，
∴x>.∵＝≈45.45，
∴x>45.45.
故经过46小时，细胞总数超过1010个.
能力提升
8.向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )
解析 取OH的中点(如图)E作h轴的垂线，由图知当水深h达到容器高的一半时，体积V大于一半.易知B符合题意.
答案 B
9.下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是( )
A.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢
B.f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快
C.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢
D.f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快
解析 观察函数f(x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的大致图象如图，可知：函数f(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢；同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，故选C.
答案 C
10.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1).有以下结论：
①当x>1时，甲走在最前面；
②当x>1时，乙走在最前面；
③当01时，丁走在最后面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.
其中，正确结论的序号为________.
解析 四个函数的大致图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确.
答案 ③④⑤
11.如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象.有以下叙述：
①第4个月时，残留量就会低于；
②每月减少的有害物质量都相等；
③若残留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
其中所有正确叙述的序号是________.
解析 根据题意，函数的图象经过点(2，)，
故函数为y＝()t.易知①③正确.
答案 ①③
12.有甲、乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同.甲中心每小时5元；乙中心按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)90元，超过30小时的部分每小时2元.某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.
(1)设在甲中心健身活动x小时的收费为f(x)元，在乙中心健身活动x小时的收费为g(x)元，试求f(x)和g(x)；
(2)选择哪家比较合算？为什么？
解 (1)f(x)＝5x，15≤x≤40，
g(x)＝
(2)当5x＝90时，x＝18，
即当15≤x<18时，f(x)当x＝18时，f(x)＝g(x)，
当18g(x)；
所以当15≤x<18时，选甲比较合算；当x＝18时，两家一样合算；当1813.(选做题)已知函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数.
(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)若x∈(0，＋∞)，试分别写出使不等式：
①log2x<2x②log2x(3)求不等式loga(x－3)>loga(5－x)的解集.
解 (1)∵函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数，
∴f(x)＝2x.
(2)作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x在同一直角坐标系中的图象，可得：22＝4，24＝42＝16，
①∵log2x<2x②∵log2x4，解集为(0，2)∪(4，＋∞).
(3)∵loga(x－3)>loga(5－x)，
∴当a>1时，解得4∴当a>1时，解集为(4，5).
∵当0∴当03.2.2 函数模型的应用实例
学习目标 1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点).2.能建立函数模型解决实际问题(重、难点).
知识点1 常见的函数模型
常
用
函
数
模
型
(1)一次函数模型
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数型函数模型
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数型函数模型
y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂型函数模型
y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数
y＝
【预习评价】
一个矩形的周长是40，矩形的长y关于宽x的函数解析式为( )
A.y＝20－x(0B.y＝20－2x(0C.y＝40－x(0D.y＝40－2x(0解析 由题意可知2y＋2x＝40，即y＝20－x，又20－x>x，所以0答案 A
知识点2 解决函数应用问题的步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.
这些步骤用框图表示如图：
【预习评价】
某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.
解析 L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500，当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元.
答案 2 500
题型一 一次函数、二次函数模型
【例1】 商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售.问：
(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
解 (1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则x∈(100，300]，n＝kx＋b(k<0).∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300).
∴利润y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10 000k(x∈(100，300]).
∵k<0，∴x＝200时，ymax＝－10 000k，
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元.
(2)由题意得，k(x－100)(x－300)＝－10 000k·75%，
x2－400x＋37 500＝0，解得x＝250或x＝150，
所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元.
规律方法 利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
【训练1】 某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100(0≤t≤24)，则每天何时蓄水池中的存水量最少.
解 设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－100(0≤t≤24).
设u＝，则u∈[0，2]，y＝60u2－100u＋400＝
60＋150，
∴当u＝即t＝时，蓄水池中的存水量最少.
题型二 指数型函数、对数型函数模型
【例2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍.
解 (1)由v＝log3可知，
当θ＝900时，v＝log3＝log39＝1(m/s).
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.
(2)由v2－v1＝1，即log3－log3＝1，得＝9.所以耗氧量的单位数为原来的9倍.
规律方法 指数型、对数型函数问题的类型及解法
(1)指数型函数模型：y＝max(a>0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示.
(2)对数型函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解.
(3)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论.
【训练2】 一片森林原来面积为a，计算每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a.
(1)求p%的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
解 (1)由题意得a(1－p%)10＝，
即(1－p%)10＝，解得p%＝1－.
(2)设经过m年森林面积为a，
则a(1－p%)m＝a，即＝，得＝，解得m＝5.
故到今年为止，已砍伐了5年.
(3)设从今年开始，n年后森林面积为a·(1－p%)n，
令a(1－p%)n≥a，即(1－p%)n≥，
≥，得≤，解得n≤15，
故今后最多还能砍伐15年.
题型三 分段函数模型
【例3】 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足f(t)＝(元).
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0＜t≤20)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.
解 (1)由已知，由价格乘以销售量可得：
y＝
＝
＝
(2)由(1)知①当0＜t≤10时，y＝－t2＋10t＋1 200＝
－(t－5)2＋1 225，
函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈(0，5]上递增，在t∈(5，10]上递减，
∴ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝1 200(当t＝10时取得)；
②当10图象开口向上，对称轴为t＝45，该函数在t∈(10，20]递减，∴ymax＝1 200(当t＝10时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得).
由①②知ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得).
规律方法 应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.
【训练3】 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：
H(x)＝
其中x是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；
(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)
解 (1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10 000＋100x.又f(x)＝H(x)－t，
∴f(x)＝
(2)当0≤x≤200时，f(x)＝－(x－150)2＋12 500，
所以当x＝150时，有最大值12 500；
当x>200时，f(x)＝30 000－100x是减函数，
f(x)<30 000－100×200<12 500.
所以当x＝150时，f(x)取最大值，最大值为12 500.
所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元.
题型四 建立拟合函数模型解决实际问题
【例4】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示.
年序
最大积雪深度x(cm)
灌溉面积y(公顷)
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？
解 (1)描点、作图，如图(甲)所示：
(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0).取其中的两组数据(10.4，21.1)，(24.0，45.8)，代入y＝a＋bx，得用计算器可得a≈2.2，b≈1.8.这样，得到一个函数模型：y＝2.2＋1.8x，作出函数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.
(3)由(2)得到的函数模型为y＝2.2＋1.8x，则当x＝25时，y＝2.2＋1.8×25＝47.2，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地约为47.2公顷.
规律方法 建立拟合函数与预测的基本步骤
【训练4】 我国1999年至2002年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
年份
1999
2000
2001
2002
x/年
0
1
2
3
生产总值
8.206 7
8.944 2
9.593 3
10.239 8
(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较.
解 (1)画出函数图形，如图.从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上.设所求的函数为y＝kx＋b，
把直线通过的两点(0，8.206 7)和(3，10.239 8)代入上式，
解方程组，可得k＝0.677 7，b＝8.206 7.
因此，所求的函数关系式为
y＝f(x)＝0.677 7x＋8.206 7.
(2)由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为f(1)＝0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4，
f(2)＝0.677 7×2＋8.206 7＝9.562 1.
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元.
课堂达标
1.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.
时间
1
2
3
4
利润(千元)
2
3.98
8.01
15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( )
A.y＝log2x B.y＝2x
C.y＝x2 D.y＝2x
解析 逐个检验可得答案为B.
答案 B
2.一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是( )
A.y＝2t B.y＝120t
C.y＝2t(t≥0) D.y＝120t(t≥0)
解析 90 min＝1.5 h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120 km/h，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是y＝120t(t≥0).
答案 D
3.某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元.
解析 设彩电的原价为a元，
∴a(1＋0.4)·80%－a＝270，
∴0.12a＝270，解得a＝2 250.
∴每台彩电的原价为2 250元.
答案 2 250
4.2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿.(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1).
解析 设x年我国人口将超过20亿，由已知条件：
14(1＋1.25%)x－2 008>20，x－2 008>＝≈28.7，则x>2 036.7，即x＝2 037.
答案 2 037
5.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖掉，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨价格为40元，求实数a，b的值.
解 设利润为y元，
则y＝Qx－P＝ax＋－1 000－5x－x2
＝x2＋(a－5)x－1 000.
依题意得化简得
解得
课堂小结
1.函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题.
2.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求.
3.在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化.
4.根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示.
基础过关
1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A.200副 B.400副
C.600副 D.800副
解析 由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本.
答案 D
2.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A. B.
C. D.－1
解析 设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝－1.
答案 D
3.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
A.y＝0.957 6 B.y＝0.957 6100x
C.y＝ D.y＝1－0.042 4
解析 设镭一年放射掉其质量的t%，则有95.76%＝1·(1－t%)100，1－t%＝
0.957 6，∴y＝(1－t%)x＝0.957 6.
答案 A
4.已知元素“碳14”每经过5 730年其质量就变成原来的一半.现有一文物，测得其中“碳14”的残存量为原来的41%，此文物距现在约有________年.(注：精确到个位，lg 2≈0.301 0，lg 4.1≈0.613)
解析 设距现在为x年，则有＝41%，两边取对数，利用计算器可得x≈7 400.
答案 7 400
5.用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________m2.
解析 设矩形的一边长为x m，
则与这条边垂直的边长为 m，
所以矩形面积S＝x·＝－x2＋6x(0当x＝3 m时，S最大＝9 m2.
答案 9
6.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃时，需要多少时间？
解 由题意知40－24＝(88－24)·，
即＝，解得h＝10.
故T－24＝(88－24)·.
当T＝35时，代入上式，得
35－24＝(88－24)·，即＝.
两边取对数，用计算器求得t≈25.
因此，约需要25 min，可降温到35℃.
7.某公司试销某种“上海世博会”纪念品，每件按30元销售，可获利50%，设每件纪念品的成本为a元.
(1)试求a的值；
(2)公司在试销过程中进行了市场调查，发现销售量y(件)与每件销售价x(元)满足关系y＝－10x＋800.设每天销售利润为W(元)，求每天销售利润W(元)与每件销售价x(元)之间的函数解析式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
解 (1)∵按30元销售，可获利50%，∴a(1＋50%)＝30，解得a＝20.
(2)∵销售量y(件)与每件销售价x(元)满足关系y＝－10x＋800，则每天销售利润W(元)与每件销售价x(元)满足W＝(－10x＋800)(x－20)＝－10x2＋1 000x－
16 000
＝－10(x－50)2＋9 000，故当x＝50时，W取最大值9 000，
即每件销售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是9 000元.
能力提升
8.一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是( )
解析 水深h越大，水的体积V就越大，故函数V＝f(h)是个增函数，一开始增长的慢，然后增长的快，后来又增长的慢，故选D.
答案 D
9.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数).已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是( )
A.75，25 B.75，16
C.60，25 D.60，16
解析 由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.将c＝60代入＝15，得A＝16.
答案 D
10.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
解析 设出租车行驶x km时，付费y元，则y＝由y＝22.6，解得x＝9.
答案 9
11.已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x，宽减少，则面积最大.此时x＝________，面积S＝________.
解析 根据题目条件0<<3，即0答案 1
12.国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行社需支付各种费用共计15 000元.
(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解 (1)当0即y＝
(2)设旅行社所获利润为S元，则当0当30即S＝
因为当0当30即x＝60时，Smax＝21 000>12 000.
所以当旅行社人数为60时，旅行社可获得最大利润.
13.(选做题)如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD＝2，BC＝1，∠BAD＝45°，直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N，记AM＝x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域和值域.
解 如图，过B，C分别作AD的垂线，垂足分别为H和G，
则AH＝，AG＝.
当M位于H左侧时，AM＝x，MN＝x，
∴y＝S△AMN＝x2，0≤x<.
当M位于H，G之间时，
y＝AH·HB＋HM·MN
＝××＋(x－)×
＝x－，≤x<.
当M位于G，D之间时，
y＝S梯形ABCD－S△MDN
＝××(2＋1)－(2－x)(2－x)
＝－x2＋2x－，≤x≤2.
∴所求函数的关系式为
y＝
∴函数的定义域为[0，2]，值域为.
习题课 函数的应用
学习目标 1.体会函数与方程之间的联系，能够解决与函数零点相关的问题(重点).2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异(易错点).3.巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的广泛应用(重点).
1.函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 令f(x)＝ex＋3x＝0，即ex＝－3x，在同一坐标系中作出函数y＝ex和y＝－3x的图象，如图所示，由图知二者有一个交点，即f(x)有1个零点.
答案 B
2.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B.－2，0
C. D.0
解析 当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0.当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不
成立，所以函数的零点为0，选D.
答案 D
3.函数f(x)＝ax2＋x－1至少存在一个零点，则a的取值范围是________.
解析 当a＝0时，f(x)＝x－1有一个零点x＝1；当a≠0时，则Δ＝1＋4a≥0，解得a≥－且a≠0，综上a的取值范围是a≥－.
答案
4.生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为________台.
解析 设生产x台，获得利润f(x)万元，则f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500，故当x＝50时，获得利润最大.
答案 50
考查
方向
类型一 函数的零点
方向1 判断函数零点所在的区间
【例1－1】 函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A.(－2，－1) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(1，2)
解析 由f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0及零点存在性定理，知f(x)的零点在区间(－1，0)上.
答案 B
方向2 判断函数零点(方程的根)的个数
【例1－2】 方程|x|－＝0(a>0)的根有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.至少1个
解析 令f(x)＝|x|，g(x)＝(a>0)，作出两个函数的图象，如图，从图象可以看出，交点只有1个.故方程|x|－＝0(a＞0)只有一个实根.
答案 A
方向3 根据函数零点求参数的取值范围
【例1－3】 已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________.
解析 设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|.
在同一平面直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，
y2＝a|x－1|的图象，如图.
由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，
所以有两组不同的解.
消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0，该方程有两个不等实根.
所以Δ＝(3－a)2－4a>0，
即a2－10a＋9>0，
解得a<1或a>9.
又由图象得a>0，
∴09.
答案 (0，1)∪(9，＋∞)
规律方法 函数零点问题的解法
(1)确定函数零点所在的区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.
(2)判断零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理，结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.
(3)根据函数的零点求参数的取值范围：
①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数范围；
②分离参数法，将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
【训练1】 (1)函数f(x)＝x＋lg x－3的零点所在的区间为( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，＋∞)
(2)若方程4x＋2x＋1＋3－a＝0有零点，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)易知函数f(x)＝x＋lg x－3在定义域上是增函数，f(1)＝1＋0－3<0，f(2)＝2＋lg 2－3<0，f(3)＝3＋lg 3－3>0.故函数f(x)＝x＋lg x－3的零点所在的区间为(2，3)，选C.
(2)由4x＋2x＋1＋3－a＝0得a＝4x＋2x＋1＋3，又4x＋2x＋1＋3＝(2x)2＋2·2x＋3＝(2x＋1)2＋2，因为2x>0，所以(2x＋1)2＋2>3.故要使原方程有零点，则a>3.
答案 (1)C (2)(3，＋∞)
类型二 函数模型及其应用
【例2】 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；
(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益？其最大收益是多少万元？
解 (1)设两类产品的收益与投资额的函数分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2.
由已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，
所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0).
(2)设投资稳健型产品为x万元，则投资风险型产品为(20－x)万元.
依题意得y＝f(x)＋g(20－x)＝＋(0≤x≤20).
令t＝(0≤t≤2)，
则y＝＋t＝－(t－2)2＋3，
所以当t＝2，即x＝16时，收益最大，ymax＝3万元.
故投资稳健型产品16万元，投资风险型产品4万元时，能使投资获得最大收益，为3万元.
规律方法 建立函数模型的方法
(1)关系分析法：通过寻找实际问题中的关键词和关键量之间的数量关系来建立函数模型.
(2)图表分析法：通过列表的方法探求建立函数模型.
(3)图象分析法：通过对图象中的数量关系进行分析来建立函数模型.
【训练2】 今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)间的关系为P＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量.若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物.
(1)求常数k的值；
(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11.)
解 (1)由已知，当t＝0时，P＝P0；
当t＝5时，P＝90%P0.于是有90%P0＝P0e－5k.
解得k＝－ln 0.9(或0.022).
(2)由(1)得，P＝P0e(ln 0.9)t.
当P＝40%P0时，有0.4P0＝P0e(ln 0.9)t.
解得t＝≈＝≈41.82.
故污染物减少到40%至少需要42小时.
1.对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围.
2.函数模型的应用实例的基本题型
(1)给定函数模型解决实际问题；
(2)建立确定的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题.
3.函数建模的基本过程如图
基础过关
1.函数f(x)＝－的零点所在区间为( )
A. B.
C. D.(1，2)
解析 ∵f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递减，
又∵f＝－<0，f＝－>0，
∴f·f<0，由函数零点存在性定理可得，函数的零点所在的区间为，故选B.
答案 B
2.一高为H、满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象可能是图中的( )
解析 由鱼缸的形状可知，水的体积随着h的减小，先减少的慢，后减少的快，又减少的慢.
答案 B
3.已知方程|2x－1|＝a有两个不等实根，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，0) B.(1，2)
C.(0，＋∞) D.(0，1)
解析 若关于x的方程|2x－1|＝a有两个不等实数根，则y＝|2x－1|的图象与直线y＝a有两个交点，函数y＝|2x－1|的图象如下图所示：
由图可得，当a∈(0，1)时，函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝a有两个交点，故实数a的取值范围是(0，1)，故选D.
答案 D
4.已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系式y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品产量为________万件.
解析 由
得
∴y＝－2×0.5x＋2，
∴3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件).
答案 1.75
5.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为________.
解析 ∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点.当x>0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)有一个零点，又根据对称性知，当x<0时，函数f(x)也有一个零点.综上所述，f(x)的零点个数为3.
答案 3
6.某商品在近30天内，每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系是：P＝该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是Q＝－t＋40(0解 设日销售额为y元，
则y＝PQ＝
＝
(1)若0(2)若25≤t≤30，则当t＝25时，ymax＝1 125，
因为1 125>900，
所以当t＝25时，ymax＝1 125.
答：第25天日销售金额最大，为1 125元.
7.已知函数f(x)＝x3－x2＋＋，证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.
证明 令g(x)＝f(x)－x.
∵g(0)＝，g＝f－＝－，
∴g(0)·g<0.
又函数g(x)在上的图象连续不断，
∴存在x0∈，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.
能力提升
8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A.{1，3} B.{－3，－1，1，3}
C.{2－，1，3} D.{－2－，1，3}
解析 设x<0，则－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x.
求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解.
当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；
当x<0时，－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－.故选D.
答案 D
9.已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点的个数为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析 当x<0时，2－x>2，所以f(x)＝2－|x|＝2＋x，f(2－x)＝x2，此时函数f(x)－g(x)＝f(x)＋f(2－x)－3＝x2＋x－1的小于零的零点为x＝－；
当0≤x≤2时，f(x)＝2－|x|＝2－x，f(2－x)＝2－|2－x|＝x，此时函数f(x)－g(x)＝2－x＋x－3＝－1无零点；
当x>2时，f(x)＝(x－2)2，f(2－x)＝2－|2－x|＝4－x，此时函数f(x)－g(x)＝(x－2)2＋4－x－3＝x2－5x＋5大于2的零点为x＝.
综上可得函数y＝f(x)－g(x)的零点的个数为2，故选A.
答案 A
10.已知函数f(x)＝且函数F(x)＝f(x)＋x－a有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是________.
解析 由F(x)＝f(x)＋x－a＝0得f(x)＝－x＋a.设y＝f(x)，y＝－x＋a，作出函数f(x)＝的图象，当y＝－x＋1时，直线y＝－x＋1与y＝f(x)有两个交点，所以要使F(x)＝f(x)＋x－a有且仅有两个零点，则有a≤1，即实数a的取值范围是(－∞，1].
答案 (－∞，1]
11.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量/桶
480
440
400
360
320
280
240
请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为________元.
解析 设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，
日均销售量为480－40(x－1)＝520－40x(桶)，
则y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200，0＜x＜13.
当x＝6.5时，y有最大值.所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.
答案 11.5
12.若函数f(x)＝4x－2x＋1－b(b∈R).
(1)若函数f(x)有零点，求实数b的取值范围；
(2)若函数f(x)有零点，试讨论零点的个数，并求出函数的零点.
解 (1)令f(x)＝0，得b＝4x－2x＋1.
∵4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＝(2x－1)2－1≥－1.
∴当函数f(x)存在零点时，b≥－1.
(2)①由(1)知当b＝－1时，2x＝1，此时方程f(x)＝0的根为x＝0，因此函数f(x)的零点为0；
②当b>－1时，∵(2x－1)2＝1＋b，
∴2x－1＝±.∴2x＝1±.
∵2x>0，1＋>0.∴2x＝1＋的解为x＝log2(1＋).
令1－>0，得<1，故－1∴当－1x＝log2(1－).
综上①②知，当－1当b≥0时，函数f(x)的零点只有一个，为x＝log2(1＋)；
当b＝－1时，函数f(x)的零点只有一个，为x＝0.
13.(选做题)某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：
第t天
4
10
16
22
Q(万股)
36
30
24
18
(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；
(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；
(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？
解 (1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0，2)，(20，6)，容易求得直线方程为P＝t＋2；
从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20，6)，(30，5)，求得方程为P＝－t＋8，
故P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式为：
P＝
(2)由图表，易知Q与t满足一次函数关系，
即Q＝－t＋40，0＜t≤30，t∈N*.
(3)由(1)(2)可知
y＝
＝
当0＜t≤20，t＝15时，ymax＝125，
当20所以，在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元.
章末复习课
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核心归纳
1.函数的零点与方程的根的关系
函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解，函数f(x)的零点的个数与方程f(x)＝0的解的个数相等，也可以说方程f(x)＝0的解就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，即函数f(x)的函数值等于0时自变量x的取值.
因此方程的解的问题可以转化为函数问题来解决.讨论方程的解所在的大致区间可以转化为讨论函数的零点所在的大致区间，讨论方程的解的个数可以转化为讨论函数的零点的个数.
2.函数零点存在性定理
(1)该定理的条件是：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的；②f(a)·f(b)<0，即f(a)和f(b)的符号相反.这两个条件缺一不可.
(2)该定理的结论是“至少存在一个零点”，仅仅能确定函数零点是存在的，但是不能确定函数零点的个数.
3.函数应用
(1)要解决函数应用问题，首先要增强应用函数的意识.一般来说，解决函数应用问题可分三步：第一步，理解题意，弄清关系；第二步，抓住关键，建立模型；第三步，数学解决、检验模型.其中第二步尤为关键.
(2)在解题中要充分运用数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想及策略，寻求解题途径.
(3)根据已知条件建立函数解析式是函数应用的一个重要方面.一般分为两类：一类是借助于生活经验、函数知识等建立函数模型，以二次函数模型为主，一般是求二次函数的最值.另一类是根据几何、物理概念建立函数模型.
要点一 函数的零点与方程的根
函数的零点与方程的根的关系及应用
1.函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点.
2.确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断.
【例1】 (1)函数f(x)＝的零点个数是________；
(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.
解析 (1)①当x≤0时，由f(x)＝0，即x2－2＝0，解得x＝或x＝－.因为x≤0，所以x＝－.
②法一 (函数单调性法)当x>0时，f(x)＝2x－6＋ln x.
而f(1)＝2×1－6＋ln 1＝－4<0，f(3)＝2×3－6＋ln 3＝ln 3>0，所以f(1)·f(3)<0，又函数f(x)的图象是连续的，故由零点存在性定理，可得函数f(x)在(1，3)内至少有一个零点.而函数y＝2x－6在(0，＋∞)上单调递增，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)上单调递增.故函数f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)内有且只有1个零点.综上，函数f(x)共有2个零点.
法二 (数形结合法)当x>0时，由f(x)＝0，得2x－6＋ln x＝0，
即ln x＝6－2x.
如图，分别作出函数y＝ln x和y＝6－2x的图象.
显然，由图可知，两函数图象只有一个交点，且在y轴的右侧，故当x>0时，f(x)＝0只有一个解.
综上，函数f(x)共有2个零点.
(2)由f(x)＝0得|2x－2|＝b，在同一坐标系中作出函数y＝|2x－2|和y＝b的图象，如图所示，由图可知，若f(x)有两个零点，则b的取值范围是(0，2).
答案 (1)2 (2)(0，2)
【训练1】 已知关于x的方程a·4x＋b·2x＋c＝0(a≠0)，常数a，b同号，b，c异号，则下列结论中正确的是( )
A.此方程无实根
B.此方程有两个互异的负实根
C.此方程有两个异号实根
D.此方程仅有一个实根
解析 由常数a，b同号，b，c异号，可得a，c异号，令2x＝t，则方程变为at2＋bt＋c＝0，t>0，由于此方程的判别式Δ＝b2－4ac>0，故此方程有2个不等实数根，且两根之积为<0，故关于t的方程只有一个实数根，故关于x的方程只有一个实数根.
答案 D
要点二 二分法求方程的近似解(或函数的零点)
1.二分法求方程的近似解的步骤
(1)构造函数，转化为求函数的零点.
(2)明确精确度和函数的零点所在的区间(最好区间左右端点相差1).
(3)利用二分法求函数的零点.
(4)归纳结论.
2.使用二分法的注意事项
(1)二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围，所以要选好计算的初始区间，保证所选区间既符合条件，又使区间长度尽量小.
(2)计算时注意依据给定的精确度，及时检验计算所得的区间是否满足精确度的要求.
(3)二分法在具体使用时有一定的局限性，首先二分法只能一次求得一个零点，其次f(x)在(a，b)内有不变号零点时，不能用二分法求得.
【例2】 设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的.
先求值：f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________.
所以f(x)在区间________内存在一个零点x0，填下表，
区间
中点m
f(m)符号
区间长度
结论x0的值为多少？(精确度0.1)
解 f(0)＝－5，f(1)＝－1，
f(2)＝9，f(3)＝31，
所以初始区间为(1，2).
区间
中点m
f(m)符号
区间长度
(1，2)
1.5
＋
1
(1，1.5)
1.25
＋
0.5
(1，1.25)
1.125
－
0.25
(1.125，1.25)
1.187 5
＋
0.125
(1.125，1.187 5)
0.062 5
因为|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，
所以x0≈1.125(不唯一).
【训练2】 若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625；f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260；f(1.438)＝0.165.
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根可以为(精确度为0.1)( )
A.1.2 B.1.35
C.1.43 D.1.5
解析 ∵f(1.438)＝0.165>0，f(1.375)＝－0.260<0，∴函数f(x)在(1.375，1.438)内存在零点，又1.438－1.375<0.1，结合选项知1.43为方程f(x)＝0的一个近似根.
答案 C
要点三 函数的实际应用
1.建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤
(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x，y分别表示.
(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域.
(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解.
2.建模的三个原则
(1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.
(2)可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.
(3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题.
【例3】 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本).销售收入R(x)(万元)满足R(x)＝
假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：
(1)写出利润函数y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)；
(2)要使工厂有盈利，求产量x的取值范围；
(3)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
解 (1)由题意得G(x)＝2.8＋x.
∴f(x)＝R(x)－G(x)
＝
(2)①当0≤x≤5时，由－0.4x2＋3.2x－2.8>0得x2－8x＋7<0，解得1②当x>5时，由8.2－x>0，得x<8.2，
所以5综上，当10，
即当产量x大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利.
(3)当0≤x≤5时，函数f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，
当x＝4时，f(x)有最大值为3.6；
当x>5时，∵函数f(x)单调递减，
∴f(x)综上，当工厂生产4百台产品时，可使盈利最多，为3.6万元.
【训练3】 《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人所得税起征点为3 500元(即3 500元以下不必纳税，超过3 500元的部分为当月应纳税所得额)，应缴纳的税款按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额
税率%
不超过1 500元的部分
3
超过1 500元至4 500元部分
10
(1)列出公民全月工资总额x(0(2)刘丽十二月份缴纳个人所得税款300元，那么她当月工资总额是多少？
解 (1)依题意可得：
①当0②当3 500y＝(x－3 500)·3%＝0.03x－105.
③当5 000y＝45＋(x－5 000)·10%＝0.1x－455.
综上可得y＝
(2)因为需交税300元，
故有5 000所以300＝0.1x－455，所以x＝7 550.
答：刘丽十二月份工资总额为7 550元.
基础过关
1.函数f(x)＝＋ln的零点所在的大致区间是( )
A.(1，2) B.(2，3)
C.(3，4) D.(1，2)与(2，3)
解析 易知f(x)在(1，＋∞)上单调递减，f(2)＝1>0，f(3)＝＋ln＝－ln 2<0，所以f(x)在(2，3)内只有一个零点.
答案 B
2.实数a，b，c是图象连续不断的函数y＝f(x)定义域中的三个数，且满足aA.2 B.奇数
C.偶数 D.至少是2
解析 由零点存在性定理，f(a)f(b)<0，f(c)f(b)<0，则y＝f(x)在区间(a，b)上至少有一个零点，在(b，c)上至少有一个零点，而f(b)≠0，所以y＝f(x)在区间(a，c)上的零点个数为至少2个.选D.
答案 D
3.已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( )
A.(－∞，－1) B.(－∞，0)
C.(－1，0) D.[－1，0)
解析 易知当x>0时，2x－1＝0有一个根，所以需使函数y＝ex＋a(x≤0)有一个零点，即方程ex＋a＝0(x≤0)有一个根，即a＝－ex.由x≤0，得－ex∈[－1，0)，故a∈[－1，0).
答案 D
4.用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算________次.
解析 设至少需要计算n次，则n满足<0.001，即2n>100，由于27＝128，故要达到精确度要求至少需要计算7次.
答案 7
5.方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是________.
解析 在同一个坐标系中作出函数y＝|x2－2x|和y＝a2＋1的图象，如图所示，易知a2＋1>1，由图知方程有2个解.
答案 2
6.方程x2－＝0在(－∞，0)内是否存在实数解？并说明理由.
解 不存在.理由如下：因为当x<0时，－>0，所以x2－>0恒成立，故不存在x∈(－∞，0)，使x2－＝0.
7.某地的出租车价格规定：起步价为a元，可行3公里，3公里以上按每公里b元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里c元计算(这里a，b，c规定为正的常数，且c>b)，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.
(1)若取a＝14，b＝2.4，c＝3.6，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？
(2)求车费y(元)与行车里程x(公里)之间的函数解析式y＝f(x).
解 (1)由题意可知，起步价(3公里以内)是14元，则这8公里内的前3公里的收费是14元，超过3公里而10公里以内每公里按2.4元计价，则8－3＝5(公里)的收费是5×2.4＝12(元)，总共收费14＋12＝26(元)，故他应付出租车费26元.
(2)3公里以内，即起步价是a元，即010时，收费y＝a＋7×b＋(x－10)c＝cx＋a＋7b－10c(元).
所以y＝
能力提升
8.已知函数f(x)的图象如图所示，则它的一个可能的解析式为( )
A.y＝2 B.y＝4－
C.y＝log3(x＋1) D.y＝
解析 由于图象过点(1，2)，可排除C，D；由图象与直线y＝4无限接近，但到达不了，即y<4，而y＝2可无限大，排除A，选B.
答案 B
9.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在区间(－∞，0]上是减函数，且一个零点是2，则使得f(x)<0的x的取值范围是( )
A.(－∞，－2] B.(－∞，－2]∪(2，＋∞)
C.(2，＋∞) D.(－2，2)
解析 ∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，∴函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，且f(－2)＝f(2)＝0，作出函数f(x)的示意图，如图，则不等式f(x)<0的解为－2答案 D
10.已知函数f(x)＝x2＋ax＋a－1的两个零点一个大于2，一个小于2，则实数a的取值范围是________.
解析 ∵f(x)的两个零点一个大于2，一个小于2，
∴f(2)<0，∴22＋2a＋a－1<0，解得a<－1.
答案 (－∞，－1)
11.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
解析 设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得＝，解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，当x＝20时，Smax＝400.
答案 20
12.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解 (1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆.
(2)设每辆车的月租金为x元(x≥3 000)，租赁公司的月收益为y元，则y＝x－×50－×150＝－＋162x－21 000＝－(x－4 050)2＋307 050.当x＝4 050时，ymax＝307 050.
所以每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，为307 050元.
13.(选做题)设a∈R，试讨论关于x的方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)的实根的个数.
解 原方程等价于
?
整理得－x2＋5x－3＝a(1在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝a，
及y＝－x2＋5x－3，x∈(1，3)的图象，如图所示.
(1)当a>或a≤1时，两个函数的图象无交点，故原方程无实数根；
(2)当a＝或1(3)当3 章末检测(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)
1.已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( )
解析 由二分法的定义可知选A.
答案 A
2.已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)的图象与x轴在区间[a，b]内( )
A.至多有一个交点 B.必有唯一个交点
C.至少有一个交点 D.没有交点
解析 ∵f(a)·f(b)<0，∴f(a)与f(b)异号，即：f(a)>0，f(b)<0或者f(a)<0，f(b)>0，显然，在[a，b]内，必有一点c，使得f(c)＝0.又f(x)在区间[a，b]上单调，所以，这样的点只有一个，故选B.
答案 B
3.若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图象是( )
解析 A：与直线y＝2的交点是(0，2)，不符合题意，故不正确；B：与直线y＝2无交点，不符合题意，故不正确；C：与直线y＝2只在区间(0，＋∞)上有交点，不符合题意，故不正确；D：与直线y＝2在(－∞，0)上有交点，故正确.故选D.
答案 D
4.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A.甲比乙先出发
B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲比乙先到达终点
解析 由题图可知，甲到达终点用时短，故选D.
答案 D
5.据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万，0.4万和0.76万，则该地区这三个月的用工人数y万人关于月数x的函数关系近似的是( )
A.y＝0.2x B.y＝(x2＋2x)
C.y＝ D.y＝0.2＋log16x
解析 当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A，故选C.
答案 C
6.若函数f(x)＝log3x＋x－3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下：
f(2)≈－0.369 1
f(2.5)≈0.334 0
f(2.25)≈－0.011 9
f(2.375)≈0.162 4
f(2.312 5)≈0.075 6
f(2.281 25)≈0.031 9
那么方程x－3＋log3x＝0的一个近似根(精确度为0.1)为( )
A.2.1 B.2.2
C.2.3 D.2.4
解析 由参考数据可知f(2.25)·f(2.312 5)<0，且|2.312 5－2.25|＝0.062 5<0.1，所以当精确度为0.1时，可以将2.3作为函数f(x)＝log3x＋x－3零点的近似值，也即方程x－3＋log3x＝0的根的近似值.
答案 C
7.函数f(x)＝的零点个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 ∵函数f(x)＝的零点个数，即为f(x)＝0的根的个数，∴f(x)＝＝0，即(x－1)ln(－x)＝0，∴x－1＝0或ln(－x)＝0，∴x＝1或x＝－1.∵解得x<0，∴函数f(x)的定义域为{x|x<0}，∴x＝－1，即方程f(x)＝0只有一个根，∴函数f(x)＝的零点个数为1.故选A.
答案 A
8.函数f(x)＝3x＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A.(－2，－1) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(1，2)
解析 由已知可知，函数f(x)＝3x＋x－2单调递增且连续，∵f(－2)＝－<0，f(－1)＝－<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，∴f(0)·f(1)<0，由函数零点存在性定理可知，函数f(x)＝3x＋x－2的一个零点所在的区间是(0，1)，故选C.
答案 C
9.已知0＜a＜1，则方程a|x|＝|logax|的实根个数为( )
A.2 B.3
C.4 D.与a的值有关
解析 设y1＝a|x|，y2＝|logax|，分别作出它们的图象如图所示.由图可知，有两个交点，故方程a|x|＝|logax|有两个根.故选A.
答案 A
10.某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是：P＝，Q＝(a>0)；若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a的最小值应为( )
A. B.5
C.± D.－
解析 设投放x(0≤x≤20)万元经销甲商品，则投放(20－x)万元经销乙商品，总利润y＝P＋Q＝＋·，令y≥5，则＋·≥5，
∴a≥10－，即a≥对0≤x≤20恒成立，而f(x)＝的最大值为，且x＝20时，a≥10－也成立，∴amin＝.
答案 A
11.已知函数f(x)＝|lg x|－有两个零点x1，x2，则有( )
A.x1x2<0 B.x1x2＝1
C.x1x2>1 D.0解析 f(x)＝|lg x|－有两个零点x1，x2，即y＝|lg x|与y＝2－x有两个交点，由题意x>0，分别画y＝2－x和y＝|lg x|的图象，发现在(0，1)和(1，＋∞)上分别有一个交点，不妨设x1∈(0，1)，x2∈(1，＋∞)，那么在(0，1)上有2－x1＝－lg x1，
即－2－x1＝lg x1.①
在(1，＋∞)上有2－x2＝lg x2.②
①②相加有2－x2－2－x1＝lg x1x2，∵x2>x1，∴2－x2<2－x1，
即2－x2－2－x1<0，∴lg x1x2<0，
∴0答案 D
12.某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的.奖励公式为f(n)＝k(n)(n－10)，n>10(其中n是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f(n)的单位为元)，而k(n)＝现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分.则乙所得奖励比甲所得奖励多( )
A.600元 B.900元
C.1 600元 D.1 700元
解析 ∵k(18)＝200(元)，
∴f(18)＝200×(18－10)＝1 600(元).
又∵k(21)＝300(元)，
∴f(21)＝300×(21－10)＝3 300(元)，
∴f(21)－f(18)＝3 300－1 600＝1 700(元).故选D.
答案 D
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
13.如果函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则另一个零点是________.
解析 函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则f(0)＝0，∴m＋3＝0，∴m＝－3，则f(x)＝x2－3x，于是另一个零点是3.
答案 3
14.若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________.
解析 由|x2－4x|－a＝0得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0答案 (0，4)
15.将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个.若每个涨价1元，则日销售量减少10个.为获得最大利润，则此商品销售价应定为每个________元.
解析 设每个涨价x元，则实际销售价为(10＋x)元，销售的个数为100－10x.则利润为y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N).因此，当x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大.
答案 14
16.给出下列四个命题：
①函数y＝f(x)，x∈R的图象与直线x＝a可能有两个不同的交点；②函数y＝log2x2与函数y＝2log2x是相等函数；③对于指数函数y＝2x与幂函数y＝x2，总存在x0，当x>x0时，有2x>x2成立；④对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若有f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有零点.
其中正确的序号是________.
解析 对于①，函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系，根据定义进行判定即可判断①错；对于②，函数y＝log2x2与函数y＝2log2x的定义域不相同，故不是相等函数，故②错；对于③，当x0取大于等于4的值都可使当x>x0时，有2x>x2成立，故③正确；对于④，函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上不连续时，既使有f(a)·f(b)<0，f(x)在(a，b)内也不一定有零点.故④错.
答案 ③
三、解答题(本大题共6个小题，共70分)
17.(10分)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.
(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；
(2)f(x)＝x2＋x＋2；
(3)f(x)＝x3＋1.
解 (1)因为f(x)＝－8x2＋7x＋1＝－(8x＋1)(x－1)，
令f(x)＝0，可解得x＝－，或x＝1，
所以函数f(x)的零点为－和1.
(2)因为f(x)＝x2＋x＋2，令x2＋x＋2＝0，Δ＝12－4×1×2＝－7<0，所以方程x2＋x＋2＝0无实数解.
所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零点.
(3)因为f(x)＝x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)，
令(x＋1)(x2－x＋1)＝0，解得x＝－1.
所以函数f(x)的零点为－1.
18.(12分)定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－，求满足f(log x)≥0的x的取值集合.
解 ∵－是函数的一个零点，∴f＝0.∵y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上递增，∴当logx≤0，即x≥1时，logx≥－，解得x≤2，即1≤x≤2.由对称性可知，当logx>0，即0＜x＜1时，logx≤，解得≤x<1.综上所述，x的取值范围是.
19.(12分)已知函数f(x)＝x－1＋x2－2，试利用基本初等函数的图象，判断f(x)有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1).
解 令y1＝x－1，y2＝－x2＋2，在同一直角坐标系中分别画出它们的图象(如图所示)，其中抛物线的顶点坐标为(0，2)，与x轴的交点分别为(－2，0)，(2，0)，y1与y2的图象有3个交点，从而函数f(x)有3个零点.由f(x)的解析式知x≠0，f(x)的图象在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是连续不断的曲线，且f(－3)＝>0，f(－2)＝－<0，f＝>0，f(1)＝－<0，f(2)＝>0，即f(－3)·f(－2)<0，f·f(1)<0，f(1)·f(2)<0，∴3个零点分别在区间(－3，－2)，，(1，2)内.
20.(12分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量.
(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题给公式可得：0＝5log2，解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量是10个单位.
(2)将耗氧量Q＝80代入题给公式得：v＝5log2＝5log28＝15(m/s)，
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.
21.(12分)如图，直角梯形OABC位于直线x＝t(t≥0)右侧的图象的面积为f(t).
(1)试求函数f(t)的解析式；
(2)画出函数y＝f(t)的图象.
解 (1)当0≤t≤2时，
f(t)＝S梯形OABC－S△ODE＝－t·t＝8－t2，
当2所以f(t)＝
(2)函数f(t)的图象如图所示.
22.(12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件.
(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；
(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？
解 (1)当0当100p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.
∴p＝
(2)设利润为y元，则
当0当100y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2.
∴y＝
当0y最大，此时y＝20×100＝2 000；
当100y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050，
∴当x＝550时，y最大，此时y＝6 050.
显然6 050>2 000.
∴当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元.
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(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)
1.已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则(?UA)∪B为( )
A.{1，2，4} B.{2，3，4}
C.{0，2，4} D.{0，2，3，4}
解析 ∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，∴?UA＝{0，4}，又B＝{2，4}，则(?UA)∪B＝{0，2，4}.故选C.
答案 C
2.可作为函数y＝f(x)的图象的是( )
解析 由函数的定义可知：每当给出x的一个值，则f(x)有唯一确定的实数值与之对应，只有D符合.故正确答案为D.
答案 D
3.同时满足以下三个条件的函数是( )
①图象过点(0，1)；②在区间(0，＋∞)上单调递减；③是偶函数
A.f(x)＝－(x＋1)2＋2 B.f(x)＝3|x|
C.f(x)＝ D.f(x)＝x－2
解析 A.若f(x)＝－(x＋1)2＋2，则函数图象关于x＝－1对称，不是偶函数，不满足条件③.B.若f(x)＝3|x|，则f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足条件②.C.若f(x)＝，则三个条件都满足.D.若f(x)＝x－2，则f(0)无意义，不满足条件①.故选C.
答案 C
4.设f(x)＝则f(f(2))等于( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 f(2)＝log3(22－1)＝1，f(1)＝2e1－1＝2，
即f(f(2))＝2.
答案 C
5.函数f(x)＝2x－1＋log2x的零点所在区间是( )
A B.
C. D.(1，2)
解析 ∵函数f(x)＝2x－1＋log2x，∴f＝－1，f(1)＝1，∴f·f(1)<0，故连续函数f(x)的零点所在区间是，故选C.
答案 C
6.幂函数y＝f(x)的图象经过点，则满足f(x)＝27的x的值是( )
A. B.－
C.3 D.－3
解析 设幂函数为y＝xα，因为图象过点，所以有－＝(－2)α，解得：α＝－3，所以幂函数解析式为y＝x－3，由f(x)＝27，得：x－3＝27，所以x＝.
答案 A
7.函数f(x)＝＋ln(3x＋2)＋的定义域为( )
A.∪(0，2] B.
C.∪(1，2] D.
解析 由解得－答案 A
8.设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是( )
A.cC.c解析 因为y＝x0.5在(0，＋∞)上是增函数，且0.5>0.3，所以0.50.5>0.30.5，即a>b，c＝log0.30.2>log0.30.3＝1，而1＝0.50>0.50.5，所以b答案 B
9.若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是( )
解析 由f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，所以k＝2，0答案 A
10.定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)且x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋，则f(log220)等于( )
A.1 B.
C.－1 D.－
解析 由f(x－2)＝f(x＋2)?f(x)＝f(x＋4)，
因为4所以0所以f(log220)＝f(log220－4)＝f(4－log220)
＝f＝2log2＋＝1.故选A.
答案 A
11.若f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则(x－1)f(x)<0的解集是( )
A.(－3，0)∪(1，＋∞) B.(－3，0)∪(0，3)
C.(－∞，－3)∪(3，＋∞) D.(－3，0)∪(1，3)
解析 ∵f(x)是R上的奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，∴在(－∞，0)内f(x)也是增函数，又∵f(－3)＝0，∴f(3)＝0，∴当x∈(－∞，－3)∪(0，3)时，f(x)<0；当x∈(－3，0)∪(3，＋∞)时，f(x)>0；∵(x－1)·f(x)<0，∴或可解得－3答案 D
12.已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是( )
A.(0，1]∪[2，＋∞) B.(0，1]∪[3，＋∞)
C.(0，]∪[2，＋∞) D.(0，]∪[3，＋∞)
解析 y＝(mx－1)2＝m2，相当于y＝x2向右平移个单位，再将函数值放大m2倍得到的；y＝＋m相当于y＝向上平移m个单位.
①若0＜m≤1，两函数的图象如图1所示，可知两函数图象在x∈[0，1]上有且只有1个交点，恒成立；
②若m＞1，两函数的大致图象如图2所示，为使两函数在x∈[0，1]上有且只有1个交点，需要(m－1)2≥1＋m，得m≥3.综上，m∈(0，1]∪[3，＋∞).
答案 B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
13.当a>0且a≠1时，函数f(x)＝ax－2－3必过定点________.
解析 因为a0＝1，故f(2)＝a0－3＝－2，所以函数f(x)＝ax－2－3必过定点(2，－2).
答案 (2，－2)
14.用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的近似解，验证f(2)f(4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2，4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0∈________(填区间).
解析 ∵f(2)·f(4)＜0，f(2)·f(3)＜0，
∴f(3)·f(4)＞0，故x0∈(2，3).
答案 (2，3)
15.设U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，(?UA)∩B＝{3，7}，(?UB)∩A＝{2，8}，(?UA)∩(?UB)＝{1，5，6}，则集合A＝________，B＝________.
解析 (?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{1，5，6}，
所以A∪B＝{2，3，4，7，8，9}，
又(?UA)∩B＝{3，7}，(?UB)∩A＝{2，8}，所以A∩B＝{4，9}，所以A＝{2，4，8，9}，B＝{3，4，7，9}.
答案 {2，4，8，9} {3，4，7，9}
16.已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.
解析 关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，等价于函数f(x)与函数y＝k的图象有两个不同的交点，作出函数的图象如图.由图可知实数k的取值范围是(1，2).
答案 (1，2)
三、解答题(本大题共6个小题，共70分)
17.(10分)计算下列各式的值：
(1)1.5－×＋80.25×－；
(2)(log33)2＋log0.25＋9log5－log 1.
解 (1)原式＝×1＋23××2－＝2.
(2)原式＝＋1＋9×－0＝＋1＋＝.
18.(12分)已知函数f(x)是R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2x＋x，求f(x)的解析式.
解 由题意，当x＝0时，f(x)＝0.∵x>0时，f(x)＝2x＋x，∴当x<0时，－x>0，f(－x)＝2－x－x，又∵函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，
∴x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋x，
综上所述，f(x)＝
19.(12分)已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x＞1}.
(1)分别求A∩B，(?RB)∪A；
(2)已知集合C＝{x|1＜x＜a}，若C?A，求实数a的取值范围.
解 (1)A＝{x|3≤3x≤27}＝{x|1≤x≤3}，
B＝{x|log2x＞1}＝{x|x＞2}.
A∩B＝{x|2＜x≤3}，
(?RB)∪A＝{x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}＝{x|x≤3}.
(2)①当a≤1时，C＝?，此时C?A；
②当a＞1时，C?A，则1＜a≤3；
综合①②，可得a的取值范围是(－∞，3].
20.(12分)已知函数f(x)＝loga(2x＋1)，g(x)＝loga(1－2x)(a>0且a≠1).
(1)求函数F(x)＝f(x)－g(x)的定义域；
(2)判断F(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)确定x为何值时，有f(x)－g(x)>0.
解 (1)要使函数有意义，则有
∴－＜x＜.
∴函数F(x)的定义域为.
(2)由(1)知F(x)的定义域关于原点对称，
又F(－x)＝f(－x)－g(－x)＝loga(－2x＋1)－
loga(1＋2x)＝－F(x)，
∴F(x)为奇函数.
(3)∵f(x)－g(x)>0，∴loga(2x＋1)－loga(1－2x)>0，
即loga(2x＋1)>loga(1－2x).
①当0②当a>1时，2x＋1>1－2x>0，∴021.(12分)甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图：
甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万条鳗鱼上升到第6年2万条.
乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年30个减少到第6年10个.
请你根据提供的信息说明：
(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；
(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模比第1年扩大还是缩小了？说明理由；
(3)哪一年的规模(即总产量)最大？说明理由.
解 由题意可知，图甲图象经过(1，1)和(6，2)两点，从而求得其解析式为y甲＝0.2x＋0.8，图乙图象经过(1，30)和(6，10)两点.从而求得其解析式为y乙＝－4x＋34.
(1)当x＝2时，y甲＝0.2×2＋0.8＝1.2，y乙＝－4×2＋34＝26，y甲×y乙＝1.2×26＝31.2.
所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万条.
(2)第1年出产鳗鱼1×30＝30(万条)，第6年出产鳗鱼2×10＝20(万条)，可见第6年这个县的鳗鱼养殖业规模比第1年缩小了.
(3)设当第m年时的规模，即总出产量为n，
那么n＝y甲·y乙＝(0.2m＋0.8)(－4m＋34)
＝－0.8m2＋3.6m＋27.2＝－0.8(m2－4.5m－34)
＝－0.8(m－2.25)2＋31.25，因此，当m＝2时，n最大值为31.2，
即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万条.
22.(12分)已知函数f(x)＝(a∈R).
(1)试判断f(x)的单调性，并证明你的结论；
(2)若f(x)为定义域上的奇函数，
①求函数f(x)的值域；
②求满足f(ax)解 (1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称，且f(x)＝a－.
任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1则f(x2)－f(x1)＝a－－a＋＝.
∵y＝2x在R上单调递增，且x1∴0<2x1<2x2，2x2－2x1>0，2x1＋1>0，2x2＋1>0，
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
∴f(x)是(－∞，＋∞)上的单调增函数.
(2)∵f(x)是定义域上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即a－＋＝0对任意实数x恒成立，化简得2a－＝0，
∴2a－2＝0，即a＝1，
①由a＝1得f(x)＝1－.
∵2x＋1>1，∴0<<1，∴－2<－<0，
∴－1<1－<1，故函数f(x)的值域为(－1，1).
②由a＝1，得f(x)∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，∴x<2－x2，
解得－2 