2.1.2 函数的表示方法
[学习目标] 1.掌握函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析法，体会三种表示方法的特点.2.掌握函数图象的画法及分段函数的应用.
[知识链接]
1.在平面上，两个点可以确定一条直线，因此作一次函数的图象时，只需找到两个点即可.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－，).
3.函数y＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，所以函数与x轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0).
[预习导引]
1.函数的图象
(1)函数y＝f(x)与其图象F的关系：
①图象F上任一点的坐标(x，y)都满足y＝f(x)；
②满足y＝f(x)关系式的点(x，y)都在F上.
(2)函数y＝f(x)图象的作法：列表、描点、连线.
2.函数的常用表示方法
表示方法
定义
列表法
通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法.
图象法
用“图形”表示函数的方法叫做图象法.
解析法
(公式法)
如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法(也称为公式法).
3.分段函数
(1)定义
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.
(2)三要素
①定义域：由每一段上x的取值范围的并集.
②值域：所有函数值组成的集合.
③对应法则：在每一段上的对应法则不同.
要点一 作函数图象
例1 作出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x∈Z)；
(2)y＝x2－2x(x∈[0,3)).
解 (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示.
(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示.
规律方法 1.作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.
2.函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，特别要分清区间端点是实心点还是空心点.
跟踪演练1 画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x＞1或x＜－1).
解 (1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1).
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，(x＞1或x＜－1)是抛物线y＝x2－x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).
要点二 求函数的解析式
例2 (1)已知f(x)是二次函数，其图象的顶点是(1,3)，且过原点，求f(x).
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x).
解 (1)由于图象的顶点是(1,3)，
故设f(x)＝a(x－1)2＋3(a≠0)，
因为图象过原点，所以a＋3＝0，解得a＝－3，
所以f(x)＝－3(x－1)2＋3.
(2)方法一 x＋2＝()2＋2＋1－1
＝(＋1)2－1，
∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1).
即f(x)＝x2－1(x≥1).
方法二 令t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1.代入原式，有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
∴f(x)＝x2－1(x≥1).
规律方法 求函数解析式的常用方法：
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.
(2)换元法：已知函数f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式可用换元法，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f[g(x)]中求出f(t)，从而求出f(x).
跟踪演练2 (1)已知g(x－1)＝2x＋6，求g(3).
(2)一次函数的图象过点(0，－1)，(1,1)，求其解析式.
解 (1)方法一 令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴g(t)＝g(x－1)＝2(t＋1)＋6＝2t＋8，
∴g(x)＝2x＋8，∴g(3)＝2×3＋8＝14.
方法二 令x－1＝3，则x＝4，
∴g(3)＝2×4＋6＝14.
(2)设一次函数的解析式f(x)＝kx＋b(k≠0)，
由题意知∴
∴解析式为f(x)＝2x－1.
要点三 分段函数及应用
例3 已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(－)，f(f(－))的值；
(2)若f(a)＝3，求实数a的值.
解 (1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，
－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.
∵f(－)＝－＋1＝－，－2＜－＜2，
∴f[f(－)]＝f(－)＝(－)2＋2×(－)
＝－3＝－.
(2)①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，∴a＋1＝3，
∴a＝2＞－2不合题意，舍去.
②当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3，
即a2＋2a－3＝0.
∴(a－1)(a＋3)＝0，∴a＝1或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，∴a＝1符合题意.
③当a≥2时，2a－1＝3，∴a＝2符合题意.
综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
规律方法 1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解.
2.若所给变量的范围不明确，计算时应分类讨论.
跟踪演练3 (1)已知函数f(x)＝则f[f()]＝________；
(2)已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝________.
答案 (1) (2)1或－
解析 (1)由于||≤1，所以f()＝－2＝－，
而|－|＞1，所以f(－)＝1＋(－)2＝.
所以f[f()]＝.
(2)若x≥0，由x＋1＝2，得x＝1；
若x＜0，由＝2，得x＝±，
由于＞0，舍去x＝，所以x＝－.
故x＝1或－.
1.已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于( )
x
1≤x＜2
2
2＜x≤4
f(x)
1
2
3
A.1 B.2 C.3 D.不存在
答案 C
解析 由表可知f(3)＝3.
2.若f(x＋2)＝2x＋3，f(3)的值是( )
A.9 B.7 C.5 D.3
答案 C
解析 令x＋2＝3，则x＝1，
∴f(3)＝2×1＋3＝5.
3.设函数f(x)＝则f[f(3)]等于( )
A. B.3
C. D.
答案 D
解析 ∵f(3)＝，∴f[f(3)]＝2＋1＝.
4.如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是( )
A.f(x)＝x2－1 B.f(x)＝－(x－1)2＋1
C.f(x)＝(x－1)2＋1 D.f(x)＝(x－1)2－1
答案 D
解析 由二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，可排除A、B；又图象过点(0,0)，可排除C；D项符合题意.
5.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f的值等于________.
答案 2
解析 由函数f(x)图象，知f(1)＝2，f(3)＝1，
∴f＝f(1)＝2.
1.函数三种表示法的优缺点
2.描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线.
3.求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法.
4.理解分段函数应注意的问题：
(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.写定义域时，区间的端点需不重不漏.
(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式.
(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象.
一、基础达标
1.已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)等于( )
A.3x＋2 B.3x－2
C.2x＋3 D.2x－3
答案 B
解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
∵2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，
∴∴
∴f(x)＝3x－2.
2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )
答案 C
解析 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.
3.已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为( )
A.f(x)＝x2＋2x＋1
B.f(x)＝x2－2x＋1
C.f(x)＝x2＋2x－1
D.f(x)＝x2－2x－1
答案 A
解析 令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f(t)＝f(x－1)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，
∴f(x)＝x2＋2x＋1.
4. 设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 C
解析 由已知得a>0，∴a＋1>1，
∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2(a＋1－1)，
解得a＝，∴f＝f(4)＝2(4－1)＝6，故选C.
5.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
(1)f[g(1)]＝______；(2)若g[f(x)]＝2，则x＝______.
答案 (1)1 (2)1
解析 (1)由表知g(1)＝3，
∴f[g(1)]＝f(3)＝1；
(2)由表知g(2)＝2，又g[f(x)]＝2，得f(x)＝2，
再由表知x＝1.
6.已知f(2x＋1)＝3x－2且f(a)＝4，则a的值为________.
答案 5
解析 ∵f(2x＋1)＝3x－2＝(2x＋1)－，
∴f(x)＝x－，∵f(a)＝4，
即a－＝4，∴a＝5.
7.已知函数f(x)＝
(1)求f(2)，f[f(2)]的值；
(2)若f(x0)＝8，求x0的值.
解 (1)∵0≤x≤2时，f(x)＝x2－4，
∴f(2)＝22－4＝0，
f[f(2)]＝f(0)＝02－4＝－4.
(2)当0≤x0≤2时，
由x－4＝8，
得x0＝±2(舍去)；
当x0＞2时，由2x0＝8，得x0＝4.
∴x0＝4.
二、能力提升
8.如果f＝，则当x≠0,1时，f(x)等于( )
A. B.
C. D.－1
答案 B
解析 令＝t，则x＝，代入f＝，
则有f(t)＝＝，所以f(x)＝，故选B.
9.函数y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)的值域是________.
答案 [2,11)
解析 画出函数的图象，如图所示，
观察图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[f(2)，f(5))，即函数的值域是[2,11).
10.设函数f(x)＝则f的值是________.
答案
解析 ∵f(2)＝22＋2－2＝4，∴＝，
∴f＝f＝1－2＝.
11.已知二次函数f(x)满足f(0)＝0，且对任意x∈R总有f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x).
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f(0)＝c＝0，
∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)
＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b，
f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1
＝ax2＋(b＋1)x＋1.
∴ ∴
∴f(x)＝x2＋x.
三、探究与创新
12.求下列函数的解析式：
(1)已知f＝x2＋＋1，求f(x)；
(2)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式.
解 (1)∵f＝2＋2＋1
＝2＋3.
∴f(x)＝x2＋3.
(2)以－x代x得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.
与f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x联立得，
f(x)＝x2－2x.
13.如图所示，在边长为4的正方形ABCD边上有一点P，由点B(起点)沿着折线BCDA向点A(终点)运动.设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求y与x之间的函数解析式.
解 当0≤x≤4时，S△APB＝·4x＝2x；
当4＜x≤8时，S△APB＝×4×4＝8；
当8＜x≤12时，
S△APB＝×4·(12－x)＝24－2x.
∴y＝
2.1.3 函数的单调性
[学习目标] 1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法.2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点.
[知识链接]
1.x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0；
2.当x＞2时，x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)＞0；
3.函数y＝x2－3x＋2的对称轴为x＝.
[预习导引]
1.增函数与减函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A.如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1＞0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，当Δy＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数.
2.单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.
要点一 函数单调性的判定与证明
例1 求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数.
证明 对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1
Δx＝x2－x1>0，有Δy＝f(x2)－f(x1)＝－
＝＝.
∵x10.
∴Δy＝f(x2)－f(x1)>0.
∴函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数.
对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1有f(x1)－f(x2)＝.
∵00，x2＋x1>0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数.
规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤如下：(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1跟踪演练1 已知函数f(x)＝，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为减函数.
证明 任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2.
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵x2＞x1＞－1，
∴x2－x1＞0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，
因此f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
所以f(x)在(－1，＋∞)上为减函数.
要点二 求函数的单调区间
例2 画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间.
解 y＝
即y＝
函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为(－1,0)，(1，＋∞).
规律方法 1.作出函数的图象，利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间，但要注意图象一定要画准确.
2.函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域.
3.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接.
跟踪演练2 作出函数f(x)＝ 的图象，并指出函数的单调区间.
解 f(x)＝ 的图象如图所示.
由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞).
要点三 函数单调性的简单应用
例3 已知函数f(x)＝，x∈[2,5].
(1)判断该函数在区间[2,5]上的单调性，并给予证明；
(2)求该函数在区间[2,5]上的最大值与最小值.
解 (1)f(x)＝在区间[2,5]上是减函数.证明如下：
任意取x1，x2∈[2,5]且x1＜x2，
则f(x1)＝，f(x2)＝.
f(x2)－f(x1)＝－＝.
∵2≤x1＜x2≤5，
∴x1－x2＜0，x2－1＞0，x1－1＞0.
∴f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x2)＜f(x1).
∴f(x)＝在区间[2,5]上是减函数.
(2)由(1)可知f(x)＝在区间[2,5]上是递减的，故任意的x∈[2,5]均有f(5)≤f(x)≤f(2)，
∴f(x)max＝f(2)＝＝2，
f(x)min＝f(5)＝＝.
规律方法 (1)运用函数单调性求最值是求解函数最值问题的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法.
(2)函数的最值与单调性的关系
①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b).
②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).
跟踪演练3 已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)答案 (0，)
解析 由题意可知
解得0又f(x)在(－1,1)上是减函数，
且f(1－a)∴1－a>2a－1，即a<.②
由①②可知，0即所求a的取值范围是(0，).
1.定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0，则必有( )
A.函数f(x)先增后减
B.f(x)是R上的增函数
C.函数f(x)先减后增
D.函数f(x)是R上的减函数
答案 B
解析 由>0知，当a>b时，f(a)>f(b)；当a2.函数y＝x2－6x的减区间是( )
A.(－∞，2] B.[2，＋∞)
C.[3，＋∞) D.(－∞，3]
答案 D
解析 y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故减区间为(－∞，3].
3.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，若a∈R，则( )
A.f(a)>f(2a) B.f(a2)C.f(a＋3)>f(a－2) D.f(6)>f(a)
答案 C
解析 因为函数f(x)是增函数，且a＋3>a－2，所以f(a＋3)>f(a－2).
4.函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，－3) B.(0，＋∞)
C.(3，＋∞) D.(－∞，－3)∪(3，＋∞)
答案 C
解析 因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.
5.如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是________.
答案 [－1.5,3]和[5,6]
解析 由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6].
1.对函数单调性的理解
(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性.
(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)x2).
(4)并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性.
2.单调性的证明方法
证明f(x)在区间D上的单调性应按以下步骤：(1)设元：设x1，x2∈D且x13.单调性的判断方法
(1)定义法：利用定义严格判断.
(2)图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间.
(3)用两个函数和(差)的单调性的规律判断：“增＋增＝增”，“减＋减＝减”，“增－减＝增”，“减－增＝减”.
一、基础达标
1.下列说法中，正确的有( )
①若任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，＞0，则y＝f(x)在I上是增函数；
②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－在定义域上是增函数；
④函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).
A.0个B.1个C.2个D.3个
答案 B
解析 当x1＜x2时，x1－x2＜0，由＞0知f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)＜f(x2)，①正确；②③④均不正确.
2.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )
A.y＝|x| B.y＝3－x
C.y＝ D.y＝－x2＋4
答案 A
解析 函数y＝3－x在R上为减函数，函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，函数y＝－x2＋4在[0，＋∞)上是减函数.
3.若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是( )
A.(－∞，40) B.[40,64]
C.(－∞，40]∪[64，＋∞) D.[64，＋∞)
答案 C
解析 对称轴为x＝，则≤5或≥8，解得k≤40或k≥64.
4.若f(x)为R上的增函数，kf(x)为R上的减函数，则实数k的取值范围是( )
A.k为任意实数 B.k＞0
C.k＜0 D.k≤0
答案 C
解析 由函数单调性的定义，设x1，x2是任意实数，x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)，且kf(x2)＜kf(x1)，得出f(x1)－f(x2)＜0，k[f(x1)－f(x2)]＞0，则k＜0.
5.函数y＝x|x－1|的单调递增区间是________.
答案 (－∞，]，[1，＋∞)
解析 画出函数y＝x|x－1|＝的图象，如图，可得函数的增区间为(－∞，]，[1，＋∞).
6.函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.
答案 －3
解析 f(x)＝2(x－)2＋3－，
由题意＝2，∴m＝8，则f(x)＝2x2－8x＋3，
∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3.
7.求证：函数f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上是增函数.
证明 设x1，x2为区间(－∞，0)上的任意两个值，且x1因为x10，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故函数f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上是增函数.
二、能力提升
8.如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )
A.a＞－ B.a≥－
C.－≤a＜0 D.－≤a≤0
答案 D
解析 当a＝0时，f(x)＝2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的；当a＞0时，由函数f(x)＝ax2＋2x－3的图象知，不可能在区间(－∞，4)上是单调递增；当a＜0时，只有－≥4，即a≥－满足函数f(x)在区间(－∞，4)上是单调递增的，综上可知实数a的取值范围是－≤a≤0.
9.已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则( )
A.f(－1)C.f(2)答案 B
解析 因为二次函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1，所以f(－1)＝f(3).又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，则f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，故f(1)10.已知f(x)＝是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是________.
答案 [，)
解析 要使f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，必须同时满足3个条件：
①g(x)＝(3a－1)x＋4a在(－∞，1)上为减函数；
②h(x)＝－x＋1在[1，＋∞)上为减函数；
③g(1)≥h(1).
∴
∴≤a＜.
11.讨论函数y＝x2－2(2a＋1)x＋3在[－2,2]上的单调性.
解 ∵函数图象的对称轴x＝2a＋1，
∴当2a＋1≤－2，即a≤－时，
函数在[－2,2]上为增函数；
当－2<2a＋1<2，即－函数在[－2,2a＋1]上是减函数，在[2a＋1,2]上是增函数；
当2a＋1≥2，即a≥时，函数在[－2,2]上是减函数.
三、探究与创新
12.已知函数f(x)在实数集中满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(x)在定义域内是减函数.
(1)求f(1)的值；
(2)若f(2a－3)＜0，试确定a的取值范围.
解 (1)∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，
令x＝y＝1，得：f(1)＝f(1)＋f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)f(2a－3)＜0，即是f(2a－3)＜f(1).
∵f(x)在R上是减函数，
∴2a－3＞1，得a＞2.
即a的取值范围为(2，＋∞).
13.设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，满足条件：
(1)f(xy)＝f(x)＋f(y)；
(2)f(2)＝1；
(3)在(0，＋∞)上是增函数.
如果f(2)＋f(x－3)≤2，求x的取值范围.
解 ∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，∴令x＝y＝2，
得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2f(2).
又f(2)＝1，∴f(4)＝2.
∵f(2)＋f(x－3)＝f[2(x－3)]＝f(2x－6)，
∴f(2)＋f(x－3)≤2可化为f(2x－6)≤2＝f(4)，
即f(2x－6)≤f(4).
∵f(x)在(0，＋∞)上递增，
∴解得3故x的取值范围为(3,5].
2.1.4 函数的奇偶性
[学习目标] 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.3.会利用函数的奇偶性解决简单问题.
[知识链接]
1.关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相等；关于原点对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.
2.如图所示，它们分别是哪种对称的图形？
答案 第一个既是轴对称图形、又是中心对称图形，第二个和第三个图形为轴对称图形.
3.观察函数f(x)＝x和f(x)＝的图象(如图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？
答案 图象关于原点对称.
[预习导引]
1.函数奇偶性的定义
(1)奇函数：设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数.
(2)设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数.
2.奇、偶函数图象的对称性
(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
(2)偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
解决学生疑难点
要点一 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
解 (1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数.
(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数.
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数.
规律方法 判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性.(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.(3)分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性.
跟踪演练1 (1)下列函数为奇函数的是( )
A.y＝|x| B.y＝3－x
C.y＝ D.y＝－x2＋14
(2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
答案 (1)C (2)A
解析 (1)A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数.
(2)∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，得b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx.
∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数.
要点二 利用函数奇偶性研究函数的图象
例2 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如下图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________.
答案 (－2,0)∪(2,5)
解析 因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称.由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示.由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5).
规律方法 给出奇函数或偶函数在y轴一侧的图象，根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，可以作出函数在y轴另一侧的图象.作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)，关于y轴的对称点为(－x0，y0).
跟踪演练2 设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是________.
答案 {x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5}
解析 由于偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)＜0的解.
∵当x∈[0,5]时，f(x)＜0的解为2＜x≤5，
所以当x∈[－5,0]时，f(x)＜0的解为－5≤x＜－2.
∴f(x)＜0的解是－5≤x＜－2或2＜x≤5.
要点三 利用函数的奇偶性求解析式
例3 已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式.
解 当x＜0，－x＞0，
∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1.
又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝2x＋1.又f(x)(x∈R)是奇函数，
∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
∴所求函数的解析式为f(x)＝
规律方法 1.本题易忽视定义域为R的条件，漏掉x＝0的情形.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0.
2.利用奇偶性求解析式的思路：(1)在待求解析式的区间内设x，则－x在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f(x)的奇偶性，求待求区间上的解析式.
跟踪演练3 (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是( )
A.f(x)＝－x(x－2)
B.f(x)＝x(|x|－2)
C.f(x)＝|x|(x－2)
D.f(x)＝|x|(|x|－2)
(2)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于( )
A.－2B.0C.1D.2
答案 (1)D (2)A
解析 (1)∵f(x)在R上是偶函数，且x≥0时，f(x)＝x2－2x，
∴当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋2x＝x2＋2x，
则f(x)＝f(－x)＝x2＋2x＝－x(－x－2).
又当x≥0时，f(x)＝x2－2x＝x(x－2)，
因此f(x)＝|x|(|x|－2).
(2)当x＞0时，f(x)＝x2＋，∴f(1)＝12＋＝2.
∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.
1.函数f(x)＝x2(x＜0)的奇偶性为( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
答案 D
解析 ∵函数f(x)＝x2(x＜0)的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称，∴函数f(x)＝x2(x＜0)为非奇非偶函数.
2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A.y＝x＋1 B.y＝－x3
C.y＝ D.y＝x|x|
答案 D
解析 由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图象可知当x>0时此函数为增函数，又该函数为奇函数.
3.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x＋1，则当x＜0时，f(x)的解析式为( )
A.f(x)＝－x＋1 B.f(x)＝－x－1
C.f(x)＝x＋1 D.f(x)＝x－1
答案 B
解析 设x＜0，则－x＞0.∴f(－x)＝x＋1，又函数f(x)是奇函数.∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴f(x)＝－x－1(x＜0).
4.已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A.0 B.1 C.2 D.4
答案 A
解析 由偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
5. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.
答案 12
解析 f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－8)＋4]＝12.
1.定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的一个条件，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式.
2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)?f(－x)?f(x)＝0?＝±1(f(x)≠0).
3.(1)若f(x)＝0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.
一、基础达标
1.已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
答案 B
解析 F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x).
又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数.
2.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于( )
A.－3B.－1C.1D.3
答案 A
解析 ∵f(x)是奇函数，
∴f(1)＝－f(－1)＝－3.
3.若函数f(x)＝为奇函数，则a等于( )
A.B.C.D.1
答案 A
解析 函数f(x)的定义域为{x|x≠－，且x≠a}.
又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝.
4.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A.f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B.f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C.f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D.f(π)＜f(－2)＜f(－3)
答案 A
解析 ∵f(x)是偶函数，
则f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，
又当x≥0时，f(x)是增函数，
所以f(2)＜f(3)＜f(π)，从而f(－2)＜f(－3)＜f(π).
5.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A.－B.C.D.－
答案 B
解析 ∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，∴b＝0，
又a－1＝－2a，∴a＝，∴a＋b＝.
6.偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的增区间为________.
答案 [－1,0]，[1，＋∞)
解析 偶函数的图象关于y轴对称，可知函数f(x)的增区间为[－1,0]，[1，＋∞).
7.已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式.
解 设x<0，则－x>0.
∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1.
∴f(－x)＝x2－x－1.
∵函数f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x).
∴f(x)＝x2－x－1.
∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2－x－1.
二、能力提升
8.已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A. B.
C. D.
答案 A
解析 由题意得|2x－1|<?－<2x－1<
?<2x<?9.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案 B
解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1).又g(x)是偶函数，
∴g(－1)＝g(1).
∵f(－1)＋g(1)＝2，∴g(1)－f(1)＝2.①
又f(1)＋g(－1)＝4，∴f(1)＋g(1)＝4.②
由①②，得g(1)＝3.
10.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)＞f(2a－a2)，则实数a的取值范围是________.
答案 (－∞，)
解析 依题意得，函数f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是增函数，又因为f(x)是R上的奇函数，所以函数f(x)是R上的增函数，要使f(3－a2)＞f(2a－a2)，只需3－a2＞2a－a2.由此解得a＜，即实数a的取值范围是(－∞，).
11.设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)＞0，求实数m的取值范围.
解 由f(m)＋f(m－1)>0，
得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数，
∴f(x)在[－2,2]上为减函数，
∴即
解得－1≤m<.
因此实数m的取值范围是.
三、探究与创新
12.已知f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2.
若当x∈[1,3]时，f(x)的最大值为m，最小值为n，求m－n的值.
解 ∵x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2，且f(x)是奇函数，
∴当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝x2－3x＋2.
故当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝3x－x2－2.
∴当x∈时，f(x)是增函数；
当x∈时，f(x)是减函数.
因此当x∈[1,3]时，f(x)max＝f＝，f(x)min＝f(3)＝－2.∴m＝，n＝－2，从而m－n＝.
13.设函数f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值与最小值.
(1)证明 令x＝y＝0，得f(0)＋f(0)＝f(0)，
∴f(0)＝0.
又令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.
(2)解 设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0，
于是f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)
＝f(x2－x1)＜0，
∴f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在R上是减函数，
∴f(x)的最大值为f(－3)＝－f(3)
＝－3f(1)＝(－3)×(－2)＝6，
最小值为f(3)＝－f(－3)＝－6.
2.2 一次函数和二次函数
2.2.1 一次函数的性质与图象
[学习目标] 1.理解一次函数的概念，掌握一次函数的性质.2.会用一次函数的图象和性质分析问题、解决问题.
[知识链接]
函数y＝2x＋1的自变量为x，它的次数为1；函数y＝称为反比例函数，函数y＝2x为正比例函数.
[预习导引]
一次函数的性质与图象
一次函数
定义
函数y＝kx＋b(k≠0)叫做一次函数
图象
k＞0
k＜0
定义域
R
单调性
增函数
减函数
奇偶性
若b＝0，奇函数，若b≠0，非奇非偶函数
要点一 一次函数的概念及性质
例1 已知函数y＝(2m－1)x＋1－3m，m为何值时，
(1)这个函数为正比例函数；
(2)这个函数为一次函数；
(3)函数值y随x的增大而减小；
(4)这个函数图象与直线y＝x＋1的交点在x轴上.
解 (1)由题意，得
∴∴m＝.
(2)函数为一次函数，只需且必须2m－1≠0，
即m≠且m∈R.
(3)据题意，2m－1＜0，∴m＜.
(4)由方程组
得(2m－2)y＝5m－2(*)
∵2m－2≠0(否则*式不成立)，
∴y＝，令＝0，得m＝.
规律方法 解答此种类型的题目，首先要正确理解正比例函数、一次函数的概念及一次函数的性质，从概念和性质入手，问题便可迎刃而解.
跟踪演练1 函数①y＝－2x，②y＝15－6x，③c＝7t－35，④y＝＋2，⑤y＝x，⑥y＝中，正比例函数是________，一次函数是________.
答案 ①⑤ ①②③⑤
解析 正比例函数是y＝－2x，y＝x；一次函数是y＝－2x，y＝15－6x，c＝7t－35，y＝x.
需要特别说明的是，尽管函数y＝＝x(x≠0)，但是它既不是正比例函数，也不是一次函数.
要点二 一次函数的图象与应用
例2 画出函数y＝2x＋1的图象，利用图象求：
(1)方程2x＋1＝0的根；
(2)不等式2x＋1≥0的解集；
(3)当y≤3时，求x的取值范围.
解 因函数y＝2x＋1的图象与y轴相交于点A(0,1)，与x轴交于点B(－，0)，过A，B作直线，直线AB就是函数y＝2x＋1的图象.如图所示.
(1)直线AB与x轴的交点为B(－，0)，所以方程2x＋1＝0的根为x＝－.
(2)从图象上可以看到，射线BA上的点的纵坐标都不小于零，即y＝2x＋1≥0.因为射线BA上的点的横坐标满足x≥－，所以不等式2x＋1≥0的解集是{x|x≥－}.
(3)过点(0,3)作平行于x轴的直线CC′，交直线AB于C(1，3)，直线CC′上点的纵坐标y均等于3，直线AB上位于直线CC′下方的点的纵坐标y均小于3，射线CB上点的横坐标满足x≤1.
规律方法 直线y＝kx＋b上y＝y0(y0是已知数)点的横坐标就是一元一次方程y0＝kx＋b的根，直线y＝kx＋b上满足y1≤y≤y2(y1，y2是已知数)的那条线段所对应的x的取值范围就是一元一次不等式y1≤kx＋b≤y2的解集.
跟踪演练2 已知y＋5与3x＋4成正比例，且当x＝1时，y＝2，若y的取值范围为0≤y≤5，求x的取值范围.
解 由已知可设y＋5＝k(3x＋4)(k≠0)，
将x＝1，y＝2代入得，
7＝k(3＋4)，∴k＝1，即y＝3x－1，
∵0≤y≤5，∴0≤3x－1≤5.∴≤x≤2.
1.下列函数中一次函数的个数为( )
①y＝－；②y＝；③y＝3；④y＝1＋8x.
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 B
解析 ①④是一次函数，②是反比例函数，③是常数函数.
2.一次函数y＝kx＋b(k＜0，b＜0)的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 A
解析 直线y＝kx＋b(k＜0，b＜0)经过点(0，b)，在y轴的负半轴上，且y是x的减函数.
3.已知直线y＝kx＋b过点A(x1，y1)和B(x2，y2)，若k＜0且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是( )
A.y1＞y2 B.y1＜y2
C.y1＝y2 D.不能确定
答案 A
解析 ∵k＜0，∴函数在R上单调递减，
∵x1＜x2，则y1＞y2.
4.下述函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( )
A.y＝x2－2 B.y＝
C.y＝1＋2x D.y＝－(x＋2)2
答案 C
解析 ∵C中y＝1＋2x为一次函数且一次项系数大于零，∴y＝1＋2x在R上为增函数，故选C.
5.当m＝________时，函数y＝(m＋1)x2m－1＋4x－5是一次函数.
答案 1
解析 由2m－1＝1知，m＝1时，函数为y＝2x＋4x－5＝6x－5为一次函数.
1.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与y轴的交点为(0，b)，当b＞0时，此交点在y轴的正半轴上；当b＜0时，此交点在y轴的负半轴上；当b＝0时，此交点为原点.
2.一次函数y＝kx＋b(k≠0)具有单调性，当k＞0时，一次函数是增函数；当k＜0时，一次函数为减函数.
一、基础达标
1.如果一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过第一、三、四象限，那么( )
A.k＞0，b＞0 B.k＞0，b＜0
C.k＜0，b＞0 D.k＜0，b＜0
答案 B
解析 由图象可以看出：y随x的增大而增大，所以k＞0；直线与y轴的交点在负半轴上，所以b＜0.
2.函数的解析式为x－2y＋7＝0，则其对应直线的斜率与纵截距分别为( )
A.， B.1，－7
C.1， D.－，
答案 A
解析 ∵x－2y＋7＝0，∴y＝x＋，
∴斜率k＝，纵截距b＝.
3.已知一次函数y＝(m－2)x＋m2－3m－2，它的图象在y轴上的截距为－4，则m的值为( )
A.－4B.2C.1D.2或1
答案 C
解析 由
得∴m＝1.
4.若函数y＝(2m－3)x＋3n＋1的图象经过第一、二、三象限，则m与n的取值是( )
A.m＞，n＞－ B.m＞3，n＞－3
C.m＜，n＜－ D.m＞，n＜
答案 A
解析 对于一次函数y＝kx＋b，当k＞0，b＞0时，其图象经过第一、二、三象限，即2m－3>0,3n＋1>0，所以m＞，n＞－.
5.已知函数y＝2x＋b在区间[－1,3]上的最大值是7，则b＝________.
答案 1
解析 ∵函数y＝2x＋b在[－1,3]上单调递增，∴最大值为2×3＋b＝7，∴b＝1.
6.关于x的一次函数y＝(3a－7)x＋a－2的图象与y轴的交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是________.
答案 2＜a＜
解析 由题意得
∴∴2＜a＜.
7.设函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是增函数，求a的取值范围.
解 ∵f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是增函数，
∴k＝2a－1＞0，∴a＞.
二、能力提升
8.已知f(x－1)＝3x－1，则f(x)等于( )
A.3x－2 B.3x＋2
C.2x－3 D.2x
答案 B
解析 ∵f(x－1)＝3x－1＝3(x－1)＋2，
∴f(x)＝3x＋2.
9.设f(x)在(－∞，＋∞)上是奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于( )
A.0.5 B.－0.5
C.1.5 D.－1.5
答案 B
解析 由f(x＋2)＝－f(x)知f(x＋4)＝－f(x＋2)，
∴f(x＋4)＝f(x)，
∴f(7.5)＝f(3.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
10.当x∈(0,1)时，不等式－ax＋a－5＜0恒成立，则实数a的范围为________.
答案 (－∞，5]
解析 由得a≤5.
11.解答下列各题：
(1)求函数y＝3x－2(－1≤x≤2)的值域；
(2)函数y＝(3a＋2)x＋b是减函数，求a的取值范围；
(3)直线y＝(m－2)x＋1－2m的图象不经过第二象限，求实数m的取值范围.
解 (1)∵y＝3x－2在[－1,2]上为增函数，
∴y∈[－5,4]，其值域为[－5,4].
(2)∵3a＋2＜0，∴a＜－.
(3)①m－2＝0，即m＝2时，y＝－3符合题意；
②m－2≠0时，
∴m＞2，
∴m的取值范围为m≥2.
三、探究与创新
12.已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求直线的方程.
解 由题意，设直线l的方程为y＝x＋b，
直线与两坐标轴的交点分别为A(－6b,0)，B(0，b).
所以S＝|－6b|·|b|＝3b2＝3，即b＝±1，
所以直线方程为y＝x＋1或y＝x－1.
13.对于每个实数x，设f(x)取y＝x－3，y＝－x－4，y＝－2三个函数中的最大者，用分段函数的形式写出f(x)的解析式，并求f(x)的最小值.
解 在同一坐标系中作出函数y＝x－3，y＝－x－4，y＝－2的图象，如图所示.
由得
即A(－2，－2).
由得
即B(1，－2).
根据图象，可得函数f(x)的解析式为
f(x)＝
由上述过程及图象可知，当－2≤x≤1时，f(x)均取到最小值－2.
2.2.2 二次函数的性质与图象
[学习目标] 1.会用“描点法”作出y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象.2.通过图象研究二次函数的性质.3.掌握研究二次函数常用的方法——配方法.4.会求二次函数在闭区间上的最值(值域).
[知识链接]
函数y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，它的顶点坐标为(1,1)，对称轴为直线x＝1，单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1).
[预习导引]
1.二次函数
(1)定义：
函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数.
(2)解析式：
①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
②顶点式：y＝a(x－h)2＋k，其中(h，k)为顶点.
③两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2为方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根.
2.二次函数的性质与图象
函数
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
图象
a＞0
a＜0
性质
抛物线开口向上
抛物线开口向下
对称轴是x＝－
对称轴是x＝－
在区间(－∞，－]上是减函数，
在区间[－，＋∞)上是增函数
在区间(－∞，－]上是增函数，
在区间[－，＋∞)上是减函数
当x＝－时，y有最小值，ymin＝
当x＝－时，y有最大值，ymax＝
b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数
解决学生疑难点
要点一 二次函数的图象与应用
例1 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1＜x2＜1，比较f(x1)与f(x2)的大小；
(3)由图象判断x为何值时，y＞0，y＝0，y＜0.
解 f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4的图象如图所示.
(1)由图可知，二次函数f(x)的图象对称轴为x＝1且开口向下，且|0－1|＜|3－1|，故f(1)＞f(0)＞f(3).
(2)∵x1＜x2＜1，
∴|x1－1|＞|x2－1|，
∴f(x1)＜f(x2).
(3)由图可知：
当x＞3或x＜－1时，y＜0；
当x＝－1或x＝3时，y＝0；
当－1＜x＜3时，y＞0.
规律方法 观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号(值)，对称轴的位置决定－的符号.另外，还要注意与x轴的交点，函数的单调性等，从而解决其他问题.
跟踪演练1 已知二次函数y＝2x2－4x－6.
(1)画出该函数的图象，并指明此函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；
(2)由图象判断x为何值时，y＞0，y＝0，y＜0.
解 (1)由y＝2x2－4x－6＝2(x－1)2－8，
图象如图
由图象可知，函数图象开口向上，
对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8).
(2)由图象可知，x＞3，或x＜－1时，y＞0；
x＝－1或x＝3时，y＝0；－1＜x＜3时，y＜0.
要点二 二次函数性质及应用
例2 已知函数f(x)＝x|x－2|.
(1)画出函数y＝f(x)的图象；
(2)写出f(x)的单调区间，并指出在各个区间上是增函数还是减函数？(不必证明)
(3)已知f(x)＝，求x的值.
解 (1)f(x)＝x|x－2|＝
作图如下：
(2)单调递增区间(－∞，1]，[2，＋∞)；
单调递减区间(1,2)，
(3)∵f(x)＝，∴当x≥2时，x2－2x＝，
∴x＝1＋或x＝1－(舍去)，
当x＜2时，－x2＋2x＝，
∴x＝1±，
∴x的值为1±，1＋.
规律方法 二次函数的图象及性质是解决二次函数问题最基本的知识，注意数形结合寻找解题思路.
跟踪演练2 若函数f(x)＝(a－2)x2＋2x－4的图象恒在x轴下方，则a的取值范围是________.
答案 (－∞，)
解析 由题意知，二次函数开口向下且与x轴无交点.
即解得a＜.
要点三 二次函数最值问题
例3 (1)当－2≤x≤2时，求函数y＝x2－2x－3的最大值和最小值.
(2)当1≤x≤2时，求函数y＝－x2－x＋1的最大值和最小值.
(3)当x≥0时，求函数y＝－x(2－x)的取值范围.
解 (1)作出函数的图象，如图(1).
当x＝1时，ymin＝－4；
当x＝－2时，ymax＝5.
(2)作出函数的图象如图(2).
当x＝1时，ymax＝－1；
当x＝2时，ymin＝－5.
(3)作出函数y＝－x(2－x)＝x2－2x在x≥0时的图象，如图(3).
可以看出：当x＝1时，ymin＝－1，无最大值.
所以，当x≥0时，函数的取值范围是{y|y≥－1}.
规律方法 求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在[m，n]上的最值的步骤：
(1)配方，找对称轴；
(2)判断对称轴与区间的关系；
(3)求最值.若对称轴在区间外，则f(x)在[m，n]上单调，利用单调性求最值；若对称轴在区间内，则在对称轴处取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得.
跟踪演练3 求函数y＝x2－2x＋3在区间[0，a]上的最值，并求此时x的值.
解 对称轴：x＝1，抛物线开口向上.
(1)当0＜a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，
∴当x＝0时，ymax＝3；
当x＝a时，ymin＝a2－2a＋3.
(2)当1＜a＜2时，函数在[0,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，
∴当x＝1时，ymin＝2；
当x＝0时，ymax＝3.
(3)当a≥2时，函数在[0,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，
∴当x＝1时，ymin＝2，
当x＝a时，ymax＝a2－2a＋3.
1.函数y＝3＋2x－x2(0≤x≤3)的最小值为( )
A.－1B.0C.3D.4
答案 B
解析 ∵y＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4，
∴函数在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，
∴y＝3＋2x－x2(0≤x≤3)的最小值为
y＝3＋2×3－32＝0.
2.已知一元二次函数y＝－x2＋2x＋4，则函数( )
A.对称轴为x＝1，最大值为3
B.对称轴为x＝－1，最大值为5
C.对称轴为x＝1，最大值为5
D.对称轴为x＝－1，最小值为3
答案 C
解析 由y＝－x2＋2x＋4＝－(x－1)2＋5，知对称轴为x＝1，最大值为5.
3.二次函数f(x)＝a2x2－4x＋1的顶点在x轴上，则a的值为( )
A.2 B.－2
C.0 D.±2
答案 D
解析 由Δ＝0即16－4a2＝0得a2＝4，故a＝±2.
4.下列区间中，使函数y＝－2x2＋x为增函数的是( )
A.R B.[2，＋∞)
C. D.
答案 D
解析 函数y＝－2x2＋x＝－22＋的图象的对称轴是直线x＝，图象的开口向下，所以函数值在对称轴x＝的左边是增加的.
5. 已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________.
答案
解析 ∵x＋y＝1，x≥0，y≥0，∴y＝1－x，x∈[0，1]，∴x2＋y2＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1.对称轴为x＝，故x＝时，有最小值为，x＝0或x＝1时有最大值为1，则x2＋y2的取值范围为.
1.画二次函数的图象，抓住抛物线的特征“三点一线一开口”.“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.
2.若求二次函数在某闭(或开)区间(非R)内的值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论：
①若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域；
②若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域.
一、基础达标
1.函数y＝x2＋2x－2的图象的顶点坐标是( )
A.(2，－2) B.(1，－2)
C.(1，－3) D.(－1，－3)
答案 D
解析 由于y＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3，所以函数y＝x2＋2x－2的图象的顶点坐标是(－1，－3).
2.若抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，则m的值为( )
A.－3 B.3 C.－2 D.2
答案 D
解析 因为抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，所以顶点横坐标－＝＝0，故m＝2.
3.若f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－3,1)上( )
A.单调递增 B.单调递减
C.先增后减 D.先减后增
答案 C
解析 当m＝0时，f(x)是偶函数，此时f(x)＝－x2＋3，所以f(x)的图象是张口向下的抛物线，所以函数f(x)在区间(－3,1)上先增后减.
4.函数y＝x2－|x|－12的图象与x轴两个交点间的距离为( )
A.1B.6C.7D.8
答案 D
解析 由y＝x2－|x|－12＝0得|x|＝4，∴x＝±4，
∴两交点间的距离为8.
5.若f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，则( )
A.f(4)＜f(1)＜f(2) B.f(2)＜f(1)＜f(4)
C.f(2)＜f(4)＜f(1) D.f(4)＜f(2)＜f(1)
答案 B
解析 f(x)的对称轴为x＝2，所以f(2)最小.
又x＝4比x＝1距对称轴远，故f(4)＞f(1)，
即f(2)＜f(1)＜f(4).
6.已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________.
答案 (－∞，－3]
解析 ∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2
＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，
∴f(x)的递减区间是(－∞，1－a].
又∵已知f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴1－a≥4，即a≤－3.
∴所求实数a的取值范围是(－∞，－3].
7.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5].
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数.
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
∵x∈[－5,5]，故当x＝1时，f(x)的最小值为1.
当x＝－5时，f(x)的最大值为37.
(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2图象的对称轴为x＝－a.∵f(x)在[－5,5]上是单调的，故－a≤－5，或－a≥5.即实数a的取值范围是{a|a≤－5，或a≥5}.
二、能力提升
8.已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A.[1，＋∞) B.[0,2]
C.(－∞，2] D.[1,2]
答案 D
解析 y＝(x－1)2＋2，∴x＝1时，ymin＝2，当x＝0或x＝2时，y＝3，由图象知，m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.
9. 若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )
A.与a有关，且与b有关 B.与a有关，但与b无关
C.与a无关，且与b无关 D.与a无关，但与b有关
答案 B
解析 因为最值在f(0)＝b，f(1)＝1＋a＋b，f＝b－中取，所以最值之差一定与b无关，但与a有关，故选B.
10.若函数f(x)＝(m－1)x2＋mx＋3(x∈R)是偶函数，则f(x)的单调减区间是________.
答案 [0，＋∞)
解析 ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴m＝0，
即f(x)＝－x2＋3在[0，＋∞)上单调递减.
11.已知函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)求f(x)在区间[，3]上的最大值和最小值；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围.
解 (1)∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
x∈[，3]，
∴f(x)的最小值是f(1)＝1，
又f()＝，f(3)＝5，
所以，f(x)的最大值是f(3)＝5，
即f(x)在区间[，3]上的最大值是5，最小值是1.
(2)∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2，
∴≤2或≥4，即m≤2或m≥6.
故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)
三、探究与创新
12.求函数y＝x2－2ax－1在[0,2]上的值域.
解 函数y＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.
①当a＜0时，ymin＝f(0)＝－1，
ymax＝f(2)＝4－4a－1＝3－4a，
所以函数的值域为[－1,3－4a].
②当0≤a≤1时，ymin＝f(a)＝－(a2＋1)，
ymax＝f(2)＝3－4a，
所以函数的值域为[－(a2＋1)，3－4a].
③当1＜a≤2时，ymin＝f(a)＝－(a2＋1)，
ymax＝f(0)＝－1，
所以函数的值域为[－(a2＋1)，－1].
④当a＞2时，ymin＝f(2)＝3－4a，ymax＝f(0)＝－1，
所以函数的值域为[3－4a，－1].
13.已知f(x)＝x2＋2x－1，若x∈[a，a＋1]，求f(x)的最小值.
解 因为f(x)＝(x＋1)2－2，故对称轴为x＝－1.
①当a≥－1时，则区间[a，a＋1]在对称轴x＝－1的右侧，所以y＝f(x)在此区间上是单调递增的.
所以f(x)min＝f(a)＝a2＋2a－1.
②当a＋1≤－1，即a≤－2时，则区间[a，a＋1]在对称轴的左侧.
所以y＝f(x)在此区间上是单调递减的.
所以f(x)min＝f(a＋1)＝(a＋1)2＋2(a＋1)－1＝a2＋4a＋2.
③当a＜－1＜a＋1时，
即－2＜a＜－1时，
f(x)min＝f(－1)＝－2.
综上，f(x)min＝
2.2.3 待定系数法
[学习目标] 1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式.2.掌握待定系数法的特征及应用.
[预习导引]
1.待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.
2.正比例函数的一般形式为y＝kx(k≠0)，反比例函数的一般形式为y＝(k≠0)，一次函数的一般形式为y＝kx＋b(k≠0)，二次函数的一般形式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
要点一 求一次函数的解析式
例1 设一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x＋9，求f(x)的解析式.
解 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f[f(x)]＝a·f(x)＋b＝a(ax＋b)＋b
＝a2x＋ab＋b.
由f[f(x)]＝4x＋9，得a2x＋ab＋b＝4x＋9，
∴解得或
∴f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9.
规律方法 设出一次函数解析式，由等量关系列式求解.
跟踪演练1 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x).
解 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则有3f(x＋1)－2f(x－1)
＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
＝ax＋5a＋b＝2x＋17，
则
∴a＝2，b＝7，即f(x)＝2x＋7.
要点二 求二次函数的解析式
例2 已知二次函数y＝f(x)的图象过A(0，－5)，B(5,0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的解析式.
解 方法一 设二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题意得
解得
∴所求函数解析式为f(x)＝x2－4x－5.
方法二 设二次函数f(x)＝a(x－2)2＋k(a≠0)，
将(0，－5)，(5,0)，
代入上式得
解得
∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－2)2－9，
即f(x)＝x2－4x－5.
方法三 ∵二次函数过点(5,0)，且对称轴为x＝2，
∴二次函数与x轴另一交点为(－1,0)，
设二次函数为f(x)＝a(x－5)(x＋1)(a≠0)，
将(0，－5)代入得a＝1，
∴f(x)＝x2－4x－5.
规律方法 用待定系数法求二次函数解析式时，要注意其设法的多样性，由条件选择适当的形式.
跟踪演练2 求满足下列条件的二次函数的解析式.
(1)已知二次函数的图象经过A(3,0)，B(0，－3)，C(－2,5)三点；
(2)已知顶点坐标为(4,2)，点(2,0)在函数图象上；
(3)已知y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上.
解 (1)设所求函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c待定.
根据已知条件得
解得
因此所求函数为y＝x2－2x－3.
(2)设所求函数y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，其中a待定.
根据已知条件得a(2－4)2＋2＝0，解得a＝－，
因此所求函数为y＝－(x－4)2＋2＝－x2＋4x－6.
(3)∵y＝x2－4x＋h＝(x－2)2＋h－4，
∴顶点A(2，h－4)，
由已知得(－4)×2－1＝h－4，h＝－5，
∴所求函数为y＝x2－4x－5.
要点三 待定系数法的综合应用
例3 如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式，并求该函数的值域.
解 设左侧的射线对应的解析式为
y＝kx＋b(k≠0，x≤1)，
因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故
解得k＝－1，b＝2，
所以左侧射线对应的函数的解析式为
y＝－x＋2(x<1)，
同理可求x≥3时，函数的解析式为y＝x－2(x>3).
当1≤x≤3时，抛物线对应的函数为二次函数.
设其方程为y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a＜0)，
由点(1,1)在抛物线上可知a＋2＝1，所以a＝－1，
所以抛物线对应的函数解析式为
y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3).
综上，函数的解析式为
y＝
由图象可知函数的最小值为1，无最大值，
所以，值域为[1，＋∞).
规律方法 由函数图象求函数的解析式，关键在于观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后根据不同区间上的函数类型，利用待定系数法求出相应解析式.
跟踪演练3 已知f(x)是定义在[－6,6]上的奇函数，且f(x)在[－3,3]上是一次函数，在[3,6]上是二次函数，f(6)＝2，又当3≤x≤6时，f(x)≤f(5)＝3，
求f(x)的解析式.
解 因为f(x)在[3,6]上是二次函数，f(x)≤f(5)＝3，
则(5,3)为抛物线的顶点，
所以设f(x)＝a(x－5)2＋3(a≠0)，
又因为f(6)＝2，代入f(x)得a＝－1，
所以x∈[3,6]时，f(x)＝－(x－5)2＋3.
当x＝3时，f(3)＝－1，所以点(3，－1)既在二次函数的图象上又在一次函数的图象上.
又因为f(x)为奇函数，且x∈[－6,6]，
所以f(0)＝0，故可设一次函数式为f(x)＝kx(k≠0)，
将(3，－1)代入f(x)得k＝－.
所以一次函数式为f(x)＝－x.
当x∈[－6，－3]时，－x∈[3,6]，
所以f(x)＝－f(－x)＝(x＋5)2－3.
所以f(x)＝
1.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过(1,0)(2,5)两点，则二次函数的解析式为( )
A.y＝x2＋2x－3
B.y＝x2－2x－3
C.y＝x2＋2x＋3
D.y＝x2－2x＋6
答案 A
解析 将(1,0)，(2,5)代入y＝x2＋bx＋c可得
由①②解得b＝2，c＝－3.
2.已知一次函数的图象过点(1,3)，(3,4)，则这个函数的解析式为( )
A.y＝x－ B.y＝x＋
C.y＝－x＋ D.y＝－x－
答案 B
解析 设一次函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
把点(1,3)，(3,4)代入易知得
3.已知二次函数的图象经过(－1,0)，(1,0)，(2,3)三点，则这个函数的解析式为( )
A.y＝x2－1 B.y＝1－x2
C.y＝x2＋1 D.y＝x2－1
答案 A
解析 设y＝a(x＋1)(x－1)(a≠0)，
将点(2,3)代入得3＝3a，
∴a＝1.∴y＝x2－1.
4.已知某二次函数的图象与函数y＝2x2的图象形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( )
A.y＝2(x－1)2＋3 B.y＝2(x＋1)2＋3
C.y＝－2(x－1)2＋3 D.y＝－2(x＋1)2＋3
答案 D
解析 设所求函数的解析式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，由题意可知a＝－2，h＝1，k＝3，故y＝－2(x＋1)2＋3.
5.已知二次函数f(x)的图象顶点坐标为(1，－2)，且过点(2,4)，则f(x)＝________.
答案 6x2－12x＋4
解析 设f(x)＝a(x－1)2－2(a≠0)，
因为过点(2,4)，
所以有a(2－1)2－2＝4，得a＝6.
所以f(x)＝6(x－1)2－2＝6x2－12x＋4.
1.求二次函数解析式时，已知函数图象上三点的坐标，通常选择一般式；已知图象的顶点坐标(对称轴和最值)通常选择顶点式；已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，通常选择两根式.
2.一般地，函数关系式中有几个待定的系数，就需要有几个独立的条件才能求出函数关系式.
一、基础达标
1.已知一个反比例函数的图象过(2,8)点，则这个函数的解析式为( )
A.y＝4x B.y＝－4x
C.y＝ D.y＝－
答案 C
解析 设y＝(k≠0)，∵过(2,8)点，∴8＝，∴k＝16，即y＝.故选C.
2.已知函数f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)的值为( )
A.5B.－5C.6D.－6
答案 C
解析 由f(1)＝f(2)＝0得，1＋p＋q＝4＋2p＋q＝0，
p＝－3，q＝2.则f(x)＝x2－3x＋2，故f(－1)＝6.
3.已知f(x)＝ax＋b(a≠0)且af(x)＋b＝9x＋8，则( )
A.f(x)＝3x＋2
B.f(x)＝－3x－4
C.f(x)＝3x－4
D.f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4
答案 D
解析 ∵f(x)＝ax＋b，af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝9x＋8，
∴a2x＋ab＋b＝9x＋8，
∴∴或
∴f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4.
4.已知2x2＋x－3＝(x－1)(ax＋b)，则a，b的值分别为( )
A.2,3 B.3,2 C.－2,3 D.－3,2
答案 A
解析 (x－1)(ax＋b)＝ax2＋(b－a)x－b，
因为(x－1)(ax＋b)＝2x2＋x－3，
所以解得
5.抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1,0)，(3,0)，其形状与抛物线y＝－2x2相同，则y＝ax2＋bx＋c的解析式为( )
A.y＝－2x2－x＋3 B.y＝－2x2＋4x＋5
C.y＝－2x2＋4x＋8 D.y＝－2x2＋4x＋6
答案 D
解析 由题意得y＝－2(x＋1)(x－3)＝－2x2＋4x＋6，故选D.
6.二次函数的图象与x轴交于A(－2,0)，B(2,0)，并且在y轴上的截距为4，则函数的解析式为________.
答案 y＝－x2＋4
解析 设二次函数的解析式为y＝a(x＋2)(x－2)(a≠0)，将点的坐标(0,4)代入方程，得4＝a×2×(－2)，所以a＝－1.所以函数的解析式为y＝－x2＋4.
7.某一次函数图象经过(8，－6)和(6,18)，且(6，－5)在某个正比例函数图象上，求这两个函数的解析式.
解 设一次函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，正比例函数解析式为y＝k′x(k′≠0).
把(8，－6)，(6,18)分别代入y＝kx＋b得
解得
∴一次函数的解析式为y＝－12x＋90.
把(6，－5)代入y＝k′x，得－5＝6k′，解得k′＝－.
∴正比例函数的解析式为y＝－x.
二、能力提升
8.已知f(x)＝x2＋1，g(x)是一次函数且是增函数，若f[g(x)]＝9x2＋6x＋2，则g(x)为( )
A.g(x)＝3x＋2 B.g(x)＝3x＋1
C.g(x)＝－3x＋2 D.g(x)＝3x－1
答案 B
解析 设g(x)＝ax＋b(a≠0)，则a＞0，
∴f(g(x))＝f(ax＋b)＝(ax＋b)2＋1＝9x2＋6x＋2，
∴a＝3，b＝1.
9.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，y有最大值4，且|a|＝1，则它的解析式为________.
答案 y＝－x2＋2x＋3
解析 ∵y有最大值，∴a＜0.又|a|＝1，∴a＝－1.由题意得点(1,4)是抛物线的顶点.
∴所求抛物线解析式为y＝－(x－1)2＋4，
即y＝－x2＋2x＋3.
10.若f(x)＝x2＋mx＋n，且f(－1)＝f(3)，则在f(1)，n，f(－1)的大小关系为________.
答案 f(－1)＞n＞f(1)
解析 由f(－1)＝f(3)得m＝－2，
∴f(x)＝x2－2x＋n＝(x－1)2＋n－1
对称轴为x＝1，在(－∞，1)上单减，
∴f(－1)＞f(0)＞f(1).
又f(0)＝n，∴f(－1)＞n＞f(1).
11.抛物线经过点(2，－3)，它与x轴交点的横坐标是－1和3.
(1)求抛物线的解析式；
(2)用配方法求出抛物线的对称轴方程和顶点坐标；
(3)画出草图；
(4)观察图象，x取何值时，函数值小于零？x取何值时，函数值随x的增大而减小？
解 (1)设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)，把点(2，－3)代入，得－3＝a(2＋1)(2－3)，
∴a＝1.
∴抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3.
(2)y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4.由此可知抛物线的对称轴方程为x＝1，顶点坐标为(1，－4).
(3)抛物线的草图如图所示：
(4)由图象可知，当x∈(－1,3)时，函数值y小于零；当x∈(－∞，1]时，y随x的增大而减小.
三、探究与创新
12.已知二次函数f(x)对一切x∈R，有f(2－x)＝f(x)，f(－1)＝0，且f(x)≥－1.
(1)求二次函数的解析式；
(2)若直线l过(1)中抛物线的顶点和抛物线与x轴左侧的交点，求l在y轴上的截距.
解 (1)由f(2－x)＝f(x)，得二次函数图象的对称轴为x＝1，由f(x)≥－1对一切x∈R成立，得二次函数的最小值为－1.
设二次函数的解析式为f(x)＝a(x－1)2－1，
∵f(－1)＝0，∴4a－1＝0，∴a＝，
∴f(x)＝(x－1)2－1＝x2－x－.
(2)设直线l的解析式为g(x)＝kx＋b.
由(1)知，抛物线顶点为C(1，－1)，
由x2－x－＝0，解得x1＝－1，x2＝3，
∴l过点A(－1,0)，
∴解得
∴一次函数为y＝－x－.
在y轴上的截距为b＝－.
13.已知函数f(x)满足f(x)＝4x2＋2x＋1.
(1)设g(x)＝f(x－1)－2x，求g(x)在[－2,5]上的值域；
(2)设h(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围.
解 (1)g(x)＝f(x－1)－2x
＝4(x－1)2＋2(x－1)＋1－2x
＝4x2－8x＋3，x∈[－2,5].
∵g(x)的对称轴为方程x＝1，
∴当x＝1时，g(x)min＝－1，
当x＝5时，g(x)max＝63，
∴所求值域为[－1,63].
(2)由题知h(x)＝4x2＋(2－m)x＋1.
∵h(x)的对称轴为直线x＝，
∴≤2或≥4，即m≤18或m≥34.
故所求m的取值范围是(－∞，18]∪[34，＋∞).
2.3 函数的应用(Ⅰ)
[学习目标] 1.明确一次函数、二次函数、分段函数可作为数学模型解有关应用题.2.初步掌握数学建模的方法.3.通过数学建模的应用，培养应用意识.
[预习导引]
常见函数模型
名称
解析式
条件
一次函数模型
y＝ax＋b
a≠0
二次函数模型
一般式y＝ax2＋bx＋c
a≠0
顶点式y＝a(x－h)2＋k
a≠0
解决学生疑难点
要点一 一次函数模型
例1 大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12km为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12km以上温度一定，保持在－55℃.
(1)当地球表面大气的温度是a℃时，在xkm的上空为y℃，求0≤x≤12时，a，x，y间的函数关系式；
(2)当地球表面大气的温度是29℃时，3km上空的温度是多少？
解 (1)由题意知y－a＝kx(0≤x≤12，k＜0)，
即y＝a＋kx.
∵当x＝12时，y＝－55，∴－55＝a＋12k，
解得k＝－，
∴当0≤x≤12时，y＝a－x，
∴所求的函数关系式为y＝a－x(0≤x≤12).
(2)当a＝29，x＝3时，y＝29－×3＝8(℃)，
即当地球表面大气的温度是29℃时，3km上空的温度是8℃.
规律方法 用一次函数模型解决实际问题时，要注意分析数量关系的特征.对于一次函数y＝ax＋b(a≠0)，当a＞0时为增函数，当a＜0时为减函数.另外要结合题目理解(0，b)或(－，0)这些特殊点的意义.
跟踪演练1 如图所示，这是某电信局规定的打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：
(1)通话2分钟，需要付电话费________元；
(2)通话5分钟，需要付电话费________元；
(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________.
答案 (1)3.6 (2)6 (3)y＝1.2t(t≥3)
解析 (1)由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元.
(2)由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元.
(3)当t≥3时，y关于x的图象是一条直线，且经过(3,3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为y＝kt＋b，
则解得
故y关于t的函数关系式为y＝1.2t(t≥3).
要点二 二次函数模型
例2 某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与报纸广告费用x1(万元)及电视广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式：
R＝－2x－x＋13x1＋11x2－28.
(1)若提供的广告费用共为5万元，求最优广告策略；(即收益最大的策略，其中收益＝销售收入－广告费用)
(2)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略(其中x1，x2∈N).
解 (1)∵广告费共5万元，设报纸广告费用x1万元，则电视广告费用x2＝5－x1万元，利润为w万元.
∴R＝－2x－(5－x1)2＋13x1＋11(5－x1)－28(0＜x1≤5)
＝－3x＋12x1＋2(0＜x1≤5).
当x1＝2万元时，Rmax＝14万元，
此时电视广告费用为3万元.
∴w＝14－5＝9(万元).
即报纸广告费2万元，电视广告费3万元.
(2)∵广告费用不限，
∴R(x)＝f(x)＋g(x)－28，
其中f(x)＝－2x＋13x1，g(x)＝－x＋11x2，
∵x1，x2∈N，
∴f(x)max＝f(3)＝21，
g(x)max＝f(5)＝f(6)＝30.
欲使ω最大，所以g(x)取最大值时x2＝5，
此时ω＝21＋30－28－8＝15.
即报纸广告费用为3万元，电视广告费用为5万元时为最优广告策略.
规律方法 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题.
跟踪演练2 心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系式y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强.
(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？
解 (1)y＝－0.1x2＋2.6x＋43
＝－0.1(x－13)2＋59.9.
所以，当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；
当13≤x≤30时，学生的接受能力逐步下降.
(2)当x＝10时，y＝－0.1×(10－13)2＋59.9＝59.
即第10分钟时，学生的接受能力为59.
(3)当x＝13时，y取最大值.
所以，在第13分钟时，学生的接受力最强.
要点三 分段函数模型
例3 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；
(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？
(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)
解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100＋＝550(个).因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元.
(2)当0＜x≤100时，P＝60；
当100＜x≤550时，P＝60－0.02(x－100)＝62－；
当x＞550时，P＝51.
∴P＝f(x)＝(x∈N).
(3)设销售商一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，
则L＝(P－40)x＝
当x＝500时，L＝6000；当x＝1000时，L＝11000.
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元.
规律方法 分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值.
跟踪演练3 某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t－t2(万元).
(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；
(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
解 (1)当0＜x≤5时，产品全部售出，当x＞5时，产品只能售出500件.
∴f(x)＝
即f(x)＝
(2)当0＜x≤5时，f(x)＝－x2＋4.75x－0.5，
∴当x＝4.75(百件)时，f(x)有最大值，
f(x)max＝10.78125(万元).
当x＞5时，f(x)max＝12－0.25×5＝10.75(万元).
∴当这种产品的年产量为475件时，利润最大.
1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )
A.一次函数 B.二次函数
C.分段函数 D.无法确定
答案 C
解析 由图象知，在不同时段内，路程折线不同，故函数模型为分段函数.
2.随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系.当x＝36 kPa时，y＝108 g/m3，则y与x的函数关系式为( )
A.y＝3x(x≥0) B.y＝3x
C.y＝x(x≥0) D.y＝x
答案 A
解析 由题意设y＝kx(k≠0)，将(36,108)代入解析式可得k＝3，故y＝3x，考虑到含氧量不可能为负，可知x≥0.
3.化工厂在一月份生产某种产品200t，三月份生产yt，则y与月平均增长率x之间的关系是( )
A.y＝200x B.y＝200x2
C.y＝200(1＋x) D.y＝200(1＋x)2
答案 D
解析 一月份为200t，二月份为200x＋200＝200(x＋1)t，三月份为200(x＋1)x＋200(x＋1)＝200(x＋1)(x＋1)＝200(x＋1)2t，即y＝200(x＋1)2.
4.用长度为24m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )
A.3m B.4m
C.6m D.12m
答案 A
解析 如图所示，设隔墙长为xm，则矩形长为＝12－2x(m).
x
∴S矩形＝x(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18.
∴当x＝3m时，矩形的面积最大.
5.一个水池有60m3水，现要将水池中的水排出，如果排水管每小时排出的水量为3m3，则水池中余水量Q与排水时间t之间的函数关系式为________.
答案 Q＝60－3t(0≤t≤20)
解析 ∵排水管每小时排出的水量为3m3，
∴t小时排出的水量为3tm3(t≥0).
∵水池中原有水60m3，
∴3t≤60，∴t≤20，
∴水池中余水量Q＝60－3t(0≤t≤20).
1.解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式.求解析式时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性.
2.数学建模的过程图示如下：
一、基础达标
1.在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：
x
1
2
3
…
y
1
3
5
…
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( )
A.y＝2x－1 B.y＝x2－1
C.y＝2x＋1 D.y＝1.5x2－2.5x＋2
答案 A
解析 将各数据代入y＝2x－1总成立，故选A.
2.一等腰三角形的周长为20，底边y是关于腰长x的函数，则它的解析式为( )
A.y＝20－2x(x≤10) B.y＝20－2x(x＜10)
C.y＝20－2x(5≤x≤10) D.y＝20－2x(5＜x＜10)
答案 D
解析 依题意，得2x＋y＝20，
∴y＝20－2x.
又y＞0，∴20－2x＞0，∴x＜10.
又2x＞y，∴2x＞20－2x，
∴x＞5，∴5＜x＜10.
3.某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y＝5x＋40000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套( )
A.2000双 B.4000双
C.6000双 D.8000双
答案 D
解析 由5x＋40000≤10x，得x≥8000，即日产手套至少8000双才不亏本.
4.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：
y＝
其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数.若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A.15B.40C.25D.130
答案 C
解析 令y＝60，
若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意.
故拟录用25人.
5.某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6m，如图所示，则厂门的高为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1m)( )
A.6.9mB.7.0mC.7.1mD.6.8m
答案 A
解析 建立如图所示的坐标系，由题设条件知抛物线的方程为y＝ax2.设A点的坐标为(4，－h)，
则C(3,3－h).
将这两点的坐标分别代入y＝ax2，
可得
解得
所以厂门的高为6.9m.
6.某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品最佳售价应为每个________元.
答案 60
解析 设涨价x元时，获得利润为y元，
y＝(5＋x)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250，
∴x＝10时，y取最大值，此时售价为60元.
7.北京市的一家报摊主从报社买进《北京晚报》的价格是每份0.40元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，他应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
解 设报摊主每天买进报纸x份，每月利润为y元(x为正整数).
当x≤250时，y＝0.1×30×x＝3x.
当250≤x≤400时，
y＝0.1×20×x＋0.1×10×250－(x－250)×0.32×10
＝2x＋250－3.2x＋800
＝1050－1.2x.
当x≥400时，
y＝0.1×20×400＋0.1×10×250－(x－400)×0.32×20－(x－250)×0.32×10
＝800＋250－6.4x＋2560－3.2x＋800
＝－9.6x＋4410.
当x≤250时，取x＝250，ymax＝3×250＝750(元).
当250≤x≤400时，取x＝250，ymax＝750(元).
当x≥400时，取x＝400，ymax＝570(元).
故他应该每天从报社买进250份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大值为750元.
二、能力提升
8.某幢建筑物，从10m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直).如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是( )
A.2m B.3m
C.4m D.5m
答案 B
解析 以抛物线所在平面与墙面的交线为y轴，和水平面的交线为x轴建立坐标系.则由题设条件知，抛物线的顶点M(1，)，A点坐标为(0,10).于是可设抛物线方程为y＝a(x－1)2＋.将A点坐标(0,10)代入该方程可求得a的值为－.
∴抛物线方程为y＝－(x－1)2＋.
令y＝0，得(x－1)2＝4，∴x＝3或－1(舍去).
∴B点的坐标为(3,0)，故OB＝3m，故选B.
9.有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的矩形，如图所示，则围成的矩形最大面积为________m2(围墙厚度不计).
答案 2500
解析 设矩形宽为xm，则矩形长为(200－4x)m，
则矩形面积S＝x(200－4x)
＝－4(x－25)2＋2500(0＜x＜50)，
∴x＝25m时，Smax＝2500m2.
10.某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用.浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止.现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供________人洗澡？
答案 4
解析 设最多用t分钟，则水箱内水量y＝200＋2t2－34t，当t＝时y有最小值，此时共放水34×＝289(升)，可供4人洗澡.
11.某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为200元，每桶水进价为5元，销售单价与日销售量的关系如下表：
销售单价(元)
6
7
8
9
10
11
12
日销售量(桶)
480
440
400
360
320
280
240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？最大利润是多少？
解 设每桶水在进价的基础上上涨x元，利润为y元，由表格中的数据可以得到，价格每上涨1元，日销售量就减少40桶，所以涨价x元后，日销售的桶数为
480－40(x－1)＝520－40x＞0，所以0＜x＜13，
则利润y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200
＝－40(x－)2＋1490，其中0＜x＜13，
所以当x＝6.5时，利润最大，
即当每桶水的价格为11.5元时，利润最大值为1490元.
三、探究与创新
12.某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系是p＝该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是Q＝－t＋40(0＜t≤30，t∈N)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？
解 设日销售金额为y(元)，则y＝p·Q.
∴y＝
＝
当0＜t＜25，t∈N，t＝10时，ymax＝900(元)；
当25≤t≤30，t∈N，t＝25时，ymax＝1125(元).
由1125＞900，得ymax＝1125(元)，且t＝25.
即这种商品的日销售金额的最大值为1125，日销售金额最大的一天是30天中的第25天.
13.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销量为1000.为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围？
解 (1)由题意得：
y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)，
整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1).
(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，
当且仅当
即
解不等式，得0＜x＜.
即为使本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例应满足0＜x＜.
2.4 函数与方程
2.4.1 函数的零点
[学习目标] 1.理解函数零点的概念.2.会求一次函数、二次函数的零点.3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系.
[知识链接]
考查下列一元二次方程与对应的二次函数：
(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；
(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；
(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.
请列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标.
答案
方程
x2－2x－3＝0
x2－2x＋1＝0
x2－2x＋3＝0
函数
y＝x2－2x－3
y＝x2－2x＋1
y＝x2－2x＋3
函数的图象
方程的实数根
x1＝－1，x2＝3
x1＝x2＝1
无实数根
函数的图象与x轴的交点
(－1,0)，(3,0)
(1,0)
无交点
[预习导引]
1.函数的零点
(1)定义：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点.
(2)性质
①当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号.
②两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号.
2.二次函数零点与二次方程实根个数的关系
判别式
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
Δ＞0
两个零点：
x＝
两不等实根：
x＝
Δ＝0
一个二重零点：
x＝－
两相等实根：
x＝－
Δ＜0
无零点
无实根
要点一 求函数的零点
例1 求下列函数的零点：
(1)f(x)＝－x2－2x＋3；
(2)f(x)＝x4－1.
解 (1)∵f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，
∴方程－x2－2x＋3＝0的两根分别是－3和1.
故函数的零点是－3,1.
(2)∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，
∴方程x4－1＝0的实数根是－1和1.
∴函数的零点为±1.
规律方法 函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
跟踪演练1 求函数y＝(ax－1)(x＋2)的零点.
解 (1)当a＝0时，令y＝0得x＝－2；
(2)当a≠0时，令y＝0得，x＝或x＝－2.
①当a＝－时，函数的零点为－2；
②当a≠－时，函数的零点为，－2.
综上所述：(1)当a＝0或－时，零点为－2；
(2)当a≠0且a≠－时，零点为，－2.
要点二 函数零点个数的判断
例2 若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的取值范围.
解 ①若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，易知函数仅有一个零点；
②若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax2－x－1＝0仅有一个实数根(也可说成有两个相等的实数根)，
故判别式Δ＝1＋4a＝0，a＝－.
综上，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点.
规律方法 判断或求形如函数y＝ax2＋bx＋c的零点时，首先对a分a≠0和a＝0两种情况讨论，然后对a≠0的情况，利用判别式法判别相应一元二次方程根的情况，即可判断函数零点的情况.
跟踪演练2 判断下列函数的零点个数：
(1)f(x)＝x2－7x＋12；
(2)f(x)＝x2－.
解 (1)由f(x)＝0即x2－7x＋12＝0，
得Δ＝49－4×12＝1＞0，
∴方程x2－7x＋12＝0有两个不等的实数根.
∴函数f(x)有两个零点.
(2)方法一 由x2－＝0得x2＝，
令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝，
在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象知两图象只有一个交点，
故函数有一个零点.
方法二 令f(x)＝0得x2－＝0
即x3－1＝0(x≠0)，
∴x＝1，即方程只有一个根.
∴函数有一个零点.
要点三 函数零点性质的应用
例3 已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围.
解 令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，依题意知，函数f(x)有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.
∴f(x)的大致图象如图所示：
则a应满足或
即
或
解得0＜a＜5，
∴a的取值范围为(0,5).
规律方法 解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解.当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论.
跟踪演练3 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围.
解 由已知抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得
?
∴－＜m＜－，故m的取值范围是(－，－).
1.函数y＝x2－4的图象与x轴的交点坐标及其函数的零点分别是( )
A.(0，±2)；±2 B.(±2,0)；±2
C.(0，－2)；－2 D.(－2,0)；2
答案 B
解析 令x2－4＝0，得x＝±2，故交点坐标为(±2,0)，所以函数的零点为±2.
2.若函数f(x)在定义域R上的图象是连续的，图象穿过区间(0,4)，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值( )
A.大于0 B.小于0
C.等于0 D.无法判断
答案 B
解析 由题意可知，函数在零点左边和右边的函数值是异号的，所以f(0)·f(4)＜0.
3.如果二次函数y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，则m的取值范围是( )
A.(－2,6)
B.[－2,6]
C.(－∞，－2)∪(6，＋∞)
D.{－2,6}
答案 C
解析 由题意，得Δ＝m2－4(m＋3)＞0，即m2－4m－12＞0，∴m＞6或m＜－2.
4.函数f(x)＝x－的零点个数为( )
A.0B.1C.2D.无数个
答案 C
解析 f(x)＝，得x1＝2，x2＝－2，即函数有2个零点.
5.若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，则a＝________，b＝________.
答案 2 －8
解析 ∵2，－4是函数f(x)的零点，
∴f(2)＝0，f(－4)＝0，
即解得
1.函数是否有零点是针对相应方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点.反映在图象上就是函数图象与x轴无交点，如函数y＝1或y＝x2＋1就没有零点.
2.判断函数的零点，可利用的结论：
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解.
一、基础达标
1.函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是( )
A.－，－1 B.，1
C.，－1 D.－，1
答案 B
解析 方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1.
2.函数f(x)＝x3－2x2＋2x的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
解析 令f(x)＝0即x3－2x2＋2x＝0，
得x(x2－2x＋2)＝0
∵x2－2x＋2＝0无解，
∴x＝0，零点为0.
3.函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )
A.2 B.－2 C.±2 D.不存在
答案 C
解析 由Δ＝b2－4＝0得b＝±2.
4.已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1007个，则f(x)的零点个数为( )
A.1007 B.1008
C.2014 D.2015
答案 D
解析 因为f(x)是奇函数，则f(0)＝0，且在(0，＋∞)内的零点有1007个，所以f(x)在(－∞，0)内的零点有1007个.因为f(x)的零点共有1007＋1007＋1＝2015个.
5.函数f(x)＝的零点为________.
答案 －3，
解析 令x2＋2x－3＝0，得x1＝1，x2＝－3，
又x≤0，∴x＝－3是函数一个零点，
由－2＋x2＝0得x＝±.
又x＞0，∴x＝为函数的零点.
6.若函数f(x)＝2x2－ax＋3有一个零点为，则f(1)＝________.
答案 0
解析 因为函数f(x)＝2x2－ax＋3有一个零点为，所以是方程2x2－ax＋3＝0的一个根，则2×－a＋3＝0，解得a＝5，所以f(x)＝2x2－5x＋3，则f(1)＝2－5＋3＝0.
7.已知函数f(x)＝2(m－1)x2－4mx＋2m－1.
(1)m为何值时，函数的图象与x轴有两个交点；
(2)如果函数的一个零点是0，求m的值.
解 (1)函数图象与x轴有两个交点，则
解得m＞且m≠1.
(2)0是函数的一个零点，∴f(0)＝0，
∴2m－1＝0，∴m＝.
二、能力提升
8.若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(1)＝0，且a＞b＞c，则该函数的零点个数为( )
A.1B.2C.0D.不能确定
答案 B
解析 f(1)＝a＋b＋c＝0，又a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，
∴Δ＝b2－4ac＞0，即函数的零点有2个.
9.若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A.0，－ B.0，
C.0,2 D.2，－
答案 A
解析 由f(2)＝0，即2a＋b＝0，得b＝－2a，
∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，
令g(x)＝0，得x1＝0，x2＝－.
10.二次函数y＝x2－2ax＋a－1有一个零点大于1，一个零点小于1，则实数a的取值范围是________.
答案 (0，＋∞)
解析 由于二次函数图象开口向上，则只需f(1)＜0.即－a＜0，∴a＞0.
11.已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点.
(1)求m的范围；
(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值.
解 (1)当m＋6＝0，即m＝－6时，
函数为y＝－14x－5显然有零点；
当m＋6≠0，即m≠－6时，
由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)
＝－36m－20≥0，得m≤－.
∴当m≤－且m≠－6时，二次函数有零点.
综上，m≤－.
故m的取值范围是(－∞，－].
(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵＋＝－4，即＝－4，
∴－＝－4，解得m＝－3.
且当m＝－3时，
m＋6≠0，Δ＞0符合题意，
∴m的值为－3.
三、探究与创新
12.已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围.
解 (1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∵y＝f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]
＝－x2－2x，
∴f(x)＝
(2)当x∈[0，＋∞)，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；
∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.
∴据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1,1).
13.已知函数f(x)＝x3－4x，
(1)求函数的零点并画出函数的草图；
(2)解不等式xf(x)＜0.
解 (1)因为x3－4x＝x(x－2)(x＋2)，
所以所给函数的零点为0，－2,2，
3个零点把x轴分成4个区间：
(－∞，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2，＋∞)，
由于f(－3)＝－15，f(－1)＝3，
f(1)＝－3，f(3)＝15.
相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的草图如图所示.
(2)不等式xf(x)＜0同解于
或
结合函数图象得不等式的解集为(－2,0)∪(0,2).
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
[学习目标] 1.了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在.2.会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程序化的步骤.
[知识链接]
现有一款手机，目前知道它的价格在500～1000元之间，你能在最短的时间内猜出与它最近的价格吗？(误差不超过20元)，猜价格方案：(1)随机；(2)每次增加20元；(3)每次取价格范围内的中间价，采取哪一种方案好呢？
[预习导引]
1.二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近为零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应的方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解.
2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
(1)在D内取一个闭区间[a0，b0]?D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)<0.零点位于区间[a0，b0]中.
(2)取区间[a0，b0]的中点(如图)，则此中点对应的坐标为x0＝a0＋(b0－a0)＝(a0＋b0).
计算f(x0)和f(a0)，并判断：
①如果f(x0)＝0，则x0就是f(x)的零点，计算终止；
②如果f(a0)·f(x0)<0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1＝a0，b1＝x0；
③如果f(a0)·f(x0)>0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0.
(3)取区间[a1，b1]的中点，则此中点对应的坐标为x1＝a1＋(b1－a1)＝(a1＋b1).
计算f(x1)和f(a1)，并判断：
①如果f(x1)＝0，则x1就是f(x)的零点，计算终止；
②如果f(a1)·f(x1)<0，则零点位于区间[a1，x1]上，令a2＝a1，b2＝x1；
③如果f(a1)·f(x1)>0，则零点位于区间[x1，b1]上，令a2＝x1，b2＝b1.
(4)继续实施上述步骤，直到区间[an，bn]，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止.这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度.
要点一 函数零点类型的判断
例1 判断下列函数是否有变号零点；
(1)y＝x2－5x－14；(2)y＝x2＋x＋1；
(3)y＝4x2＋4x＋1.
解 (1)∵y＝x2－5x－14＝(x＋2)(x－7)，
∴有两个零点－2,7.
由二次函数的图象知，－2,7都是变号零点.
(2)∵y＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋＞0恒成立，
∴此函数没有零点.
(3)∵y＝4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2，
∴有一个零点－，但它是不变号零点.
规律方法 函数的零点分为变号零点和不变号零点，若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点；从图象来看，若图象穿过x轴，则此零点为变号零点，否则为不变号零点.二分法只能求函数的变号零点.
跟踪演练1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示.下列结论正确的序号是( )
①该函数有三个变号零点；
②所有零点之和为0；
③当x＜－时，恰有一个零点；
④当0＜x＜1时，恰有一个零点.
A.①② B.①②④
C.②③ D.①②③
答案 D
解析 函数y＝f(x)的三个变号零点分别是－1,0,1.所以①②③正确.
要点二 二分法求函数零点近似解
例2 求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确到0.1).
解 由于f(1)＝－6＜0，f(2)＝4＞0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间.
用二分法逐次计算，列表如下：
端点或中点横坐标
计算端点或中点的函数值
定区间
a0＝1，b0＝2
f(1)＝－6，f(2)＝4
[1,2]
x1＝＝1.5
f(x1)＝－2.625＜0
[1.5,2]
x2＝＝1.75
f(x2)≈0.2344＞0
[1.5,1.75]
x3＝
＝1.625
f(x3)≈－1.3027＜0
[1.625，
1.75]
x4＝
＝1.6875
f(x4)≈－0.5618＜0
[1.6875，
1.75]
x5＝
＝1.71875
f(x5)≈－0.171＜0
[1.71875，
1.75]
x6＝
＝1.734375
f(x6)≈0.03＞0
[1.71875，
1.734375]
至此可以看出，区间[1.718 75,1.734 375]内的所有值精确到0.1都为1.7，所以1.7就是所求函数零点精确到0.1的实数解，即为函数的一个正数零点.
规律方法 1.在选择区间[a，b]时要使其长度尽可能小，以减少运算次数.在没有特别要求的情况下，为了便于计算和操作，可以尝试取相邻的两个整数作为初始值区间的端点.
2.切记最后分得的区间两端点共同的近似值才是零点的近似值，若无共同近似值则需继续运算，直到符合要求为止.
跟踪演练2 求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确到0.1).
解 由于f(1)＝1－1－1＝－1＜0，
f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875＞0，
∴f(x)在区间[1,1.5]内存在零点，
取区间[1,1.5]作为计算的初始区间，
用二分法逐次计算列表如下：
端点或中点横坐标
计算端点或中点的函数值
定区间
a0＝1，b0＝1.5
f(1)＝－1，
f(1.5)＝0.875
[1,1.5]
x0＝＝1.25
f(x0)＜0
[1.25,1.5]
x1＝＝1.375
f(x1)＞0
[1.25,1.375]
x2＝
＝1.3125
f(x2)＜0
[1.3125，1.375]
x3＝
＝1.34375
f(x3)＞0
[1.3125，1.34375]
∵区间[1.312 5,1.343 75]两个端点精确到0.1的近似值都是1.3，所以原函数精确到0.1的近似零点为1.3.
1.设函数f(x)用二分法求方程f(x)＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间( )
A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2) D.不能确定
答案 B
解析 ∵f(1.5)·f(1.25)＜0，
∴方程的根落在区间(1.25,1.5).
2.函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的变号零点的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
答案 D
解析 函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则必存在变号零点，根据图象得函数f(x)有3个变号零点.
3.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )
A.0.68 B.0.72
C.0.7 D.0.6
答案 C
解析 已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝(0.64＋0.72)/2，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值.
4.下列函数图象均与x轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是________(填序号).
答案 ③
解析 图①②④中所示函数的零点都不是变号零点，因此不能用二分法求解；图③中所示函数的零点是变号零点，能用二分法求解.
5.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________.
答案 [2,2.5]
解析 令f(x)＝x3－2x－5，f(x)图象在[2,3]上连续不断，
∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝16＞0，
f(x0)＝f(2.5)＝5.625＞0，
∴f(2)·f(2.5)＜0，
故下一个有根区间是[2,2.5].
1.判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用.
2.二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围.当区间的两个端点的值按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点.
一、基础达标
1.下列函数中能用二分法求零点的是( )
答案 C
解析 在A中，函数无零点.在B和D中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点.而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中的函数能用二分法求其零点，故选C.
2.对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2017)＜0，f(2018)＜0，f(2019)＞0，则下列叙述正确的是( )
A.函数f(x)在(2017,2018)内不存在零点
B.函数f(x)在(2018,2019)内不存在零点
C.函数f(x)在(2018,2019)内存在零点，并且仅有一个
D.函数f(x)在(2017,2018)内可能存在零点
答案 D
解析 由于只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点，所以在不清楚f(x)是不是连续函数的情况下，选项C不一定正确.只有选项D正确.
3.用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A.[－2,1] B.[－1,0]
C.[0,1] D.[1,2]
答案 A
解析 由于f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算.
4.下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( )
A.若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B.若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C.函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
答案 A
解析 使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确.
5.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R，a≠0)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
不求a、b、c的值，可以判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根所在区间是( )
A.(－3，－1)和(2,4)
B.(－3，－1)和(－1,1)
C.(－1,1)和(1,2)
D.(－∞，－3)和(4，＋∞)
答案 A
解析 由表格中数据可知f(－3)·f(－1)＜0，
f(2)·f(4)＜0.
6.用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)f(4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0∈________ (填区间).
答案 (2,3)
解析 ∵f(2)f(4)＜0，f(2)f(3)＜0，
∴f(3)f(4)＞0，故x0∈(2,3).
7.已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a＜0)在区间(0,1)上有零点，求实数a的取值范围.
解 由于函数f(x)的图象的对称轴是x＝－?(0,1)，所以区间(0,1)上的零点是变号零点，因此，有f(0)f(1)＜0，即a(2＋a)＜0，所以－2＜a＜0.
二、能力提升
8.已知函数y＝f(x)，有f(a)·f(b)＜0，(a＜b)，则y＝f(x)( )
A.在区间[a，b]上可能没有零点
B.在区间[a，b]上至少有一个零点
C.在区间[a，b]上零点个数为奇数个
D.在区间[a，b]上零点个数为偶数个
答案 A
9.f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.4375)＝0.162
f(1.40625)＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为________.
答案 1.4
解析 ∵f(1.4375)＝0.162，f(1.40625)＝－0.054，
∴f(1.4375)·f(1.40625)＜0，
即方程有一个近似解在(1.40625,1.4375)内.
又∵方程的根精确到0.1，
∴f(1.4)≈0.
10.在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：最多需要称________次就可以发现这枚假币.
答案 4
解析 由二分法的原理可得，最多需要4次.
11.用二分法求函数y＝x3－3的一个正零点(精确到0.1).
解 f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间.用二分法逐步计算，见下表：
端点或中点横坐标
计算端点或中点的函数值
定区间
a0＝1，b0＝2
f(1)＝－2，
f(2)＝5
[1,2]
x0＝＝1.5
f(1.5)＝0.375
[1,1.5]
x1＝＝1.25
f(1.25)
＝－1.0469
[1.25,1.5]
x2＝
＝1.375
f(1.375)
＝－0.4004
[1.375,1.5]
x3＝
＝1.4375
f(1.4375)
＝－0.0295
[1.4375，1.5]
x4＝
＝1.46875
f(1.46875)
＝0.1684
[1.4375，1.46875]
x5＝
＝1.453125
f(1.453125)
＝0.06838
[1.4375，1.453125]
x6＝
＝1.4453125
f(1.4453125)
＝0.0192
[1.4375，1.4453125]
∵1.4375与1.4453125精确到0.1时，近似值都为1.4，∴函数f(x)＝x3－3精确到0.1的近似正零点为1.4.
三、探究与创新
12.已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)＞0，f(1)＞0.
(1)证明a＞0；
(2)利用二分法证明方程f(x)＝0在[0,1]内有两个实根.
证明 (1)∵f(1)＞0，
∴3a＋2b＋c＞0，
即3(a＋b＋c)－b－2c＞0，
∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c＞0，
则－b－c＞c，即a＞c.
∵f(0)＞0，∴c＞0，则a＞0.
(2)在[0,1]内选取二等分点，
则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a＜0.
∵f(0)＞0，f(1)＞0，
∴f(x)在区间和上至少各有一个零点，
又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根.
13.已知函数f(x)＝|x2－2x|－a，
(1)若函数f(x)没有零点，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围；
(3)若函数f(x)有三个零点，求实数a的取值范围；
(4)若函数f(x)有四个零点，求实数a的取值范围.
解 令|x2－2x|－a＝0，则|x2－2x|＝a，构造函数g(x)＝|x2－2x|，y＝a，作出函数g(x)＝|x2－2x|的图象(如图所示)，由图象可知：
(1)当a＜0时，a≠|x2－2x|，
此时函数y＝a与y＝g(x)的图象没有交点.
即函数f(x)没有零点.
(2)当a＝0或a＞1时，函数y＝a与y＝g(x)的图象有两个交点，即f(x)有两个零点.
(3)当a＝1时，函数y＝a与y＝g(x)的图象有三个交点，即f(x)有三个零点.
(4)当0＜a＜1时，函数y＝a与y＝g(x)的图象有四个交点，即f(x)有四个零点.
1.函数的概念与映射
函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应.对于函数与映射都应满足：①集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；②集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；③不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.
2.函数表示法
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.解析法：必须注明函数的定义域.图象法：描点法作图时要确定函数定义域，化简函数的解析式，观察函数特征.列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.
分段函数：由于分段函数在不同的定义域上函数的表达式不同，故分段函数可将不同的函数融合在同一题目中，体现知识的重组.
3.函数性质
研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势.
4.函数最大(小)值
求函数最值问题，常利用二次函数的性质(配方法)；利用图象；或利用函数单调性，如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，在[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)在x＝b处有最大值f(b)，最小值为f(a)与f(c)中的较小者.
5.函数的零点与方程根的关系及运用
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.所以方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点.
推而广之，方程f(x)＝a的实数根?函数y＝f(x)的图象与直线y＝a交点的横坐标.方程f(x)＝g(x)的实数根?函数y＝f(x)和y＝g(x)图象交点的横坐标.
题型一 函数的概念与性质
研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势，从近几年的高考形式来看，对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、“活”的特征，做题时应注重上述性质知识间的融合.
例1 已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求实数m和n的值；
(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值；
解 (1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴＝－＝.
比较得n＝－n，n＝0.
又f(2)＝，∴＝，解得m＝2.
因此，实数m和n的值分别是2和0.
(2)由(1)知f(x)＝＝＋.
任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)
＝(x1－x2)·.
∵－2≤x1＜x2≤－1时，
∴x1－x2＜0，x1x2＞0，x1x2－1＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).
∴函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，
因此f(x)max＝f(－1)＝－，f(x)min＝f(－2)＝－.
跟踪演练1 (1)函数y＝的定义域为( )
A.(－∞，1) B.(－∞，0)∪(0,1]
C.(－∞，0)∪(0,1) D.[1，＋∞)
(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x).若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
答案 (1)B (2)－
解析 (1)要使函数有意义，则
即x≤1且x≠0.
(2)由于当0≤x≤1时解析式已知，
且已知f(x＋1)＝2f(x)，
可设－1≤x≤0，则0≤x＋1≤1，整体代入求解.
所以f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1).
又因为f(x＋1)＝2f(x)，
所以f(x)＝＝－.
题型二 函数图象及其应用
函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等.反之，掌握函数的性质，有助于图象正确的画出.函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点.
例2 对于函数f(x)＝x2－2|x|.
(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；
(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值.
解 (1)函数的定义域为R，关于原点对称，
f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|.
则f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数.
图象关于y轴对称.
(2)f(x)＝x2－2|x|＝
画出图象如图所示，
根据图象知，函数f(x)的最小值是－1.
单调增区间是(－1,0]，[1，＋∞)；
减区间是(－∞，－1]，(0,1).
跟踪演练2 对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是__________.
答案 2
解析 首先应理解题意，“函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中最大的一个.
如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8).
从图象观察可得函数f(x)的表达式：
f(x)＝
f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以f(x)的最小值是2.
题型三 二次函数的有关问题
二次函数是函数中的基础内容，它虽简单却具有丰富的内含和外延，可以以此来研究函数的单调性、奇偶性、最值等问题，是重要的函数模型.
例3 已知g(x)＝－x2－3，f(x)是二次函数，当x∈[－1,2]时，f(x)的最小值是1，且g(x)＋f(x)是奇函数，求f(x)的表达式.
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则g(x)＋f(x)＝(a－1)x2＋bx＋c－3为奇函数，
故有(a－1)x2＋bx＋c－3＝－[(a－1)x2－bx＋c－3]，
∴(a－1)x2＋bx＋c－3＝－(a－1)x2＋bx－(c－3).
∴解得
∴f(x)＝x2＋bx＋3＝(x＋)2＋3－b2，
∵f(x)在区间[－1,2]上的最小值为1，
∴需分下列3种情况讨论：
①当－1≤－≤2，即－4≤b≤2时，
3－＝1，b2＝8，b＝±2，
∵b＝2＞2，∴b＝－2，
∴f(x)＝x2－2x＋3.
②当－＞2，即b＜－4时，f(x)的最小值是f(2).
∴f(2)＝7＋2b＝1，b＝－3，舍去.
③当－＜－1，即b＞2时，f(x)的最小值是f(－1).
∴f(－1)＝4－b＝1，b＝3.
∴f(x)＝x2＋3x＋3.
综上所述，f(x)＝x2－2x＋3，或f(x)＝x2＋3x＋3.
跟踪演练3 已知函数f(x)＝x2－x＋.
(1)写出函数f(x)图象的顶点坐标及单调递增、递减区间；
(2)是否存在实数a，当a＞1时，f(x)的定义域和值域都是[1，a]，若存在，求出a，若不存在，说明理由.
解 (1)∵f(x)＝x2－x＋
＝(x2－2x＋3)＝(x－1)2＋1，
∴f(x)的顶点坐标为(1,1)，
单调递减区间是(－∞，1]，
单调递增区间是[1，＋∞).
(2)假设存在实数a满足条件.
∵x＝1是f(x)＝x2－x＋的对称轴，
故[1，a]是函数f(x)的递增区间且
∵f(a)＝a2－a＋，∴a2－a＋＝a，
∴a＝1或a＝3.又a＞1，∴a＝3.
∴存在实数a＝3，使f(x)的定义域和值域均为[1，a].
题型四 函数与方程的思想
函数与方程思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质达到相互转化，多角度解决问题的目的.在本章中函数的零点问题，函数性质的应用，求参数的范围都应用了函数与方程思想.
例4 已知函数f(x)＝x2－x＋a至少有一个零点为非负实数，求实数a的取值范围.
解 函数f(x)＝x2－x＋a至少有一个零点为非负实数等价于方程x2－x＋a＝0至少有一个非负实根，可以考虑问题的反面，方程无非负实数根，即方程有两个负实根或无实数根的情况.
函数f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为x＝，
∴方程x2－x＋a＝0不可能有两个负实根，
∴当方程x2－x＋a＝0无实根时，Δ＝1－4a＜0，
∴a＞.
设A＝，
则?RA＝，
即满足题意的实数a的取值范围是.
跟踪演练4 设a∈R，当a取何值时，不等式x2＋2x－a＞1在区间[2,5]上恒成立？
解 x2＋2x－a＞1?a＋1＜x2＋2x.
令f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，x∈[2,5]，
则f(x)min＝f(2)＝4＋4＝8.
∴a＋1＜8.∴a＜7.
∴当a＜7时，x2＋2x－a＞1在[2,5]上恒成立.
1.函数单调性的判定方法
(1)定义法.
(2)直接法：运用已知的结论，直接判断函数的单调性，如一次函数，二次函数，反比例函数；还可以根据f(x)，g(x)的单调性判断－f(x)，，f(x)＋g(x)的单调性等.
(3)图象法：根据函数的图象判断函数的单调性.
2.二次函数在闭区间上的最值
对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a＞0)在区间[m，n]上的最值问题，有以下结论：
(1)若h∈[m，n]，则ymin＝f(h)＝k，
ymax＝max{f(m)，f(n)}；
(2)若h?[m，n]，则ymin＝min{f(m)，f(n)}，
ymax＝max{f(m)，f(n)}(a＜0时可仿此讨论).
3.函数奇偶性与单调性的差异
函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个x值，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇函数(或偶函数).
4.对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用根的存在性，可用来求参数的取值范围.
章末检测
一、选择题
1.已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( )
答案 A
解析 由二分法的定义易知选A.
2.函数y＝x2－2x－3的零点是( )
A.1，－3 B.3，－1
C.1,2 D.不存在
答案 B
解析 令x2－2x－3＝0得x＝－1或x＝3，故选B.
3.函数f(x)＝的定义域是( )
A.(0，) B.[，＋∞)
C.(－∞，] D.(，＋∞)
答案 D
解析 由2x－3＞0得x＞.
4.某产品的利润y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝－2x2＋40x＋300，则利润y取最大值时，产量x等于( )
A.10B.20C.30D.40
答案 A
解析 y＝－2(x－10)2＋500，当x＝10时，y取最大值.
5.函数y＝x2－2x＋3，－1≤x≤2的值域是( )
A.R B.[3,6]
C.[2,6] D.[2，＋∞)
答案 C
解析 画出函数的图象，如图所示，观察函数的图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[2,6]，所以值域是[2,6].
6.设f(x)＝则f(5)的值是( )
A.24 B.21 C.18 D.16
答案 A
解析 f(5)＝f(f(10))＝f(f(f(15)))＝f(f(18))＝f(21)＝24.
7.函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为( )
A.0＜a≤ B.0≤a≤
C.0＜a＜ D.a＞
答案 B
解析 当a≠0时，函数f(x)的对称轴为x＝－，
∵f(x)在(－∞，4]上为减函数，
∴图象开口朝上，a＞0且－≥4，得0＜a≤.
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，显然在(－∞，4]上为减函数.
8.已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f()的x的取值范围是( )
A.(，) B.[，)
C.(，) D.[，)
答案 A
解析 作出示意图可知：f(2x－1)＜f()?－＜2x－1＜，即＜x＜.故选A.
9.函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是( )
A.a≤2 B.a≥－2
C.－2≤a≤2 D.a≤－2或a≥2
答案 D
解析 ∵y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，
∴y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，
得f(|a|)≤f(2).
∴|a|≥2，得a≤－2或a≥2.
10.已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2－4x＋k2的图象大致为( )
答案 D
解析 由反比例函数的图象知k＜0，∴二次函数开口向下，排除A、B，又对称轴为x＝＜0，排除C.
二、填空题
11.已知函数f(x)＝.若f(a)＝3，则实数a＝________.
答案 10
解析 因为f(a)＝＝3，所以a－1＝9，即a＝10.
12.若函数f(x)＝x2＋2x－a的一个零点是－3，则f(x)的另一个零点是________.
答案 1
解析 ∵f(－3)＝0，∴－3是f(x)＝0的一个根，设f(x)的另一个零点为x，由方程根与系数的关系可知－3＋x＝－2，∴x＝1.
13.已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是________.
答案 [25，＋∞)
解析 函数f(x)的增区间为[，＋∞)，
函数在区间[－2，＋∞)上是增函数，
所以≤－2，m≤－16，－m≥16.
f(1)＝4－m＋5≥4＋16＋5＝25.
14.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是________.
答案 {x|－7＜x＜3}
解析 设x＜0，则－x＞0.
∵当x≥0时，f(x)＝x2－4x，
∴f(－x)＝(－x)2－4(－x).
∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)
∴f(x)＝x2＋4x(x＜0)，
∴f(x)＝
由f(x)＝5得或
∴x＝5或x＝－5.
观察图象可知由f(x)＜5，得－5＜x＜5.
∴由f(x＋2)＜5，得－5＜x＋2＜5，∴－7＜x＜3.
∴不等式f(x＋2)＜5的解集是{x|－7＜x＜3}.
三、解答题
15.已知函数f(x)＝
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)写出f(x)的单调递增区间与减区间.
解 (1)函数f(x)的图象如图：
(2)当x∈[－1,2]时，f(x)＝3－x2，
知f(x)在[－1,0]上递增，在[0,2]上递减.
又f(x)＝x－3在(2,5]上是增函数，
因此函数f(x)的增区间是[－1,0]和(2,5]，减区间是[0,2].
16.函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值.
解 f(x)＝4(x－)2－2a＋2，
①当≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,2]上是增函数.
∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.
由a2－2a＋2＝3，得a＝1±.
∵a≤0，∴a＝1－.
②当0<<2，即0f(x)min＝f()＝－2a＋2.
由－2a＋2＝3，得a＝－?(0,4)，舍去.
③当≥2，即a≥4时，
函数f(x)在[0,2]上是减函数，
f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18.
由a2－10a＋18＝3，得a＝5±.
∵a≥4，∴a＝5＋.
综上所述，a＝1－或a＝5＋.
17.若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x，y>0，满足f()＝f(x)－f(y).
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f()<2.
解 (1)在f()＝f(x)－f(y)中，令x＝y＝1，
则有f(1)＝f (1)－f(1)，∴f(1)＝0.
(2)∵f(6)＝1，
∴f(x＋3)－f()<2＝f(6)＋f(6)，
∴f(3x＋9)－f(6)即f()∵f(x)是(0，＋∞)上的增函数，
∴
解得－3即不等式的解集为(－3,9).
18.通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可以有以下公式：
f(x)＝
(1)开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少时间？
(2)开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
解 (1)当0＜x≤10时，
f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9.
故f(x)在0＜x≤10时递增，最大值为
f(10)＝－0.1(10－13)2＋59.9＝59.
当10＜x≤16时，f(x)＝59.
当x＞16时，f(x)为减函数，且f(x)＜59.
因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力(为59)，并持续6分钟时间.
(2)f(5)＝－0.1(5－13)2＋59.9＝53.5，
f(20)＝－3×20＋107＝47＜53.5.
故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些.
