3.1 指数与指数函数
3.1.1 实数指数幂及其运算
[学习目标] 1.理解有理指数幂的含义，会用幂的运算法则进行有关运算.2.了解实数指数幂的意义.
[知识链接]
1.4的平方根为±2，8的立方根为2.
2.23·22＝32，(22)2＝16，(2·3)2＝36，＝4.
[预习导引]
1.基本概念
整数指数
n次方根
分数指数
an＝
a0＝1(a≠0)
a－n＝(a≠0)
如果存在实数x，使得xn＝a(a∈R，n＞1且n∈N＋)，则x叫做a的n次方根，叫做把a开n次方，称作开方运算.
＝；
＝；
＝
(a>0，n，m∈N＋)
2.根式的性质
(1)()n＝a(n＞1且n∈N＋)；
(2)＝
3.有理指数幂的运算法则
若a>0，b>0，则有任意有理数α，β有如下运算法则：
(1)aαaβ＝aα＋β；
(2)(aα)β＝aα·β；
(3)(ab)α＝aα·bα.
解决学生疑难点
要点一 根式的运算
例1 求下列各式的值：
(1) ；(2) ；(3) ；
(4) －，x∈(－3,3)
解 (1) ＝－2.
(2) ＝＝.
(3) ＝|3－π|＝π－3.
(4)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，
当－3＜x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.
当1＜x＜3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.
因此，原式＝
规律方法 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.
2.开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论.
跟踪演练1 化简下列各式：
(1) ；(2) ；(3) .
解 (1) ＝－2.
(2) ＝|－10|＝10.
(3) ＝|a－b|＝
要点二 根式与分数指数幂的互化
例2 将下列根式化成分数指数幂形式：
(1) ·； (2) ；
(3)·； (4)()2·.
解 (1)·＝·＝；
(2)原式＝ ＝ ＝a·a·b＝a；
(3)原式＝·＝；
(4)原式＝()2··＝.
规律方法 在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：＝和＝＝，其中字母a要使式子有意义.
跟踪演练2 用分数指数幂表示下列各式：
(1) ·(a＜0)；
(2) (a，b＞0)；
(3)(b＜0)；
(4) (x≠0).
解 (1)原式＝·
＝－·＝－(a＜0)；
(2)原式＝＝
＝＝(a，b＞0)；
(3)原式＝＝＝(b＜0)；
(4)原式＝＝＝.
要点三 分数指数幂的运算
例3 (1)计算：－0＋＋16－0.75＋|－0.01|；
(2)化简：÷(a＞0).
解 (1)原式＝(0.43)－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)＝0.4－1－1＋＋＋0.1＝.
(2)原式＝[]÷[]
＝＝a0＝1.
规律方法 指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.
跟踪演练3 计算或化简：
(1)＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0；
(2) ·.
解 (1)原式＝(－1)＋－＋1
＝＋(500)－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1
＝－.
(2)原式＝(·)·[(a－5)·(a)13]
＝(a0)·(·)
＝(a－4)＝a－2.
1.下列各式正确的是( )
A.()3＝a B.()4＝－7
C.()5＝|a| D.＝a
答案 A
解析 ()4＝7，()5＝a，＝|a|.
2.＋的值是( )
A.0 B.2(a－b)
C.0或2(a－b) D.a－b
答案 C
解析 当a－b≥0时，原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)；
当a－b＜0时，原式＝b－a＋a－b＝0.
3.计算[(－)2]的结果是( )
A. B.－
C. D.－
答案 A
解析 [(－)2]＝[()2]＝.
4.下列各式运算错误的是( )
A.(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8
B.(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C.(－a3)2·(－b2)3＝a6b6
D.[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18.
答案 C
解析 直接运用指数幂的运算法则分别计算后选择.
对于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a)3b6＝－a7·b8，故正确.对于B，(－a2b3)3÷(－ab2)3＝－a6b9÷(－a3b6)＝a6－3b9－6＝a3b3，故正确.对于C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6，故C项错误.对于D，易知正确，故选C.
5.2＋＋－·＝________.
答案 2－3
解析 原式＝＋＋＋1－22＝2－3.
1.掌握两个公式：(1)()n＝a；(2)n为奇数，＝a，n为偶数，＝|a|＝
2.根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.
一、基础达标
1.化简的结果是( )
A.a B.
C.a2 D.
答案 B
解析 ＝(a·a)＝(a)＝a＝.
2.若(1－2x)有意义，则x的取值范围是( )
A.R B.{x|x∈R且x≠}
C.{x|x＞} D.{x|x＜}
答案 D
解析 (1－2x)＝，
∴1－2x＞0，得x＜.
3.16等于( )
A. B.－
C.2 D.－2
答案 A
解析 16＝(24)＝＝2－1＝.
4.计算(n∈N*)的结果为( )
A. B.22n＋5
C.2n2－2n＋6 D.()2n－7
答案 D
解析 原式＝＝＝()2n－7.
5.计算(2a－3)·(－3a－1b)÷(4a－4)得( )
A.－b2 B.b2
C.－ D.
答案 A
解析 原式＝＝－b2.
6.如果a＝3，b＝384，那么an－3＝________.
答案 3×2n－3
解析 an－3＝3n－3
＝3[(128)]n－3＝3×2n－3.
7.(1)求＋－的值；
(2)化简＋.
解 (1)原式＝＋－
＝＋－
＝＋－0.4＝.
(2)原式＝＝.
二、能力提升
8.设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )
A. B.10
C.20 D.100
答案 A
解析 ∵2a＝m,5b＝m，∴2＝m，5＝m，
∵2×5＝m·m＝，∴m2＝10，
∴m＝.故选A.
9.化简得( )
A.3＋ B.2＋
C.1＋2 D.1＋2
答案 A
解析 原式＝
＝
＝
＝
＝3＋.
10.设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
答案 2
解析 利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝.
则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2.
11.计算下列各式的值：
(1)(0.027)－＋256＋(2)－3－1＋π0；
(2)7－3－6＋；
(3)(a·b)·÷(a＞0，b＞0).
解 (1)原式＝[(0.3)3]－＋(44)＋(2)－＋1＝0.3－＋43＋2－＋1＝64.
(2)原式＝7×3－3－6＋
＝7×3－6×3－6×3＋3
＝2×3－2×3×3
＝2×3－2×3＝0.
(3)原式＝··÷
＝··÷
＝＝a0b0＝1.
三、探究与创新
12.已知a
1，n∈N*，化简＋.
解 当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；
当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|
＝(b－a)＋(－a－b)
＝－2a.
所以＋
＝
13.(1)已知2x＋2－x＝a(常数)，求8x＋8－x的值；
(2)已知x＋y＝12，xy＝9且x＜y，求的值.
解 (1)∵4x＋4－x＝(2x)2＋(2－x)2
＝(2x＋2－x)2－2·2x·2－x＝a2－2，
∴8x＋8－x＝23x＋2－3x
＝(2x)3＋(2－x)3
＝(2x＋2－x)·[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2]
＝(2x＋2－x)(4x＋4－x－1)
＝a(a2－2－1)＝a3－3a.
(2)＝
＝.①
∵x＋y＝12，xy＝9，②
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
又∵x＜y，
∴x－y＝－6.③
将②③代入①，得
＝＝－.
3.1.2 指数函数
第1课时 指数函数的图象及性质
[学习目标] 1.理解指数函数的概念和意义.2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.3.初步掌握指数函数的有关性质.
[知识链接]
1.ar·as＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝ar·br.
其中a＞0，b＞0，r，s∈R.
2.在初中，我们知道有些细胞是这样分裂的：由1个分裂成2个，2个分裂成4个，….1个这样的细胞分裂x次后，第x次得到的细胞个数y与x之间构成的函数关系为y＝2x，x∈{0,1,2，…}.
[预习导引]
1.指数函数的定义
函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
2.指数函数的图象与性质
底数
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域R，值域(0，＋∞)
图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x＞0时，y＞1；
当x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；
当x＜0时，y＞1
在R上是增函数
在R上是减函数
要点一 指数函数的概念
例1 给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是( )
A.0B.1C.2D.4
答案 B
解析 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.⑤中，底数－2＜0，不是指数函数.
规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.
2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.
跟踪演练1 若函数y＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取值范围为________.
答案 {a|a＜，且a≠1}
解析 y＝(4－3a)x是指数函数，需满足：
解得a＜且a≠1.
故a的取值范围为{a|a＜，且a≠1}.
要点二 指数函数的图象
例2 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A.a＜b＜1＜c＜d B.b＜a＜1＜d＜c
C.1＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜1＜d＜c
答案 B
解析 方法一 在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大.
由指数函数图象的升降，知c＞d＞1，b＜a＜1.
∴b＜a＜1＜d＜c.
方法二 作直线x＝1，与四个图象分别交于A、B、C、D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b＜a＜1＜d＜c.故选B.
规律方法 1.无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大.
2.处理指数函数的图象：①抓住特殊点，指数函数图象过点(0,1)；②巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响.
跟踪演练2 (1)函数y＝|2x－2|的图象是( )
(2)直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________.
答案 (1)B (2)(0，)
解析 (1)y＝2x－2的图象是由y＝2x的图象向下平移2个单位长度得到的，故y＝|2x－2|的图象是由y＝2x－2的图象在x轴上方的部分不变，下方部分对折到x轴的上方得到的.
(2)当a＞1时，在同一坐标系中作出函数y＝2a和y＝|ax－1|的图象(如图(1)).由图象可知两函数图象只能有一个公共点，此时无解.当0＜a＜1，作出函数y＝2a和y＝|ax－1|的图象(如图(2)).若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个交点，由图象可知0＜2a＜1，所以0＜a＜.
要点三 指数型函数的定义域、值域
例3 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝.
解 (1)由x－4≠0，得x≠4，
故y＝的定义域为{x|x≠4，x∈R}.
又≠0，即2≠1，
故y＝的值域为{y|y＞0，且y≠1}.
(2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，
∴y＝的定义域为(－∞，0].
由0＜2x≤1，得－1≤－2x＜0，
∴0≤1－2x＜1，
∴y＝的值域为[0,1).
(3)y＝的定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴≤－4＝16.
又∵＞0，
故函数y＝的值域为(0,16].
规律方法 对于y＝af(x)(a＞0，且a≠1)这类函数，
(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围；
(2)值域问题，应分以下两步求解：
①由定义域求出u＝f(x)的值域；
②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域.
跟踪演练3 (1)函数f(x)＝＋的定义域为( )
A.(－3,0]
B.(－3,1]
C.(－∞，－3)∪(－3,0]
D.(－∞，－3)∪(－3,1]
(2)函数f(x)＝x－1，x∈[－1,2]的值域为________.
答案 (1)A (2)[－，2]
解析 (1)由题意，自变量x应满足
解得∴－3＜x≤0.
(2)∵－1≤x≤2，∴≤x≤3，
∴－≤x－1≤2，
∴值域为.
1.下列各函数中，是指数函数的是( )
A.y＝(－3)x B.y＝－3x
C.y＝3x－1 D.y＝x
答案 D
解析 由指数函数的定义知a＞0且a≠1，故选D.
2.函数y＝x的图象可能是( )
答案 C
解析 0＜＜1且过点(0,1)，故选C.
3.函数y＝2x，x∈[1，＋∞)的值域是( )
A.[1，＋∞) B.[2，＋∞)
C.[0，＋∞) D.(0，＋∞)
答案 B
解析 y＝2x在R上是增函数，且21＝2，故选B.
4.指数函数f(x)＝ax的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值是________.
答案
解析 由题意知4＝a2，所以a＝2，因此f(x)＝2x，故f(－3)＝2－3＝.
5.函数y＝的值域是________.
答案 (0,2]
解析 ∵x2－1≥－1，
∴y＝≤－1＝2，又y＞0，
∴函数值域为(0,2].
1.指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，且f(0)＝1.
2.当a＞1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快.当0＜a＜1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.
一、基础达标
1.y＝2x－1的定义域是( )
A.(－∞，＋∞) B.(1，＋∞)
C.[1，＋∞) D.(0,1)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 不管x取何值，函数式都有意义，故选A.
2.已知集合M＝{－1,1}，N＝，则M∩N等于( )
A.{－1,1} B.{－1}
C.{0} D.{－1,0}
答案 B
解析 ∵＜2x＋1＜4，∴2－1＜2x＋1＜22，
∴－1＜x＋1＜2，∴－2＜x＜1.
又∵x∈Z，∴x＝0或x＝－1，即N＝{0，－1}，
∴M∩N＝{－1}.
3.函数y＝2x＋1的图象是( )
答案 A
解析 当x＝0时，y＝2，且函数单调递增，故选A.
4.当x∈[－2,2)时，y＝3－x－1的值域是( )
A.(－，8] B.[－，8]
C.(，9) D.[，9]
答案 A
解析 y＝3－x－1，在[－2,2)上是减函数，∴3－2－1＜y≤32－1，即－＜y≤8.
5.指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________.
答案 (1,2)
解析 由题意可知，0＜2－a＜1，即1＜a＜2.
6.函数y＝ax－5＋1(a≠0)的图象必经过点________.
答案 (5,2)
解析 指数函数的图象必过点(0,1)，即a0＝1，由此变形得a5－5＋1＝2，所以所求函数图象必过点(5,2).
7.已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点(2，)，其中a＞0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域.
解 (1)∵f(x)的图象过点(2，)，
∴a2－1＝，则a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝()x－1，x≥0.
由x≥0，得x－1≥－1，
于是0＜()x－1≤()－1＝2，
所以函数y＝f(x)(x≥0)的值域为(0,2].
二、能力提升
8.函数y＝5－|x|的图象可能是( )
答案 D
解析 当x＞0时，y＝5－|x|＝5－x＝()x，又原函数为偶函数，故选D.
9.已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A.－3 B.－1 C.1 D.3
答案 A
解析 依题意，f(a)＝－f(1)＝－21＝－2，∵2x＞0，
∴a≤0，∴f(a)＝a＋1＝－2，故a＝－3，所以选A.
10.方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________________.
答案 {0}∪[1，＋∞)
解析 作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.
11.求函数y＝(0≤x≤3)的值域.
解 令t＝x2－2x＋2，则y＝()t，
又t＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，∵0≤x≤3，
∴当x＝1时，tmin＝1，当x＝3时，tmax＝5.
故1≤t≤5，∴()5≤y≤()1，
故所求函数的值域[，].
三、探究与创新
12.函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值.
解 (1)若a＞1，则f(x)是增函数，
∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)，最小值为f(1).
∴f(2)－f(1)＝，即a2－a＝.
解得a＝.
(2)若0＜a＜1，则f(x)是减函数，
∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)，最小值为f(2)，
∴f(1)－f(2)＝，即a－a2＝，
解得a＝
综上所述，a＝或a＝.
13.设0≤x≤2，y＝4x－－3·2x＋5，试求该函数的最值.
解 令t＝2x,0≤x≤2，
∴1≤t≤4.
则y＝22x－1－3·2x＋5＝t2－3t＋5.
又y＝(t－3)2＋，t∈[1,4]，
∴y＝(t－3)2＋，t∈[1,3]时是减函数；
t∈[3,4]时是增函数，
∴当t＝3时，ymin＝；当t＝1时，ymax＝.
故函数的最大值为，最小值为.
第2课时 指数函数及其性质的应用
[学习目标] 1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题.
[知识链接]
1.函数y＝ax(a＞0且a≠1)恒过点(0,1)，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减.
2.复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f(g(x))单调递增，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，y＝f(g(x))单调递减，简称为同增异减.
[预习导引]
1.函数y＝ax与y＝a－x(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称.
2.形如y＝af(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域.
(2)当a＞1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反.
3.形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a＞0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型.
4.设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N).
要点一 利用指数函数的单调性比较大小
例1 比较下列各组数的大小：
(1)1.9－π与1.9－3；(2)与0.70.3；
(3)0.60.4与0.40.6.
解 (1)由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，而－π＜－3，所以1.9－π＜1.9－3.
(2)因为函数y＝0.7x在R上单调递减，而2－≈0.2679＜0.3，所以＞0.70.3.
(3)因为y＝0.6x在R上单调递减，所以0.60.4＞0.60.6；又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x的图象的上方，所以0.60.6＞0.40.6，所以0.60.4＞0.40.6.
规律方法 1.对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断.
2.比较幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较.
跟踪演练1 已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是( )
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.c＞b＞a D.c＞a＞b
答案 D
解析 因为函数y＝0.8x在R上单调递减，而0.7＜0.9，所以1＞0.80.7＞0.80.9，又因为1.2＞1,0.8＞0，所以1.20.8＞1，故1.20.8＞0.80.7＞0.80.9，即c＞a＞b.
要点二 指数型函数的单调性
例2 判断f(x)＝的单调性，并求其值域.
解 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝u在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，∴0＜u≤－1＝3，∴原函数的值域为(0,3].
规律方法 1.关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a的大小；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成.
2.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]的单调性.
跟踪演练2 求函数y＝的单调区间.
解 函数y＝的定义域是R.令u＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝在(－∞，1]上是增函数.
当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝在[1，＋∞)上是减函数.
综上，函数y＝的单调增区间是(－∞，1]，单调减区间是[1，＋∞).
要点三 指数函数的综合应用
例3 已知函数f(x)＝.
(1)证明f(x)为奇函数.
(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明.
(3)求f(x)的值域.
(1)证明 由题知f(x)的定义域为R，
f(－x)＝＝
＝＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数.
(2)解 f(x)在定义域上是增函数.证明如下：
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
f(x2)－f(x1)＝－
＝(1－)－(1－)
＝.
∵x1＜x2，∴3－3＞0,3＋1＞0，3＋1＞0，
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)＞f(x1)，
∴f(x)为R上的增函数.
(3)解 f(x)＝＝1－，
∵3x＞0?3x＋1＞1?0＜＜2?－2＜－＜0，
∴－1＜1－＜1，
即f(x)的值域为(－1,1).
规律方法 指数函数是一种具体的初等函数，常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起进行考查，按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可.
跟踪演练3 设a＞0，f(x)＝＋是R上的偶函数.
(1)求a的值；
(2)求证f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
(1)解 依题意，对一切x∈R，有f(x)＝f(－x)，
即＋＝＋aex，
∴＝0对一切x∈R成立.由此得到a－＝0，
即a2＝1.又a＞0，∴a＝1.
(2)证明 设0＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝ex1－e＋－＝(e－e)·＝(e－e).
∵0＜x1＜x2，∴e＞e，∴e－e＞0.
又1－e＜0，e＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0.
即f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
1.函数y＝1－x的单调递增区间为( )
A.(－∞，＋∞) B.(0，＋∞)
C.(1，＋∞) D.(0,1)
答案 A
解析 定义域为R.
设u＝1－x，y＝u.
∵u＝1－x在R上为减函数.
又∵y＝u在(－∞，＋∞)为减函数，
∴y＝1－x在(－∞，＋∞)是增函数，
∴选A.
2.若2a＋1＜3－2a，则实数a的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.
C.(－∞，1) D.
答案 B
解析 原式等价于2a＋1＞3－2a，解得a＞.
3.设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则( )
A.y3＞y1＞y2 B.y2＞y1＞y3
C.y1＞y2＞y3 D.y1＞y3＞y2
答案 D
解析 40.9＝21.8,80.48＝21.44，()－1.5＝21.5，
根据y＝2x在R上是增函数，
所以21.8＞21.5＞21.44，
即y1＞y3＞y2，故选D.
4.某种细菌在培养过程中，每20min分裂一次，即由1个细菌分裂成2个细菌，经过3h，这种细菌由1个可繁殖成________个.
答案 512
解析 3h＝9×20min，即经过9次分裂，可分裂为29＝512个.
5.已知函数f(x)＝a－，若f(x)为奇函数，则a＝________.
答案
解析 ∵函数f(x)为奇函数，定义域为R
∴f(0)＝a－＝0.
∴a＝.
1.比较两个指数式值大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性.
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am＜c且c＜bn，则am＜bn；若am＞c且c＞bn，则am＞bn.
2.指数函数单调性的应用
(1)形如y＝af(x)的函数的单调性：令u＝f(x)，在f(x)的单调区间[m，n]上，如果两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，则函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数.
(2)形如ax＞ay的不等式，当a＞1时，ax＞ay?x＞y；当0＜a＜1时，ax＞ay?x＜y.
一、基础达标
1.下列判断正确的是( )
A.2.52.5＞2.53 B.0.82＜0.83
C.π2＜π D.0.90.3＞0.90.5
答案 D
解析 ∵y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，
∴0.90.3＞0.90.5.
2. 已知函数f(x)＝3x－，则f(x)( )
A.是偶函数，且在R上是增函数
B.是奇函数，且在R上是增函数
C.是偶函数，且在R上是减函数
D.是奇函数，且在R上是减函数
答案 B
解析 f(x)的定义域为R，且f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，则f(x)为奇函数.y＝3x为增函数，
y＝为减函数，∴f(x)＝3x－为增函数，故选B.
3.已知f(x)＝a－x(a＞0且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是( )
A.(0，＋∞) B.(1，＋∞)
C.(－∞，1) D.(0,1)
答案 D
解析 ∵f(－2)＞f(－3)，
∴()－2＞()－3
又f(x)＝a－x＝x，－2＞－3，
∴＞1，∴0＜a＜1.
4.若定义运算f(a*b)＝则函数f(3x*3－x)的值域是( )
A.(0,1] B.[1，＋∞)
C.(0，＋∞) D.(－∞，＋∞)
答案 A
解析 由定义可知该函数是求a，b中较小的那一个，所以分别画出y＝3x与y＝3－x＝x的图象，由图象容易看出函数f(3x*3－x)的值域是(0,1].
5.若函数f(x)＝则不等式f(x)≥的解集为________.
答案 {x|0≤x≤1}
解析 (1)当x≥0时，由f(x)≥得()x≥，
∴0≤x≤1.
(2)当x＜0时，不等式≥明显不成立，
综上可知不等式f(x)≥的解集是{x|0≤x≤1}.
6.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次.
答案 4
解析 设原来污垢数为1个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的，也就是原来的2，经过第三次漂洗，存留量为原来的3，……，经过第x次漂洗，存留量为原来的x，故解析式为y＝x.由题意，x≤，4x≥100,2x≥10，∴x≥4，即至少漂洗4次.
7.已知函数f(x)＝1＋.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)证明函数f(x)在(－∞，0)上为减函数.
(1)解 f(x)＝1＋，∵2x－1≠0，∴x≠0.
∴函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}.
(2)证明 任意设x1，x2∈(－∞，0)
且x1＜x2.f(x1)－f(x2)
＝－＝.
∵x1，x2∈(－∞，0)且x1＜x2，
∴2＞2且2＜1,2＜1.
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2).
∴函数f(x)在(－∞，0)上为减函数.
二、能力提升
8.若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A.(1，＋∞) B.(1,8)
C.(4,8) D.[4,8)
答案 D
解析 由题可知，f(x)在R上是增函数，
所以
解得4≤a＜8，故选D.
9.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)＜－的解集是________.
答案 (－∞，－1)
解析 当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝1－2x＝－f(x)，
则f(x)＝2x－1.当x＝0时，f(0)＝0，
即f(x)＝
由f(x)＜－，解得x＜－1.
10.若函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________.
答案 [－1,0]
解析 依题意，2－1≥0对x∈R恒成立，
即x2＋2ax－a≥0恒成立，
∴Δ＝4a2＋4a≤0，－1≤a≤0.
11.一个人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少.为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液酒精含量不得超过0.08 mg/mL，那么喝了少量酒的驾驶员，至少要过几小时才能驾驶？(精确到1小时)
解 1小时后驾驶员血液中的酒精含量为
0.3(1－50%) mg/mL，…，
x小时后其酒精含量为0.3(1－50%)xmg/mL，
由题意知0.3(1－50%)x≤0.08，x≤.
采用估算法，x＝1时，1＝＞，
x＝2时，2＝＝＜.
由于x是减函数，所以满足要求的x的最小整数为2.故至少要过2小时驾驶员才能驾驶.
三、探究与创新
12.已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；
(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值.
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝，
令u＝g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
由于u＝g(x)在(－2，＋∞)上递减，
y＝u在R上是减函数，
∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞).
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，
f(x)＝h(x)，
由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1；因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
13.已知函数f(x)＝.
(1)求f[f(0)＋4]的值；
(2)求证：f(x)在R上是增函数；
(3)解不等式：0＜f(x－2)＜.
(1)解 ∵f(0)＝＝0，
∴f[f(0)＋4]＝f(0＋4)＝f(4)＝＝.
(2)证明 设x1，x2∈R且x1＜x2，
则2＞2＞0,2－2＞0，
∵f(x2)－f(x1)＝－
＝＞0，
即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在R上是增函数.
(3)解 由0＜f(x－2)＜，
得f(0)＜f(x－2)＜f(4)，
又f(x)在R上是增函数，
∴0＜x－2＜4，
即2＜x＜6，所以不等式的解集是{x|2＜x＜6}.
3.2 对数与对数函数
3.2.1 对数及其运算
第1课时 对数概念及常用对数
[学习目标] 1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质.2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程.
[知识链接]
1.8＝4，64＝.
2.若2x＝8，则x＝3；若3x＝81，则x＝4.
[预习导引]
1.对数
(1)定义：对于指数式ab＝N，把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a＞0，且a≠1)，其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.
(2)常用对数：当a＝10时，log10N记作lg_N，叫做常用对数.
(3)对数恒等式：a＝N.
2.对数的基本性质
性质1
0和负数没有对数
性质2
1的对数是0，即loga1＝0(a＞0且a≠1)
性质3
底的对数是1，即logaa＝1(a＞0且a≠1)
要点一 指数式与对数式的互化
例1 将下列指数式与对数式互化：
(1)2－2＝；(2)102＝100；
(3)ea＝16；(4)64＝；
(5)log39＝2；(6)logxy＝z.
解 (1)log2＝－2.
(2)log10100＝2，
即lg100＝2.
(3)loge16＝a.
(4)log64＝－.
(5)32＝9.
(6)xz＝y.
规律方法 1.对数式与指数式的互化图：
2.并非所有指数式都可以直接化为对数式.如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0时，才有ax＝N?x＝logaN.
跟踪演练1 下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A.e0＝1与loge1＝0 B.8＝2与log82＝
C.log24＝2与4＝2 D.log33＝1与31＝3
答案 C
解析 由指对互化的关系：ax＝N?x＝logaN可知A、B、D都正确；C中log24＝2?22＝4.
要点二 对数基本性质的应用
例2 求下列各式中x的值：
(1)log2(log4x)＝0；
(2)log3(lgx)＝1；
(3)log(－1)＝x.
解 (1)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝20＝1，
∴x＝41＝4.
(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3，∴x＝103＝1000.
(3)∵log＝x，
∴(－1)x＝＝－1，∴x＝1.
规律方法 1.对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.
2.使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于有多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质.
跟踪演练2 利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x值：
(1)log2x＝－；(2)logx25＝2；
(3)log5x2＝2.
解 (1)由log2x＝－，得2＝x，
∴x＝.
(2)由logx25＝2，得x2＝25.
∵x＞0，且x≠1，∴x＝5.
(3)由log5x2＝2，得x2＝52，
∴x＝±5.
∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，
∴x＝5或x＝－5.
要点三 对数恒等式a＝N的应用
例3 计算：3－2＋103lg3＋.
解 3－2＋103lg3＋
＝3×3－24×2＋(10lg3)3＋(2)－1
＝3×5－16×3＋33＋5－1＝－.
规律方法 对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用.这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为对数的真数.
跟踪演练3 求值：(1)9；(2)5.
解 (1)9＝(32) ＝3＝4.
(2)5＝5×5＝5×2＝10.
1.2x＝3化为对数式是( )
A.x＝log32 B.x＝log23 C.2＝log3x D.2＝logx3
答案 B
解析 ∵2x＝3，∴x＝log23.
2.若log3x＝3，则x等于( )
A.1 B.3 C.9 D.27
答案 D
解析 ∵log3x＝3，∴x＝33＝27.
3.有下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以10为底的对数叫做常用对数.
其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.0
答案 C
解析 对于②，(－2)3＝－8不能化为对数式，∴②不正确，其余正确.
4.已知log2x＝2，则x－＝________.
答案
解析 ∵log2x＝2，∴x＝4，
∴x＝4＝＝.
5.若lg(lgx)＝0，则x＝________.
答案 10
解析 lgx＝1，x＝10.
1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a＞0，且a≠1，N＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)a＝N.
2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.
3.指数式与对数式的互化
一、基础达标
1.2－3＝化为对数式为( )
A.log2＝－3 B.log(－3)＝2
C.log2＝－3 D.log2(－3)＝
答案 C
解析 根据对数的定义知选C.
2.若loga＝c，则下列关系式中正确的是( )
A.b＝a5c B.b5＝ac
C.b＝5ac D.b＝c5a
答案 A
解析 由loga＝c，得ac＝，∴b＝(ac)5＝a5c.
3.若log3(log2x)＝1，则x－等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，
∴x＝23＝8，则x－＝＝.
4.方程2 log3x＝的解是( )
A.x＝ B.x＝
C.x＝ D.x＝9
答案 A
解析 ∵2 log3x＝＝2－2，
∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝.
5.已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n等于( )
A.5 B.7
C.10 D.12
答案 D
解析 ∵am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝a2m·an
＝(am)2·an＝12.
6.ln1＋log(－1)(－1)＝________.
答案 1
解析 ln1＋log(－1)(－1)＝0＋1＝1.
7.求下列各式中的x.
(1)logx27＝；
(2)log2x＝－；
(3)logx(3＋2)＝－2；
(4)log5(log2x)＝0；
(5)x＝log27.
解 (1)由logx27＝，得x＝27，∴x＝27＝32＝9.
(2)由log2x＝－，得2＝x，
∴x＝＝.
(3)由logx(3＋2)＝－2，得3＋2＝x－2，
即x＝(3＋2)＝(＋1)－1＝－1.
(4)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1.∴x＝21＝2.
(5)由x＝log27，得27x＝，即33x＝3－2，
∴x＝－.
二、能力提升
8.()的值为( )
A.6 B.
C.8 D.
答案 C
解析 ()＝()－1·()＝2×4＝8.
9.对数式log(a－2)(5－a)＝b，实数a的取值范围是( )
A.(－∞，5) B.(2,5)
C.(2,3)∪(3,5) D.(2，＋∞)
答案 C
解析 由log(a－2)(5－a)必满足
得2＜a＜5且a≠3，
∴a∈(2,3)∪(3,5).
10.方程9x－6·3x－7＝0的解是________.
答案 x＝log37
解析 设3x＝t(t＞0)，
则原方程可化为t2－6t－7＝0，
解得t＝7或t＝－1(舍去)，∴t＝7，即3x＝7.
∴x＝log37.
11.(1)若f(10x)＝x，求f(3)的值；
(2)计算23＋log23＋3.
解 (1)令t＝10x，则x＝lgt，
∴f(t)＝lgt，即f(x)＝lgx
∴f(3)＝lg3.
(2)23＋log23＋35－log39＝23·2log23＋
＝23×3＋＝24＋27＝51.
三、探究与创新
12.已知logax＝4，logay＝5(a＞0，且a≠1)，求A＝的值.
解 由logax＝4，得x＝a4，
由logay＝5，得y＝a5，
所以A＝＝x·[(x·y－2)]
＝x·＝x·y
＝(a4)·(a5)＝a＝a0＝1.
13.已知logab＝logba(a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1).
求证：a＝b或a＝.
证明 设logab＝logba＝k，
则b＝ak，a＝bk，∴b＝(bk)k＝bk2，
∵b＞0，且b≠1，∴k2＝1，
即k＝±1.当k＝－1时，a＝；
当k＝1时，a＝b.∴a＝b或a＝，命题得证.
第2课时 积、商、幂的对数和换底公式与自然对数
[学习目标] 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算.2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数.
[知识链接]
在指数的运算性质中：
am·an＝am＋n；＝am－n；(am)n＝amn.
[预习导引]
1.对数的运算性质
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0.那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.
(2)loga＝logaM－logaN.
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).
2.换底公式
logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1).
3.自然对数
以无理数e＝2.71828…为底的对数，叫做自然对数，logeN通常记作ln N.
温馨提示 常用结论(1)loganbn＝logab；
(2)logambn＝logab；
(3)logab·logba＝1；
(4)logab·logbc·logcd＝logad.
要点一 对数运算性质的应用
例1 计算下列各式的值：
(1)lg－lg＋lg；
(2)lg25＋lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2.
解 (1)方法一 原式＝(lg32－lg49)－lg2＋lg(49×5)＝(5lg2－2lg7)－×lg2＋(2lg7＋lg5)
＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5
＝lg2＋lg5＝(lg2＋lg5)＝lg10
＝.
方法二 原式＝lg－lg4＋lg7＝lg
＝lg(·)＝lg＝.
(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2
＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.
规律方法 1.对于同底的对数的化简，常用方法是(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).
2.对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式.要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg2＋lg5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式.
跟踪演练1 计算下列各式的值：
(1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；
(2)
解 (1)原式＝(lg5)2＋lg2(2－lg2)
＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2
＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2
＝(lg5＋lg2)·lg5＋lg2
＝lg5＋lg2＝1.
(2)原式＝
＝＝.
要点二 换底公式的应用
例2 已知log189＝a,18b＝5，用a、b表示log3645.
解 方法一 由18b＝5，得log185＝b，又log189＝a，所以
log3645＝＝
＝＝.
方法二 设log3645＝x，则36x＝45，即62x＝5×9，
从而有182x＝5×9x＋1，对这个等式的两边都取以18为底的对数，
得2x＝log185＋(x＋1)log189，
又18b＝5，所以b＝log185.
所以2x＝b＋(x＋1)a，
解得x＝，即log3645＝.
规律方法 1.利用换底公式可以把不同底的对数化为同底的对数，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.
2.题目中有指数式与对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化、统一成一种形式.
跟踪演练2 (1)(log29)·(log34)等于( )
A. B.
C.2 D.4
(2)log2·log3·log5＝________.
答案 (1)D (2)－12
解析 (1)(log29)·log34＝(log232)·(log322)
＝2log23·(2log32)＝4log23·log32＝4.
(2)原式＝··
＝＝－12.
要点三 对数的实际应用
例3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的(结果保留1位有效数字)？(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)
解 设最初的质量是1，经过x年，剩余量是y，则：
经过1年，剩余量是y＝0.75；
经过2年，剩余量是y＝0.752；
……
经过x年，剩余量是y＝0.75x；
由题意得0.75x＝，
∴x＝log0.75＝＝≈4.
∴估计经过4年，该物质的剩余量是原来的.
规律方法 解决对数应用题的一般步骤
跟踪演练3 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是( )
(参考数据：lg 3≈0.48)
A.1033 B.1053
C.1073 D.1093
答案 D
解析 M≈3361，N≈1080，≈，则lg≈lg＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80≈93，∴≈1093，故选D.
1.下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( )
A.logax·logay＝loga(x＋y)
B.(logax)n＝nlogax
C.＝loga
D.＝logax－logay
答案 C
解析 根据对数的运算性质知，C正确.
2.lg8＋3lg5的值为( )
A.－3 B.－1 C.1 D.3
答案 D
解析 lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg8＋lg125
＝lg (8×125)＝lg1000＝3.
3.lg＋lg的值是________.
答案 1
解析 lg＋lg＝lg＝lg10＝1.
4.＝________.
答案 2
解析 ＝log39＝log332＝2.
5.已知2m＝5n＝10，则＋＝________.
答案 1
解析 因为m＝log210，n＝log510，
所以＋＝log102＋log105
＝lg10＝1.
1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.
2.运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.
(3)在运算过程中要注意以下三组中的区别：
①logaNn≠(logaN)n，②loga(MN)≠logaM·logaN，
③logaM±logaN≠loga(M±N).
一、基础达标
1.log242＋log243＋log244等于( )
A.1 B.2
C.24 D.
答案 A
解析 log242＋log243＋log244
＝log24(2×3×4)＝log2424＝1.
2.化简log612－2log6的结果为( )
A.6 B.12
C.log63 D.
答案 C
解析 原式＝log6－log62＝log6＝log6＝log63.
3.化简＋log2，得( )
A.2 B.2－2log23
C.－2 D.2log23－2
答案 B
解析 ＝＝2－log23.
∴原式＝2－log23＋log23－1＝2－2log23.
4.计算log916·log881的值为( )
A.18 B.
C. D.
答案 C
解析 log916·log881＝·＝·＝.
5.log29·log278＝________.
答案 2
解析 log29·log278＝·＝＝2
6.化简(log43＋log83)(log32＋log92)＝________.
答案
解析 原式＝(＋)(＋)
＝log23·＝.
7.计算下列各式的值：
(1)；
(2)lg5(lg8＋lg1000)＋(lg2)2＋lg＋lg0.06.
解 (1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝lg5(3lg2＋3)＋3(lg2)2－lg6＋lg6－2
＝3·lg5·lg2＋3lg5＋3(lg2)2－2
＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2
＝3lg2＋3lg5－2
＝3(lg2＋lg5)－2＝3－2＝1.
二、能力提升
8.若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg)2的值等于( )
A.2 B. C.4 D.
答案 A
解析 由根与系数的关系，得lga＋lgb＝2，
lga·lgb＝，
∴(lg)2＝(lga－lgb)2
＝(lga＋lgb)2－4lga·lgb
＝22－4×＝2.
9.若lg2＝a，lg3＝b，则log512等于________.
答案
解析 ∵log512＝＝＝.
10.若lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则＝________.
答案 4
解析 因为lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，
所以
由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，
所以x＝y或x＝4y.又x>0，y>0且x－2y>0，
所以舍去x＝y，故x＝4y，则＝4.
11.计算：(1)3log72－log79＋2log7().
(2)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25.
(3)loga＋loga＋loga.
解 (1)原式＝log78－log79＋log7
＝log78－log79＋log79－log78＝0.
(2)原式＝lg2(lg2＋lg50)＋2lg5
＝lg2·lg100＋2lg5
＝2lg2＋2lg5
＝2(lg2＋lg5)＝2lg10＝2.
(3)原式＝＋(－n)＋(－)＝－n.
三、探究与创新
12.(1)求(log23＋log89)(log34＋log98＋log32)＋(lg2)2＋lg20×lg5的值.
(2)若a，b，c∈N*，且满足a2＋b2＝c2，
求log2＋log2的值.
解 (1)原式＝·
＋(lg2)2＋(1＋lg2)lg5
＝log23·log32＋(lg2)2＋lg2·lg5＋lg5
＝＋lg2(lg5＋lg2)＋lg5
＝＋lg2＋lg5
＝＋1＝.
(2)因为a2＋b2＝c2，
所以log2＋log2
＝log2
＝log2
＝log2
＝log2＝1.
13.已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py.
(1)求p；
(2)求证－＝.
(1)解 设3x＝4y＝6z＝k(显然k＞0，且k≠1)，
则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k.
由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·.
∵log3k≠0，∴p＝2log34.
(2)证明 －＝－
＝logk6－logk3＝logk2，
又＝logk4＝logk2，
∴－＝.
3.2.2 对数函数
第1课时 对数函数的图象及性质
[学习目标] 1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数，研究对数函数的性质.
[知识链接]
1.作函数图象的步骤为列表、描点、连线.另外也可以采取图象变换法.
2.指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象与性质.
底数
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值的变化
当x＞0时，y＞1；
当x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；
当x＜0时，y＞1
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
[预习导引]
1.对数函数的概念
把函数y＝logax(a＞0，且a≠1，x＞0)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
2.对数函数的图象与性质
底数
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
过定点
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值的变化
当0＜x＜1时，y＜0；
当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0；
当x＞1时，y＜0
单调性
是(0，＋∞)上的增函数
是(0，＋∞)上的减函数
3.反函数
对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)与指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数.
要点一 对数函数的概念
例1 指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；
(3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1
解 (1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数.
(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数.
(3)自变量在底数位置上，不是对数函数.
(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数.
规律方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数.
(3)对数的真数仅有自变量x.
跟踪演练1 若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )
A.y＝log2x B.y＝2log4x
C.y＝log2x或y＝2log4x D.不确定
答案 A
解析 设对数函数的解析式为y＝logax(a＞0且a≠1)，由题意可知loga4＝2，
∴a2＝4，∴a＝2，
∴该对数函数的解析式为y＝log2x.
要点二 对数函数的图象
例2 如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取，，，，则相应于c1、c2、c3、c4的a值依次为( )
A.、、、
B.、、、
C.、、、
D.、、、
答案 A
解析 方法一 观察在(1，＋∞)上的图象，先排c1、c2底的顺序，底都大于1，当x＞1时图象靠近x轴的底大，c1、c2对应的a分别为、.然后考虑c3、c4底的顺序，底都小于1，当x＜1时图象靠近x轴的底小，c3、c4对应的a分别为、.综合以上分析，可得c1、c2、c3、c4的a值依次为、、、.故选A.
方法二 作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c1、c2、c3、c4对应的a值分别为、、、，故选A.
规律方法 函数y＝logax(a＞0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响.
观察图象，注意变化规律：
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图象越靠近x轴，0＜a＜1时a越小，图象越靠近x轴.
(2)左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.
跟踪演练2 (1)函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点( )
A.(1,2) B.(2,1) C.(－2,1) D.(－1,1)
(2)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则( )
A.0＜a＜b＜1
B.0＜b＜a＜1
C.a＞b＞1
D.b＞a＞1
答案 (1)D (2)B
解析 (1)令x＋2＝1，即x＝－1，
得y＝loga1＋1＝1，
故函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(－1,1).
(2)作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.
要点三 对数函数的定义域
例3 (1)函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是( )
A.(－∞，－1) B.(1，＋∞)
C.(－1,1)∪(1，＋∞) D.(－∞，＋∞)
(2)若f(x)＝，则f(x)的定义域为( )
A. B.
C.∪(0，＋∞) D.
答案 (1)C (2)C
解析 (1)由题意知
解得x＞－1且x≠1.
(2)由题意知
解得x＞－且x≠0.
规律方法 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式.
跟踪演练3 (1)函数y＝ln(1－x)的定义域为( )
A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1]D.[0,1]
(2)函数y＝的定义域是( )
A.(－1，＋∞) B.[－1，＋∞)
C.(－1,1)∪(1，＋∞) D.[－1,1)∪(1，＋∞)
答案 (1)B (2)C
解析 (1)因为y＝ln(1－x)，
所以解得0≤x＜1.
(2)要使函数有意义，需
解得x＞－1且x≠1，
故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)，故选C.
1.下列函数是对数函数的是( )
A.y＝loga(2x) B.y＝log22x
C.y＝log2x＋1 D.y＝lgx
答案 D
解析 选项A、B、C中的函数都不具有“y＝logax(a＞0且a≠1)”的形式，只有D选项符合.
2.函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是( )
A.(－，＋∞) B.(－∞，－)
C.(－，) D.(－，1)
答案 D
解析 由可得－＜x＜1.
3.函数y＝ax与y＝－logax(a＞0，且a≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )
答案 A
解析 函数y＝－logax恒过定点(1,0)，排除B项；当a＞1时，y＝ax是增函数，y＝－logax是减函数，排除C项，当04.若a＞0且a≠1，则函数y＝loga(x－1)＋1的图象恒过定点________.
答案 (2,1)
解析 函数图象过定点，则与a无关，故loga(x－1)＝0，
∴x－1＝1，x＝2，y＝1，所以y＝loga(x－1)＋1过定点(2,1).
5.比较下列各组数的大小：
(1)log2________log2；
(2)log32________1；
(3)log4________0.
答案 (1)＜ (2)＜ (3)＜
解析 (1)底数相同，y＝log2x是增函数，
所以log2＜log2.
(2)log32＜log33＝1.
(3)log4＜log1＝0.
1.判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a＞0且a≠1)这种形式.
2.在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质.
3.涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.
一、基础达标
1.函数y＝logax的图象如图所示，则a的值可以是( )
A.0.5 B.2
C.e D.π
答案 A
解析 ∵函数y＝logax的图象单调递减，∴0＜a＜1，只有选项A符合题意.
2.函数f(x)＝lg(x－1)＋的定义域为( )
A.(1,4] B.(1,4) C.[1,4]D.[1,4)
答案 A
解析 由解得1＜x≤4.
3.在同一坐标系中，函数y＝log3x与y＝logx的图象之间的关系是( )
A.关于y轴对称 B.关于x轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线y＝x对称
答案 B
解析 ∵y＝logx＝－log3x，∴函数y＝log3x与y＝logx的图象关于x轴对称.
4.如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是( )
A.a＞b＞c
B.c＞b＞a
C.c＞a＞b
D.a＞c＞b
答案 D
解析 y＝logax的图象在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx的图象在(0，＋∞)上都是下降的，因此b，c∈(0,1)，又易知c＞b，故a＞c＞b.
5.已知函数f(x)＝那么f[f()]的值为( )
A.27B.C.－27D.－
答案 B
解析 f()＝log2＝log22－3＝－3，f[f()]＝f(－3)＝3－3＝.
6.已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(2)＝________.
答案 －
解析 设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，则－3＝loga8，
∴a＝.∴f(x)＝logx，
f(2)＝log(2)＝－log2(2)＝－.
7.求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋；
(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x).
解 (1)要使函数有意义，需满足
解之得x＞2且x≠3.∴函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞).
(2)要使函数有意义，需满足
解之得－1＜x＜0或0＜x＜4.
∴函数定义域为(－1,0)∪(0,4).
二、能力提升
8.函数y＝|log2x|的图象是图中的( )
答案 A
解析 函数定义域为(0，＋∞)，排除B.|log2x|≥0排除C，结合y＝log2x的图象知D错.
9.若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是( )
答案 D
解析 由函数f(x)＝loga(x＋b)的图象可知，函数f(x)＝loga(x＋b)在(－b，＋∞)上是减函数.
∴0＜a＜1且0＜b＜1.所以g(x)＝ax＋b在R上是减函数，故排除A，B.由g(x)的值域为(b，＋∞).所以g(x)＝ax＋b的图象应在直线y＝b的上方，故排除C.
10.设函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，若f(x1x2…x2013)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值等于________.
答案 16
解析 ∵f(x)＋f(x)＋f(x)＋…＋f(x)
＝logax＋logax＋logax＋…＋logax
＝loga(x1x2x3…x2013)2
＝2loga(x1x2x3…x2013)
＝2f(x1x2x3…x2013)，
∴原式＝2×8＝16.
11.已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)＜f(2)，利用图象求a的取值范围.
解 (1)作出函数y＝log3x的图象如图所示.
(2)由图象知：函数f(x)为增函数，当0＜a＜2时，恒有f(a)＜f(2).∴所求a的取值范围为(0,2).
三、探究与创新
12.已知函数f(x)＝log(x－1)＋1.
(1)若f(x)＝3，求x的值.
(2)若f(x)≥1，求x的取值范围.
解 (1)由f(x)＝3，得log(x－1)＋1＝3，
∴log(x－1)＝2＝log2，
∴x－1＝2，即x＝.
(2)由f(x)≥1得log(x－1)＋1≥1，
∴log(x－1)≥0＝log1，
∴0∴x的取值范围为{x|113.若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象.
解 ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.
又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴f(－x)＝lg(1－x).
又f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－lg(1－x)，
∴f(x)的解析式为
f(x)＝
∴f(x)的大致图象如图所示：
第2课时 对数函数及其性质的应用
[学习目标] 1.进一步加深理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质及其应用.
[知识链接]
对数函数的图象和性质
底数
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
过定点
(1,0)，即当x＝1时，y＝0
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
要点一 对数值的大小比较
例1 比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln0.3，ln2；
(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)；
(3)log30.2，log40.2；
(4)log3π，logπ3.
解 (1)因为函数y＝lnx是增函数，且0.3＜2，
所以ln0.3＜ln2.
(2)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.
(3)方法一 因为0＞log0.23＞log0.24，
所以＜，即log30.2＜log40.2.
方法二 如图所示
由图可知log40.2＞log30.2.
(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，所以log3π＞log33＝1.
同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.
规律方法 比较对数的大小，主要依据对数函数的单调性.
1.若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较.
2.若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
3.若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以先画出函数的图象，再进行比较.
4.若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较.
跟踪演练1 (1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )
A.a＞c＞b B.b＞c＞a
C.c＞b＞a D.c＞a＞b
(2)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则( )
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.b＞a＞c D.c＞a＞b
答案 (1)D (2)B
解析 (1)利用对数函数的性质求解.
a＝log32＜log33＝1；c＝log23＞log22＝1，
由对数函数的性质可知log52＜log32，∴b＜a＜c，故选D.
(2)a＝log23.6＝log43.62，函数y＝log4x在(0，＋∞)上为增函数，3.62＞3.6＞3.2，所以a＞c＞b，故选B.
要点二 对数函数单调性的应用
例2 求函数y＝log(1－x2)的单调增区间，并求函数的最小值.
解 要使y＝log(1－x2)有意义，则1－x2＞0，
∴x2＜1，即－1＜x＜1，
因此函数的定义域为(－1,1).
令t＝1－x2，x∈(－1,1).
当x∈(－1,0]时，若x增大，则t增大，y＝logt减小，
∴x∈(－1,0]时，y＝log(1－x2)是减函数；
同理当x∈[0,1)时，y＝log(1－x2)是增函数.
故函数y＝log(1－x2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值ymin＝log(1－02)＝0.
规律方法 1.求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)＞0，先求定义域.
2.求此类型函数单调区间的两种思路：(1)利用定义求证；(2)借助函数的性质，研究函数t＝f(x)和y＝logat在定义域上的单调性，从而判定y＝logaf(x)的单调性.
跟踪演练2 (1) 函数f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A.(－∞，－2) B.(－∞，1)
C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)
(2)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A.[－1,2] B.[0,2]
C.[1，＋∞) D.[0，＋∞)
答案 (1)D (2)D
解析 (1) 要使函数有意义，则：x2－2x－8>0，解得：x<－2或x>4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为(4，＋∞)，故选D.
(2)f(x)≤2?或
?0≤x≤1或x＞1，故选D.
要点三 对数函数的综合应用
例3 已知函数f(x)＝loga(a＞0且a≠1)，
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性和单调性.
解 (1)要使此函数有意义，
则有或
解得x＞1或x＜－1，
此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
(2)f(－x)＝loga＝loga
＝－loga＝－f(x).
又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，
∴f(x)为奇函数.
f(x)＝loga＝loga(1＋)，
函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减.
所以当a＞1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减；
当0＜a＜1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增.
规律方法 1.判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称.
2.求函数的单调区间有两种思路：(1)易得到单调区间的，可用定义法来求证；(2)利用复合函数的单调性求得单调区间.
跟踪演练3 已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中(a＞0且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x).
(1)求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(3)＝2，求使h(x)＜0成立的x的集合.
解 (1)∵f(x)＝loga(1＋x)的定义域为{x|x＞－1}，
g(x)＝loga(1－x)的定义域为{x|x＜1}，
∴h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x>－1}∩
{x|x＜1}＝{x|－1＜x＜1}.
函数h(x)为奇函数，理由如下：
∵h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)，
∴h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)
＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－h(x)，
∴h(x)为奇函数.
(2)∵f(3)＝loga(1＋3)＝loga4＝2，∴a＝2.
∴h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，
∴h(x)＜0等价于log2(1＋x)＜log2(1－x)，
∴解之得－1＜x＜0.
∴使得h(x)＜0成立的x的集合为{x|－1＜x＜0}.
1.函数y＝lnx的单调递增区间是( )
A.[e，＋∞) B.(0，＋∞)
C.(－∞，＋∞) D.[1，＋∞)
答案 B
解析 函数y＝lnx的定义域为(0，＋∞)，在(0，＋∞)上是增函数，故该函数的单调递增区间为(0，＋∞).
2.设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )
A.a＜c＜bB.b＜c＜aC.a＜b＜cD.b＜a＜c
答案 D
解析 ∵1＝log55＞log54＞log53＞log51＝0，
∴1＞a＝log54＞log53＞(log53)2＝b.
又∵c＝log45＞log44＝1.∴c＞a＞b.
3.函数f(x)＝的定义域是( )
A.(1，＋∞) B.(2，＋∞)
C.(－∞，2) D.(1,2]
答案 D
解析 由题意有解得1＜x≤2.
4.函数f(x)＝的值域为________.
答案 (－∞，2)
解析 当x≥1时，logx≤log1＝0，∴当x≥1时，f(x)≤0.当x＜1时，0＜2x＜21，即0＜f(x)＜2.因此函数f(x)的值域为(－∞，2).
5.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________.
答案
解析 要使y＝log5(2x＋1)有意义，
则2x＋1＞0，即x＞－，
而y＝log5u为(0，＋∞)上的增函数，
当x＞－时，
u＝2x＋1也为增函数，
故原函数的单调增区间是.
1.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性.若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a＞1和0＜a＜1两类进行讨论.
2.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.
一、基础达标
1.若集合A＝，则?RA等于( )
A.(－∞，0]∪
B.
C.(－∞，0]∪
D.
答案 A
解析 logx≥，即logx≥log，∴0＜x≤，
即A＝，∴?RA＝.
故选A.
2.设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则( )
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.b＞a＞c D.b＞c＞a
答案 A
解析 a＝log3π＞1，b＝log2＝log23∈，c＝log3＝log32∈，故有a＞b＞c.
3.函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是( )
A.0 B.1 C.2 D.a
答案 C
解析 ∵0＜a＜1，∴f(x)＝logax在[a2，a]上是减函数，
∴f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2.
4.函数f(x)＝lg()的奇偶性是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
答案 A
解析 f(x)定义域为R，
f(－x)＋f(x)
＝lg()＋lg()
＝lg＝lg1＝0，
∴f(x)为奇函数，选A.
5.函数y＝log(－x2＋4x＋12)的单调递减区间是( )
A.(－∞，2) B.(2，＋∞)
C.(－2,2) D.(－2,6)
答案 C
解析 y＝logu，u＝－x2＋4x＋12.
令u＝－x2＋4x＋12＞0，得－2＜x＜6.
∴x∈(－2,2)时，u＝－x2＋4x＋12为增函数，
∵y＝log(－x2＋4x＋12)为减函数，
∴函数的单调减区间是(－2,2).
6.已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则不等式f(log4x)＜0的解集是________.
答案 {x|＜x＜2}
解析 由题意可知，f(log4x)＜0?－＜log4x＜?log44＜log4x＜log44?＜x＜2.
7.已知f(x)＝(logx)2－3logx，x∈[2,4].试求f(x)的最大值与最小值.
解 令t＝logx，
则y＝t2－3t＝(t－)2－，
∵2≤x≤4，∴log4≤logx≤log2，
即－2≤t≤－1.
可知y＝(t－)2－在[－2，－1]上单调递减.
∴当t＝－2时，y取最大值为10；
当t＝－1时，y取最小值为4.
故f(x)的最大值为10，最小值为4.
二、能力提升
8.设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )
A.c＞b＞a B.b＞c＞a
C.a＞c＞b D.a＞b＞c
答案 D
解析 a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，
b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，
c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，
∵log32＞log52＞log72，∴a＞b＞c，故选D.
9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是( )
A.[1,2] B.
C.[，2] D.(0,2]
答案 C
解析 ∵f(loga)＝f(－log2a)＝f(log2a)，∴原不等式可化为f(log2a)≤f(1).又∵f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log2a≤1，即1≤a≤2.∵f(x)是偶函数，∴f(log2a)≤f(－1).又f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log2a≤0，∴≤a≤1.综上可知≤a≤2.
10.已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________.
答案 {a|2＜a≤3}
解析 ∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，
∴a的取值需满足
解得2＜a≤3.
11.讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性.
解 由3x2－2x－1＞0得函数的定义域为
.
则当a＞1时，
若x＞1，则u＝3x2－2x－1为增函数，
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)在(1，＋∞)上为增函数.
若x＜－，则u＝3x2－2x－1为减函数.
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)在(－∞，－)上为减函数.
同理可得，当0＜a＜1时，f(x)＝loga(3x2－2x－1)在(1，＋∞)上为减函数；
f(x)＝loga(3x2－2x－1)在(－∞，－)上为增函数.
三、探究与创新
12.已知x满足不等式：2(logx)2＋7logx＋3≤0，求函数f(x)＝·的最大值和最小值.
解 由2(logx)2＋7logx＋3≤0可解得－3≤logx≤－，即≤x≤8，∴≤log2x≤3.
∵f(x)＝(log2x－2)(log2x－1)＝(log2x)2－3log2x＋2
＝2－，
∴当log2x＝，即x＝2时，f(x)有最小值－.
当log2x＝3，即x＝8时，f(x)有最大值2.
∴f(x)min＝－，f(x)max＝2.
13.已知函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，且f(3)－f(2)＝1.
(1)若f(3m－2)(2)求使f＝log成立的x的值.
解 因为f(3)－f(2)＝1，即loga3－loga2＝loga＝1，
所以a＝，
(1)由已知可得
所以(2)由f＝log，
即log＝log，
所以x－＝.
所以x＝－或x＝4.
3.2.3 指数函数与对数函数的关系
[学习目标] 1.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图象间的对称关系.2.利用图象比较指数函数、对数函数增长的差异.3.利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题.
[知识链接]
在同一坐标中，作出函数y＝2x与y＝log2x的图象，两图象关于直线y＝x对称.
[预习导引]
1.反函数
(1)互为反函数的概念
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量.称这两个函数互为反函数.
(2)反函数的记法：函数y＝f(x)的反函数通常用
y＝f－1(x)表示.
2.指数函数与对数函数的关系
(1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数.
(2)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax的图象关于y＝x对称.
要点一 求反函数
例1 写出下列函数的反函数：
(1)y＝lgx；(2)y＝logx；(3)y＝()x；(4)y＝x.
解 (1)y＝lgx的底数为10，
它的反函数为指数函数y＝10x.
(2)y＝logx的底数为，它的反函数为指数函数
y＝x.
(3)y＝()x的底数为，它的反函数为对数函数
y＝logx(x＞0).
(4)y＝x的底数为，它的反函数为对数函数
y＝logx(x＞0).
规律方法 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数.
跟踪演练1 求下列函数的反函数：
(1)y＝log2x；(2)y＝x；(3)y＝5x＋1.
解 (1)由y＝log2x，得y∈R，x＝2y，
∴f－1(x)＝2x，x∈R.
(2)由y＝x，得x＝logy且y＞0.
∴f－1(x)＝logx(x＞0).
(3)由y＝5x＋1，得x＝且y∈R，
∴f－1(x)＝，x∈R.
要点二 互为反函数的性质应用
例2 已知函数y＝ax＋b(a＞0且a≠1)的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，求a，b的值.
解 ∵y＝ax＋b的图象过点(1,4)，
∴a＋b＝4.①
又∵y＝ax＋b的反函数图象过点(2,0)，
∴点(0,2)在原函数y＝ax＋b的图象上.
a0＋b＝2.②
联立①②得a＝3，b＝1.
规律方法 互为反函数的图象关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数图象上任一成对的相应点也关于y＝x对称，所以若点(a，b)在函数y＝f(x)图象上，则点(b，a)必在其反函数y＝f－1(x)图象上.
跟踪演练2 已知f(x)＝log3x，则f－1(4)＝________.
答案 81
解析 由log3x＝4，得x＝34＝81.
即f－1(4)＝34＝81.
要点三 指、对数函数的图象性质应用
例3 设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值.
解 将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.
如图可知，
a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标.
由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，
所以它们的图象关于直线y＝x对称，
由题意可得出A、B两点也关于直线y＝x对称，
于是A、B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a).
而A、B都在直线y＝－x＋3上，
∴b＝－a＋3(A点坐标代入)，
或a＝－b＋3，故a＋b＝3.
规律方法 形如ax＋kx＝b(a＞0且a≠0)或logax＋kx＝b(a＞0且a≠1)的方程的求解常借助于函数图象，求两函数图象的交点.
跟踪演练3 函数f(x)＝lgx＋x－3的零点所在区间为( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3，＋∞)
答案 C
解析 在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝lgx与y＝－x＋3的图象.它们交点的横坐标x0显然在区间(1,3)内，由此可排除A，D.至于选B还是选C，由于手工画图精确性的限制，单凭直观很难做出判断.实际上这是要比较x0与2的大小.
当x＝2时，lgx＝lg2，－x＋3＝1，
由于lg2＜1，因此x0＞2，
从而得到x0∈(2,3)，故选C.
1.函数y＝logx(x＞0)的反函数是( )
A.y＝x，x＞0 B.y＝()x，x∈R
C.y＝x2，x∈R D.y＝2x，x∈R
答案 B
解析 互为反函数的一组对数函数和指数函数的底数相同.
2.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于( )
A.log2x B. C.logx D.2x－2
答案 A
解析 y＝ax的反函数f(x)＝logax，则1＝loga2，
∴a＝2.
3.已知函数y＝ax与y＝logax(a＞0且a≠1)，下列说法不正确的是( )
A.两者的图象关于直线y＝x对称
B.前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域
C.两函数在各自的定义域内的增减性相同
D.y＝ax的图象经过平移可得到y＝logax的图象
答案 D
解析 由反函数的定义及互为反函数的函数图象间的对称关系可知A、B、C选项均正确.
4.已知y＝()x的反函数为y＝f(x)，若f(x0)＝－，则x0等于( )
A.－2 B.－1 C.2 D.
答案 C
解析 y＝()x的反函数是f(x)＝logx，
∴f(x0)＝logx0＝－.
∴x0＝()＝＝2.
5.已知f(x)＝a－是R上的奇函数，则f－1的值是________.
答案 2
解析 由f(x)为奇函数知a＝1，∴f(x)＝
由＝，得x＝2.
1.对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数.它们的图象关于直线y＝x对称.
2.求给定解析式的函数的反函数应本着以下步骤完成：
(1)求出原函数的值域，这就是反函数的定义域；
(2)从y＝f(x)中解出x；
(3)x、y互换并注明反函数定义域.
3.反函数的定义域是原函数的值域，并不一定是使反函数有意义的所有x的集合.
一、基础达标
1.函数y＝－(x≤1)的反函数是( )
A.y＝x2－1(－1≤x≤0)
B.y＝x2－1(0≤x≤1)
C.y＝1－x2(x≤0)
D.y＝1－x2(0≤x≤1)
答案 C
解析 ∵x≤1，∴－x≥－1,1－x≥0，∴≥0，
∴－≤0，∴y≤0.
反函数的定义域应与原函数的值域相同，故可排除A、B、D，选C.
2.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)等于( )
A.log2x B.logx C. D.x2
答案 B
解析 ∵函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，∴f(x)＝logax，∵f(x)＝logax的图象经过点(，a)，∴loga＝a?a＝，∴f(x)＝logx.
3.函数f(x)＝log2(3x＋1)的反函数y＝f－1(x)的定义域为( )
A.(1，＋∞) B.[0，＋∞)
C.(0，＋∞) D.[1，＋∞)
答案 C
解析 y＝f－1(x)的定义域即为原函数的值域，
∵3x＋1＞1，∴log2(3x＋1)＞0.
4.已知函数y＝ex的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则( )
A.f(2x)＝e2x(x∈R)
B.f(2x)＝ln2·lnx(x＞0)
C.f(2x)＝2ex(x∈R)
D.f(2x)＝lnx＋ln2(x＞0)
答案 D
解析 y＝f(x)是y＝ex的反函数，∴f(x)＝lnx，
∴f(2x)＝ln2x.
5.已知函数f(x)＝2x＋1，则f－1(4)＝________.
答案 1
解析 由2x＋1＝4得x＝1，∴f－1(4)＝1.
6.设函数f(x)＝log2x＋3，x∈[1，＋∞)，则f－1(x)的定义域是________.
答案 [3，＋∞)
解析 ∵x≥1，∴log2x≥0，∴log2x＋3≥3，
∴f－1(x)的定义域为[3，＋∞).
7.已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0且a≠1)的图象过(1,7)，其反函数f－1(x)的图象过点(4,0)，求f(x)的表达式.
解 ∵y＝f－1(x)过(4,0)点，∴y＝f(x)过点(0,4)，
∴1＋b＝4，∴b＝3，又∵f(x)＝ax＋b过点(1,7)，
∴a＋b＝7，∴a＝4.∴f(x)＝4x＋3.
二、能力提升
8.若指数函数y＝ax当x＜0时，有0＜y＜1，则在同一坐标系中，函数y＝a－x与函数y＝logax的图象是( )
答案 A
解析 ∵x＜0时，y＝ax∈(0,1)，
∴a＞1.∴logax单调递增，a－x＝()x单调递减.
9.已知f(x)＝a－x(a＞0且a≠1)，f－1(2)＜0，则f－1(x＋1)的图象可能是( )
答案 A
解析 本题考查互为反函数的函数之间的关系.
f(x)＝a－x，f－1(x)＝－logax，由f－1(2)＜0，
即－loga2＜0，loga2＞0，所以a＞1.
f－1(x＋1)＝－loga(x＋1)(a＞1)，过(0,0)点.
10.已知函数f(x)的反函数g(x)＝1＋2lgx(x＞0)，则f(1)＋g(1)＝________.
答案 2
解析 令g(x)＝1，则2lgx＝0，∴x＝1.
∵f(x)与g(x)互为反函数，
∴f(1)＝1，g(1)＝1＋2lg1＝1.
∴f(1)＋g(1)＝2.
11.已知函数f(x)＝loga(2－x)，(a＞1).
(1)求函数f(x)的定义域、值域；
(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；
(3)判断f－1（x）的单调性.
解 (1)要使函数f(x)有意义，
需满足2－x＞0，即x＜2，
故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R.
(2)由y＝loga(2－x)，得2－x＝ay，
即x＝2－ay.∴f－1(x)＝2－ax(x∈R).
(3)f－1(x)在R上是减函数.
证明如下：任取x1，x2∈R且x1＜x2.
∵f－1(x2)－f－1(x1)＝2－a－2＋a＝a－a，
∵a＞1，x1＜x2，∴a＜a，即a－a＜0，
∴f－1(x2)＜f－1(x1)，
∴y＝f－1(x)在R上是减函数.
三、探究与创新
12.若不等式4x－logax＜0，当x∈(0，)时恒成立，求实数a的取值范围.
解 要使不等式4x＜logax在x∈(0，)时恒成立，即函数y＝logax的图象在(0，)内恒在函数y＝4x图象的上方，而y＝4x图象过点(，2).由图可知，loga≥2，显然这里0＜a＜1, ∴函数y＝logax递减.
又loga≥2＝logaa2，
∴a2≥，即a≥.
∴所求的a的取值范围为[，1).
13.已知函数f(x)＝log2(x＋1)，点(x，y)在函数y＝f(x)的图象上运动，点(t，s)在函数y＝g(x)的图象上运动，并且满足t＝，s＝y.
(1)求出y＝g(x)的解析式；
(2)求出使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围；
(3)在(2)的范围内求y＝g(x)－f(x)的最小值.
解 (1)由题意知x＋1>0，即x>－1，
又，则
∵点(x，y)在函数y＝log2(x＋1)的图象上
∴s＝log2(3t＋1)，t>－，即y＝g(x)＝log2(3x＋1)，x>－.
(2)由g(x)≥f(x)，即log2(3x＋1)≥log2(x＋1)
得?
∴使g(x)≥f(x)的x的取值范围是x≥0.
(3)y＝g(x)－f(x)＝log2(3x＋1)－log2(x＋1)
＝log2＝log2
∵x≥0，∴1≤3－＜3.
又∵y＝log2x在x∈(0，＋∞)上单调递增.
∴当x≥0时，y＝log2≥log21＝0，
即ymin＝0.
3.3 幂函数
[学习目标] 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质.3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.
[知识链接]
函数y＝x，y＝x2，y＝(x≠0)的图象和性质
函数
图象
定义域
值域
单调性
奇偶性
y＝x
R
R
增
奇
y＝x2
R
[0，＋∞)
在(－∞，0)上减
偶
在[0，＋∞)上增
y＝(x≠0)
{x|x≠0}
{y|y≠0}
在(－∞，0)上减
奇
在(0，＋∞)上减
[预习导引]
1.幂函数的概念
函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
2.幂函数的图象与性质
幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
图象
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞]增x∈(－∞，0]减
增
增
x∈(0，＋∞)减x∈(－∞，0)减
定点
(1,1)
要点一 幂函数的概念
例1 函数f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式.
解 根据幂函数定义得，
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，
当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求.
∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.
规律方法 1.本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻.
2.幂函数y＝xα(α∈R)中，α为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准.幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错.
跟踪演练1 已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(9,3)，则f(100)＝________.
答案 10
解析 由题意可知f(9)＝3，即9α＝3，∴α＝，
∴f(x)＝x，∴f(100)＝100＝10.
要点二 幂函数的图象
例2 如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于c1，c2，c3，c4的n依次为( )
A.－2，－，，2 B.2，，－，－2
C.－，－2,2， D.2，，－2，－
答案 B
解析 考虑幂函数在第一象限内的增减性.注意当n＞0时，对于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n＜0时看|n|的大小.根据幂函数y＝xn的性质，故c1的n＝2，c2的n＝，当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n＝－，曲线c4的n＝－2，故选B.
规律方法 幂函数图象的特征：(1)在第一象限内，直线x＝1的右侧，y＝xα的图象由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x＝1的左侧，y＝xα的图象由上到下，指数α由小变大.(2)当α＞0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸.
跟踪演练2 如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )
A.－1＜n＜0＜m＜1
B.n＜－1,0＜m＜1
C.－1＜n＜0，m＞1
D.n＜－1，m＞1
答案 B
解析 在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示.根据点低指数大，有0＜m＜1，n＜－1.
要点三 比较幂的大小
例3 比较下列各组数中两个数的大小：
(1)与；(2)－1与－1；
(3)0.25与6.25；(4)0.20.6与0.30.4.
解 (1)∵y＝x是[0，＋∞)上的增函数，且＞，
∴＞.
(2)∵y＝x－1是(－∞，0)上的减函数，且－＜－，
∴－1＞－1.
(3)0.25＝＝2，6.25＝2.5
∵y＝x是[0，＋∞)上的增函数，且2＜2.5，
∴2＜2.5，即0.25＜6.25.
(4)由幂函数的单调性，知0.20.6＜0.30.6，又y＝0.3x是减函数，∴0.30.4＞0.30.6，从而0.20.6＜0.30.4.
规律方法 1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数.
2.若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量.
跟踪演练3 比较下列各组数的大小：
(1)0.5与0.5；(2)－3.143与－π3；
(3)与.
解 (1)∵y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数且＞，
∴0.5＞0.5.
(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14＜π，
∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.
(3)∵y＝x是减函数，∴＜.y＝x是[0，＋∞)上的增函数，∴＞.
∴＞.
1.下列函数是幂函数的是( )
A.y＝5x B.y＝x5
C.y＝5x D.y＝(x＋1)3
答案 B
解析 函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数.
2.下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )
A.y＝x B.y＝x
C.y＝x D.y＝x
答案 D
解析 y＝x＝，其定义域为R，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同.
3.设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( )
A.1,3 B.－1,1
C.－1,3 D.－1,1,3
答案 A
解析 可知当α＝－1,1,3时，y＝xα为奇函数，又∵y＝xα的定义域为R，则α＝1,3.
4.若a＝()，b＝()，c＝(－2)3，则a、b、c的大小关系为________.
答案 a＞b＞c
解析 ∵y＝x在(0，＋∞)上为增函数.
∴()＞()，即a＞b＞0.
而c＝(－2)3＝－23＜0，∴a＞b＞c.
5.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为________.
答案 1
解析 由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意.
1.幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量.
2.幂函数在第一象限内指数变化规律
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.
3.简单幂函数的性质
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.
(2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数.
(3)如果α＜0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.
一、基础达标
1.已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(4)的值为( )
A.16 B. C. D.2
答案 C
解析 设f(x)＝xa，则有2a＝，解得a＝－，即f(x)＝x，所以f(4)＝4＝.
2.下列命题中正确的是( )
A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过(0,0)(1,1)两点
C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域上是增函数
D.幂函数的图象不可能在第四象限
答案 D
解析 当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图象为一条直线上挖去一点，故A选项不正确；当α＜0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故选项B不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故选项C不正确；当x＞0，α∈R时，y＝xα＞0，则幂函数的图象都不在第四象限，故选项D正确.
3.下列幂函数中①y＝x－1；②y＝x；③y＝x；④y＝x2；⑤y＝x3，其中在定义域内为增函数的个数为( )
A.2B.3C.4D.5
答案 B
解析 由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数.
4.当0＜x＜1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2的大小关系是( )
A.h(x)＜g(x)＜f(x)
B.h(x)＜f(x)＜g(x)
C.g(x)＜h(x)＜f(x)
D.f(x)＜g(x)＜h(x)
答案 D
解析 在同一坐标系中，画出当0＜x＜1时，函数y＝x2，y＝x，y＝x－2的图象，如图所示.
∴当0＜x＜1时，有x－2＞x＞x2，即f(x)＜g(x)＜h(x).
5.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A.y＝x－2 B.y＝x－1
C.y＝x2 D.y＝x
答案 A
解析 由于y＝x－1和y＝x都是奇函数，故B、D不合题意.又y＝x2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C不合题意.y＝x－2＝在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A满足题意.
6.幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，则满足f(x)＝－27的x值等于________.
答案 －
解析 设f(x)＝xα，由题意可知2α＝，α＝－3，
即f(x)＝x－3.
由x－3＝－27可知x＝－.
7.比较下列各组中两个值的大小：
(1)1.5与1.6；(2)0.61.3与0.71.3；
(3)3.5与5.3；(4)0.18－0.3与0.15－0.3.
解 (1)∵幂函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，且1.5＜1.6，∴1.5＜1.6.
(2)∵幂函数y＝x1.3在(0，＋∞)上单调递增，且0.6＜0.7，∴0.61.3＜0.71.3.
(3)∵幂函数y＝x在(0，＋∞)上单调递减，且3.5＜5.3，∴3.5＞5.3.
(4)∵幂函数y＝x－0.3在(0，＋∞)上单调递减，且0.18＞0.15，∴0.18－0.3＜0.15－0.3
二、能力提升
8.设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A.a＞b＞c B.c＞a＞b
C.a＜b＜c D.b＞c＞a
答案 C
解析 ∵函数y＝x在R上是减函数，又＞，
∴＜，即a＜b.
又∵函数y＝x在R上是增函数，且＞，
∴＞，即c＞b，
∴a＜b＜c.
9.函数y＝的图象是( )
答案 B
解析 方法一 代入选项验证即可.
方法二 y＝＝＝－＋1，利用函数图象的变换可知选B.
10.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( )
A.7个 B.8个
C.9个 D.无数个
答案 C
解析 值域为{1,4}，∴其定义域由1，－1,2，－2组成，∴有{1,2}，{1，－2}，{－1,2}{－1，－2}，{1，－1，－2}，{1，－1,2}，{1,2，－2}，{－1,2，－2}，{1，－1,2，－2}，共有9种情况.
11.已知幂函数f(x)的图象过点(25,5).
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(2－lgx)，求g(x)的定义域、值域.
解 (1)设f(x)＝xa，则由题意可知25a＝5，
∴a＝，∴f(x)＝x.
(2)∵g(x)＝f(2－lgx)＝，
∴要使g(x)有意义，只需2－lgx≥0，
即lgx≤2，解得
0＜x≤100.
∴g(x)的定义域为(0,100]，
又2－lgx≥0，
∴g(x)的值域为[0，＋∞).
三、探究与创新
12.已知幂函数y＝f(x)＝x，其中m∈{x|－2＜x＜2，x∈Z}，满足：
(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；
(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.
求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域.
解 因为m∈{x|－2＜x＜2，x∈Z},
所以m＝－1,0,1.
因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.
当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；
当m＝1时，f(x)＝x0条件(1)、(2)都不满足.
当m＝0时，f(x)＝x3条件(1)、(2)都满足，且在区间[0,3]上是增函数.
所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27].
13.设f(x)＝，g(x)＝(其中a＞0且a≠1).
(1)由5＝2＋3，请你探究g(5)能否用f(2)，g(2)，f(3)，g(3)来表示；
(2)如果你在(1)中获得了一个结论，请探究能否将其推广.
解 (1)∵g(5)＝，
f(2)g(3)＋g(2)f(3)＝·＋·
＝(a5＋a－a－1－a－5＋a5－a＋a－1－a－5)
＝(a5－a－5)
∴g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2).
(2)由(1)可得g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y).
证明 f(x)g(y)＋g(x)f(y)
＝·＋·
＝(ax＋y＋ay－x－ax－y－a－y－x＋ax＋y－ay－x＋ax－y－a－x－y)＝(ax＋y－a－x－y)＝g(x＋y).
3.4 函数的应用(Ⅱ)
[学习目标] 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题.
[预习导引]
1.三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
图象的变化
随x增大逐渐变陡
随x增大逐渐变缓
随n值而不同
2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上.
(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢.
(3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有logax＜xn＜ax.
要点一 函数模型的增长差异
例1 (1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A.y＝10000x B.y＝log2x
C.y＝x1000 D.y＝x
(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________.
答案 (1)D (2)y2
解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝x增长速度最快.
(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化.
规律方法 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0，就有logax＜xn＜ax.
跟踪演练1 如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )
A.指数函数：y＝2t B.对数函数：y＝log2t
C.幂函数：y＝t3 D.二次函数：y＝2t2
答案 A
解析 由题中图象可知，该函数模型为指数函数.
要点二 几种函数模型的比较
例2 某汽车制造商在2018年初公告：公司计划2018年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
年份
2015
2016
2017
产量
8(万)
18(万)
30(万)
如果我们分别将2015,2016,2017,2018定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？
解 建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30).
(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
将点坐标代入，可得
解得a＝1，b＝7，c＝0，
则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1.
(2)构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，
将点坐标代入，可得
解得a＝，b＝，c＝－42.则g(x)＝·x－42，
故g(4)＝·4－42＝44.4，与计划误差为1.4.
由(1)(2)可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系.
规律方法 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数.
2.理解“模型能更好反映该公司年销量y与年份x的关系”的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣.
跟踪演练2 函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图.
(1)指出C1，C2分别对应图中哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).
解 (1)由函数图象特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，曲线C2对应的函数为f(x)＝lgx，
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x).函数g(x)＝0.3x－1呈直线增长，函数f(x)随着x的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长.
1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A.y＝100x B.y＝log100x
C.y＝x100 D.y＝100x
答案 D
解析 几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.
2.当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是( )
A.2x＞x2＞log2x B.x2＞2x＞log2x
C.2x＞log2x＞x2 D.x2＞log2x＞2x
答案 B
解析 方法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2＞2x＞log2x.
方法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x＝3，经检验易知选B.
3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
答案 D
解析 设该林区的森林原有蓄积量为a，
由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，
∴y＝f(x)的图象大致为D中图象.
4.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( )
A.300只 B.400只
C.500只 D.600只
答案 A
解析 由已知第一年有100只，得a＝100.
将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，
得y＝300.
5.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________.
答案 y＝－x＋50(0＜x＜200).
解析 设解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
由解得k＝－，b＝50，
∴y＝－x＋50(0＜x＜200)
三种函数模型的选取
(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.
(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快.
一、基础达标
1.下列函数中，增长速度最慢的是( )
A.y＝6x B.y＝log6x C.y＝x6 D.y＝6x
答案 B
解析 对数函数增长的越来越慢，故选B.
2.甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1＜v2)，则甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系图示为( )
答案 B
解析 ∵v1＜v2，
∴前半段路程用的时间长.
3.据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2018年的湖水量为m，从2018年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )
A.y＝0.9 B.y＝(1－0.1)m
C.y＝0.9m D.y＝(1－0.150x)m
答案 C
解析 设每年湖水量为上一年的q%，
则(q%)50＝0.9，
∴q%＝0.9.
∴x年后的湖水量为y＝0.9m.
4.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )
A.y＝0.2x B.y＝(x2＋2x)
C.y＝ D.y＝0.2＋log16x
答案 C
解析 将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算.
5.已知某工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品产量为________.
答案 1.75万件
解析 由
得
∴y＝－2×0.5x＋2，
所以3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件).
6.在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示.现给出下列说法：①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变.
其中正确的说法是________.
答案 ②④
解析 因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确.
7.一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠.”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠.
解 设家庭中孩子数为x(x≥1，x∈N*)，
旅游收费y，旅游原价为a.
甲旅行社收费：y＝a＋(x＋1)a＝(x＋3)a；
乙旅行社收费：y＝(x＋2)a.
∵(x＋2)a－(x＋3)a＝(x－1)a，
∴当x＝1时，两家旅行社收费相等.
当x＞1时甲旅行社更优惠.
二、能力提升
8.若x∈(1,2)，则下列结论正确的是( )
A.2x＞x＞lgx B.2x＞lgx＞x
C.x＞2x＞lgx D.x＞lgx＞2x
答案 A
解析 ∵x∈(1,2)，∴2x＞2.
∴x∈(1，)，lgx∈(0,1).
∴2x＞x＞lgx.
9.向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )
答案 B
解析 取OH的中点(如图)E作h轴的垂线，由图知当水深h达到容量一半时，体积V大于一半.易知B符合题意.
10.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度vm/s和燃料质量Mkg、火箭(除燃料外)质量mkg的关系是v＝2000ln，则当燃料质量是火箭质量的______倍时，火箭的最大速度可达12km/s.
答案 e6－1
解析 由题意2000ln＝12000.
∴ln＝6，从而＝e6－1.
11.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.
(1)求出V关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数.
解 (1)设V＝k·log3(k≠0)，
∵当Q＝900时，V＝1，
∴1＝k·log3，
∴k＝，∴V关于Q的函数解析式为V＝log3.
(2)令V＝1.5，则1.5＝log3，∴Q＝2700，
所以，一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量为2700个单位.
三、探究与创新
12.某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施.
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费.问：
(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明.
(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
解 设工厂每月生产x件产品时，依方案一的利润为y1，依方案二的利润为y2，由题意知
y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000，
y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.
(1)当x＝3000时，y1＝42000，y2＝54000，
∵y1＜y2，
∴应选择方案二处理污水.
(2)当x＝6000时，y1＝114000，
y2＝108000，
∵y1＞y2，
∴应选择方案一处理污水.
13.我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1表示，它们满足以下公式：L1＝10lg(单位为分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答下列问题：
(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m2，试分别求出它们的强度水平；
(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的范围为多少？
解 (1)由题意知：树叶沙沙声的强度水平为L2＝10lg＝10lg1＝0(分贝)；
耳语的强度水平为
L3＝10lg＝10lg102＝20(分贝)；
恬静的无线电广播的强度水平为
L4＝10lg＝10lg104＝40(分贝)；
(2)由题意知L1＜50，
即10lg＜50，
所以＜105，
即I＜1×10－7.
所以新建的安静小区的声音强度应小于1×10－7W/m2.
模块检测
一、选择题
1.已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，则A∩B等于( )
A.{0} B.{－1,0}
C.{0,1} D.{－1,0,1}
答案 B
解析 根据两集合交集的定义求解.
∵A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}且1?B，
∴A∩B＝{－1,0}.
2.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A.y＝x－2 B.y＝x－1
C.y＝x2－2 D.y＝logx
答案 A
解析 ∵y＝x－1是奇函数，y＝logx不具有奇偶性，故排除B，D，又函数y＝x2－2在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，故排除C，只有选项A符合题意.
3.函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A.(－2，－1) B.(－1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
答案 B
解析 ∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，∴f(－1)·f(0)＜0.又函数f(x)在(－1,0)上是连续的，故f(x)的零点所在的一个区间为(－1,0).
4.若函数f(x)＝的定义域为A，g(x)＝的定义域为B，则?R(A∪B)等于( )
A.[2，＋∞) B.(2，＋∞)
C.(0,1]∪[2，＋∞) D.(0,1)∪(2，＋∞)
答案 C
解析 由题意知，?1＜x＜2.
∴A＝(1,2).?x≤0.
∴B＝(－∞，0]，A∪B＝(－∞，0]∪(1,2)，
∴?R(A∪B)＝(0,1]∪[2，＋∞).
5.已知a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3，则a，b，c之间的大小关系是( )
A.a＜c＜b B.a＜b＜c C.b＜c＜a D.b＜a＜c
答案 D
解析 ∵a＝0.32∈(0,1)，b＝log20.3＜0，
c＝20.3＞1.∴c＞a＞b.
6.某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场发生变化，A产品连续两次提价20%，B产品连续两次降低20%，结果都以23.04元出售，此时厂家同时出售A，B产品各一件，盈亏情况为( )
A.不亏不赚 B.亏5.92元
C.赚5.92元 D.赚28.96元
答案 B
解析 由题意得，A产品原价为16元，B产品原价为36元，若厂家同时出售A，B两种产品，亏5.92元.
7.设f(x)＝则f[f(2)]( )
A.0B.1C.2D.3
答案 C
解析 ∵f(2)＝log3(22－1)＝1.
∴f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2.
8.函数f(x)是(－1,1)上的奇函数，且在(－1,1)上是减函数，若f(1－m)＋f(－m)＜0，则m的取值范围是( )
A. B.(－1,1)
C. D.(－1,0)∪
答案 A
解析 f(1－m)＜－f(－m)，∵f(x)是(－1,1)上的奇函数，∴f(1－m)＜f(m)，∴1＞1－m＞m＞－1.
解得0＜m＜，即m∈
9.若y＝f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x＋1，则f等于( )
A.7 B. C.－4 D.
答案 C
解析 ∵f(x)是奇函数，∴f＝f(－log23)＝－f(log23).又log23＞0，且x＞0时，f(x)＝2x＋1，故f(log23)＝2＋1＝3＋1＝4，∴f＝－4.
10.已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg2)＋f等于( )
A.－1 B.0 C.1 D.2
答案 D
解析 利用f(x)＋f(－x)的特殊性求解.
f(x)＋f(－x)＝ln(－3x)＋ln(＋3x)＋2＝ln(1＋9x2－9x2)＋2＝ln1＋2＝2，由上式关系知f(lg2)＋f＝f(lg2)＋f(－lg2)＝2.
二、填空题
11.计算：lg－lg＋lg－log89×log278＝________.
答案
解析 lg－lg＋lg－log89×log278
＝lg－×
＝lg10－＝1－＝.
12.函数f(x)＝＋的定义域是________.
答案 (1,2)
解析 依题意则
∴f(x)的定义域是(1,2).
13.国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超出800元部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11.2%纳税.某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为________元.
答案 3800
解析 设稿费为x元，纳税为y元.由题意可知
y＝
∵此人纳税为420元，
∴(x－800)×14%＝420，∴x＝3800.
14.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为________________.
答案 (－5,0)∪(5，＋∞)
解析 设x＜0，则－x＞0，于是f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，由于f(x)是R上的奇函数，所以－f(x)＝x2＋4x，即f(x)＝－x2－4x，且f(0)＝0，于是f(x)＝当x＞0时，由x2－4x＞x得x＞5；当x＜0时，由－x2－4x＞x得－5＜x＜0，故不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞).
三、解答题
15.计算(1)－0.5＋(0.008)÷(0.02)×(0.32)；
(2)2(lg)2＋lg·lg5＋.
解 (1)原式＝－＋÷×＝－＋25××＝－＋2＝.
(2)原式＝(lg2)2＋lg2(1－lg2)＋
＝(lg2)2＋lg2－(lg2)2＋1－lg2＝1.
16.已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x＞1}.
(1)分别求A∩B，(?RB)∪A；
(2)已知集合C＝{x|1＜x＜a}，若C?A，求实数a的取值范围.
解 (1)A＝{x|3≤3x≤27}＝{x|1≤x≤3}，
B＝{x|log2x＞1}＝{x|x＞2}.
A∩B＝{x|2＜x≤3}，
(?RB)∪A＝{x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}＝{x|x≤3}.
(2)①当a≤1时，C＝?，此时C?A；
②当a＞1时，C?A，则1＜a≤3；
综合①②，可得a的取值范围是(－∞，3].
17.已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，且f(1)＝，f(2)＝.
(1)求a，b的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明；
(3)先判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性.
解 (1)??
(2)f(x)＝2x＋2－x，f(x)的定义域为R，
f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数.
(3)函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，证明如下：
任取x1＜x2，且x1，x2∈[0，＋∞)，
f(x1)－f(x2)＝(2＋2)－(2＋2)
＝(2－2)＋＝(2－2)·，
因为x1＜x2且x1，x2∈[0，＋∞)，
所以2－2＜0,2＞1，所以f(x1)－f(x2)＜0，
所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数.
18.某专卖店经销某种电器，进价为每台1500元，当销售价定为1500元～2200元时，销售量P(台)与销售价q(元)满足
P＝
(1)当定价为每台1800元时，该专卖店的销售利润为多少？
(2)若规定销售价q为100的整数倍，当销售价q的定价为多少时，专卖店的利润最高？
解 (1)当q＝1800元时利润
w＝(1800－1500)(500－)＝42000(元)，
即定价为1800元时，该专卖店的销售利润为42000元.
(2)当1500≤q＜2000时利润
w＝(q－1500)(500－)＝－＋800q－750000
＝－(q－2000)2＋50000
∵q是100的整数倍，∴当q＝1900时，w最大＝48000(元).
当2000≤q≤2200时，利润
w＝(q－1500)(1100－)＝－＋1850q－1650000
＝－(q－1850)2＋61250
∵q是100的整数倍，
∴当q＝2000时，w最大＝50000(元)＞48000(元).
综上可得当q＝2000时，专卖店的利润最高.
1.指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化.
2.指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时函数的单调性及图象特点.
3.应用指数函数y＝ax和对数函数y＝logax的图象和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数a＞1和0＜a＜1两种情况的讨论.
4.幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为自变量，指数函数的指数为自变量.因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决.
5.理解幂函数的概念、图象和性质.
在理解幂函数的概念、图象和性质时，要对幂指数α分两种情况进行讨论，即分α＞0和α＜0两种情况.
6.比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较.
7.求含有指数函数和对数函数复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集.其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间.
8.函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及.考查形式有知式选图、知图造式、图象变换以及用图象解题.函数图象形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果.
9.解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力.一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：
题型一 有关指数、对数的运算问题
指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容.
指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等.换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用.
例1 (1)化简÷×.
(2)计算：2log32－log3＋log38－25.
解 (1)原式＝××ab＝×a×ab＝a.
(2)原式＝log34－log3＋log38－5
＝log3(4××8)－5＝log39－9＝2－9＝－7.
跟踪演练1 (1)求＋5＋16的值.
(2)已知x＞1，且x＋x－1＝6，求x－x.
解 (1)＋5＋16
＝＋2＋(24)
＝＋2＋8＝11.
(2)2＝x＋x－1－2＝6－2＝4，
又x＞1，∴x－x＞0，∴x－x＝2.
题型二 指数函数、对数函数及幂函数的图象与性质
函数的图象是研究函数性质的前提和基础，它较形象直观地反映了函数的一切性质.教材对幂函数、指数函数、对函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质，由具体到抽象的过程，突出了函数图象在研究相应函数性质时的作用.
例2 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x.
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域.
解 (1)先作出当x≥0时，f(x)＝x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象.
(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1].
跟踪演练2 (1)函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)函数y＝的图象大致是( )
答案 (1)C (2)C
解析 (1)作出两个函数的图象，利用数形结合思想求解.
g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)＝lnx与g(x)＝(x－2)2的图象(如图).由图可得两个函数的图象有2个交点.
(2)由3x－1≠0得x≠0，∴函数y＝的定义域为{x|x≠0}，可排除选项A；当x＝－1时，y＝＝＞0，可排除选项B；当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝，但从选项D的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.
题型三 比较大小
比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，其基本方法是：将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值，其主要方法可分以下三种：
(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；
(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0,1，－1等；
(3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决.
例3 设a＝log3，b＝0.2，c＝2，则( )
A.a＜b＜c B.c＜b＜a
C.c＜a＜b D.b＜a＜c
答案 A
解析 a＝log3＜0,0＜b＝0.2＜1，c＝2＞1，故有a＜b＜c.
跟踪演练3 (1)下列不等式成立的是( )
A.log32＜log23＜log25 B.log32＜log25＜log23
C.log23＜log32＜log25 D.log23＜log25＜log32
(2)已知0＜a＜1，x＝loga＋loga，y＝loga5，z＝loga－loga，则( )
A.x＞y＞z B.z＞y＞x
C.y＞x＞z D.z＞x＞y
答案 (1)A (2)C
解析 (1)由于log31＜log32＜log33，log22＜log23＜log25，即0＜log32＜1,1＜log23＜log25，所以log32＜log23＜log25.故选A.
(2)依题意，得x＝loga，y＝loga，z＝loga.又0＜a＜1，＜＜，因此有loga＞loga＞loga，即y＞x＞z.故选C.
题型四 分类讨论思想
本章常见分类讨论思想的应用如下表：
问题
讨论标准
分类情况
比较af(x)与ag(x)的大小
a与1的大小关系
(1)a＞1时，若f(x)＞g(x)，则af(x)＞ag(x)；
(2)0＜a＜1时，若f(x)＞g(x)，则af(x)＜ag(x)
解不等式af(x)＞ag(x)
a与1的大小关系
(1)a＞1时，f(x)＞g(x)；
(2)0＜a＜1时，f(x)＜g(x)
比较logax1与logax2的大小
a与1的大小关系
(1)a＞1时，若x1＞x2＞0，则logax1＞logax2；
(2)0＜a＜1时，若x1＞x2＞0，则logax1＜logax2
解不等式logaf(x)＞logag(x)
a与1的大小关系
(1)a＞1时，f(x)＞g(x)＞0；
(2)0＜a＜1时，0＜f(x)＜g(x)
例4 已知偶函数f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，f＝0，求不等式f(logax)＞0(a＞0，且a≠1)的解集.
解 ∵f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
又f＝0，
∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，f＝0.
故若f(logax)＞0，则有logax＞或logax＜－.
①当a＞1时，由logax＞或logax＜－，
得x＞或0＜x＜.
②当0＜a＜1时，由logax＞或logax＜－，
得0＜x＜或x＞.
综上可知，当a＞1时，f(logax)＞0的解集为∪(，＋∞)；
当0＜a＜1时，f(logax)＞0的解集为(0，)∪.
跟踪演练4 已知函数y＝ax2－3x＋3在x∈[1,3]时有最小值，求a的值.
解 令t＝x2－3x＋3＝2＋，
当x∈[1,3]时，t∈.
①若a＞1时，则ymin＝a＝，
解得a＝，与a＞1矛盾.
②若0＜a＜1，则ymin＝a3＝，
解得a＝，满足题意.综合①，②知，a＝.
1.函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，纵观历年高考试题，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题.
2.从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查.
章末检测
一、选择题
1.2log6＋3log6等于( )
A.0 B.1
C.6 D.log6
答案 B
解析 原式＝2×log62＋3×log63＝log66＝1.
2.函数y＝的定义域是( )
A.(－∞，2) B.(2，＋∞)
C.(2,3)∪(3，＋∞) D.(2,4)∪(4，＋∞)
答案 C
解析 利用函数有意义的条件直接运算求解.
由
得x＞2且x≠3，故选C.
3.已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α等于( )
A.0 B.1
C.2 D.3
答案 B
解析 由f(α)＝1知：log2(α＋1)＝1
∴α＋1＝2，∴α＝1.
4.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A.y＝ B.y＝e－x
C.y＝－x2＋1 D.y＝lg|x|
答案 C
解析 利用偶函数的定义及函数单调性的判断方法求解.
A项，y＝是奇函数，故排除A；
B项，y＝e－x为非奇非偶函数，故排除B；
C、D两项中的两个函数都是偶函数，且y＝－x2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y＝lg|x|在(0，＋∞)上是增函数，故选C.
5.已知幂函数f(x)满足f＝9，则f(x)的图象所分布的象限是( )
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第一、四象限 D.只在第一象限
答案 A
解析 设f(x)＝xn，则n＝9，n＝－2.
∴f(x)＝x－2，因此f(x)的图象在第一、第二象限.
6.函数y＝log2|x|的大致图象是( )
答案 D
解析 当x＞0时，y＝log2x；
当x＜0时，y＝－log2(－x).
7.已知x，y为正实数，则( )
A.2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy
B.2lg(x＋y)＝2lgx·2lgy
C.2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy
D.2lg(xy)＝2lgx·2lgy
答案 D
解析 利用指数幂及对数的运算性质逐项验证.
A项，2lgx＋lgy＝2lgx·2lgy，故错误.
B项，2lgx·2lgy＝2lgx＋lgy＝2lg(x·y)≠2lg(x＋y)，故错误；
C项，2lgx·lgy＝(2lgx)lgy，故错误.
D项，2lg(xy)＝2lgx＋lgy＝2lgx·2lgy，正确.
8.已知函数y＝g(x)的图象与函数y＝3x的图象关于直线y＝x对称，则g(2)的值为( )
A.9 B.
C. D.log32
答案 D
解析 依题意，g(x)＝log3x，
∴g(2)＝log32.
9.已知集合A＝{y|y＝log2x，x＞1}，B＝{y|y＝()x，x＞1}，则A∩B等于( )
A.{y|0＜y＜} B.{y|0＜y＜1}
C.{y|＜y＜1} D.?
答案 A
解析 ∵x＞1时，y＝log2x＞log21＝0，
∴A＝(0，＋∞)，
又∵x＞1时，y＝()x＜，
∴B＝(0，).
∴A∩B＝(0，).
10. 已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a＝－f，b＝f，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为( )
A.aC.c答案 C
解析 由题意：a＝f＝f(log25)，
且log25>log24.1>2，1<20.8<2，
因此log25>log24.1>20.8，
结合函数的单调性有：f(log25)>f>f(20.8)，
所以a>b>c，即c二、填空题
11.函数f(x)＝log(x－1)＋的定义域为________.
答案 (1,2]
解析 由题意得
即1＜x≤2，从而函数的定义域为(1,2].
12.已知函数f(x)＝则f＝________.
答案
解析 由题意，得f＝log2＝log22－2＝－2，
∴f＝f(－2)＝3－2＝.
13.设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于________.
答案
解析 由2a＝5b＝m，得a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝logm2＋logm5＝logm10.
∵＋＝2，∴logm10＝2.
∴m2＝10，即m＝.
14.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图所示.根据图中所提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室.
答案 (1)y＝ (2)0.6
解析 (1)设y＝kt，由图象知y＝kx过点(0.1,1)，
则1＝k×0.1，k＝10，
∴y＝10t(0≤t≤0.1)；
由y＝t－a过点(0.1,1)得1＝0.1－a，
∴a＝0.1，∴y＝t－0.1(t＞0.1).
(2)由t－0.1≤0.25＝得t≥0.6，
故至少需经过0.6小时.
三、解答题
15.若log2a＜0，求a的取值范围.
解 当2a＞1时，
∵log2a＜0＝log2a1，
∴＜1.
∵1＋a＞0，∴1＋a2＜1＋a，
∴a2－a＜0，∴0＜a＜1，
∴＜a＜1.
当0＜2a＜1时，
∵log2a＜0＝log2a1，
∴＞1.
∵1＋a＞0，∴1＋a2＞1＋a，
∴a2－a＞0，
∴a＜0或a＞1，与0<2a<1矛盾.
综上所述，a∈.
16.已知函数f(x)＝m－是R上的奇函数，
(1)求m的值；
(2)先判断f(x)的单调性，再证明.
解 (1)据题意有f(0)＝0，则m＝1.
(2)f(x)在R上单调递增，
证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
f(x2)－f(x1)＝－＋
＝.
∵x2＞x1，∴2＞2>0，
∴f(x2)－f(x1)＞0?f(x2)＞f(x1)，
故f(x)在R上单调递增.
17.已知x∈[－3,2]，求f(x)＝－＋1的最小值与最大值.
解 设＝t，即x＝t.
∵x∈[－3,2]，∴≤t≤8.
∵f(t)＝t2－t＋1＝2＋，≤t≤8，
∴当t＝，即x＝1时，f(x)有最小值，为；
当t＝8，即x＝－3时，f(x)有最大值，为57.
18.已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数.
(1)求a，b的值；
(2)证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数；
(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的范围.
(1)解 ∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(0)＝0，b＝1.又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.
经检验a＝1，b＝1符合题意.
(2)证明 任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
∵x1＜x2，
∴2－2＞0.
又∵(2＋1)(2＋1)＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，
∴f(x)为R上的减函数.
(3)解 ∵t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，
∴f(t2－2t)＜－f(2t2－k).
∵f(x)为奇函数，
∴f(t2－2t)＜f(k－2t2).
∵f(x)为减函数，
∴t2－2t＞k－2t2，
即k＜3t2－2t恒成立，
而3t2－2t＝32－≥－.
∴k＜－.
