§1 函数与方程
1．1 利用函数性质判定方程解的存在
学习目标 1.了解函数的零点与方程的根的关系；2.会判断函数零点的存在性；3.初步理解函数与方程思想．
知识点一 函数的零点
定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
【预习评价】
1．函数的零点是点吗？
提示 函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，因此函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的解，即函数的零点是一个实数．
2．结合所学的基本初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，思考是否所有的函数都有零点？并说明理由．
提示 不一定．因为函数的零点就是方程的根，但不是所有的方程都有根，所以说不是所有的函数都有零点．
如：指数函数，其图像都在x轴的上方，与x轴没有交点，故指数函数没有零点；对数函数有唯一一个零点．
知识点二 函数的零点、方程的根、函数图像之间的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
【预习评价】
1．若4是函数f(x)＝ax2－2log2x的零点，则a的值等于( )
A．4 B．－4
C．－ D．
解析 因为4是函数f(x)＝ax2－2log2x的零点，
所以a×42－2log24＝0，解得a＝．
答案 D
2．函数f(x)＝x2－5x的零点是________．
解析 令x2－5x＝0，解得x1＝0或x2＝5，所以函数f(x)＝x2－5x的零点是0和5．
答案 0和5
知识点三 函数零点存在性的判断
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
【预习评价】
1．若f(a)·f(b)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？
提示 不一定．如y＝x2－1在区间(－2,2)上有两个零点，但f(2)·f(－2)>0．
2．结合教材P116例3，你认为求函数零点个数的常用方法有哪些？
提示 法一 利用方程的根，转化为解方程，方程有几个根相对应的函数就有几个零点．
法二 利用函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的个数，从而判定零点的个数．
法三 结合函数的单调性．若函数在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，利用f(a)·f(b)<0，结合单调性可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．
法四 转化成两个函数图像的交点问题．
题型一 求函数的零点
【例1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；
(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；
(3)f(x)＝2x－1－3；
(4)f(x)＝．
解 (1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，
得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6．
(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，
所以函数的零点是－1．
(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26．
(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6．
规律方法 求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点．
【训练1】 函数y＝x－1的零点是( )
A．(1,0) B．0
C．1 D．不存在
解析 令y＝x－1＝0，得x＝1，故函数y＝x－1的零点为1．
答案 C
题型二 判断函数零点所在区间
【例2】 已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是( )
A．(3,4) B．(2,3)
C．(1,2) D．(0,1)
解析 ∵f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23>0，f(4)＝59>0．
∴f(1)·f(2)<0，此零点一定在(1,2)内．
答案 C
规律方法 1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图像．
2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)图像在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点．
【训练2】 函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析 ∵f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，
f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，∴f(0)·f(1)<0，∴f(x)在(0,1)内有零点．
答案 C
题型三 判断函数零点的个数
【例3】 判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
解 法一 函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图像交点个数．
在同一直角坐标系下，作出两函数的图像(如图)．
由图像知函数y＝3－x2与y＝ln x的图像只有一个交点．从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．
法二 由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，所以f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图像在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
规律方法 判断函数零点个数的方法：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一直角坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像，利用图像判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数．
【训练3】 函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数为( )
A．1 B．2
C．0 D．不能确定
解析 如图所示，分别作出y＝ln x，y＝x－2的图像，可知两函数有两个交点，即f(x)有两个零点．
答案 B
互动
探究
题型四 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的区间根问题
【探究1】 关于x的方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范围．
解 法一 (应用求根公式)
方程x2－2ax＋4＝0的两根为
x＝＝a±，
要使两根均大于1，只需较小根a－>1即可．
解得2≤a<.即实数a的取值范围是．
法二 (应用根与系数的关系)
设x1，x2为方程x2－2ax＋4＝0的两根，
则有x1＋x2＝2a，x1x2＝4.①
要使原方程x2－2ax＋4＝0的两根x1，x2均大于1，
则需满足
将①代入上述不等式组，解得2≤a<．
即实数a的取值范围是．
法三 (应用二次函数的图像)
设f(x)＝x2－2ax＋4，图像如图所示．
由图可知
解得2≤a<．
即实数a的取值范围是．
【探究2】 已知关于x的一元二方程x2＋2mx＋2m＋1＝0有两个不相等的实数根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．
解 由题意知抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图，观察图像可得：
解得－
所以m的取值范围为．
【探究3】 若关于x的方程x2＋mx＋m－1＝0有一正根和一负根，且负根的绝对值较大，求实数m的取值范围．
解 令f(x)＝x2＋mx＋m－1，其图像的对称轴为直线x＝－．
∵方程x2＋mx＋m－1＝0有一正根和一负根，且负根的绝对值较大，
∴函数f(x)＝x2＋mx＋m－1有两个零点，且两零点的和小于0.画出函数的大致图像，如图所示．
∴解得0故实数m的取值范围是(0,1)．
【探究4】 关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，求a为何值时：
(1)函数f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1有且仅有一个零点；
(2)方程的一根大于1，一根小于1．
解 (1)当a＝0时，方程变为－2x－1＝0，即x＝－，符合题意；
当a≠0时，方程为一元二次方程，由题意知方程有两个相等的实数根，
所以Δ＝12a＋4＝0.解得a＝－．
综上可知，当a＝0或a＝－时，函数f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1有且仅有一个零点．
(2)因为方程有一根大于1，一根小于1，所以图像大致如图所示．令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，
所以必须满足或
解得a>0.故当a>0时，方程一根大于1，一根小于1．
规律方法 1.在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑以下四个方面：(1)Δ与0的关系；(2)对称轴与所给端点值的关系；(3)端点的函数值与零的关系；(4)开口方向．
2．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两个实数根，则x1，x2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表所示.
根的分布
图像
等价条件
x1
k
续表
x1f(k)<0
x1，x2∈(k1，k2)
x1，x2(x1≠x2)中有且仅有一个在(k1，k2)内
f(k1)·f(k2)<0或f(k1)＝0，k1<－<或f(k2)＝0，<－课堂达标
1．函数y＝4x－2的零点是( )
A．2 B．(－2,0)
C． D．
解析 令y＝4x－2＝0，得x＝．
∴函数y＝4x－2的零点为．
答案 D
2．对于函数y=f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实数解
D．方程f(x)＝0可能无实数解
解析 ∵函数f(x)的图像在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但未必函数y＝f(x)在(－1,3)上有实数解．
答案 D
3．方程2x－x2＝0的解的个数是________．
解析 在同一直角坐标系中画出函数y＝2x及y＝x2的图像，可看出两图像有三个交点，故2x－x2＝0的解的个数为3．
答案 3
4．已知函数f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比0大，一个零点比0小，则实数a的取值范围为________．
解析 由题意可知f(0)＝a－2<0，解得a<2．
答案 (－∞，2)
5．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2＋2x＋4．
解 (1)令f(x)＝0即＝0，故x＝－3．
所以函数f(x)的零点是－3．
(2)令f(x)＝0，即x2＋2x＋4＝0，因为Δ＝4－4×4＝－12<0，所以此方程无解，故原函数无零点．
课堂小结
1．在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图像与x轴交点的横坐标．
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．
基础过关
1．下列图像表示的函数中没有零点的是( )
解析 B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点．
答案 A
2．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)
＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2．
答案 C
3．下列区间中，存在函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点的是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2，e) D．(3,4)
解析 f(1)＝ln 2－2<0，f(2)＝ln 3－1>0，故在区间(1,2)上存在函数f(x)的零点．
答案 B
4．若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，则a＝________．
解析 a＝0时，f(x)只有一个零点－1，
a≠0时，由Δ＝1＋4a＝0，得a＝－．
答案 0或－
5．设x0是方程ln x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________．
解析 令f(x)＝ln x＋x－4，
且f(x)在(0，＋∞)上递增，
∵f(2)＝ln 2＋2－4<0，f(3)＝ln 3－1>0．
∴f(x)在(2,3)内有解，∴k＝2．
答案 2
6．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点．
解 由题意得方程x2－ax－b＝0有两根2和3，
由根与系数的关系得得
∴g(x)＝－6x2－5x－1．
令g(x)＝0，得6x2＋5x＋1＝0，即
(2x＋1)(3x＋1)＝0，得x＝－或x＝－．
∴g(x)的零点为－，－．
7．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1有两个零点x1，x2，且x1∈(0,1)，x2∈(－4，－2)，求a的取值范围．
解 ∵f(x)＝ax2＋2ax＋1的图像是连续的且两零点x1，x2满足x2∈(－4，－2)，x1∈(0,1)．
∴?a<－．
∴a的取值范围为a<－．
能力提升
8．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是( )
A．－1和 B．1和－
C.和 D．－和
解析 ∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，
∴即∴g(x)＝6x2－5x－1，
∴g(x)的零点为1和－，故选B．
答案 B
9．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上的零点( )
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
解析 若a＝0，则f(x)＝ax2＋bx＋c是一次函数，由已知f(1)·f(2)<0，得只有一个零点；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若有两个零点，则应有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．故仅有一个零点．
答案 C
10．函数f(x)＝x2－2x＋a在区间(－2,0)和(2,3)内各有一个零点，则实数a的取值范围是________．
解析 函数f(x)＝x2－2x＋a在区间(－2,0)和(2,3)内各有一个零点，由二次函数图像的性质，知即解得－3答案 (－3,0)
11．如果函数f(x)＝ax－b有一个零点是3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．
解析 由f(x)＝ax－b有零点3，即3a－b＝0，b＝3a．
∴bx2＋3ax＝0，即3ax2＋3ax＝0，
∴x＝0或x＝－1．
答案 0，－1
12．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，求下列条件下，实数a的取值范围．
(1)一个零点大于1，一个零点小于1；
(2)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．
解 (1)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，
结合二次函数的单调性与零点存在定理，得f(1)＝5－2a<0，解得a>.所以a的取值范围为．
(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，
结合二次函数的单调性与零点存在定理，得解得所以a的取值范围为．
13．(选做题)已知二次函数f(x)满足：f(0)＝3，f(x＋1)＝f(x)＋2x．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)令g(x)＝f(|x|)＋m(m∈R)，若函数g(x)有4个零点，求实数m的取值范围．
解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝3，
∴c＝3，∴f(x)＝ax2＋bx＋3．
f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋3
＝ax2＋(2a＋b)x＋(a＋b＋3)，
f(x)＋2x＝ax2＋(b＋2)x＋3，
∵f(x＋1)＝f(x)＋2x，
∴解得a＝1，b＝－1，
∴f(x)＝x2－x＋3．
(2)由(1)，得g(x)＝x2－|x|＋3＋m，
在平面直角坐标系中，画出函数g(x)的图像，如图所示，
由于函数g(x)有4个零点，则函数g(x)的图像与x轴有4个交点．
由图像得
解得－3即实数m的取值范围是．
1．2 利用二分法求方程的近似解
学习目标 1.能用二分法求出方程的近似解；2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．
知识点一 二分法的定义
对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．
【预习评价】
1．用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？
提示 前提条件：
(1)f(x)在区间[a，b]上的图像连续不断．
(2)在区间[a，b]端点的函数值f(a)·f(b)<0．
2．所有函数的零点都可以用二分法求出吗？
提示 不是，例如函数y＝(x＋)2的零点－就无法用二分法求出．
知识点二 用二分法求方程近似解的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))．
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
【预习评价】
1．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
解析 ∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，
f(－2)·f(1)<0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．
答案 A
2．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
解析 因为f(0)<0，f(0.5)>0，所以f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5)，利用二分法，则第二次应计算f＝f(0.25)．
答案 (0,0.5) f(0.25)
题型一 二分法概念的理解
【例1】 下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
解析 按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图像可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图像经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A．
答案 A
规律方法 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图像在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合．
【训练1】 下列函数中能用二分法求零点的为( )
解析 函数图像连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图像，只有B选项符合．
答案 B
典例迁移
题型二 用二分法求方程的近似解
【例2】 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．
解 令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，
f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数解所在的区间，如下表：
(a，b)
中点c
f(a)
f(b)
f
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625,0.75)
0.687 5
f(0.625)<0
f(0.75)>0
f(0.687 5)<0
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5．
【迁移1】 (变换条件)本例变为：根据下表，用二分法求函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点的近似值(精确度0.1)是________.
f(1)＝－1
f(2)＝3
f(1.5)＝－0.125
f(1.75)＝1.109 375
f(1.625)＝0.416 015 625
f(1.562 5)＝0.127 197 265
解析 由表中数据知f(1.5)·f(2)<0，f(1.5)·f(1.562 5)<0，
所以函数零点在区间(1.5,1.562 5)上，
又因为|1.562 5－1.5|＝0.062 5<0.1，
所以函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点的近似值可以取1.5.故填1.5．
答案 1.5
【迁移2】 (变换条件)(本例变为)用二分法求2x＋x＝4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2)．参考数据：
x
1.125
1.25
1.375
1.5
1.625
1.75
1.875
2x
2.18
2.38
2.59
2.83
3.08
3.36
3.67
解 令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4<0，
f(2)＝22＋2－4>0.
区间
区间中点值xn
f(xn)的值及符号
(1,2)
x1＝1.5
f(x1)＝0.33>0
(1,1.5)
x2＝1.25
f(x2)＝－0.37<0
(1.25,1.5)
x3＝1.375
f(x3)＝－0.035<0
∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，
∴2x＋x＝4在[1,2]内的近似解可取为1.375．
【迁移3】 (变换条件)若本例改为“试判断函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1在[－2，－1]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)”又如何求解呢？
解 因为f(－1)>0，f(－2)<0，且函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的图像是连续的曲线，根据函数零点的存在性定理可知，它在区间[－2，－1]内有零点，用二分法逐步计算，列表如下：
端点(中点)
端点或中点的函数值
取值区间
f(－1)>0，f(－2)<0
(－2，－1)
x0＝＝－1.5
f(x0)＝4.375>0
(－2，－1.5)
x1＝＝－1.75
f(x1)≈2.203>0
(－2，－1.75)
x2＝＝－1.875
f(x2)≈0.736>0
(－2，－1.875)
x3＝＝－1.937 5
f(x3)≈－0.097 4<0
(－1.937 5，－1.875)
由于|－1.875＋1.937 5|＝0.062 5<0.1，所以函数在区间[－2，－1]内的一个近似零点可取为－1.937 5．
规律方法 1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图像估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
2．二分法求函数零点步骤的记忆口诀
定区间，找中点；中值计算两边看．
同号丢，异号算，零点落在异号间．
重复做，何时止，精确度来把关口．
课堂达标
1．下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的近似值的是( )
答案 B
2．已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：
x
0
1
2
3
f(x)
3.1
0.1
－0.9
－3
那么函数f(x)一定存在零点的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3，＋∞)
答案 B
3．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是______________ ．
解析 令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝23－2×2－5＝－1<0，f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝5.625>0，
∴下一个有根的区间是(2,2.5)．
答案 (2,2.5)
4．已知方程mx2－x－1＝0在区间(0,1)内恰有一解，则实数m的取值范围是________．
解析 设函数f(x)＝mx2－x－1，
因为方程mx2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，
所以当m＝0时，方程－x－1＝0在(0,1)内无解，
当m≠0时，由f(0)f(1)<0，
即－(m－1－1)<0，解得m>2．
答案 (2，＋∞)
5．用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间(1,1.5)内的一个零点(精确度为0.1)．
解 f(1)＝－1<0，f(1.5)＝－－1＝>0，
f(1.25)＝－－1<2－－1＝－<0，
故零点在(1.25,1.5)内，此时|1.5－1.25|＝0.25>0.1；
f(1.375)>0，所以零点在区间(1.25,1.375)内，
此时|1.375－1.25|＝0.125>0.1；
又f(1.312 5)<0，所以零点在区间(1.312 5,1.375)内，此时|1.375－1.312 5|＝0.062 5<0.1，
故f(x)＝x3－x－1在区间(1,1.5)内的一个零点可取x＝1.312 5．
课堂小结
1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．并非所有函数都可以用二分法求出其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·f(b)<0．
上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值．
基础过关
1．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
解析 能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0.而x3两边的函数值都小于零，不符合二分法求零点的条件，故选C．
答案 C
2．用二分法求函数零点的近似值适合于( )
A．变号零点 B．不变号零点
C．都适合 D．都不适合
答案 A
3．下列关于二分法的叙述正确的是( )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只有求函数零点时才用二分法
解析 只有函数的图像在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错．二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错．求方程的近似解也可以用二分法，故D错．
答案 B
4．在用二分法求方程f(x)＝0在区间[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1)．
解析 0.75－0.687 5＝0.062 5<0.1，又精确度为0.1，故可取近似解为0.75．
答案 0.75
5．设函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不间断曲线，且f(a)·f(b)<0，取x0＝，若f(a)·f(x0)<0，则利用二分法求方程根时取有根区间为________．
解析 由于f(a)·f(x0)<0，则(a，x0)为有根区间．
答案 (a，x0)
6．求方程ln x＋x－3＝0在(2,3)内的近似解(精确度为0.1)．
解 令f(x)＝ln x＋x－3，求函数f(x)＝0在(2,3)内的零点．
∵f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，取(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
(2,3)
2.5
0.416
(2,2.5)
2.25
0.061
(2,2.25)
2.125
－0.121
(2.125,2.25)
2.187 5
－0.030
∵2.25－2.187 5＝0.062 5<0.1，
∴在区间(2.187 5,2.25)内任意实数都是函数的零点的近似值，即方程的近似解可取为2.25．
7．已知函数f(x)＝2(m－1)x2－4mx＋2m－1，若f(x)的图像与x轴只有一个交点，求m值．
解 当m－1＝0，即m＝1时，f(x)＝－4x＋1，
满足函数图像与x轴只有一个交点．
当m－1≠0，即m≠1时，函数图像与x轴只有一个交点等价于方程2(m－1)x2－4mx＋2m－1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝16m2－8(m－1)(2m－1)＝0，解得m＝．
所以当m＝1或m＝时，f(x)的图像与x轴只有一个交点．
能力提升
8．设方程2x＋2x＝10的根为β，则β属于( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析 设f(x)＝2x＋2x－10，则f(x)在R上为单调增函数，故只有一个零点．f(0)＝－9，f(1)＝－6，
f(2)＝－2，f(3)＝4，∴f(2)·f(3)<0.∴β∈(2,3)．
答案 C
9．函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.437 5)＝0.162
f(1.406 25)＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为( )
A．1.2 B．1.3
C．1.4 D．1.5
解析 ∵f(1.437 5)＝0.162，f(1.406 25)＝－0.054，
∴f(1.437 5)·f(1.406 25)<0，
即方程有一个近似解在(1.406 25,1.437 5)内．
又∵方程的解精确到0.1，∴可取方程近似解为1.4．
答案 C
10．用二分法求方程x3－8＝0在区间[2,3]内的近似解经过________次“二分”后精确度能达到0.01．
解析 设n次“二分”后精确度达到0.01，
区间(2,3)的长度为1，∴<0.01，即2n>100．
注意到26＝64<100,27＝128>100．
故要经过7次二分后精确度能达到0.01．
答案 7
11．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)＝0.200
f(1.587 5)＝0.133
f(1.575 0)＝0.067
f(1.562 5)＝0.003
f(1.556 2)＝－0.029
f(1.550 0)＝－0.060
根据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度0.01)为________．
解析 由图表知f(1.562 5)＞0，f(1.556 2)＜0，
所以f(x)＝3x－x－4的一个零点在区间(1.556 2，1.562 5)上，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为1.562 5.
答案 1.562 5
12．求函数y＝2x＋3x－7的近似零点(精确度为0.1)．
解 设f(x)＝2x＋3x－7，根据二分法逐步缩小方程的解所在的区间．
经计算，f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，所以函数f(x)＝2x＋3x－7在（1,2）内存在零点，
即方程2x＋3x－7＝0在（1,2）内有解．
取（1,2）的中点1.5；经计算，f(1.5)≈0.33>0，
又f(1)＝－2<0，所以方程2x＋3x－7＝0在（1,1.5）内有解．
如此下去，得到方程2x＋3x－7＝0实数解所在的区间，如下表：
左端点
右端点
第1次
1
2
第2次
1
1.5
第3次
1.25
1.5
第4次
1.375
1.5
第5次
1.375
1.437 5
由表可以看出，区间(1.375,1.437 5)内的所有值，精确到0.1时，都是1.4，
所以1.4是函数y＝2x＋3x－7的近似零点．
13．(选做题)证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度为0.1)
解 设函数f(x)＝2x＋3x－6，
因为f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，
又因为f(x)在R上是增函数，
所以函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，
设该解为x0，则x0∈[1,2]，
取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，
f(1)·f(1.5)<0，所以x0∈(1,1.5)，
取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，所以x0∈(1,1.25)，取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.444<0，
f(1.125)·f(1.25)<0，所以x0∈(1.125,1.25)，
取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0．
所以f(1.187 5)·f(1.25)<0，
所以x0∈(1,187 5,1.25)，
因为|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，
所以1.187 5可作为这个方程的实数解．
§2 实际问题的函数建模
学习目标 1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点)；2.能建立函数模型解决实际问题(重、难点)．
预习教材P120－129完成下列问题：
知识点一 常见函数模型
常用函数模型
(1)一次函数模型
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型
y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型
y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型
y＝
【预习评价】
1．(1)斜率k的取值是如何影响一次函数的图像和性质的？
(2)在幂函数模型的解析式中，α的正负如何影响函数的单调性？
提示 (1)k>0时直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k<0时直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小．(2)当x>0，α>0时，函数的图像在第一象限内是上升的，在(0，＋∞)上为增函数；当x>0，α<0时，函数的图像在第一象限内是下降的，在(0，＋∞)上为减函数．
2．(1)依据散点图选择函数模型时主要依据函数的什么性质？
(2)数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？
提示 (1)主要依据函数的单调性及函数值增长速度的快慢．(2)因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图
选择我们比较熟悉的、最简单的函数进行拟合，但用得到的函数进行估计时，可能误差较大或不切合客观实际，此时就要再改选其他函数模型．
知识点二 解决函数应用问题的基本步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．
这些步骤用框图表示如图：
【预习评价】
1．某种放射性元素的原子数y随时间x的变化规律是y＝1 024e－5x，则( )
A．该函数是增函数 B．该函数是减函数
C．x＝－lg D．当x＝0时，y＝1
解析 显然该函数是减函数，B正确，C，D变形或求值错误．
答案 B
2．某物体一天内的温度T是时间t的函数T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是h，温度单位为℃，t＝0时表示中午12：00，则上午8：00时的温度为________℃．
解析 由于t＝0时表示中午12：00，则上午8：00时t＝－4，代入函数T(t)＝t3－3t＋60中，可得T(－4)＝8．
答案 8
题型一 一次函数、二次函数模型
【例1】 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )
A．30元 B．42元
C．54元 D．越高越好
解析 设每天获得的利润为y元，则
y＝(x－30)(162－3x)＝－3(x－42)2＋432，
∴当x＝42时，获得利润最大，应定价为42元．
答案 B
规律方法 一次函数、二次函数均是重要的函数模型，特别是二次函数模型在函数建模中占有重要的地位．利用二次函数求最值时要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．
【训练1】 某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元 B．300元
C．290元 D．280元
解析 由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b(a≠0)，将(1,800)，(2,
1 300)代入，得a＝500，b＝300.当销售量为x＝0时，y＝300．
答案 B
题型二 指数型函数、对数型函数模型
【例2】 某城市2009年底人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答以下问题：
(1)写出经过x年后，该城市人口总数y(万人)与x(年)的函数关系；
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算经过多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)．
(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301 0，lg 1.012≈0.005)．
解 (1)2009年底人口总数为100万人，
经过1年，2010年底人口总数为100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，
经过2年，2011年底人口总数为100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，
经过3年，2012年底人口总数为100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3，
……
所以经过x年后，该城市人口总数为100×(1＋1.2%)x，
所以y＝100×(1＋1.2%)x．
(2)10年后该城市人口总数为
100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)．
(3)由题意得100×(1＋1.2%)x>120，
两边取常用对数得lg[100×(1＋1.2%)x]>lg 120，
整理得2＋xlg 1.012>2＋lg 1.2，得x≥16，
所以大约16年以后，该城市人口将达到120万人．
规律方法 指数型函数模型：y＝max＋b(a>0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．对数型函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．
【训练2】 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解 (1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log2．
解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入公式得：
v＝5log2＝5log28＝15(m/s)，
即当一只燕子的耗氧量为80个单位时，飞行速度为15 m/s．
题型三 分段函数模型
【例3】 如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD＝2，BC＝1，∠BAD＝45°，直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N，记AM＝x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域和值域．
解 如图，过B，C分别作AD的垂线，垂足分别为H和G，
则AH＝，AG＝，
当M位于H左侧时，AM＝x，MN＝x，
∴y＝S△AMN＝x2,0≤x<．
当M位于H，G之间时，y＝AH·HB＋HM·MN＝××＋×＝x－，≤x<．
当M位于G，D之间时，y＝S梯形ABCD－S△MDN＝××(2＋1)－(2－x)(2－x)＝－x2＋2x－，≤x≤2．
∴所求函数的关系式为
y＝
∴函数的定义域为[0,2]，值域为．
规律方法 1.分段函数模型是日常生活中常见的函数模型．对于分段函数，一要注意规范书写格式；二要注意各段的自变量的取值范围，对于中间的各个分点，一般是“一边闭，一边开”，以保证在各分点的“不重不漏”．
2．解决分段函数问题需注意几个问题：(1)所有分段的区间的并集就是分段函数的定义域．(2)求分段函数的函数值时，先要弄清自变量在哪个区间内取值，然后再用该区间上的解析式来计算函数值．(3)一般地，分段函数由几段组成，必须注意考虑各段的自变量的取值范围．
【训练3】 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：
f(x)＝
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5 min与开讲后20 min比较，学生的接受能力何时强一些？
(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？
解 (1)当0f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9．
故f(x)在(0,10]上单调递增，最大值为
f(10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；
当16f(x)<－3×16＋107＝59．
因此，开讲后10 min，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min．
(2)f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，f(20)＝－3×20＋107＝47<53.5＝f(5)．
因此，开讲后5 min学生的接受能力比开讲后20 min强一些．
(3)当0则－0.1×(x－13)2＝－4.9，(x－13)2＝49．
所以x＝20或x＝6.但0故x＝6．
当16所以x＝17．
因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为
17－6＝11<13(min)，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题.
互动
探究
题型四 拟合函数模型的应用
【探究1】 图中一组函数图像，它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配：
情境A：一份30分钟前从冰箱里取出来，然后被放到微波炉里加热，最后放到餐桌上的食物的温度(将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻)；
情境B：一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值(它被一个爱好者收藏，并且被保存得很好)；
情境C：从你刚开始放水洗澡，到你洗完后把水排掉这段时间浴缸里水的高度；
情境D：根据乘客人数，每辆公交车一趟营运的利润．
其中情境A，B，C，D分别对应的图像是________．
解析 对于A，加热时升温快，然后再变凉，易知为①；对于B，这时的物品价值先下降，直到收藏后价值才会升值，因此显然为③；对于C，由于洗澡一般是间歇性用水，所以易知水高度函数图像有多重折线，因此显然为④；对于D，乘客人数越多，利润越大，显然是②．
答案 ①③④②
【探究2】 环境污染已经严重危害人们的健康，某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表：
月数
1
2
3
4
…
污染度
60
31
13
0
…
污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模型从整治后第一个月开始工厂的污染模式：
f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝(x－4)2(x≥1)，h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度．
问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由．
解 用h(x)模拟比较．理由：因为f(2)＝40，g(2)≈26.7，h(2)＝30，f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5．
由此可得h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理．
【探究3】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示.
年序
最大积雪深度x/cm
灌溉面积y/hm2
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
(1)描点画出灌溉面积y(hm2)随积雪深度x(cm)变化的图像；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y＝f(x)，并画出图像；
(3)根据所建立的函数模型，求最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉的土地数量．
解 (1)描点作图如图甲．
(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝ax＋b(a≠0)．
取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24,0,45.8)，
代入y＝ax＋b，得
用计算器可算得a≈1.8，b≈2.4．
这样，我们得到一个函数模型y＝1.8x＋2.4．
作出函数图像如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．
(3)由y＝1.8×25＋2.4，求得y＝47.4，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4 hm2．
规律方法 对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤：
(1)根据原始数据，绘出散点图；
(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据．
课堂达标
1．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.
时间
1
2
3
4
利润(千元)
2
3.98
8.01
15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型应是下列函数中的( )
A．y＝log2x B．y＝2x
C．y＝x2 D．y＝2x
解析 逐个检验可得答案为B．
答案 B
2．一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是( )
A．y＝2t B．y＝120t
C．y＝2t(t≥0) D．y＝120t(t≥0)
答案 D
3．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中．测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
解析 由M＝lg A－lg A0知，M＝lg 1 000－lg 0.001＝6，所以此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2，则lg＝lg A1－lg A2＝(lg A1－lg A0)－
(lg A2－lg A0)＝9－5＝4.所以＝104＝10 000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．
答案 6 10 000
4．用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________m2．
解析 设矩形的一边长为x m，
则与这条边垂直的边长为m，
所以矩形面积S＝x·＝－x2＋6x(0当x＝3 m时，S最大＝9 m2．
答案 9
5．我国1999年至2002年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
年份
1999
2000
2001
2002
x/年
0
1
2
3
生产总值
8.206 7
8.944 2
9.593 3
10.239 8
(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较．
解 (1)画出函数图形，如图．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上．
设所求的函数为y＝kx＋b(k≠0)，
把直线通过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，
解方程组，可得k＝0.677 7，b＝8.206 7．
因此，所求的函数关系式为
y＝f(x)＝0.677 7x＋8.206 7．
(2)由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为f(1)＝0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4，
f(2)＝0.677 7×2＋8.206 7＝9.562 1．
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．
课堂小结
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．
4．根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示．
基础过关
1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是( )
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝2x D．y＝2x＋1
解析 分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x次后y＝2x＋1个．
答案 D
2．某厂日产手套的总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200副 B．400副
C．600副 D．800副
解析 由5x＋4 000≤10x，得x≥800，即日产手套至少800副才不亏本．
答案 D
3．某种商品零售价2015年比2014年上涨25%，欲控制2016年比2014年上涨10%，则2016年比2015年应降价( )
A．15% B．12%
C．10% D．50%
解析 设2016年比2015年降价x，则有关系式
(1＋25%)(1－x)＝1＋10%，
∴(1－x)＝，∴x＝0.12.故选B．
答案 B
4．已测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．
解析 对于甲：x＝3时，y＝32＋1＝10，
对于乙：x＝3时，y＝8，因此用甲作为拟合模型较好．
答案 甲
已知元素“碳14”每经过5 730年其质量就变成原来的一半．现有一文物，测得其中“碳14”的残存量为原来的41%，此文物距现在约有________年(注：精确到个位，
lg 2≈0.301 0，lg 4.1≈0.613)．
解析 设距现在为x年，则有＝41%，两边取对数，利用计算器可得x≈7 400．
答案 7 400
6．某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为200元，每桶水进价为5元，销售单价与日销售量的关系如下表：
销售单价(元)
6
7
8
9
10
11
12
日销售量(桶)
480
440
400
360
320
280
240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？最大利润是多少？
解 设每桶水在进价的基础上上涨x元，利润为y元，由表格中的数据可以得到，价格每上涨1元，日销售量就减少40桶，所以涨价x元后，日销售的桶数为480－40(x－1)＝520－40x>0，所以0则利润y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200＝－402＋1 490，其中0所以当x＝6.5时，利润最大，
即当每桶水的价格为11.5元时，利润最大值为1 490元．
7．国庆期间，某旅行社团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达规定人数75为止．旅行社需付给航空公司包机费每团15 000元．
(1)写出飞机票的价格y(单位：元)关于人数x(单位：人)的函数关系式；
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解 (1)由题意，得y＝
即y＝
(2)设旅行社获利S元，则
S＝
即S＝
因为S＝900x－15 000在区间(0,30]上为增函数，
所以当x＝30时，S取最大值12 000元，
又S＝－10(x－60)2＋21 000在区间(30,75]上，
当x＝60时，S取得最大值21 000．
故当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润．
能力提升
8．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，解析式是( )
A．x＝60t
B．x＝60t＋50t
C．x＝
D．x＝
解析 应分三段建立函数关系，当0≤t≤2.5时，x＝60t；
当2.5当3.5答案 C
9．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kx.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为( )
A．125 B．100
C．75 D．50
解析 由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝．
设经过t1天后，一个新丸体积变为a，则
a＝a·e－kt1，
∴＝(e－k)t1＝，∴＝，t1＝75．
答案 C
10．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品产量为________万件．
解析 由得
∴y＝－2×0.5x＋2，
∴3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75万件．
答案 1.75
11．如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系y＝at，有以下几种说法：
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2；
③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等．
其中正确的命题序号是________．
解析 由图像知，t＝2时，y＝4，∴a2＝4，故a＝2，①正确；
当t＝5时，y＝25＝32>30，②正确；
当y＝4时，由4＝2t1知t1＝2，
当y＝12时，由12＝2t2知t2＝log212＝2＋log23．
t2－t1＝log23≠1.5，③错误；
浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．
答案 ①②
12．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃时，需要多少时间？
解 由题意知40－24＝(88－24)·，
即＝，解得h＝10．
故T－24＝(88－24)·．
当T＝35时，代入上式，得
35－24＝(88－24)·，即＝．
两边取对数，用计算器求得t≈25．
因此，约需要25 min，可降温到35 ℃．
13．(选做题)今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)间的关系为P＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．
(1)求常数k的值；
(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln 0.2≈
－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11.)．
解 (1)由已知，当t＝0时，P＝P0；
当t＝5时，P＝90%P0．
于是有90%P0＝P0e－5k．
解得k＝－ln 0.9(或0.022)．
(2)由(1)得，P＝P0et．
当P＝40%P0时，有0.4P0＝P0et．
解得t＝≈＝≈41.82．
故污染物减少到40%至少需要42小时．
章末复习课
网络构建
核心归纳
知识点一 函数的零点
1．对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)的零点．
2．方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
3．函数的零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]内若不连续，则f(a)·f(b)<0与函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即：零点存在定理仅对连续函数适用)．
(2)连续函数y＝f(x)若满足f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点不一定使f(a)·f(b)<0成立，若y＝f(x)为单调函数，则一定有f(a)·f(b)<0．
知识点二 二分法
二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验．
知识点三 函数的应用
解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面．求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为
要点一 函数的零点
根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有根，有几个根．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图像与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视．
【例1】 在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A. B．
C． D．
解析 ∵f＝e－－4<0，f(0)＝e0＋4×0－3＝－2<0，f＝e－2<0，f＝e－1>0，f＝e>0，∴f·f<0．
答案 C
【训练1】 设函数y＝x3与y＝x－2的图像的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析 设g(x)＝x3－22－x，则g(0)＝－4，g(1)＝－1，g(2)＝7，g(3)＝26，g(4)＝63，
显然g(1)·g(2)<0，于是函数g(x)的零点在(1,2)内，即y＝x3与y＝x－2的图像的交点在(1,2)内．
答案 B
要点二 二分法及其应用
二分法是把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而求零点近似值的方法．它适合于：①函数y＝f(x)的图像在[a，b]上连续，②f(a)·f(b)<0.同时满足这两个条件，才能利用二分法求函数零点的近似值．
【例2】 利用计算器求方程lg x＝3－x的近似解(精确度0.1)．
解 作出函数y1＝lg x与y2＝3－x的图像，如图所示．
由图可以发现方程lg x＝3－x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2,3)内．
设f(x)＝lg x＋x－3，用计算器计算得：
f(2)<0，f(3)>0?x1∈(2,3)；
f(2.5)<0，f(3)>0?x1∈(2.5,3)；
f(2.5)<0，f(2.75)>0?x1∈(2.5,2.75)；
f(2.5)<0，f(2.625)>0?x1∈(2.5,2.625)；
f(2.562 5)≈－0.028 8<0，f(2.625)≈0.044 1>0?x1∈(2.562 5,2.625)．
∵|2.625－2.562 5|＝0.062 5<0.1，
∴原方程的近似解可取为2.562 5．
【训练2】 用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则下一个含根的区间是________．
解析 令f(x)＝ln x－2＋x，取区间[1,2]的中点．
f＝ln－2＋＝ln－<0，
f(1)＝ln 1－2＋1＝－1<0，f(2)＝ln 2－2＋2＝ln 2>0，
所以f(2)·f<0．
所以下一个含根的区间是．
答案
要点三 函数模型及应用
针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画．这当然需要我们深刻理解基本函数的图像和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识．对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图像的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果．
【例3】 某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：
第t天
4
10
16
22
Q(万股)
36
30
24
18
(1)根据提供的图像，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；
(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；
(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？
解 (1)由图像知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，容易求得直线方程为P＝t＋2；
从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，求得方程为P＝－t＋8，
故P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式为：
P＝
(2)由图表易知Q与t满足一次函数关系，
即Q＝－t＋40,0≤t≤30，t∈N*．
(3)由(1)(2)可知
y＝
＝
当0≤t≤20，t＝15时，ymax＝125，
当20所以在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元．
【训练3】 某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系用如图所示的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的函数关系是Q＝－t＋40(0(1)根据提供的图像，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；
(2)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)．
解 (1)根据图像，可得
P＝
(2)设日销售额为y元，
则y＝P·Q
即有y＝
①若0②若25≤t≤30，t∈N*，则当t＝25时，ymax＝1 125．
故第25天的日销售金额最大，最大值为1 125元.
考查
方向
要点四 体现在函数与方程中的数学思想
方向1 数形结合思想
在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，就是使抽象思维与形象思维联系起来，实现抽象概念与具体图像之间的相互转化，即数量关系转化为图像的性质或者把图像的性质转化为数量关系来研究．本章数形结合思想主要体现在判断函数零点的个数或零点所在的大致区间．
【例4－1】 已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则k的取值范围是________．
解析 易知函数f(x)的图像如图所示：
由图可知0答案 (0，1)
方向2 方程思想
当一个问题可以与某个方程建立关联时，构造方程并对方程的性质进行研究，由此解决这个问题，这就是方程思想．本章方程思想的应用主要体现在：由求方程f(x)＝0的实数根确定函数y＝f(x)的零点，即求函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．
【例4－2】 求下列函数的零点．
(1)f(x)＝x3＋1；(2)f(x)＝．
解 (1)f(x)＝x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)．
令(x＋1)(x2－x＋1)＝0，
解得x＝－1．
∴函数f(x)＝x3＋1的零点是－1．
(2)令f(x)＝＝＝0，
解得x＝－1．
∴函数f(x)＝的零点是－1．
方向3 转化与化归思想
转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程；化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题．在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的．
【例4－3】 设a∈R，试讨论关于x的方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)的实根的个数．
解 原方程等价于
?
整理得－x2＋5x－3＝a(1在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝a，及y＝－x2＋5x－3，x∈(1,3)的图像，如图所示．
(1)当a>或a≤1时，两个函数的图像无交点，故原方程无实数根；
(2)当a＝或1(3)当3章末检测(四)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)
1．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(e,3) D．(e，＋∞)
解析 f(2)＝ln 2－＝ln 2－1<1－1＝0，f(3)＝ln 3－>1－＝>0.故零点所在区间为(2,3)．
答案 B
2．当x∈(2,4)时，下列关系正确的是( )
A．x2<2x B．log2xC．log2x< D．2x解析 当x∈(2,4)时，x2∈(4,16)，2x∈(4,16)，log2x∈(1,2)，∈，显然C，D不正确，对于选项A，若x＝3时，x2＝9>23，故A也不正确．
答案 B
3．设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是( )
A．[0,1] B．[1,2]
C．[－2，－1] D．[－1,0]
解析 因为f(－1)＝3－1－1<0，f(0)＝30－0＝1>0，所以f(－1)·f(0)<0．
答案 D
4．某市的出租车的收费标准如下：3千米以内收费6元；3千米到10千米部分每千米加收1.3元；10千米以上的部分每千米加收1.9元．那么出租车收费y(元)与行驶的路程x(千米)之间的函数关系用图像表示为( )
解析 根据题意可得出租车收费y(元)与行驶的路程x(千米)之间的函数关系y＝
画出函数图像，知B正确．
答案 B
5．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是( )
A．分段函数 B．二次函数
C．指数函数 D．对数函数
解析 由图像知，在不同的时间段内，行驶路程的折线图不同，故对应函数模型应为分段函数．
答案 A
6．设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，则m不可能等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 在同一坐标系中分别画出函数y1＝|x2－3|和y2＝a的图像，如图所示．
可知方程解的个数为0,2,3或4，不可能有1个解．
答案 A
7．若实数a，b，c是图像连续不断的函数y＝f(x)定义域中的三个数，且满足aA．2 B．奇数
C．偶数 D．至少2个
解析 由f(a)·f(b)<0知，y＝f(x)在(a，b)上至少有一零点，由f(c)·f(b)<0知，y＝f(x)在(b，c)上至少有一零点，y＝f(x)在(a，c)上至少有2个零点．
答案 D
8．某企业2016年12月份的产值是这年1月份产值的P倍，则该企业2016年度产值的月平均增长率为( )
A. B．－1
C． D．
解析 设1月份产值为a，增长率为x，则aP＝a(1＋x)11，∴x＝－1．
答案 B
9．下列函数中随着x的增大其增大速度最快的是( )
A．y＝0.001ex B．y＝1 000ln x
C．y＝x1 000 D．y＝1 000·2x
解析 增大速度最快的应为指数型函数，
又因为e≈2.718>2，故y＝0.001ex增大速度最快．
答案 A
10．有浓度为90%的溶液100 g，从中倒出10 g后再倒入10 g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )
A．19 B．20
C．21 D．22
解析 操作次数为n时的浓度为n＋1，由n＋1<10%，得n＋1>＝≈21.8，所以n≥21．
答案 C
11．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是( )
A．a<αC．α解析 因为α，β是函数f(x)的两个零点，
所以f(α)＝f(β)＝0．
又f(a)＝f(b)＝－2<0，结合二次函数的图像(如图所示)可知a，b必在α，β之间．
答案 C
12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
解析 由题意，可用特殊值法求解，当x＝17时，A选项错误，当x＝16时，＝2，＝2，所以C，D选项错误，故选B．
答案 B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
13．用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．
解析 设f(x)＝x3－6x2＋4，
显然f(0)>0，f(1)<0，
又f＝3－6×2＋4>0，
所以下一步可断定方程的根所在的区间为．
答案
14．已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为________．
解析 ∵－a＝x2＋x在(0,1)上有解，
又y＝x2＋x＝2－，
∴函数y＝x2＋x，x∈(0,1)的值域为(0,2)，
∴0<－a<2，∴－2答案 (－2,0)
15．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝0.1x2－11x＋3 000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x等于____________．
解析 设产量为x台，利润为S万元，
则S＝25x－y＝25x－(0.1x2－11x＋3 000)
＝－0.1x2＋36x－3 000
＝－0.1(x－180)2＋240，
则当x＝180时，生产者的利润取得最大值．
答案 180台
16．已知函数f(x)＝其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
解析 如图，
当x≤m时，f(x)＝|x|．
当x＞m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，
在(m，＋∞)为增函数．
若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，
则m2－2m·m＋4m＜|m|．
∵m＞0，∴m2－3m＞0，解得m＞3．
答案 (3，＋∞)
三、解答题(本大题共6个小题，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝x－1＋x2－2，试利用基本初等函数的图像，判断f(x)有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间．(各区间长度不超过1)．
解 由f(x)＝0，得x－1＝－x2＋2.令y1＝x－1，y2＝－x2＋2，在同一直角坐标系中分别画出它们的图像(如图所示)，
其中抛物线的顶点坐标为(0,2)，与x轴的交点分别为(－2,0)，(2,0)，y1与y2的图像有3个交点，由此可知函数f(x)有3个零点．设函数y1＝x－1与y2＝－x2＋2图像三个交点的横坐标从左往右分别为x1，x2，x3，即函数f(x)的三个零点分别为x1，x2，x3，
因为f(－3)＝＋×9－2>0，f(－2)＝＋×4－2<0，即x1∈(－3，－2)，同理x2∈(0,1)，x3∈(1,2)．
18．(12分)若二次函数f(x)＝－x2＋2ax＋4a＋1有一个零点小于－1，一个零点大于3，求实数a的取值范围．
解 因为二次函数f(x)＝－x2＋2ax＋4a＋1的图像开口向下，且在区间(－∞，－1)，(3，＋∞)内各有一个零点，所以
即
即解得a>．
即实数a的取值范围是．
19．(12分)旅行社为某旅游团包飞机旅游，其中旅行社的包机费为15 000元．旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数为30人或30人以下，每张飞机票的价格为900元；若旅游团的人数多于30人，则给予优惠，每多1个，每张机票的价格减少10元，但旅游团的人数最多有75人．
(1)写出飞机票的价格关于旅游团的人数的函数关系式．
(2)旅游团的人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解 (1)设旅游团人数为x，飞机票价格为y元．当30(2)设利润函数为f(x)，则f(x)＝y·x－15 000
＝
当1≤x≤30时，f(x)max＝f(30)＝12 000；
当3012 000．
故旅游团的人数为60时，旅行社可获得最大利润．
20．(12分)已知函数f(x)＝x2－bx＋3．
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点．
(2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的范围．
解 (1)因为f(0)＝f(4)，所以3＝16－4b＋3，
即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，
令f(x)＝0即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1．
所以f(x)的零点是1和3．
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．
需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4．
即b的范围为(4，＋∞)．
21．(12分)某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的产量y与月份数x的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问以上哪个函数作为模拟函数较好，说明理由．
解 设y1＝f(x)＝px2＋qx＋r(p≠0)，
则所以
故f(4)＝1.3．
又设y2＝g(x)＝a·bx＋c，类似可得a＝－0.8，b＝0.5，c＝1.4，得g(4)＝1.35．
经比较可知，用y＝－0.8·0.5x＋1.4作为模拟函数更好．
22．(12分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4(尾/立方米)时，v的值为2(千克/年)；当4(1)当0(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．
解 (1)由题意：当0故函数v(x)＝
(2)依题意可得
f(x)＝
当0故fmax(x)＝f(4)＝4×2＝8；
当4＝－(x2－20x)
＝－(x－10)2＋，fmax(x)＝f(10)＝12.5．
所以，当0 