§1 正整数指数函数
§2 指数扩充及其运算性质
学习目标 1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化(重点)；2.理解实数指数幂的运算性质(重点)；3.能用实数指数幂运算性质化简、求值(重、难点)．
知识点一 正整数指数函数
1．正整数指数函数
一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋．
2．正整数指数函数的图像：正整数指数函数的图像是第一象限内一系列孤立的点，是离散而不是连续的．
知识点二 分数指数幂
1．分数指数幂的定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，我们把b叫作a的次幂，记作b＝a；
2．规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)；
3．0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)＝()n.( )
(2)(－2)＝(－2)＝.( )
(3)分数指数幂a可以理解为个a相乘．( )
提示 (1)错误．当n为偶数时中a可以为负数而()n中的a不可以为负数．
(2)错误．(－2) ＝(2) ＝2＝．
(3)错误，分数指数幂a不可理解为个a相乘，其实质是一个数．
答案 (1)× (2)× (3)×
知识点三 有理数指数幂的运算性质
1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
【预习评价】
1．有理数指数幂的运算性质是否适用于a＝0或a<0?
提示 (1)若a＝0，因为0的负数指数幂无意义，所以a≠0．
(2)若a<0，(ar)s＝ars也不一定成立，如[(－4)2]≠(－4) ，所以a<0不成立．因此不适用于a＝0或a<0的情况．
2．公式am÷an＝am－n(a>0，m，n∈N*)成立吗？请用有理数指数幂的运算性质加以证明，并说明是否要限制m>n?
提示 成立，且不需要限制m>n．
证明如下：am÷an＝＝am·＝am·a－n＝am－n．
3．结合教材P64例4，你认为应该怎样利用分数指数幂的运算性质化简与求值？
提示 第一步：先将式子中的根式化为分数指数幂的形式．
第二步：根据有理数指数幂的运算性质化简求值．
题型一 根式的运算
【例1】 求下列各式的值．
(1)；(2)；(3)；
(4)－，x∈(－3,3)．
解 (1)＝－2．
(2)＝＝．
(3)＝|3－π|＝π－3．
(4)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，
当－3
当1因此，原式＝
规律方法 (1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
【训练1】 化简下列各式：
(1)；(2)；(3)．
解 (1)＝－2．
(2)＝|－10|＝10．
(3)＝|a－b|＝
题型二 根式与分数指数幂的互化
【例2】 (1)设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是( )
A．a B．a
C．a D．a
(2)将(a＋b)表示成根式的形式是( )
A. B．(＋)
C. D．
解析 (1)＝＝a2－－＝a．
(2)因为a＝，b＝，所以(a＋b)＝．
答案 (1)D (2)C
规律方法 根式与分数指数幂互化的规律及技巧
(1)规律：根指数分数指数幂的分母．
被开方数(式)的指数分数指数幂的分子．
(2)技巧：当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简．
【训练2】 (1)化为分数指数幂为________．
(2)将下列各式化为分数指数幂的形式．：
①(x>0)；
②(a>0，b>0)．
(1)解析 原式＝＝＝a．
答案 a
(2)解 ①原式＝＝
＝＝＝＝x－．
②原式＝[ab3(ab5)] ＝(a·a·b3·b)＝(ab)＝ab．
题型三 利用分数指数幂运算性质化简与求值
【例3】 (1)化简式子：
＝________．
(2)①化简a·b·(2ab)÷＝________；
②计算：(－1)0＋－＋8＝________．
解析 (1)
＝
＝4a．
(2)①a·b·(2ab)÷
＝10a＋－b＋－＝10a．
②(－1)0＋－＋8
＝1＋－＋(23) ＝1＋＋4＝．
答案 (1)4a (2)①10a ②
规律方法 利用分数指数幂的运算性质化简、求值的方法技巧
(1)有括号先算括号里的．
(2)无括号先做指数运算．
(3)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(4)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化为假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．
【训练3】 (1)计算：0.027－－－2＋810.75＋0－3－1．
(2)化简：(2ab－)·(－3a－b)÷．
解 (1)原式＝(0.33) －－(－6)2＋(34) ＋1－＝－36＋27＋1－＝－5．
(2)原式＝24a－＋b－＋＋＝24b．
典例
迁移
题型四 条件求值问题
【例4】 已知a＋a－＝5，求的值．
解 因为a－a－＝(a)3－(a－)3，
所以＝
＝a＋a－1＋1＝(a＋a－)2－2＋1＝52－1＝24．
【迁移1】 (变换条件)若将本例中a＋a－＝5改为a－a－＝5，则结论如何？
解 因为a－a－＝3－(a－)3，
所以＝
＝a＋a－1＋1＝(a－a－)2＋2＋1＝52＋3＝28．
【迁移2】 (变换条件，改变问法)已知a＋a－1＝5(a>0)，求下列各式的值：
(1)a2＋a－2；(2)a－a－；(3)a3＋a－3．
解 (1)法一 由a＋a－1＝5两边平方，得a2＋2aa－1＋a－2＝25，即a2＋a－2＝23．
法二 a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23．
(2)∵(a－a－)2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
∴|a－a－|＝，
∴a－a－＝±．
(3)a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－aa－1＋a－2)
＝(a＋a－1)(a2＋2aa－1＋a－2－3)
＝(a＋a－1)[(a＋a－1)2－3]
＝5×(25－3)＝110．
规律方法 条件求值问题的两个步骤及一个注意点
(1)两个步骤：
(2)一个注意点：若已知条件或所求式子中含有平方差、立方差的形式，注意应用平方差公式或立方差公式．
课堂达标
1．若＝－，则( )
A．a＝0 B．a≠0
C．a≤0 D．a≥0
解析 因为与－互为相反数，所以a＝0．
答案 A
2．下列等式一定成立的是( )
A．a·a＝a B．a－·a＝0
C．(a3)2＝a9 D．a÷a＝a
解析 a·a＝a＋＝a≠a，
a－·a＝a0＝1≠0，(a3)2＝a6≠a9，a÷a＝a－＝a．
答案 D
3．若x>3，则－|2－x|＝________．
解析 －|2－x|＝－|2－x|＝|x－3|－|2－x|＝x－3＋2－x＝－1．
答案 －1
4．若10x＝3,10y＝4，则102x－y＝________．
解析 因为10x＝3，所以(10x)2＝9，即102x＝9，
所以＝，即102x－y＝．
答案
5．求值：(1)[(－5)4]－150．
(2)0.001－－0＋16＋(·)6．
解 (1)原式＝(54) －150＝5－1＝4．
(2)原式＝(0.13) －－1＋(24) ＋(2)6·(3)6＝89．
课堂小结
1．掌握两个公式：(1)()n＝a(n∈N＋)；(2)n为奇数且n∈N＋，＝a，n为偶数且n∈N＋，＝|a|＝
2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．
基础过关
1．下列等式一定成立的是( )
A．a·a＝a B．a－·a＝0
C．(am)n＝amn D．am÷an＝am－n
解析 由指数运算的性质可知D正确．
答案 D
2．化简的结果是( )
A．a B．
C．a2 D．
解析 ＝(a·a)＝(a)＝a＝．
答案 B
3．化简(a2－2＋a－2)÷(a2－a－2)的结果为( )
A．1 B．－1
C. D．
解析 (a2－2＋a－2)÷(a2－a－2)＝(a－a－1)2÷[(a＋a－1)(a－a－1)]＝＝＝．
答案 C
4．计算2－＋＋－·8＝________．
解析 原式＝＋＋＋1－22＝2－3．
答案 2－3
5．计算 (π)0＋2－2×＝________．
解析 原式＝1＋×＝1＋×＝．
答案
6．计算下列各式的值：
(1)(0.027) －＋256＋(2)－3－1＋π0；
(2)7－3－6＋；
(3)(a·b－)－·÷(a>0，b>0)．
解 (1)原式＝[(0.3)3]－＋(44) ＋(2)－＋1＝0.3－＋43＋2－＋1＝．
(2)原式＝7×3－3－6＋
＝7×3－6×3－6×3＋3
＝2×3－2×3×3－
＝2×3－2×3＝0．
(3)原式＝a×(－)·b(－)×(－)·a÷b
＝a－·b·a÷b
＝a－＋b－＝a0b0＝1．
7．已知a＝－，b＝，求÷的值．
解 原式＝·
＝＝a－＝－
＝－2＝．
能力提升
8．化简(a，b>0)的结果是( )
A. B．ab
C． D．a2b
解析 原式＝[a3b2(ab2)]÷(ab2ba－)
＝a(3＋)×b(2＋)×÷(ab)＝a－×b－＝．
答案 C
9．已知x＋x－＝5，则的值为( )
A．5 B．23
C．25 D．27
解析 ＝x＋＝x＋x－1＝(x＋x－)2－2＝52－2＝23.故选B．
答案 B
10．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________．
解析 利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝．
则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2．
答案 2
11．设2x＝8y＋1,9y＝3x－9，则x＋y＝________．
解析 由2x＝8y＋1，得2x＝23y＋3，
所以x＝3y＋3. ①
由9y＝3x－9，得32y＝3x－9，
所以2y＝x－9. ②
由①②联立方程组，解得x＝21，y＝6，
所以x＋y＝27．
答案 27
12．已知a＋a－＝3，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)．
解 (1)将a＋a－＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，
即a＋a－1＝7．
(2)对(1)中的式子平方，得a2＋a－2＋2＝49，
即a2＋a－2＝47．
(3)＝
＝a＋a－1＋1＝8．
13．(选做题)(1)已知2x＋2－x＝a(常数)，求8x＋8－x的值；
(2)已知x＋y＝12，xy＝9且x解 (1)∵4x＋4－x＝(2x)2＋(2－x)2
＝(2x＋2－x)2－2·2x·2－x＝a2－2，
∴8x＋8－x＝23x＋2－3x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)·[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2]＝(2x＋2－x)(4x＋4－x－1)＝a(a2－2－1)＝a3－3a．
(2)＝
＝. ①
∵x＋y＝12，xy＝9， ②
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108．
又∵x将②③代入①，得＝＝－．
§3 指数函数
第1课时 指数函数的图像与性质
学习目标 1.理解指数函数的概念和意义(重点)；2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图像；3.初步掌握指数函数的有关性质(重、难点)．
预习教材P70－76完成下列问题：
知识点一 指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R．
【预习评价】
1．指数函数定义中为什么规定a大于0且不等于1?
提示 规定a大于0且不等于1的理由：
(1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义．
(2)如果a<0，如y＝(－2)x，对于x＝，，…时在实数范围内函数值不存在．
(3)如果a＝1，y＝1x是一个常量，对它无研究价值．为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
2．结合教材P70－71，你认为怎样求指数函数的解析式？
提示 第一步：设出一般形式(已给出的省略此步)．
第二步：代入题中条件求底数．
第三步：写出结果．
知识点二 指数函数的图像和性质
a>1
0图像
性质
定义域：R
值域：(0，＋∞)
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；x<0时，0当x>0时，01
是R上的增函数
是R上的减函数
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)指数函数y＝ax过定点(0,0)．( )
(2)y＝2－x在R上单调递减．( )
(3)函数y＝5x－1是指数函数．( )
提示 (1)错误．指数函数y＝ax经过点(0,1)，故错误．
(2)正确．y＝2－x＝x，底数为∈(0,1)，故该函数单调递减．
(3)错误．指数函数的指数必须是x，前面的系数为1．
答案 (1)× (2)√ (3)×
题型一 指数函数的概念
【例1】 给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2<0，不是指数函数．
答案 B
规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：
(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1．
2．求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件．
【训练1】 函数y＝(2a2－3a＋2)·ax是指数函数，求a的值．
解 由题意得解得a＝．
∴a的值为．
题型二 指数函数的图像
【例2】 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图像，则a，b，，c，d与1的大小关系是( )
A．aC．1解析 法一 在y轴的右侧，指数函数的图像由下到上，底数依次增大．
由指数函数图像的升降，知c>d>1，b∴b法二 如图，作直线x＝1，与四个图像分别交于A、B、C、D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b答案 B
规律方法 无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像与直线x＝1相交于点(1，a)，由图像可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大．
【训练2】 如图，若0解析 0答案 D
题型三 指数函数的图像变换
【例3】 已知f(x)＝2x的图像，指出下列函数的图像是由y＝f(x)的图像通过怎样的变化得到：
(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；
(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|．
解 (1)y＝2x＋1的图像是由y＝2x的图像向左平移一个单位得到．
(2)y＝2x－1的图像是由y＝2x的图像向右平移1个单位得到．
(3)y＝2x＋1的图像是由y＝2x的图像向上平移1个单位得到．
(4)∵y＝2－x与y＝2x的图像关于y轴对称，∴作y＝2x的图像关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图像．
(5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图像关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图像，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图像．
规律方法 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像变换：
(1)平移变换：把函数y＝ax的图像向左平移φ(φ>0)个单位，则得到函数y＝ax＋φ的图像；若向右平移φ(φ>0)个单位，则得到函数y＝ax－φ的图像；若向上平移φ(φ>0)个单位，则得到y＝ax＋φ的图像；若向下平移φ(φ>0)个单位，则得到y＝ax－φ的图像．即“左加右减，上加下减”．
(2)对称变换：函数y＝a－x的图像与函数y＝ax的图像关于y轴对称；函数y＝－ax的图像与函数y＝ax的图像关于x轴对称；函数y＝－a－x的图像与函数y＝ax的图像关于原点对称；函数y＝a|x|的图像关于y轴对称；函数y＝|ax－b|的图像就是y＝ax－b在x轴上方的图像不动，把x轴下方的图像翻折到x轴上方．
(3)一般的情形：①函数y＝|f(x)|的图像由y＝f(x)在x轴上方图像与x轴下方的部分沿x轴翻折到上方合并而成，简记为“下翻上，擦去下”；②函数y＝f(|x|)的图像由函数y＝f(x)在y轴右方图像与其关于y轴对称的图像合并而成，简记为“右翻左，擦去左”．
【训练3】 (1)函数y＝|2x－2|的图像是( )
(2)直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值范围是________．
解析 (1)y＝2x－2的图像是由y＝2x的图像向下平移2个单位长度得到的，故y＝|2x－2|的图像是由y＝2x－2的图像在x轴上方的部分不变，下方部分对折到x轴的上方得到的．
(2)当a>1时，在同一坐标系中作出函数y＝2a和y＝|ax－1|的图像(如图(1))．由图像可知两函数图像只能有一个公共点，此时无解．当00且a≠1)的图像有两个交点，由图像可知0<2a<1，所以0答案 (1)B (2)（0，）
互动
探究
题型四 指数型函数的定义域、值域
【探究1】 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2；(2)y＝；(3)y＝x2－2x－3；(4)y＝4x＋2x＋1＋1．
解 (1)由x－4≠0，得x≠4，
故y＝2的定义域为{x|x∈R，且x≠4}．
又≠0，即2≠1．
故y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}．
(2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，
∴y＝的定义域为(－∞，0]．
由0<2x≤1，得－1≤－2x<0，∴0≤1－2x<1，
∴y＝的值域为[0,1)．
(3)y＝ x2－2x－3的定义域为R．
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴ x2－2x－3≤－4＝16．
又∵x2－2x－3>0，
故函数y＝ x2－2x－3的值域为(0,16]．
(4)定义域为R．
∵y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，
又2x>0，∴y>1，故函数的值域为{y|y>1}．
【探究2】 求y＝a|x|(a>0，a≠1)的值域．
解 当a>1时，函数y＝ax在R上是增函数，∵|x|≥0，∴y≥1；
当0∵|x|≥0，∴0综上所述，当a>1时，函数的值域是[1，＋∞)；
当0【探究3】 (1)已知函数y＝(a>0，且a≠1)的定义域是(－∞，0]，求实数a的取值范围．
(2)若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．
解 (1)由ax－1≥0，得ax≥1．
因为函数的定义域是(－∞，0]，所以ax≥1的解集为(－∞，0]，所以0(2)当a>1时，函数f(x)＝ax－1在[0,2]上是增函数，
由题意可知，，解得a＝．
当0由题意可知，，此时a无解．
综上所述，a＝．
【探究4】 已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上有最大值14，求a的值．
解 y＝(ax)2＋2ax－1＝(ax＋1)2－2．
令ax＝t，则y＝(t＋1)2－2，对称轴方程为t＝－1．
①当a>1时，因为－1≤x≤1，所以≤ax≤a，
即≤t≤a，函数图像在对称轴右侧，是单调递增的，
所以当t＝a时有最大值，所以(a＋1)2－2＝14，
所以a＝3．
②当0即a≤t≤，函数图像在对称轴右侧，是单调递增的，
所以当t＝时有最大值，所以2－2＝14，
所以a＝．
综合①②知，a的值为3或．
规律方法 函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．
(2)值域：①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
提醒 (1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．
(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．
(3)研究y＝f(ax)型的复合函数的单调性，一般用复合法，即设t＝ax，再由内层函数t＝ax与外层函数y＝f(t)的单调性来确定函数y＝f(ax)的单调性．
课堂达标
1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－4)x B．y＝λx(λ>1)
C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0且a≠1)
解析 由指数函数的定义知y＝λx(λ>1)是指数函数．
答案 B
2．指数函数y＝ax与y＝bx的图像如图所示，则( )
A．a<0，b<0 B．a<0，b>0
C．01 D．0解析 因为y＝ax是减函数，y＝bx是增函数，所以01．
答案 C
3．指数函数y＝f(x)的图像过点(2,4)，则f(3)＝________．
解析 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，因为f(2)＝4，所以a2＝4，故a＝2或a＝－2(舍去)，所以f(3)＝23＝8．
答案 8
4．函数y＝的定义域是________．
解析 1－3x≥0,3x≤1，所以x≤0，故定义域为(－∞，0]．
答案 (－∞，0]
5．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图像经过点，其中a>0且a≠1．
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
解 (1)因为f(2)＝，所以a2－1＝，即a＝．
(2)因为y＝f(x)＝x－1，x≥0．
所以x－1≥－1，故x－1≤－1＝2，
即函数的值域为(0,2]．
课堂小结
1．指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，且f(0)＝1．
2．当a>1时，a的值越大，y轴右侧的图像越靠近y轴．当0基础过关
1．指数函数y＝f(x)的图像经过点，那么f(4)·f(2)等于( )
A．8 B．16
C．32 D．64
解析 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由条件知f(－2)＝，故a－2＝，所以a＝2，因此f(x)＝2x，所以f(4)·f(2)＝24×22＝64．
答案 D
2．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为( )
A．7 B．8
C．12 D．16
解析 由已知得解得
所以f(x)＝x＋3，
所以f(－2)＝－2＋3＝4＋3＝7．
答案 A
3．函数f(x)＝3x－3(1A．(0，＋∞) B．(0,9)
C. D．
解析 因为1答案 C
4．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．
解析 由题意可知，0<2－a<1，即1答案 15．函数y＝的值域为________．
解析 由3x>0，得－3x<0，∴1－3x<1，
又1－3x≥0，所以0≤<1，
所以函数y＝的值域为[0,1)．
答案 [0,1)
6．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝3；(2)y＝5－x－1．
解 (1)要使函数y＝3有意义，
只要1－x≥0，即x≤1，
所以函数的定义域为{x|x≤1}．
设y＝3u，u＝，则u≥0，
由函数y＝3u在[0，＋∞)上是增函数，得y≥30＝1，
所以函数的值域为{y|y≥1}．
(2)函数y＝5－x－1对任意的x∈R都成立，
所以函数的定义域为R．
因为5－x>0，所以5－x－1>－1，
所以函数的值域为(－1，＋∞)．
7．设f(x)＝3x，g(x)＝x．
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图像．
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
解 (1)函数f(x)与g(x)的图像如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝－1＝3．
f(π)＝3π，g(－π)＝－π＝3π．
f(m)＝3m，g(－m)＝－m＝3m．
从以上计算结果可得结论：当这两个函数的自变量的值互为相反数时，它们的函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．
能力提升
8．函数f(x)＝ax－(a>0，a≠1)的图像可能是( )
解析 函数f(x)的图像恒过(－1,0)点，只有图像D适合．
答案 D
9．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析 依题意，f(a)＝－f(1)＝－21＝－2，
∵2x>0，∴a≤0，∴f(a)＝a＋1＝－2，故a＝－3，
∴选A．
答案 A
10．函数y＝ax－5＋1(a>0且a≠1)的图像必经过的点的坐标为________．
解析 指数函数的图像必过点(0,1)，即a0＝1，由此变形得a5－5＋1＝2，所以所求函数图像必过点(5,2)．
答案 (5,2)
11．已知实数a，b满足等式a＝b，给出下列五个关系式：①0解析 画出函数y＝x和y＝x的图像(图略)，借助图像进行分析．由于实数a，b满足等式a＝b，若a，b均为正数，则a>b>0；若a，b均为负数，则a答案 ③④
12．函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
解 ①若a>1，则f(x)＝ax在R上是增函数，
∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)，最小值为f(1)．
∴f(2)－f(1)＝，即a2－a＝．
解得a＝．
②若0∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)，最小值为f(2)，
∴f(1)－f(2)＝，即a－a2＝，
解得a＝，综上所述，a＝或a＝．
13．(选做题)设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是奇函数．
(1)求常数k的值；
(2)若a>1，试判断函数f(x)的单调性，并加以证明；
(3)若已知f(1)＝，且函数g(x)＝a2x＋a－2x－2mf(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为－2，求实数m的值．
解 (1)函数f(x)＝kax－a－x的定义域为R，
因为函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是奇函数，
所以f(0)＝k－1＝0，所以k＝1．
(2) 当a＞1时，f(x)在R上递增．理由如下：
f(x)＝ax－a－x，设x1，x2为R上两任意实数，且x1f(x1)－f(x2)＝(ax1－a－x1)－(ax2－a－x2)＝(ax1－ax2)＋
＝(ax1－ax2)＋＝(ax1－ax2)．
因为a>1，x1所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在R上为单调增函数．
(3)因为f(1)＝，所以a－a－1＝，解得a＝3或a＝－．
因为a>0且a≠1，所以a＝3．
g(x)＝32x＋3－2x－2m(3x－3－x)＝(3x－3－x)2－2m(3x－3－x)＋2(x≥1)，令3x－3－x＝t，
则y＝t2－2mt＋2＝(t－m)2－m2＋2．
当m≥时，ymin＝－m2＋2＝－2，解得m＝2或－2，舍去；
当m<时，ymin＝2－2m×＋2＝－2．
解得m＝，
综上，实数m的值为．
第2课时 习题课——指数函数及其性质
学习目标 1.掌握指数形式的函数的单调性、奇偶性的判断与证明(重点)；2.能够利用指数函数的图像和性质比较数的大小、解不等式(重、难点)．
1．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
解析 先由函数y＝0.8x判断两个数的大小，再用“1”作为中间量比较1.20.8与其他两个数的大小．
答案 D
2．已知函数f(x)＝3x－，则f(x)( )
A．是偶函数，且在R上是增函数
B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数
D．是奇函数，且在R上是减函数
解析 f(x)的定义域为R，且f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，则f(x)为奇函数．y＝3x为增函数，y＝为减函数，∴f(x)＝3x－为增函数，故选B.
答案 B
3．函数y＝1－x的单调递增区间为( )
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
解析 定义域为R.设u＝1－x，y＝u．
∵u＝1－x在(－∞，＋∞)上为减函数．
又∵y＝u在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴y＝1－x在(－∞，＋∞)上是增函数，∴选A．
答案 A
4．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
解析 ∵0∴由f(m)>f(n)可知m答案 m题型一 利用指数型函数的单调性比较大小
【例1】 比较下列各组中两个值的大小．
(1)1.72.5,1.73；(2)0.6－1.2,0.6－1.5；(3)2.3－0.28，0.67－3.1．
解 (1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数都是1.7，故构造函数y＝1.7x，则函数y＝1.7x在R上是增函数．又2.5<3，所以1.72.5<1.73．
(2)(单调性法)由于0.6－1.2与0.6－1.5的底数都是0.6，故构造函数y＝0.6x，则函数y＝0.6x在R上是减函数．因为－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5．
(3)(中间量法)由指数函数的性质，知
2．3－0.28<2.30＝1，
0．67－3.1>0.670＝1，
所以2.3－0.28<0.67－3.1．
规律方法 (1)对于底数相同、指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数的单调来判断．
(2)对于底数不同、指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数图像的变化规律来判断．
(3)对于底数不同且指数也不同的幂的大小比较，应通过中间值来比较．
(4)对于三个(或三个以上)数的大小比较，则应先根据特殊值0,1进行分组，再比较各组数的大小．
【训练1】 比较下列各题中的两个值的大小．
(1)0.8－0.1,0.8－0.2；(2)－，2－；
(3)3－x,0.5－x(－1解 (1)由指数函数的性质知，y＝0.8x是R上的减函数，－0.1>－0.2，
所以0.8－0.1<0.8－0.2．
(2)由指数函数的性质知－>1,0<2－<1，
所以－>2－．
(3)∵－11，因此 3－x>1，又0<0.5<1，∴0<0.5－x<1，
∴3－x>0.5－x(－1题型二 利用指数型函数的单调性解不等式
【例2】 (1)解不等式3x－1≤2；
(2)已知ax2－3x＋10，a≠1)，求x的取值范围．
解 (1)∵2＝－1，
∴原不等式可以转化为3x－1≤－1．
∵y＝x在R上是减函数，
∴3x－1≥－1，∴x≥0．
故原不等式的解集是{x|x≥0}．
(2)分情况讨论：
①当00，a≠1)在R上是减函数，
∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，
根据相应二次函数的图像可得x<－1或x>5；
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，
∴x2－3x＋1根据相应二次函数的图像可得－1综上所述，当05；
当a>1时，－1规律方法 (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．
(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)?
【训练2】 (1)不等式4x<42－3x的解集是________．
(2)设0a2x2＋2x－3的解集是________．
解析 (1)由4x<42－3x，得x<2－3x，即x<，
所以不等式的解集为．
(2)因为0又a2x2－3x＋7>a2x2＋2x－3，
所以2x2－3x＋7<2x2＋2x－3，解得x>2．
所以不等式的解集是{x|x>2}．
答案 (1) (2){x|x>2}
题型三 指数型函数的单调性
【例3】 判断f(x)＝ x2－2x的单调性，并求其值域．
解 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝u在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝ x2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，∴0<u≤－1＝3，
∴原函数的值域为(0,3]．
规律方法 指数型复合函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性
(1)复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f(g(x))单调递增，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，函数y＝f(g(x))单调递减，简称为同增异减．
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0【训练3】 求函数y＝2－x2＋2x的单调区间．
解 函数y＝2－x2＋2x的定义域是R．
令u＝－x2＋2x，则y＝2u．
当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，
所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．
当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，
所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数．
综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1].
考查
方向
题型四 指数型函数的综合应用
方向1 指数型复合函数的奇偶性
【例4－1】 已知函数f(x)＝·x3．
(1)求f(x)的定义域．
(2)讨论f(x)的奇偶性．
(3)证明：f(x)>0．
(1)解 由题意得2x－1≠0，即x≠0，
∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)解 令g(x)＝＋＝，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，φ(x)＝x3的定义域为(－∞，＋∞)．故f(x)的定义域为{x|x≠0}．
∵g(－x)＝＝＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数．
又∵φ(x)＝x3为奇函数，
∴f(x)＝·x3为偶函数．
(3)证明 当x>0时，2x>1，
∴2x－1>0．
∵x3>0，
∴f(x)>0．
由偶函数的图像关于y轴对称知，当x<0时，f(x)>0也成立．故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0．
方向2 利用指数函数的图像求参数的取值范围
【例4－2】 已知函数y＝ax＋b的图像经过第一、三、四象限，试确定a，b的取值范围．
解
如图，当x＝0时，y<0，
∴a0＋b<0，∴b<－1，显然a>1．
故a∈(1，＋∞)，b∈(－∞，－1)．
方向3 指数型函数的实际应用
【例4－3】 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知在药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(单位：毫克)与时间t(单位：时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图所示．根据提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(单位：毫克)与时间t(单位：时)之间的函数关系式为________；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
解析 (1)从图中可以看出线段的端点分别为(0,0)，.所以当0≤t≤时，函数关系式为y＝10t.因为点在函数y＝t－a的图像上，所以－a＝1，所以－a＝0，解得a＝.当t>时，y＝t－．
(2)由 t－≤0.25＝＝，得t－≥，解得t≥0.6，所以至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．
答案 (1)y＝ (2)0.6
规律方法 1.判定函数奇偶性要注意的问题
(1)坚持“定义域优先”的原则：如果定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数．
(2)正确利用变形技巧：耐心分析f(x)和f(－x)的关系，必要时可利用f(x)±f(－x)＝0判定．
(3)巧用图像的特征：在解答有图像信息的选择、填空题时，可根据奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，进行快速判定．
2．由指数函数构成的复合函数的值域求法
一般用换元法即可，但应注意在变量的值域和指数函数的单调性的双重作用下，函数值域的变化情况．
3．指数型函数y＝k·ax(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)模型问题
(1)设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N*)．(2)形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a>0，且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一类非常有用的函数模型．
课堂达标
1．若a＝0.5，b＝0.5，c＝0.5，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．aC．a解析 因为y＝0.5x在R上是减函数，所以0.5<0.5<0.5，即a答案 B
2．若2x＋1<1，则x的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
解析 不等式2x＋1<1＝20，因为y＝2x是R上的增函数，
所以x＋1<0，即x<－1．
答案 D
3．设0a2x2＋2x－3的解集为________．
解析 因为0a2x2＋2x－3
?2x2－3x＋2<2x2＋2x－3，?5x>5?x>1．
答案 (1，＋∞)
4．比较大小：π－____ －．
解析 因为－＝π，所以π－<π＝－．
答案 <
5．已知4a＝2a＋2，解不等式a2x＋1>ax－1．
解 因为4a＝2a＋2，即22a＝2a＋2，
所以2a＝a＋2，故a＝2，
因此a2x＋1>ax－1?22x＋1>2x－1，
?2x＋1>x－1?x>－2，
所以原不等式的解集为(－2，＋∞)．
课堂小结
1．比较两个指数式值大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数型函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn．
2．指数型函数单调性的应用
(1)形如y＝af(x)的函数的单调性：令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，则函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．
(2)形如ax>ay的不等式，当a>1时，ax>ay?x>y；当0ay?x基础过关
1．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则( )
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
解析 40.9＝21.8,80.48＝21.44，－1.5＝21.5，
根据y＝2x在R上是增函数，所以21.8>21.5>21.44，即y1>y3>y2，故选D．
答案 D
2．若2a＋1<8－2a，则实数a的取值范围是( )
A. B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．
解析 函数y＝x在R上为减函数，所以2a＋1>8－2a，所以a>.故选A．
答案 A
3．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则a等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 由已知得a0＋a1＝3，所以1＋a＝3，所以a＝2．
答案 C
4．函数y＝2－x2＋ax在(－∞，1)内单调递增，则a的取值范围是________．
解析 由复合函数的单调性知，函数f(x)＝－x2＋ax的对称轴x＝≥1，即a≥2．
答案 [2，＋∞)
5．若函数f(x)＝则不等式f(x)≥的解集为________．
解析 (1)当x≥0时，由f(x)≥得x≥，
∴0≤x≤1．
(2)当x<0时，不等式≥明显不成立，
综上可知，不等式f(x)≥的解集是{x|0≤x≤1}．
答案 {x|0≤x≤1}
6．已知函数f(x)＝1＋．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)证明函数f(x)在(－∞，0)上为减函数．
(1)解 要使f(x)＝1＋有意义，则有2x－1≠0，
∴x≠0．
∴函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．
(2)证明 设任意x1，x2∈(－∞，0)且x1f(x1)－f(x2)＝－＝．
∵x1，x2∈(－∞，0)且x1∴2x2>2x1且0<2x1<1,0<2x2<1．
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)在(－∞，0)上为减函数．
7．已知函数f(x)＝－x2－4x＋3．
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；
(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，
令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，
y＝x在R上是减函数，
∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)，
由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1．
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1．
能力提升
8．设f(x)＝|x|，x∈R，那么f(x)是( )
A．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
解析 ∵f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)且x∈R，知f(x)为偶函数，又x>0时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减．
答案 D
9．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(1,8)
C．(4,8) D．[4,8)
解析 由题意可知，f(x)在R上是增函数，
所以解得4≤a<8，故选D．
答案 D
10．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次．
解析 设原来污垢数为1个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的，也就是原来的2，经过第三次漂洗，存留量为原来的3，……，经过第x次漂洗，存留量为原来的x，故解析式为y＝x.由题意，x≤，4x≥100,2x≥10，∴x≥4，即至少漂洗4次．
答案 4
11．设函数y＝，若函数在(－∞，1]上有意义，则实数a的取值范围是________．
解析 设t＝2x，∵x∈(－∞，1]，∴0则原函数有意义等价于1＋t＋at2≥0在t∈(0,2]上恒成立，
∴a≥－，设f(t)＝－，
则f(t)＝－＝－2＋，
∵0∴f(t)≤f＝－，∴a≥－．
答案
12．已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)讨论f(x)的单调性；
(4)若f(x)<2b＋1恒成立，求b的取值范围．
解 (1)f(x)的定义域为{x|x∈R}，
由f(x)＝＝1－，
∵ax>0，∴ax＋1>1，
∴0<<1，∴－2<－<0，
∴－1<1－<1.∴f(x)的值域为(－1,1)．
(2)∵f(－x)＝＝＝－f(x)，
又x∈R，∴f(x)为奇函数．
(3)法一 当a>1时，∵y＝ax＋1为增函数，且ax＋1>0，
∴y＝为减函数，
从而f(x)＝1－＝为增函数．
同理可得，当0法二 任取x1，x2∈R，且x1f(x2)－f(x1)＝－＝，
当a>1时，∵x2>x1，∴ax2>ax1，∴f(x2)>f(x1)，
∴当a>1时，f(x)在R上单调递增，
同理，当0(4)由f(x)<2b＋1恒成立，得f(x)max<2b＋1，
∴2b＋1≥1，∴b≥0．
即b的取值范围是[0，＋∞)．
13．(选做题)函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a>0且a≠1)的图像过点A(0,1)，B(3,8)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝，试判断函数g(x)的奇偶性，并给出证明．
解 (1)由已知得
所以k＝1，a＝，所以f(x)＝2x．
(2)函数g(x)为奇函数．
证明：g(x)＝，其定义域为R，
又g(－x)＝＝＝－＝－g(x)，
所以函数g(x)为奇函数．
§4 对 数
第1课时 对数及其运算
学习目标 1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质(重点)；2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重、难点)．
知识点一 对数的概念
(1)对数的概念
一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b.其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
(2)对数与指数的关系
当a>0，且a≠1时，ax＝N?x＝logaN．
【预习评价】
1．将3＝化为对数式正确的是( )
A．3＝ B．＝3
C．＝3 D．log3＝
解析 由对数的定义知，若3＝，则＝3．
答案 B
2．已知logx16＝2，则x＝________．
解析 因为logx16＝2，所以x2＝16(x>0)，故x＝4．
答案 4
知识点二 常用对数和自然对数
(1)常用对数：通常将以10 为底的对数叫作常用对数，并把log10N记为lg N．
(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N．
【预习评价】
1．loge1＝( )
A．1 B．0
C．2 D．－1
解析 设loge1＝x，则ex＝1＝e0，故x＝0．
答案 B
2．结合教材P79例1和例2，你认为指数式与对数式的互化应分哪几步？
提示 第一步：将指(对)数式写成规范形式．
第二步：依对数的定义实现互化．
知识点三 对数的基本性质
(1)负数 和零 没有对数．
(2)loga1＝0 (a>0，且a≠1)．
(3)logaa＝1 (a>0，且a≠1)．
【预习评价】
1．lg 10，lg 100，lg 0.01，ln 1，ln e分别等于多少？
提示 lg 10＝1，lg 100＝2，lg 0.01＝－2，ln 1＝0，ln e＝1．
2．为什么对数式x＝logaN中规定底数a>0且a≠1?
提示 由于对数式x＝logaN中的a来自于指数式ax＝N中的a，所以当规定了ax＝N中的a>0，且a≠1时，对数式x＝logaN中的a也受到相同的限制．
3．为什么负数和零没有对数？
提示 由于ax＝N>0，所以x＝logaN中的N>0．
题型一 对数的概念
【例1】 求下列各式中x的取值范围．
(1)log2(x－10)；(2)log(x－1)(x＋2)；(3)log(x＋1)(x－1)2．
解 (1)由题意得x－10>0，解得x>10．
(2)由题意得
即
∴x>1，且x≠2．
(3)由题意得
解得x>－1，且x≠0，x≠1．
规律方法 解决使对数式有意义的参数问题，只要根据对数的定义，由真数大于零、底数大于零且不等于1得到关于未知数(一般是x)的不等式(组)，解之即可．
【训练1】 求f(x)＝logx的定义域．
解 要使函数式有意义，需解得0∴f(x)＝logx的定义域为(0,1)．
题型二 指数式与对数式的互化
【例2】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)2－7＝；(2)3a＝27；(3)32＝－5；
(4)lg 0.001＝－3．
解 (1)因为2－7＝，所以log2＝－7．
(2)因为3a＝27，所以log327＝a．
(3)因为32＝－5，所以－5＝32．
(4)因为lg 0.001＝－3，所以10－3＝0.001．
规律方法 1.对数式与指数式关系图
对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变换而来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N，而对数值b是指数式中的幂指数．
2．并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a>0且a≠1，N>0时，才有ax＝N?x＝logaN．
【训练2】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)54＝625；(2)log216＝4；(3)10－2＝0.01；(4)log 125＝6．
解 (1)由54＝625，得log5625＝4．
(2)由log216＝4，得24＝16．
(3)由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2．
(4)由log 125＝6，得()6＝125.
互动
探究
题型三 利用指数式与对数式的互
化求变量的值
【探究1】 (1)若x＝log9，则x＝________．
(2)log2x＝－3，则x＝________．
解析 (1)由x＝log9可得9x＝，即32x＝3－3，解得x＝－．
(2)由log2x＝－3可得2－3＝x，故x＝．
答案 (1)－ (2)
【探究2】 求下列各式中的x值．
(1)logx27＝；
(2)4x＝5×3x．
解 (1)由logx27＝可得x＝27，即(x)2＝(33)2，故x3＝(32)3，又x>0且x≠1，故x＝9．
(2)因为4x＝5×3x，所以＝5，即x＝5，
解得x＝5．
【探究3】 求下列各式中x的值．
(1)log(x＋1)(2x－3)＝1；
(2)log3(log4(log5x))＝0．
解 (1)由log(x＋1)(2x－3)＝1可得
解得x＝4．
(2)由log3(log4(log5x))＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625．
规律方法 利用指数式与对数式的互化求变量值的策略
(1)已知底数与指数，用指数式求幂．
(2)已知指数与幂，用指数式求底数．
(3)已知底数与幂，利用对数式表示指数．
课堂达标
1．若logab＝c，则a，b，c之间满足( )
A．ac＝b B．ab＝c
C．ca＝b D．cb＝a
解析 利用logaN＝b?ab＝N可知a，b，c应满足的关系式为ac＝b．
答案 A
2．若3x＝2，则x等于( )
A．log23 B．log32
C．32 D．23
解析 3x＝2?x＝log32．
答案 B
3．若log2m＝3，则m＝________．
解析 因为log2m＝3，所以m＝23＝8．
答案 8
4．log21＋log22＝________．
解析 由对数的性质知log21＝0，log22＝1，故原式＝1．
答案 1
5．将下列指数式与对数式互化．
(1)log216＝4；(2)3＝．
解 (1)log216＝4?24＝16．
(2)3＝?log＝3．
课堂小结
1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N．
2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．
3．指数式与对数式的互化
基础过关
1．2－3＝化为对数式为( )
A．2＝－3 B．(－3)＝2
C．log2＝－3 D．log2(－3)＝
解析 根据对数的定义知选C．
答案 C
2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是( )
A．①③ B．②④
C．①② D．③④
解析 lg(lg 10)＝lg 1＝0，ln(ln e)＝ln 1＝0，故①②正确；若10＝lg x，则x＝1010，故③错误；若e＝ln x，则x＝ee，故④错误．
答案 C
3．若log3(log2x)＝1，则x－等于( )
A. B．
C． D．
解析 ∵log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，
∴x＝23＝8，则x－＝＝．
答案 C
4．ln 1＋log(－1)(－1)＝________．
解析 ln 1＋log(－1)(－1)＝0＋1＝1．
答案 1
5．方程9x－6·3x－7＝0的解是________．
解析 设3x＝t(t>0)，则原方程可化为t2－6t－7＝0，
解得t＝7或t＝－1(舍去)，∴t＝7，即3x＝7．
∴x＝log37．
答案 x＝log37
6．求下列各式中的x的值．
(1)logx27＝；
(2)log2x＝－；
(3)logx(3＋2)＝－2；
(4)log5(log2x)＝0；
(5)x＝log27．
解 (1)由logx27＝，得x＝27，∴x＝27＝32＝9．
(2)由log2x＝－，得2－＝x，∴x＝＝．
(3)由logx(3＋2)＝－2，得3＋2＝x－2，
即x＝(3＋2)－＝－1．
(4)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1.∴x＝21＝2．
(5)由x＝log27，得27x＝，即33x＝3－2，
∴x＝－．
7．(1)若f(10x)＝x，求f(3)的值；
(2)计算23＋log23＋35－log39．
解 (1)令t＝10x，则x＝lg t，
∴f(t)＝lg t，即f(x)＝lg x，∴f(3)＝lg 3．
(2) 23＋log23＋35－log39＝23·2 log23＋＝23×3＋＝24＋27＝51．
能力提升
8．方程2log3x＝的解是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
解析 ∵2log3x＝＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝．
答案 A
9．已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n等于( )
A．5 B．7
C．10 D．12
解析 ∵am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝a2m·an
＝(am)2·an＝12．
答案 D
10．若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝________．
解析 由题意知1－x＝(1＋x)2，
解得x＝0，或x＝－3，
验证知，当x＝0时，log(1－x)(1＋x)2无意义，
当x＝0时不合题意，应舍去．
所以x＝－3．
答案 －3
11．若a＝lg 2，b＝lg 3，则100a－的值为________．
解析 ∵a＝lg 2，∴10a＝2．
∵b＝lg 3，∴10b＝3．
∴100a－＝＝．
答案
12．已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1.求·y的值．
解 因为log2(log3(log4x))＝0，所以log3(log4x)＝1，
即log4x＝3，所以x＝43＝64，同理y＝16，
所以·y＝×16＝8×23＝64．
13．(选做题)已知log2((log2x))＝log3((log3y))＝log5((log5z))＝0，试比较x，y，z的大小．
解 由log2((log2x))＝0得，
(log2x)＝1，log2x＝，即x＝2；
由log3((log3y))＝0得，
(log3y)＝1，log3y＝，即y＝3；
由log5( (log5z))＝0得，
(log5z)＝1，log5z＝，即z＝5．
∵y＝3＝3＝9，x＝2＝2＝8，∴y>x，
又∵x＝2＝2＝32，z＝5＝5＝25，∴x>z，
故y>x>z．
第2课时 对数的运算性质及换底公式
学习目标 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算(重、难点)；2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数(重、难点)．
知识点一 对数的运算性质
如果a>0，a≠1，M>0，N>0，则：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)；
(3)loga＝logaM－logaN．
思考 当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？
提示 不一定成立．
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.( )
(2)logax＋logay＝loga(x＋y)．( )
(3)对数的运算性质(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN能推广为loga(a1·a2·…·an)＝logaa1＋logaa2＋…＋logaan(a>0且a≠1，an>0，n∈N*)．( )
提示 (1)错误．M和N为负数时logaM和logaN无意义．
(2)错误．logax＋logay＝loga(xy)．
(3)正确．能loga[(a1a2…an－1)·an]＝loga(a1·a2·…·an－1)＋logaan＝loga(a1·a2·…·an－2)＋
logaan－1＋logaan＝…＝logaa1＋logaa2＋…＋logaan．
答案 (1)× (2)× (3)√
知识点二 换底公式
logbN＝(a，b>0，a，b≠1，N>0)．
【预习评价】
1．换底公式中底数a是特定数还是任意数？
提示 是大于0，且不等于1的任意数．
2．换底公式有哪些作用？
提示 利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于应用对数的运算性质进行化简、求值．
知识点三 常用结论
由换底公式可以得到以下常用结论：
(1)logab＝；
(2)logab·logbc·logca＝1；
(3)loganbn＝logab；
(4)loganbm＝logab；
(5)b＝－logab．
【预习评价】
1．计算log2781＝( )
A. B．
C． D．
解析 log2781＝log3334＝＝．
答案 A
2．计算log42＋log48＝________．
解析 log42＋log48＝log416＝2．
答案 2
3．结合教材P81－82，例4和例5，你认为应怎样利用对数的运算性质计算对数式的值？
提示 第一步：将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性质转化．
第二步：利用对数的性质化简、求值．
题型一 利用对数的运算性质化简、求值
【例1】 计算下列各式的值．
(1)lg－lg＋lg；
(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2．
解 (1)法一 原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10
＝．
法二 原式＝lg－lg 4＋lg (7)＝lg
＝lg(·)＝lg＝．
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3．
规律方法 1.对于同底的对数的化简，常用方法是(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
2．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式．要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．
【训练1】 计算下列各式的值．
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
(2)．
解 (1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2)
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1．
(2)原式＝
＝＝．
题型二 利用换底公式化简、求值
【例2】 计算下列各式的值．
(1)lg 20＋log10025；
(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．
解 (1)lg 20＋log10025＝1＋lg 2＋＝1＋lg 2＋lg 5＝2．
(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)
＝(log253＋log2252＋log235)·(log5323＋log5222＋log52)
＝log25·(1＋1＋1)log52
＝×3＝13．
规律方法 (1)在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式．
(2)常用的公式有：logab·logba＝1，loganbm＝logab，
logab＝等．
【训练2】 (1)(log29)·(log34)等于( )
A. B．
C．2 D．4
(2)log2·log3·log5＝________．
解析 (1)(log29)·(log34)＝(log232)·(log322)
＝2log23·(2log32)＝4log23·log32＝4．
(2)原式＝··
＝＝－12．
答案 (1)D (2)－12
考查
方向
题型三 换底公式、对数运算性质的综合运用
方向1 含有附加条件的对数式或指数式的求值
【例3－1】 (1)已知log189＝a,18b＝5，求log3645．
(2)设3a＝4b＝36，求＋的值．
解 (1)法一 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b．
于是log3645＝＝＝＝＝．
法二 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b．
于是log3645＝＝＝．
法三 ∵log189＝a,18b＝5，∴lg9＝alg 18，
lg 5＝blg 18，
∴log3645＝＝＝＝．
(2)法一 由3a＝4b＝36，得a＝log336＝2log36，b＝log436＝log2262＝log26．
∴＋＝＋＝log63＋log62＝log6(2×3)＝log66＝1．
法二 对已知条件取以6为底的对数，
得alog63＝2，blog62＝1，∴＝log63，＝log62，
于是＋＝log63＋log62＝log66＝1．
方向2 对数方程的综合应用
【例3－2】 解下列方程．
(1)(lg x－lg 3)＝lg 5－lg(x－10)；
(2)lg x＋2log(10x)x＝2；
(3)log(x2－1)(2x2－3x＋1)＝1．
解 (1)方程中的x应满足x>10，
原方程可化为lg＝lg，
∴＝，即x2－10x－75＝0．
解得x＝15或x＝－5(舍去)，
经检验，x＝15是原方程的解．
(2)首先，x>0且x≠，
其次，原方程可化为lg x＋＝2，即lg2x＋lg x－2＝0．
令t＝lg x，则t2＋t－2＝0，
解得t＝1或t＝－2，即lg x＝1或lg x＝－2，
∴x＝10或x＝．
经检验，x＝10，x＝都是原方程的解．
(3)首先，x2－1>0且x2－1≠1，
即x>1或x<－1且x≠±．
由2x2－3x＋1>0，得x<或x>1．
综上可知，x>1或x<－1且x≠±．
其次，原方程可化为x2－1＝2x2－3x＋1．
∴x2－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2．
又∵x>1或x<－1且x≠±，∴x＝2．
经检验，x＝2是原方程的解．
方向3 与函数知识的综合应用
【例3－3】 已知函数f(x)＝
求f(f(f(－2－)))的值．
解 ∵－2－<－1，且当x∈(－∞，－1]时，f(x)＝－2x＋，
∴f(－2－)＝－2－2－＋＝－．
∵－∈(－1,0]，且当x∈(－1,0]时，f(x)＝x2，
∴f(f(－2－))＝f＝2＝>0．
又当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，
∴f(f(f(－2－)))＝f＝log2＝－4．
规律方法 (1)带有附加条件的对数式或指数式的求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．
(2)解对数方程时，先由对数有意义(真数大于0，底数大于0且不等于1)求出未知数的取值范围，去掉对数值符号后，再解方程，此时只需检验其解是否在其取值范围内即可．
课堂达标
1．若lg x－lg y＝a，则lg3－lg3＝( )
A．3a B．a
C．a D．
解析 lg3－lg3＝3(lg x－lg y)＝3a．
答案 A
2．已知ln 2＝a，ln 3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为( )
A．a－b B．
C．ab D．a＋b
解析 log32＝＝．
答案 B
3．log510＋log5＝________．
解析 原式＝log5＝log55＝1．
答案 1
4．log23·log34＝________．
解析 原式＝×＝2．
答案 2
5．计算：×(lg 32－lg 2)．
解 原式＝×lg
＝×lg 24＝4．
课堂小结
1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．
2．运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，
③logaM±logaN＝loga(M±N)．
基础过关
1．若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子正确的个数为( )
①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③loga＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax·logay．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 根据对数的运算性质知，这四个式子都不正确．故选A．
答案 A
2．lg 8＋3lg 5的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析 lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 8＋lg 125＝
lg(8×125)＝lg 1 000＝3．
答案 D
3．已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两根，则2的值是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析 lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，2＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝22－4×＝2．
答案 C
4．若logab·log3a＝4，则b的值为________．
解析 logab·log3a＝·＝＝4，
所以lg b＝4lg 3＝lg 34，所以b＝34＝81．
答案 81
5．已知2m＝5n＝10，则＋＝________．
解析 因为m＝log210，n＝log510，
所以＋＝log102＋log105＝lg 10＝1．
答案 1
6．计算下列各式的值：
(1)；
(2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2)2＋lg＋lg 0.06．
解 (1)原式＝＝＝1．
(2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2＝3·lg 5·lg 2＋3lg 5＋3lg22－2
＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2
＝3(lg 2＋lg 5)－2＝3－2＝1．
7．(1)求2(lg)2＋lg·lg 5＋的值；
(2)若log2[log3(log4x)]＝0，log3[log4(log2y)]＝0，求x＋y的值．
解 (1)原式＝lg(2lg＋lg 5)＋
＝lg(lg 2＋lg 5)＋1－lg
＝lg＋1－lg＝1．
(2)因为log2[log3(log4x)]＝0，
所以log3(log4x)＝1，所以log4x＝3，
所以x＝43＝64．
又因为log3[log4(log2y)]＝0，
所以log4(log2y)＝1，所以log2y＝4，
所以y＝24＝16，
所以x＋y＝80．
能力提升
8．已知x，y为正实数，则( )
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y
解析 2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y
＝2lg(xy)．故选D．
答案 D
9．若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是( )
A．a＋＜＜log2(a＋b) B.＜log2(a＋b)＜a＋
C．a＋＜log2(a＋b)＜ D．log2(a＋b)＜a＋＜
解析 令a＝2，b＝，则a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log2∈(1，2)，则＜log2(a＋b)＜a＋，故选B.
答案 B
10．若lg 2＝a，lg 3＝b，则log512等于________．
解析 log512＝＝＝．
答案
11．已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f＝4，则f(2 016)＝________．
解析 由f＝alog2＋blog3＋2＝4，
得－alog22 016－blog32 016＝2．
∴alog22 016＋blog32 016＝－2．
∴f(2 016)＝alog22 016＋blog32 016＋2＝－2＋2＝0．
答案 0
12．已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，求log的值．
解 由lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，得xy＝(x－2y)2，
即x2－5xy＋4y2＝0，化为2－5＋4＝0，
解得＝1或＝4．
又x>0，y>0，x－2y>0，∴>2，∴＝4，
∴log＝log4＝log216＝4．
13．(选做题)已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py．
(1)求p；
(2)求证－＝．
(1)解 设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k．
由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·．
∵log3k≠0，∴p＝2log34．
(2)证明 －＝－＝logk6－logk3＝logk2，
又＝logk4＝logk2，
∴－＝．
§5 对数函数
5．1 对数函数的概念
5．2 对数函数y＝log2x的图像和性质
学习目标 1.理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系(重点)；2.了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数(重、难点)；3.会画具体函数的图像(重点)．
知识点一 对数函数
1.一般地，我们把函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，a叫作对数函数的底数，x是真数，定义域是(0，＋∞)，值域是R．
2.两类特殊的对数函数
（1）常用对数函数：y＝lgx，其底数为10．
（2）自然对数函数：y＝lnx，其底数为无理数e．
【预习评价】
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝ln x B．y＝ln(x＋1)
C．y＝logxe D．y＝logxx
解析 由对数函数的定义知y＝ln x是对数函数，其余三个均不符合对数函数的特征．
答案 A
2．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是________．
解析 由题意知x－1>0，即x>1，故定义域为(1，＋∞)．
答案 (1，＋∞)
知识点二 反函数
指数函数y＝ax(a>0，a≠1)是对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的反函数；同时对数函数y＝logax(a>0，a≠1)也是指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的反函数，即同底的指数函数与对数函数互为反函数．
【预习评价】
1．你能把指数式y＝ax(a>0，a≠1)化成对数式吗？在这个对数式中，x是y的函数吗？
提示 根据对数的定义，得x＝logay(a>0，a≠1)．因为y＝ax是单调函数，每一个y都有唯一确定的x与之对应，所以x是y的函数．
2．函数y＝ax的定义域和值域与y＝logax的定义域和值域有什么关系？
提示 对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，对数函数y＝logax的值域是指数函数y＝ax的定义域．
知识点三 函数y＝log2x的图像和性质
观察函数y＝log2x的图像可得：
图像特征
函数性质
过点(1,0)
当x＝1时，y＝0
在y轴的右侧
定义域是(0，＋∞)
向上、向下无限延伸
值域是R
在直线x＝1右侧，图像位于x轴上方；在直线x＝1左侧，图像位于x轴下方
若x>1，则y>0；若0函数图像从左到右是上升的
在(0，＋∞)上是增函数
【预习评价】
1．如何理解对数函数的概念？
提示 反函数应注意以下几点：
(1)只有一一映射确定的函数才有反函数．
(2)反函数也是函数，是相对而言的．
(3)求反函数的步骤可概括为一解、二换、三写．
(4)互为反函数的两个函数，它们的图像关于直线y＝x对称．
2．如何理解指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x的关系？
提示 (1)如图
(2)在(0，＋∞)内，指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x均单调递增．
题型一 对数函数的定义
【例1】 判断下列函数是否是对数函数？并说明理由．
①y＝logax2(a>0，且a≠1)；②y＝log2x－1；③y＝2log8x；④y＝logxa(x>0，且x≠1)；⑤y＝log5x．
解 因为①中真数是x2，而不是x，所以不是对数函数；
因为②中y＝log2x－1常数项为－1，而非0，故不是对数函数；因为③中log8x前的系数是2，而不是1，所以不是对数函数；因为④中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数．⑤为对数函数．
规律方法 判断一个函数是否是对数函数的方法
(1)看形式：判断一个函数是否是对数函数，关键是看解析式是否符合y＝logax(a>0且a≠1)这一结构形式．
(2)明特征：对数函数的解析式具有三个特征：
①系数为1；
②底数为大于0且不等于1的常数；
③对数的真数仅有自变量x．
只要有一个特征不具备，则不是对数函数．
【训练1】 (1)对数函数y＝log(a－3)(7－a)中，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，7) B．(3,7)
C．(3,4)∪(4,7) D．(3，＋∞)
(2)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，其图像经过点，求f(2)．
(1)解析 由题意得解得3答案 C
(2)解 设f(x)＝logax，由题意知f()＝，故loga＝，所以a＝2，因此a＝，
所以f(2)＝log2＝log()2＝2．
题型二 与对数函数有关的函数定义域问题
【例2】 求下列函数定义域．
(1)f(x)＝lg(x－2)＋；
(2)f(x)＝logx＋1(16－4x)．
解 (1)由得x>2且x≠3，
所以定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
(2)由即
解得－1所以定义域为(－1,0)∪(0,4)．
规律方法 求函数定义域的三个步骤
(1)列不等式(组)：根据函数f(x)有意义列出x满足的不等式(组)．
(2)解不等式(组)：根据不等式(组)的解法步骤求出x满足的范围．
(3)结论：写出函数的定义域．
提醒 (1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．
(2)当对数型函数的底数含字母时，在求定义域时要注意分类讨论．
【训练2】 函数y＝lg的定义域为( )
A. B．
C．(2，＋∞) D．
解析 要使函数y＝lg有意义需2x－3>0，即x>．
答案 A
题型三 求反函数
【例3】 求下列函数的反函数．
(1)y＝10x；(2)y＝x；(3)y＝x；(4)y＝log7x．
解 (1)指数函数y＝10x，它的底数是10，它的反函数是对数函数y＝lg x．
(2)指数函数y＝x，它的底数是，它的反函数是对数函数y＝x．
(3)对数函数y＝x，它的底数是，它的反函数是指数函数y＝x．
(4)对数函数y＝log7x，它的底数是7，它的反函数是指数函数y＝7x．
规律方法 (1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数．
(2)互为反函数的两个函数的定义域、值域相反，并且反函数是相对而言的．
(3)互为反函数的两个函数的图像关于直线y＝x对称．
【训练3】 写出下列函数的反函数(用x表示自变量，y表示函数)．
(1)y＝2.5x；(2)y＝x．
解 (1)函数y＝2.5x的反函数是y＝log2.5x(x>0)．
(2)由y＝x得x＝y，所以函数y＝x的反函数为y＝x.
互动
探究
题型四 函数y＝log2x的图像与性质
【探究1】 根据函数f(x)＝log2x的图像和性质求解以下问题：
(1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围；
(2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最值．
解 函数y＝log2x的图像如图．
(1)∵y＝log2x是增函数，
若f(a)>f(2)，即log2a>log22，则a>2．
∴a的取值范围为(2，＋∞)．
(2)∵2≤x≤14，∴3≤2x－1≤27，
∴log23≤log2(2x－1)≤log227．
∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最小值为log23，最大值为log227．
【探究2】 (1)比较log2与log2的大小；
(2)若log2(2－x)>0，求x的取值范围．
解 (1)函数f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，
又∵>，∴log2>log2．
(2)log2(2－x)>0，即log2(2－x)>log21，
∵函数y＝log2x为增函数，
∴2－x>1，即x<1．
∴x的取值范围为(－∞，1)．
【探究3】 作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图像，并说明其单调性．
解 第一步：作出y＝log2x的图像[如图(1)所示]．
第二步：将y＝log2x的图像沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图像[如图(2)所示]．
第三步：将y＝log2(x＋1)的图像在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴的上方，得y＝|log2(x＋1)|的图像[如图(3)所示]．
第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图像沿y轴方向向上平移2个单位长度，得y＝|log2(x＋1)|＋2的图像[如图(4)所示]．
规律方法 1.函数f(x)＝log2x是最基本的对数函数．它在(0，＋∞)上是单调递增的．利用单调性可以解不等式，求函数值域，比较对数值的大小．
2．(1)一般地，函数y＝f(x±a)±b(a，b均为正数)的图像可由函数y＝f(x)的图像变换得到．
将y＝f(x)的图像向左或向右平移a个单位长度得到函数y＝f(x±a)的图像，再向上或向下平移b个单位长度得到函数y＝f(x±a)±b的图像(记忆口诀：左加右减，上加下减)．
(2)含有绝对值的函数的图像变换是一种对称变换．一般地，y＝f(|x－a|)的图像是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图像与y＝f(x)的图像在x轴上方相同，在x轴下方关于x轴对称．
(3)y＝f(x)的图像与y＝f(－x)的图像关于y轴对称，y＝f(x)的图像与y＝－f(x)的图像关于x轴对称．
课堂达标
1．函数f(x)＝lg(x－1)＋的定义域为( )
A．(1,4] B．(1,4)
C．[1,4] D．[1,4)
解析 解得1答案 A
2．已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－f，b＝f，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．c解析 由题意：a＝f＝f(log25)，
且log25>log24.1>2，1<20.8<2，
因此log25>log24.1>20.8，
结合函数的单调性有：f(log25)>f>f(20.8)，
所以a>b>c，即c答案 C
3．函数y＝ln x的反函数是________．
解析 同底的对数函数与指数函数互为反函数．
答案 y＝ex
4．方程x－log2x＝0的解的个数是________．
解析 在同一坐标系中画出函数y＝x与y＝log2x的图像，如图所示．
由图知它们的图像只有一个交点，即方程x＝log2x仅有一个解，也就是方程x－log2x＝0有一个解．
答案 1
5．求函数y＝log2x＋的定义域．
解 由题意知，∴
故有1，
∴原函数的定义域是．
课堂小结
1．解与对数有关的问题，首先要保证在定义域范围内解题，即真数大于零，底数大于零且不等于1，函数定义域的结果一定要写成集合或区间的形式．
2．指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们定义域与值域互反，图像关于直线y＝x对称．
3．应注意数形结合思想在解题中的应用．
基础过关
1．下列函数中是对数函数的是( )
A．y＝x B．y＝(x＋1)
C．y＝2x D．y＝x＋1
解析 形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函数才是对数函数，只有A是对数函数，故选A．
答案 A
2．函数f(x)＝的定义域为( )
A．(0,2) B．(0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析 要使函数有意义，则解得x>2．
答案 C
3．函数y＝log3x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是( )
A．(0，＋∞) B．R
C．(－∞，0) D．(0,1)
解析 反函数值域为原函数定义域(0，＋∞)．
答案 A
4．已知函数f(x)＝log2x的值域是[1,2]，则它的定义域可用区间表示为________．
解析 ∵f(x)值域为[1,2]．
∴1≤log2x≤2即log22≤log2x≤log24，
又y＝log2x在(0，＋∞)是增函数，
∴2≤x≤4，
∴f(x)定义域为[2,4]．
答案 [2,4]
5．若指数函数f(x)＝ax(x∈R)的部分对应值如下表：
x
0
2
f(x)
1
4
g(x)是f(x)的反函数，则不等式g(x)<0的解集为________．
解析 由a2＝4，∴a＝2，
∴f(x)＝2x，
∴g(x)＝log2x<0的解集为{x|0答案 {x|06．已知对数函数f(x)的图像过点P(8,3)，求f．
解 将P(8,3)代入y＝logax，得loga8＝3，∴a3＝8，∴a＝2，
∴f(x)＝log2x，
从而f＝log2＝－log232＝－5．
7．已知对数函数y＝f(x)过点(4,2)，求f及f(2lg 2)．
解 设y＝logax(a>0且a≠1)，则2＝loga4，故a＝2，即y＝log2x，因此f＝log2＝－1，f(2lg 2)＝log22lg 2＝lg 2．
能力提升
8．已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b解析 因为f(x)是奇函数且在R上是增函数，所以当x>0时，f(x)>0，
从而g(x)＝xf(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，
a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
20．8<2，又4<5.1<8，则2所以0<20.8g(20.8)所以b答案 C
9．设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
解析 取对数：xln 2＝yln 3＝zln 5，＝>(由ln 32>ln 23可得)，∴2x>3y.又∵xln 2＝zln 5，则＝<(由ln52＜ln25可得)，∴2x<5z，∴3y<2x<5z，故选D.
答案 D
10．函数f(x)＝log2[log2(log2x)]的定义域为________．
解析 由f(x)＝log2[log2(log2x)]知log2(log2x)>0，即log2x>1，∴x>2．
答案 (2，＋∞)
11．已知y＝log2(ax＋1)(a≠0)的定义域为(－∞，1)，则a的取值是________．
解析 ∵f(x)的定义域为(－∞，1)，
∴ax＋1>0的解集为(－∞，1)．
∴x＝1是方程ax＋1＝0的根，
∴a＋1＝0，即a＝－1．
答案 －1
12．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)y＝log(x－2)(5－x)．
解 (1)由得x<4且x≠3，
∴所求定义域为(－∞，3)∪(3,4)．
(2)∵∴
∴2∴所求定义域为(2,3)∪(3,5)．
13．(选做题)已知f(x)＝loga(a>0，a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)若f＝1，求a的值．
解 (1)∵f(x)＝loga，需有>0，
即(1＋x)(1－x)>0，(x＋1)(x－1)<0，
∴－1∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)f(x)为奇函数，证明如下：
∵f(－x)＝loga＝loga－1＝－loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)．
∴f(x)为奇函数．
(3)∵f＝loga＝loga3．
∴loga3＝1，故a＝3．
5．3 对数函数的图像和性质
第1课时 对数函数的图像和性质
学习目标 1.掌握对数函数性质，并会运用性质比较大小，求单调区间，解对数不等式等(重、难点)；2.会画对数函数图像，知道多个对数函数图像如何判断相对位置，会对对数函数图像进行简单的变换(重、难点)；3.了解互为反函数的两函数图像关于直线y＝x对称．
预习教材P93－96完成下列问题：
知识点一 对数函数的图像与性质
定义
y＝logax(a>0，且a≠1)
底数
a>1
0图像
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图像过点(1,0) ，即loga1＝0
函数值特点
x∈(0,1)时，y∈(－∞，0) ；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)
x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞) ；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
对称性
函数y＝logax与y＝logx的图像关于x轴 对称；函数y＝logax与y＝ax的图像关于直线y＝x对称.
【预习评价】
1．请你根据所学过的知识，思考对数函数解析式中的底数能否等于0或小于0?
提示 因为y＝logax?x＝ay，而在指数函数中底数a需满足a>0且a≠1，故在对数函数解析式中a的取值范围不能等于0或小于0．
2．结合对数函数的图像说明对数函数的单调性与什么量有关？
提示 对数函数的单调性与解析式中的底数a有关，若a>1，则对数函数是增函数，若0知识点二 不同底的对数函数图像相对位置
一般地，对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0【预习评价】
1．将不同底数的对数函数的图像画在同一平面直角坐标系中，若沿直线y＝1自左向右观察能得到什么结论？
提示 将不同底数的对数函数的图像画在同一个平面直角坐标系中，沿直线y＝1自左向右看对数函数的底数逐渐增大．
2．结合教材P94例5，你认为应怎样比较两个对数式的大小？
提示 第一步：考查相关函数的单调性．
第二步：比较真数的大小．
第三步：得出结论．
知识点三 y＝logaf(x)型函数的单调区间
一般地，形如函数f(x)＝logag(x)的单调区间的求法：①先求g(x)>0的解集(也就是函数的定义域)；②当底数a＞1时，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间；③当底数0＜a＜1时，g(x)的单调区间与f(x)的单调区间正好相反．
【预习评价】
1．若函数y＝loga|x－2|(a>0且a≠1)在区间(1,2)上是增函数，则f(x)在区间(2，＋∞)上的单调性为( )
A．先增后减 B．先减后增
C．单调递增 D．单调递减
解析 当1答案 D
2．函数y＝log2(x2－1)的增区间为________．
解析 ∵由x2－1>0解得定义域为{x|x<－1或x>1}，又y＝log2x在定义域上单调递增，y＝x2－1在(1，＋∞)上单调递增，∴函数的增区间为(1，＋∞)．
答案 (1，＋∞)
题型一 对数值的大小比较
【例1】 比较下列各组中两个值的大小．
(1)log31.9，log32；
(2)log23，log0.32；
(3)logaπ，loga3.14(a>0，a≠1)．
解 (1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，
所以log31.9(2)因为log23>log21＝0，log0.32所以log23>log0.32．
(3)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则有logaπ>loga3.14；
当0综上所得，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0规律方法 比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性．
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用对数函数图像在第一象限顺时针方向底数增大的规律画出函数的图像，再进行比较．
(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．
【训练1】 (1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
(2)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>a>b
解析 (1)a＝log32log22＝1，由对数函数的性质可知log52∴b(2)a＝log23.6＝log43.62，函数y＝log4x在(0，＋∞)上为增函数，3.62>3.6>3.2，所以a>c>b，故选B．
答案 (1)D (2)B
题型二 对数型函数的单调性
【例2】 讨论函数y＝log0.3(3－2x)的单调性．
解 由3－2x>0，解得x<．
设t＝3－2x，x∈．
∵函数y＝log0.3t是减函数，且函数t＝3－2x是减函数，
∴函数y＝log0.3(3－2x)在上是增函数．
规律方法 (1)求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)>0求定义域．
(2)对于复合函数的单调性判断要遵循“同增异减”的原则．
【训练2】 求函数y＝log2(x2－5x＋6)的单调区间．
解 由y＝x2－5x＋6的图像可知，函数y＝log2(x2－5x＋6)的定义域为(－∞，2)∪(3，＋∞)，令u＝x2－5x＋6，可知u＝x2－5x＋6在(－∞，2)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数，而y＝log2u在(0，＋∞)上为增函数，故原函数的单调增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2).
典例
迁移
题型三 对数函数图像问题
【例3】 (1)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系为________．
(2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图像．
(1)解析 由图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a>1，b>1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0过点(0,1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c．
答案 b>a>1>d>c
(2)解 因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，
故f(x)＝log5|x|＝
所以函数y＝log5|x|的图像如图所示．
【迁移1】 (改变问法)例3(2)条件不变，试写出函数f(x)＝loga|x|的值域及单调区间．
解 由例3(2)的图像知f(x)的值域为R，递增区间为(0，＋∞)，递减区间为(－∞，0)．
【迁移2】 (变换条件)若把典例3(2)中的函数改为y＝log5|x＋1|，请画出它的图像．
解 利用图像变换来解题，画出函数y＝log5|x|的图像，将函数y＝log5|x|的图像向左平移1个单位，即可得函数y＝log5|x＋1|的图像，如图所示．
【迁移3】 (变换条件)若把典例3(2)中的函数改为y＝logb(x－1)(b>0且b≠1)，试求该函数恒过的定点．
解 令x－1＝1得x＝2，又y＝logb1＝0，故该函数恒过定点(2,0)．
规律方法 1.根据对数函数图像判断底数大小的方法
作直线y＝1与所给图像相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
2．对数型函数图像恒过定点问题
解决此类问题的根据是对任意的a>0且a≠1，都有loga1＝0.例如，解答函数y＝m＋logaf(x)(a>0且a≠1)的图像恒过定点问题时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点(x，m)．
课堂达标
1．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
解析 要使函数有意义，则x2－2x－8>0，解得x<－2或x>4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为(4，＋∞)，故选D.
答案 D
2．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )
A．aC．a解析 ∵1＝log55>log54>log53>log51＝0，
∴1>a＝log54>log53>b＝(log53)2，
又∵c＝log45>log44＝1.∴c>a>b．
答案 D
3．函数f(x)＝|x|的单调递增区间是( )
A. B．(0,1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
解析 f(x)＝
当x≥1时，f(x)＝x是减函数，f(x)＝－x是增函数．
∴f(x)的单调增区间为[1，＋∞)．
答案 D
4．函数y＝ (x2－6x＋17)的值域为________．
解析 令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，
因为y＝t为减函数，所以y＝t≤8＝－3．
答案 (－∞，－3]
5．比较下列各组数的大小(仿照教材P94例5的解析过程)．
(1)ln 0.3，ln 2．
(2)loga3.1，loga5.2(a>0，a≠1)．
解 (1)因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，且0.3<2，
所以ln 0.3(2)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1<5.2，所以loga3.1当0又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2．
课堂小结
1．与对数函数有关的复合函数单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响．
2．y＝ax与x＝logay图像是相同的，只是为了适应习惯用x表示自变量，y表示因变量，把x＝logay换成y＝logax，y＝logax才与y＝ax关于y＝x对称，因为(a，b)与(b，a)关于y＝x对称．
3．比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图像，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．
基础过关
1．函数y＝ax与y＝－logax(a>0，a≠1)在同一坐标系中的图像形状可能是( )
解析 函数y＝－logax恒过定点(1,0)，排除B项；当a>1时，y＝ax是增函数，y＝－logax是减函数，当0答案 A
2．如图是三个对数函数的图像，则a、b、c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．a>c>b
解析 y＝logax的图像在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a>1，函数y＝logbx，y＝logcx的图像在(0，＋∞)上都是下降的，因此b，c∈(0,1)，又易知c>b，故a>c>b．
答案 D
3．函数y＝loga(2x－3)＋1的图像恒过定点P，则点P的坐标是( )
A．(2,1) B．(2,0)
C．(2，－1) D．(1,1)
解析 当2x－3＝1，即x＝2时，y＝1，故点P的坐标是(2,1)．
答案 A
4．已知函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
解析 ∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，
∴a的取值需满足
解得2答案 {a|25．若loga<1，则a的取值范围是________．
解析 原不等式?或
解得01，
故a的取值范围为∪(1，＋∞)．
答案 ∪(1，＋∞)
6．讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．
解 令u＝3x2－2x－1，则解方程3x2－2x－1＝0，
得x＝1或x＝－，
由二次函数的图像知满足u>0的x范围为，
所以函数的定义域为．
则当a>1时，
若x>1，则u＝3x2－2x－1为增函数，
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数；
若x<－，则u＝3x2－2x－1为减函数．
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数．
当0若x>1，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数；
若x<－，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
7．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图像．
解 ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0．
又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴f(－x)＝lg(1－x)．
又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－lg(1－x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝
f(x)的大致图像如图所示：
能力提升
8．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )
A．c>b>a B．b>c>a
C．a>c>b D．a>b>c
解析 a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，
b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，
c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，
∵log32>log52>log72，∴a>b>c，故选D．
答案 D
9．函数y＝(－x2＋4x＋12)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－2,2) D．(－2,6)
解析 y＝u，u＝－x2＋4x＋12．
令u＝0，解得二元一次方程的根为－2和6，
由函数图像知满足u>0的x的范围为－2当x∈(－2,2)时，u＝－x2＋4x＋12为增函数，
∵y＝(－x2＋4x＋12)为减函数，
∴函数的单调减区间是(－2,2)．
答案 C
10．已知f(x)为对数函数，f＝－2，则f()＝________．
解析 设f(x)＝logax(a>0，a≠1)，
则loga＝－2，
∴＝，a＝，
∴f(x)＝logx，
∴f()＝log＝log2()2＝log22＝．
答案
11．函数y＝log(2x－1)(3－4x)的定义域是________．
解析 要使函数有意义，必有
即
解得答案
12．已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解 (1)当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，必须3－2a>0，a<．
又a是底数，∴a∈(0,1)∪．
(2)令t＝3－ax，则t在[1,2]上递减，要使f(x)在[1,2]上为减函数，必须a>1，
而t在x∈[1,2]上必须恒大于0．
∴∴1∵f(1)＝loga(3－a)＝1，∴3－a＝a.∴a＝．
∴不存在这样的a，使得f(x)在[1,2]上为减函数且最大值为1．
13．(选做题)已知函数f(x)＝(x2－2ax＋3)．
(1)若函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a的值；
(2)若函数f(x)的定义域为R，值域为(－∞，－1]，求实数a的值；
(3)若函数f(x)在(－∞，1]上为增函数，求实数a的取值范围．
解 (1)由x2－2ax＋3>0的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)，
得2a＝1＋3，所以a＝2，即实数a的值为2．
(2)因为函数f(x)的值域为(－∞，－1]，
则f(x)max＝－1，
所以y＝x2－2ax＋3的最小值为ymin＝2，
由y＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2，
得3－a2＝2，所以a2＝1，所以a＝±1．
(3)f(x)在(－∞，1]上为增函数，则y＝x2－2ax＋3在(－∞，1]上为减函数，且y>0，
所以即故1≤a<2．
所以实数a的取值范围是[1,2)．
第2课时 习题课——对数函数的图像及其性质的应用
学习目标 1.进一步加深理解对数函数的概念(重点)；2.掌握对数函数的性质及其应用(重、难点)．
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝loga(2x) B．y＝log22x
C．y＝log2x＋1 D．y＝lg x
解析 选项A、B、C中的函数都不具有“y＝logax(a>0，a≠1)”的形式，只有D选项符合．
答案 D
2．函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是( )
A. B．
C. D．
解析 由可得－答案 D
3．已知函数f(x)＝lg(x2＋1)，则( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数
C．f(x)是R上的增函数 D．f(x)是R上的减函数
解析 因为f(－x)＝lg[(－x)2＋1]＝lg(x2＋1)＝f(x)，且定义域为R，关于原点对称，所以f(x)是偶函数．故选A．
答案 A
4．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f＝0，则不等式f(log4x)<0的解集是________．
解析 由题意可知，f(log4x)<0?－答案
题型一 简单对数不等式
【例1】 已知函数f(x)的图像与g(x)＝logax(a>0且a≠1)的图像关于x轴对称，解不等式f(2x)解 因为f(x)与g(x)的图像关于x轴对称，所以f(x)＝logx，故f(2x)当a>1时，原不等式?
当0所以当a>1时，原不等式的解集是(1，＋∞)，当0规律方法 解对数不等式的两种类型及转化方法
(1)当a>1时，①logaf(x)>b＝logaab?f(x)>ab；
②logaf(x)>logag(x)?
(2)当0b＝logaab?
②logaf(x)>logag(x)?
提醒 解简单对数不等式时不要忘记真数大于0这一条件．
【训练1】 (1)已知log0.7(2x)(2)若a∈R，且loga(2a＋1)解析 (1)原不等式???x>1．
(2)原不等式等价于或
解得a∈?或答案 (1) (1，＋∞) (2)
题型二 对数型复合函数的值域或最值
【例2】 求y＝(x)2－ x＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
解 因为2≤x≤4，所以2≥x≥4，
即－1≥x≥－2．
设t＝x，则－2≤t≤－1，
所以y＝t2－t＋5，其图像的对称轴为直线t＝，
所以当t＝－2时，ymax＝10；当t＝－1时，ymin＝．
规律方法 (1)这类问题一般通过换元法转化为一次函数或二次函数的最值问题．
(2)注意换元时新元的范围．
【训练2】 已知实数x满足4x－10·2x＋16≤0，求函数y＝(log3x)2－log3＋2的值域．
解 不等式4x－10·2x＋16≤0可化为(2x)2－10·2x＋16≤0，
即(2x－2)(2x－8)≤0.从而有2≤2x≤8，即1≤x≤3．
所以0≤log3x≤1．
由于函数y＝(log3x)2－log3＋2可化为
y＝(log3x)2－log3x＋2＝2＋，
当log3x＝时，ymin＝；当log3x＝1时，ymax＝．
所以，所求函数的值域为.
考查
方向
题型三 对数型函数的综合应用
方向1 对数型函数的单调性与奇偶性
【例3－1】 已知函数f(x)＝loga(a>0，a≠1，m≠1)是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)探究函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性．
解 (1)由已知条件得f(－x)＋f(x)＝0对定义域中的x均成立．
∴loga＋loga＝0，
即·＝1，
∴m2x2－1＝x2－1对定义域中的x均成立．
∴m2＝1，即m＝1(舍去)或m＝－1．
(2)由(1)得f(x)＝loga．
设t＝＝＝1＋，
∴当x1>x2>1时，
t1－t2＝－＝<0，
∴t1当a>1时，logat1∴当a>1时，f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
同理当0方向2 利用数形结合思想解有关对数函数的问题
【例3－2】 已知函数f(x)＝|log2x|，正数m，n满足mA.，2 B．，2
C．， D．，4
解析 画出函数f(x)＝|log2x|的图像的大致示意图，如图所示
已知正数m，n满足m所以0因为f(m)＝f(n)，
所以|log2m|＝|log2n|，即－log2m＝log2n，
所以log2mn＝0，解得mn＝1．
结合题图知，函数f(x)＝|log2x|在(0,1)为减函数，在(1，＋∞)为增函数．因为0函数f(x)在区间[m2，n]上，当x＝m2时，f(x)取得最大值，即f(m2)＝|log2m2|＝－log2m2＝2，解得m＝．
所以n＝2．
答案 A
规律方法 1.判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．
2．求函数的单调区间有两种思路：(1)易得到单调区间的，可用定义法来求证；(2)利用复合函数的单调性求得单调区间．
课堂达标
1．函数y＝的定义域为( )
A. B．
C．(1，＋∞) D．∪(1，＋∞)
解析 由得即故选A．
答案 A
2．已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为( )
A．[－1,1] B．
C．[1,2] D．[，4]
解析 ∵－1≤x≤1，∴2－1≤2x≤2，即≤2x≤2．
∴y＝f(x)的定义域为，即≤log2x≤2，
∴≤x≤4．
答案 D
3．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为________．
解析 函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)，
令y1＝ax，y2＝loga(x＋1)，显然在[0,1]上，y1＝ax与y2＝loga(x＋1)同增或同减．
因而[f(x)]max＋[f(x)]min＝f(1)＋f(0)
＝a＋loga2＋1＋0＝a，解得a＝．
答案
4．已知函数f(x)＝则f=________．
解析 ∵>0，∴f＝log2＝－2，
∴f＝f(－2)＝3－2＝．
答案
5．若函数y＝lg(ax2＋ax＋1)的定义域为R，求实数a的取值范围．
解 当a＝0时，y＝lg 1，符合题意；
当a≠0时，由题意得得0综上，得a的取值范围是0≤a<4．
课堂小结
1．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．
2．明确函数图像的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图像．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图像．
3．需要注意的问题
(1)由logaf(x)>logag(x)利用单调性去掉对数符号时，务必保证f(x)>0，g(x)>0，否则就扩大了自变量的取值范围．
(2)复合函数的单调性规律“同增异减”：内、外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内、外层函数单调性相反时，复合函数为减函数．
基础过关
1．若f(x)＝mlog2x为对数函数，则( )
A．m＝1 B．m＝2
C．m∈R D．m＝－1
解析 只有形如y＝logax(a>0且a≠1)的函数，才是对数函数．
答案 A
2．若对数函数过点(4,2)，则其解析式为( )
A．y＝x B．y＝2x
C．y＝log4x D．y＝log2x
解析 设解析式为y＝logax(a>0且a≠1)，因为点(4,2)在对数函数图像上，故2＝loga4，即a＝2．
答案 D
3．函数f(x)＝loga(2－x)的定义域为( )
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，0)
解析 由题意2－x>0即x<2，故定义域为(－∞，2)．
答案 C
4．若函数f(x)＝loga＋1x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为________．
解析 因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以a＋1>1，即a>0．
答案 a>0
5．函数f(x)＝loga(x＋1)＋1(a>0且a≠1)的图像必经过定点________．
解析 当x＝0时，f(0)＝loga1＋1＝1，
函数图像必过定点(0,1)．
答案 (0,1)
6．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．
解 (1)要使函数有意义，则有
解之得－3所以函数的定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为：f(x)＝loga(1－x)(x＋3)
＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]，
因为－3所以0<－(x＋1)2＋4≤4，
因为0所以loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，
即f(x)min＝loga4，由loga4＝－4，得a－4＝4，
所以a＝4－＝．
7．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值以及y取最大值时x的值．
解 ∵f(x)＝2＋log3x，
∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2
＝(2＋log3x)2＋2＋2log3x
＝(log3x)2＋6log3x＋6
＝(log3x＋3)2－3．
∵函数f(x)的定义域为[1,9]，
∴要使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有意义，
必须满足∴1≤x≤3，
∴0≤log3x≤1.∴6≤y＝(log3x＋3)2－3≤13．
当log3x＝1，即x＝3时，y＝13．
∴当x＝3时，函数y＝[f(x)]2＋f(x2)取得最大值13．
能力提升
8．已知函数y＝loga(8－3ax)在[1,2]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0,1) B．
C. D．(1，＋∞)
解析 因为a>0，所以t＝8－3ax为减函数，而当a>1时，y＝logat是增函数，所以y＝loga(8－3ax)是减函数，于是a>1.由8－3ax>0，得a<在[1,2]上恒成立，
所以a<min＝＝．
答案 B
9．设函数f(x)定义在实数集R上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则有( )
A．fC．f解析 由f(2－x)＝f(x)得x＝1是函数f(x)的一条对称轴，又x≥1时，f(x)＝ln x单调递增，所以x<1时，函数单调递减．又f(2)＝f(0)，
所以f答案 C
10．若x∈(10－1,1)，a＝lgx，b＝2lg x，c＝lg3x，则a，b，c的大小关系是________．
解析 因为x∈(10－1,1)，所以lg x∈(－1,0)，即－1答案 b11．已知f(x)＝log(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．
解析 二次函数y＝x2－ax＋3a的对称轴为x＝，
由已知，应有≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，
即解得－4答案 (－4,4]
12．已知函数f(x)＝loga(a>0，a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性和单调性．
解 (1)要使此函数有意义，则有
或
解得x>1或x<－1，
此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(2)f(－x)＝loga＝loga
＝－loga＝－f(x)．
又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，
∴f(x)为奇函数．
f(x)＝loga＝loga，
函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减．
所以当a>1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减；
当013．(选做题)若不等式x2－logmx<0(m>0，且m≠1)在内恒成立，求实数m的取值范围．
解 由x2－logmx<0，得x2在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的图像，
要使x2∵当x＝时，y＝x2＝，
∴只要x＝时，y＝logm≥＝logmm．
∴≤m，即≤m．
又0故所求m的取值范围是．
§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
学习目标 1.了解指数增长、幂增长、对数增长的意义(重点)；2.能结合具体实际问题，建立恰当函数模型(重、难点)．
知识点一 三种函数模型的性质
1．当a>1时，指数函数y＝ax在R上是增函数，对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数；
当0对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数．
2．幂函数y＝xα，当α>0时，在(0，＋∞)上是增函数．
【预习评价】
1．若x∈(1,2)，则下列结论正确的是( )
A．2x>x>lg x B．2x>lg x>x
C．x>2x>lg x D．x>lg x>2x
解析 ∵x∈(1,2)，∴2x>2．
∴x∈(1，)，lg x∈(0,1)．
∴2x>x>lg x．
答案 A
2．当x>4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4的大小关系是________．
解析 三个已知函数按增长速度由慢到快排列为y＝log4x，y＝x4，y＝4x，当x＝4时，b＝log44＝1，a＝c＝44，
所以a，b，c的大小关系是b答案 b知识点二 三种函数的增长趋势
当a>1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．
当a>1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．
当x>0，n>1时，幂函数y＝xn是增函数，并且当x>1时，n越大其函数值的增长就越快．
【预习评价】
1．在函数y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增长速度最快的是________．
解析 由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异可判断出y＝3x的增长速度最快．
答案 y＝3x
2．如图所示曲线反映的是__________ 函数模型的增长趋势．
解析 由图像知，此函数的增长速度越来越慢，因此反映的是幂函数模型或对数型函数模型的增长速度．
答案 幂函数或对数型
知识点三 三种函数的增长对比
对数函数y＝logax(a>1)增长最慢，幂函数y＝xn(n>0)，指数函数y＝ax(a>1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有ax>xn>logax．
【预习评价】
1．在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有logax提示 不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，logax2．能否举例说明“指数爆炸”增长的含义？
提示 如1个细胞分裂x次后的数量为y＝2x，此为“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从图像上看出，存在x0，当x>x0时，数量增加特别快，足以体现“爆炸”的效果．
题型一 函数模型的增长差异
【例1】 (1)当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的应该是( )
A．y＝10 000x B．y＝log2x
C．y＝x1 000 D．y＝x
(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
32 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________．
解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝x增长速度最快．
(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化．
答案 (1)D (2)y2
规律方法 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax【训练1】 下列函数中随x增大而增大速度最快的是( )
A．2 014ln x B．y＝x2 014
C．y＝ D．y＝2 014·2x
解析 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝2 014·2x的增长速度最快．故选D．
答案 D
题型二 函数模型的选择问题
【例2】 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本y(单位：元/102kg)与上市时间x(单位：天)的数据如下表：
时间x
50
110
250
种植成本y
150
108
150
(1)根据上述表格中的数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本y与上市时间x的变化关系：
y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，
y＝a·bx，y＝alogax．
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低的上市天数及最低种植成本．
解 (1)由表格中数据可知，种植成本不是常函数，
∴a≠0，而此时y＝ax＋b，y＝a·bx，y＝alogax均为单调函数，
与表中数据不符，因此y＝ax2＋bx＋c，将三组数据代入
得得
∴描述西红柿种植成本y与上市时间x的关系为
y＝x2－x＋．
(2)当x＝150时，ymin＝100(元/102kg)．
规律方法 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数．
2．函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容，解题的关键在于通过对已知数据的分析，得出重要信息，根据解题积累的经验，从已有的各类型函数中选择模拟，进行数据的拟合．
【训练2】 某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
年份
2010
2011
2012
产量
8(万)
18(万)
30(万)
如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系？
解 建立年产量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)．
(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
将点坐标代入，
可得解得a＝1，b＝7，c＝0，
则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1．
(2)构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，
将点坐标代入，可得
解得a＝，b＝，c＝－42．
则g(x)＝·x－42，
故g(4)＝·4－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系.
典例
迁移
题型三 指数函数、对数函数与幂函数模型的比较
【例3】
函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数．
(2)结合函数图像，判断f(6)，g(6)，f(2 011)，g(2 011)的大小．
解 (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x．
(2)因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，所以1x2.从图像上可以看出，当x1x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 011)>g(2 011)．又因为g(2 011)>g(6)，所以f(2 011)>g(2 011)>g(6)>f(6)．
【迁移1】 (改变问法)本例条件不变，(2)中结论若改为：试结合图像，判断f(8)，g(8)，f(2 015)，g(2 015)的大小．解 因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，所以1x2.从图像上可以看出，当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 015)>g(2 015)．又因为g(2 015)>g(8)，所以f(2 015)>
g(2 015)>g(8)>f(8)．
【迁移2】 (改变条件，改变问法)函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示：
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数．
(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
解 (1)曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x．
(2)当0f(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，g(x)＝f(x)．
规律方法 由图像判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图像判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图像上升得快慢，即随着自变量的增长，图像最“陡”的函数是指数函数，图像趋于平缓的函数是对数函数．
课堂达标
1．下列函数中，增长速度最慢的是( )
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
解析 对数函数增长的速度越来越慢，故选B．
答案 B
2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图像大致是( )
解析 设该林区的森林原有蓄积量为a，
由题意得，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，
∴y＝f(x)的图像大致为D中图像．
答案 D
3．当a>1时，有下列结论：
①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快；
②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；
③对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快；
④对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快．
其中正确的结论是________．
答案 ①④
4．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为____________．
解析 设解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
由解得k＝－，b＝50，
∴y＝－x＋50(0答案 y＝－x＋50(05．2003年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，那么经过多少年我国国民生产总值是2003年的2倍？(lg 2＝0.301 0，lg 1.08＝0.033 4，精确到1年)
解 设经过x年，国民生产总值是2003年的2倍．经过1年，总产值为a(1＋8%)；
经过2年，总产值为[a(1＋8%)](1＋8%)；
……
经过x年后，总产值为a(1＋8%)x，
即a(1＋8%)x＝2a．
所以1.08x＝2，两边取常用对数得lg 1.08x＝lg 2．
所以x＝＝≈9(年)．
答 约经过9年，我国国民生产总值是2003年的2倍．
课堂小结
三种函数模型的表达式及其增长特点的总结
(1)指数函数模型：表达式为f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0)，当b>1时，增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”；当0(2)对数函数模型：表达式为f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m>0)，当a>1时，增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”；当0(3)幂函数模型：表达式为f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1，α>0)，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型．
基础过关
1．今年小王用7 200元买了一台笔记本电脑，由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低，则三年后这种笔记本的价格是( )
A．7 200×3 B．7 200×3
C．7 200×2 D．7 200×2
解析 由于小王用7 200元买了一台笔记本电脑，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低，故一年后，这种笔记本电脑的价格为7 200－7 200×＝7 200×，两年后，价格为
7 200××＝7 200×2，三年后这种笔记本电脑的价格为7 200×3．
答案 B
2．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
解析 由题中图像可知，该函数模型为指数函数．
答案 A
3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
解析 由已知第一年有100只，得a＝100．
将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，
得y＝300．
答案 A
4．若a>1，n>0，那么当x足够大时，ax，xn，logax中最大的是________．
解析 由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知ax>xn>logax．
答案 ax
5．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料质量M kg、火箭(除燃料外)质量m kg的关系是u＝2 000ln，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s．
解析 由题意得2 000ln＝12 000．
∴ln＝6，从而＝e6－1．
答案 e6－1
6．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为v(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现v与log3成正比，且当Q＝900时，v＝1．
(1)求出v关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．
解 (1)设v＝k·log3(k≠0)，
∵当Q＝900时，v＝1，∴1＝k·log3，
∴k＝，
∴v关于Q的函数解析式为v＝log3．
(2)令v＝1.5，则1.5＝log3，
∴Q＝2 700，
∴一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2 700个单位．
7．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x的图像如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．
解 由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1．
由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；
当1g(x)>h(x)；
当ef(x)>h(x)；
当ah(x)>f(x)；
当bg(x)>f(x)；
当cf(x)>g(x)；
当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．
能力提升
8．向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是( )
解析 取OH的中点(如图)E作h轴的垂线，由图知当水深h达到容量一半时，体积V大于一半．易知B符合题意．
答案 B
9．下面对函数f(x)＝x，g(x)＝x与h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法正确的是( )
A．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢
B．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快
C．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢
D．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快
解析 函数f(x)＝x，g(x)＝x与h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的大致图像如图所示．观察图像，可知函数f(x)的图像在区间(0,1)上衰减较快，但衰减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢．同样，函数g(x)的图像在区间(0，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢．函数h(x)的图像在区间(0,1)上衰减较快，但衰减速度越来越慢；在区间(1，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢，故选C．
答案 C
10．三个变量y1、y2、y3随变量x的变化情况如表：
x
1.00
3.00
5.00
7.00
9.00
11.00
y1
5
135
625
1 715
3 645
6 655
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5.00
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40
其中x呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________．
解析 根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y2随着x的增大而迅速增加，呈指数函数型变化，y3随着x的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化，y1相对于y2的变化要慢一些，呈幂函数型变化．
答案 y3 y2 y1
11．如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图像．有以下叙述：
①第4个月时，残留量就会低于；
②每月减少的有害物质量都相等；
③若残留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3．
其中所有正确叙述的序号是________．
解析 根据题意，函数的图像经过点，
故函数为y＝t.易知①③正确．
答案 ①③
12．现有某种细胞100个，每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，且每次只有占总数的细胞分裂，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)．
解 现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数：
1小时后，细胞总数为×100＋×100×2＝×100(个)；
2小时后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100(个)；
3小时后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100(个)；
4小时后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100(个)．
可归纳出，细胞总数y(个)与时间x(小时)之间的函数关系为y＝100×x，x∈N*．
由100×x>1010，得x>108，
两边同时取以10为底的对数，得xlg>8，
∴x>．
∵＝≈45.45，
∴x>45.45．
故经过46小时，细胞总数超过1010个．
13．(选做题)我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音的强度用瓦/米2(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1表示，它们满足以下公式：L1＝10lg(单位为分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答下列问题：
(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m2，试分别求出它们的强度水平；
(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的范围为多少？
解 (1)由题意知：树叶沙沙声的强度水平为
L2＝10lg＝10lg 1＝0(分贝)；
耳语的强度水平为
L3＝10lg＝10lg 102＝20(分贝)；
恬静的无线电广播的强度水平为
L4＝10lg＝10lg 104＝40(分贝)．
(2)由题意知0≤L1<50，
即0≤10lg<50，
所以1≤<105，
即1×10－12≤I<1×10－7．
所以新建的安静小区的声音强度I的范围为[1×10－12,1×10－7)．
章末复习课
网络构建
核心归纳
知识点一 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像与性质
一般地，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像与性质如下表所示：
a>1
0图像
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x>0时，0当x<0时，y>1
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
注意 (1)对于a>1与0(2)a>1时，a值越大，图像向上越靠近y轴；0(3)
在同一坐标系中有多个指数函数图像时，图像的相对位置与底数大小有如下关系：在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过如图，令x＝1时，y＝a，y=b,y=c去理解，如图．
知识点二 对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图像与性质
a>1
0图像
性质
定义域是(0，＋∞)
值域是R
当x＝1时，y＝0，即图像过定点(1,0)
当x>1时，y>0；
当0当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
知识点三 对数函数与指数函数的关系
对数函数y＝logax(a>0，a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，a≠1)互为反函数，其图像关于直线y＝x对称．(如图)
知识点四 幂函数与指数函数的区别
幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．
要点一 有关指数、对数的运算问题
指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容．
指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等．换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用．
【例1】 (1)化简：÷×；
(2)计算：2log32－log3＋log38－25log53．
解 (1)原式＝××ab＝×a×ab＝a．
(2)原式＝log34－log3＋log38－52log53
＝log3－52log53＝2－9＝－7．
【训练1】 －＋log3＋log3＝________．
解析 －＋log3＋log3＝－3＋log31＝＋0＝．
答案
要点二 函数的图像
函数图像是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图造式、图像变换以及用图像解题．函数图像形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果．
【例2】 函数y＝x＋1的图像关于直线y＝x对称的图像大致是( )
解析 函数y＝x＋1的图像如图所示，关于y＝x对称的图像大致为A选项对应图像．
答案 A
【训练2】 函数y＝(0解析 当x>0时，y＝＝ax.又0答案 D
要点三 比较大小
比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，其基本方法是：将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值，其主要方法可分以下三种：
(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；
(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0,1，－1等；
(3)采用数形结合的方法，通过函数的图像解决．
【例3】 设a＝3，b＝0.2，c＝2，则( )
A．aC．c解析 a＝3<0,01，故有a答案 A
【训练3】 设a＝log2π，b＝π，c＝π－2，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>b>a
解析 因为π>2，所以a＝log2π>1，所以b＝π<0.因为π>1，所以0<π－2<1，即0c>b．
答案 C
要点四 指数、对数函数图像与性质的综合应用
1．指数函数与对数函数性质的对比
(1)相同点：指数函数与对数函数的图像和性质都与底数a的取值有关．当a变化时函数的图像与性质也随之改变．
(2)不同点：①指数函数的图像恒过定点(0,1)，而对数函数的图像恒过定点(1,0)；②指数函数与对数函数的定义域与值域均不同，但它们的定义域与值域正好互换．
(3)联系：
①指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数；
②两函数的图像关于直线y＝x对称．
2．指数函数与幂函数的区别与联系
函数
表达式
相同点
不同点
指数函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
右边都是幂的形式
指数是自变量，底数是常数
幂函数
y＝xα(α∈R)
底数是自变量，指数是常数
【例4】 已知函数f(x)＝log9(9x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．
(1)求k的值．
(2)若函数y＝f(x)的图像与直线y＝x＋b没有交点，求b的取值范围．
(3)设h(x)＝log9，若函数f(x)与h(x)的图像有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
解 (1)因为f(x)为偶函数，所以对任意x∈R，f(－x)＝f(x)，即log9(9－x＋1)－kx＝log9(9x＋1)＋kx对于任意x∈R恒成立．
于是2kx＝log9(9－x＋1)－log9(9x＋1)＝log9－log9(9x＋1)＝－x恒成立，而x不恒为零，所以k＝－．
(2)由题意知方程log9(9x＋1)－x＝x＋b，即方程log9(9x＋1)－x＝b无解．令g(x)＝log9(9x＋1)－x，则函数y＝g(x)的图像与直线y＝b无交点．因为g(x)＝log9＝log9，所以g(x)在(－∞，＋∞)上是单调减函数．因为1＋>1，所以g(x)＝log9>0.所以b的取值范围是(－∞，0]．
(3)由题意知方程3x＋＝a·3x－a有且只有一个实数根．令3x＝t>0，则关于t的方程(a－1)t2－at－1＝0(记为(*))有且只有一个正根．若a＝1，则t＝－，不合题意，舍去．若a≠1，则方程(*)的两根异号或有两相等正根．方程(*)的两根异号?(a－1)·(－1)<0?a>1.由Δ＝0?a＝或－3；但a＝?t＝－2，不合题意，舍去；而a＝－3?t＝；综上所述，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．
【训练4】 已知偶函数f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，f＝0，求不等式f(logax)>0(a>0，且a≠1)的解集．
解 ∵f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，又f＝0，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，f＝0．
故若f(logax)>0，则有logax>或logax<－．
①当a>1时，由logax>或logax<－，
得x>或0②当0或logax<－，
得0．
综上可知，当a>1时，f(logax)>0的解集为∪(，＋∞)；当00的解集为(0，)∪.
考查
方向
要点五 体现在指数函数、对数函数中的数学思想
方向1 函数思想
函数是描述客观世界变化规律的重要模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．本章学习的三种不同类型的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数)刻画了客观世界中三类不同的变化规律，具有不同对应关系的变化现象．利用函数的意义解指数、对数方程，利用函数的单调性比较两个数的大小和解有关指数、对数的不等式是本章中运用函数思想解题的重要体现．
【例5－1】 如果x1是方程x＋lg x＝3的一个根，x2是方程x＋10x＝3的一个根，那么x1＋x2的值是( )
A．6 B．3
C．2 D．1
解析 将已知的两个方程变形，得lg x＝3－x,10x＝3－x．
令f(x)＝lg x，g(x)＝10x，h(x)＝3－x．
如图所示，记g(x)与h(x)的图像的交点为A(x1，y1)，f(x)与h(x)的图像的交点为B(x2，y2)，利用函数的性质易知A，B两点关于直线y＝x对称，便有x1＝y2，x2＝y1．
将点A的坐标代入h(x)，得y1＝3－x1．
再将y1＝x2代入上式，得x2＝3－x1，即x1＋x2＝3．
答案 B
方向2 数形结合思想
数形结合思想在解决对数函数问题中应用比较广泛．特别是在求有关对数方程解的个数或已知解的个数求参数的取值(范围)等问题时，常将已知数量关系转化到图像中，从而使问题直观、易解．
【例5－2】 已知不等式2x－logax<0在x∈时恒成立，求实数a的取值范围．
解 要使不等式2x－logax<0，即2x由图可知，loga>，显然0∴函数y＝logax是减函数．
∵loga>＝logaa，
∴a>，即a>．
故实数a的取值范围为．
方向3 分类讨论思想
我们以前就接触过分类讨论的思想方法，即根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决．应特别注意的是，当讨论的对象不止一种时，应分层进行，以避免混乱，分大类时有一个统一的标准，每一大类中再分几小类可另有统一的标准．
【例5－3】 解关于x的不等式：loga(4＋3x－x2)－loga(2x－1)>loga2(a>0，a≠1)．
解 原不等式可化为loga(4＋3x－x2)>loga2(2x－1)．
①当a>1时，有即
∴②当0即
∴2综上可知，当a>1时，原不等式的解集为；
当0章末检测(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)
1．若a<，则化简的结果是( )
A. B．－
C. D．－
解析 ∵a<，∴2a－1<0．
于是，原式＝＝．
答案 C
2．比较1.5、23.1、2的大小关系是( )
A．23.1<2<1.5 B．1.5<23.1<2
C．1.5<2<23.1 D．2<1.5<23.1
解析 由函数y＝2x为R上的增函数可得，23.1>2．
又由幂函数y＝x的单调性知，1.5<2，
∴1.5<2<23.1，故选C．
答案 C
3．函数y＝2＋log2(x2＋3)(x≥1)的值域为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．[4，＋∞) D．[3，＋∞)
解析 ∵x≥1，∴x2＋3≥4，
∴log2(x2＋3)≥2，则有y≥4．
答案 C
4．已知幂函数f(x)满足f＝9，则f(x)的图像所分布的象限是( )
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第一、四象限 D．只在第一象限
解析 设f(x)＝xn，则n＝9，n＝－2．
∴f(x)＝x－2，因此f(x)的图像在第一、二象限．
答案 A
5．若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－1)A．(0,10) B．
C. D.∪(10，＋∞)
解析 因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，因为f(x)在(－∞，0)内单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)内单调递增，故|lg x|>1，即lg x>1或lg x<－1，解得x>10或0答案 D
6．下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是( )
A．(－∞，1] B．
C. D．[1,2)
解析 法一 当2－x≥1，即x≤1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减．当0<2－x≤1，即1≤x<2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1,2)上单调递增，故选D．
法二 f(x)＝|ln(2－x)|的图像如图．
由图像可得，函数f(x)在区间[1,2)上为增函数，故选D．
答案 D
7．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于( )
A. B．2x－2
C．x D．log2x
解析 由题意知f(x)＝logax，
∵f(2)＝1，∴loga2＝1，
∴a＝2，∴f(x)＝log2x．
答案 D
8．已知集合A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝，则A∩B等于( )
A.
B．{y|0C.
D．?
解析 ∵x>1，∴y＝log2x>log21＝0，
∴A＝(0，＋∞)，
又∵x>1，∴y＝x<，∴b＝．
∴A∩B＝．
答案 A
9．已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是( )
A. B．
C．(0,1) D．
解析 要使函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，需满足解得≤a<，故选A．
答案 A
10．设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析 由f(x)是奇函数可得a＝－1，
∴f(x)＝lg，定义域为(－1,1)．
由f(x)<0，可得0<<1，∴－1答案 A
11．函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像大致是( )
解析 由函数y＝f(x)的图像知，当x∈(0,2)时，f(x)≥1，所以f(x)≤0．
又函数f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以y＝f(x)在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数．结合各选项知，选C．
答案 C
12．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是( )
A．(3,13) B．
C. D．
解析 由图可见：
因为|log3b|＝|log3a|，log3b＝－log3a，log3b＋log3a＝0，ab＝1，所以abc＝c∈．
答案 B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数f(x)＝ax－2过定点P，且对数函数g(x)的图像过点P，则g(x)＝________．
解析 设g(x)＝logbx(b>0且b≠1)，
因为f(x)＝ax－2过定点P(2,1)，
故g(2)＝1，所以b＝2，故g(x)＝log2x．
答案 log2x
14．计算：lg＋2lg 2－－1＝________．
解析 原式＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝－1．
答案 －1
15．设loga<1，则实数a的取值范围是________．
解析 当a>1时loga<0显然符合题意，
当0综上01．
答案 01
16．已知实数a，b满足等式2 011a＝2 012b，下列五个关系式：①0解析 设2 011a＝2 012b＝t，如图所示，由函数图像，可得
(1)若t>1，则有a>b>0；
(2)若t＝1，则有a＝b＝0；
(3)若0故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．
答案 ③④
三、解答题(本大题共6个小题，共70分)
17．(10分)计算：(1)－0＋－0.5＋．
(2)lg 500＋lg－lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2．
解 (1)原式＝＋1－1＋＋e－＝＋e．
(2)原式＝lg 5＋lg 102＋lg 23－lg 5－lg 26＋50(lg 10)2＝lg 5＋2＋3lg 2－lg 5－3lg 2＋50＝52．
18．(12分)已知a>0，且a≠1，若函数f(x)＝2ax－5在区间[－1,2]的最大值为10，求a的值．
解 当0当x＝－1时，函数f(x)取得最大值，则由2a－1－5＝10，得a＝，
当a>1时，f(x)在[－1,2]上是增函数，
当x＝2时，函数f(x)取得最大值，则由2a2－5＝10，
得a＝或a＝－(舍)，
综上所述，a＝或．
19．(12分)已知幂函数f(x)＝x (m∈N*)．
(1)确定函数的定义域，并说明定义域上的单调性；
(2)若函数经过点(2，)，确定m的值，并求f(2－a)>f(a－1)时a的取值范围．
解 (1)因为m∈N*，所以m2＋m＝m(m＋1)为偶数，令m2＋m＝2k，k∈N*，则f(x)＝，
所以定义域为[0，＋∞)，且在[0，＋∞)上单调递增．
(2)因为＝2，所以m2＋m＝2得m＝1或m＝－2(舍去)．所以f(x)＝x，
由f(2－a)>f(a－1)得(2－a)>(a－1)，
解2－a>a－1≥0得1≤a<，
所以a的取值范围为．
20．(12分)已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)的图像过点(4,2)．
(1)求a的值；
(2)若g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)，求g(x)的解析式及定义域；
(3)在(2)的条件下，求g(x)的单调减区间．
解 (1)由已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)的图像过点(4,2)，则2＝loga4，即a2＝4，
又a>0且a≠1，所以a＝2．
(2)g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)
＝log2(1－x)＋log2(1＋x)．
由
得－1定义域为(－1,1)．
(3)g(x)＝log2(1－x)＋log2(1＋x)＝log2(1－x2)，
其单调减区间为[0,1)．
21．(12分)已知函数f(x)＝loga(x－1)(a>0，且a≠1)，g(x)＝loga(3－x)(a>0，且a≠1)．
(1)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的定义域；
(2)利用对数函数的单调性，讨论不等式f(x)≥g(x)中x的取值范围．
解 (1)要使函数h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(x－1)－loga(3－x)有意义，需有
解得1故函数h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为(1,3)．
(2)因为不等式f(x)≥g(x)，
即loga(x－1)≥loga(3－x)，
当a>1时，有
解得2≤x<3．
当0解得1综上可得，当a>1时，不等式f(x)≥g(x)中x的取值范围为[2,3)；当022．(12分)如图，A、B、C是函数y＝f(x)＝logx图像上的三点，它们的横坐标分别是t，t＋2，t＋4(t≥1)．
(1)设△ABC的面积为S，求S＝g(t)；
(2)若函数S＝g(t)解 (1)S＝g(t)＝＋－
＝log2＝log2．
(2)∵函数g(t)在区间[1，＋∞)上单调递减，
∴g(t)max＝g(1)＝log2．
∴g(t)max＝log2∴>，∴0即m的取值范围是．
