期末专题复习--因式分解
一．巩固基础：
典例精析：
例1.(1)下列各式分解因式正确的是( )
A. B.
C. D.
(2)多项式分解因式的结果是( )
A. B. C. D.
（3）若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
（4）分解因式：3x2﹣6x2y+3xy2＝_______________
（5）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
（6）对于非零的两个实数a，b，规定，那么将结果再进行分解因式，则为（ ）
A． B． C． D．
(7)若多项式分解因式的结果为，则的值为
(8)y﹣2x+1是4xy﹣4x2﹣y2﹣k的一个因式，则k的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．4
题组训练：
1.下列变形属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）=x2﹣4 B．x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2
C．x2﹣6xy+9y2=（x﹣3y）2 D．3（5﹣x）=﹣3（x﹣5）
2．多项式4x﹣x3分解因式的结果是（ ）
A．x（4﹣x2） B．x（2﹣x）（2+x） C．x（x﹣2）（x+2） D．x（2﹣x）2
3．下列式子直接能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若代数式x2+4x+m通过变形可以写成（x+n）2的形式，那么m的值是（ ）
A．4 B．8 C．±4 D．16
6.多项式（x+2）（2x-1）-（x+2）可以因式分解成（x+m）（2x+n），则m-n的值是（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
7.多项式2x2﹣8因式分解的结果是_______________
8. 若多项式（、是常数）分解因式后，有一个因式是x-3，则3m-n的值
为____________________
典例精析：
例2.因式分解下列各式：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
题组训练：
因式分解下列各式：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）5mx2﹣10mxy+5my2 （8）
二．应用提升：
典例精析：
例3.先阅读下列材料，然后解后面的问题．
材料：一个三位自然数 （百位数字为，十位数字为，个位数字为），若满足，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．
（1）对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；
（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．
题组训练：
1．给出三个多项式：，，．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
2.仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
典例精析：
例4.发现与探索．（1）根据小明的解答将下列各式因式分解
小明的解答：
①, ②, ③
（2）根据小丽的思考解决下列问题：
小丽的思考：代数式无论取何值都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4．
①说明：代数式的最小值为．
②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值．
题组训练：
教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式=
=；例如求代数式的最小值，
=，可知当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：_____________________
（2）当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
（3）当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
期末专题复习--整式的乘除答案
一．巩固基础：
典例精析：
例1.
（1）答案：A
解析：∵，故A选项正确；
∵，故B选项错误；
∵，故C选项错误；
∵，故D选项错误，故选择A
（2）答案：B
解析：
故选择B
（3）答案：A
解析：∵二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），
∴
∴，∴，故选择A
（4）答案：
解析：3x2﹣6x2y+3xy2
(5)答案：C
解析：∵， ，，
，故选择C
（6）答案：B
解析：，故选择B
（7）答案：
解析：∵多项式分解因式的结果为，
∴，∴，
∴
（8）答案：B
解析：∵
设，其中一个因式为：，
∴，∴，∴，故选择B
题组训练：
1.答案：D
解析：A选项是计算，B选项是多项式形变，C是因式分解，D代数式形变，
故选择D
2.答案：B
解析：∵，故选择B
3.答案：A
解析：，故选择A
4.答案：C
解析：∵，故A错误；
∵，故B错误；
∵，故C正确；
∵在实数范围内不能分解，故D错误，故选择C
5.答案：A
解析：∵，∴，故选择A
6.答案：C
解析：∵
∴，∴，故选择C
7.答案：
解析：
8.答案：9
解析：∵多项式（、是常数）分解因式后，有一个因式是x-3，
设另一个因式为，
∴，
∴
典例精析：
例2.因式分解下列各式：
（1） （2）
解：原式 解：原式
（3） （4）
解：原式 解：原式
（5） （6）
解：原式 解：原式
（7）
解：原式
（8）
解：原式
题组训练：
因式分解下列各式：
（1） （2）
解：原式 解：原式
（3） （4）
解：原式 解：原式
（5） （6）
解：原式 解：原式
（7）5mx2﹣10mxy+5my2 （8）
解：原式 解：原式
二．应用提升：
典例精析：
例3.（1）证明：∵为欢喜数，
∴．
∵=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b，b能被9整除，
∴11b能被99整除，99a能被99整除，
∴“欢喜数”能被99整除；
（2）设,(且）
∵
∵均为整数，
∴或
∵
或
∴或
∴若，则的值为99或297．
题组训练：
1.解析：
2.解析：设另一个因式为（x+a），得
则
∴
解得：a=4，k=20
故另一个因式为（x+4），k的值为20
典例精析：
例4.
解析：（1）①
②
③
（2）①，无论a取何值（a﹣6）2都大于等于0，再加上﹣16，
则代数式（a﹣6）2﹣16大于等于﹣16，
则的最小值为﹣16；
②无论a取何值﹣（a+1）2都小于等于0，再加上8，
则代数式﹣（a+1）2+8小于等于8，
则﹣（a+1）2+8的最大值为8，
．
无论a取何值﹣（a﹣6）2都小于等于0，再加上28，
则代数式﹣（a﹣6）2+28小于等于28，
则﹣a2+12a﹣8的最大值为28．
题组训练：
解析：（1）分解因式：．
（2）解：=
所以当时，原多项式有最小值5．
（3）解：原式==
所以当时，有最小值17．
