21.2.2 第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质(要点讲解+当堂检测+答案)

沪科版数学九年级上册同步学案
第二十一章　二次函数与反比例函数
21.2.2　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
要 点 讲 解
要点一　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
二次函数y＝ax2＋k的图象与性质总结如下：
a的符号
a>0(k>0)
a<0(k>0)
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴
y轴
顶点坐标
(0，k)
(0，k)
增减性
当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大
当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小
最值
当x＝0时，y有最小值，y最小值＝k
当x＝0时，y有最大值，y最大值＝k
经典例题1　已知点(－2，y1)，(－1，y2)，(3，y3)在函数y＝x2＋1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　　)
A. y1>y2>y3　　 B. y3>y1>y2
C. y3>y2>y1 D. y2>y1>y3
解析：因为抛物线y＝x2＋1开口向上，对称轴是y轴，所以在y轴左侧，y随x的增大而减小，在y轴右侧，y随x的增大而增大.点(3，y3)关于y轴的对称点是(－3，y3)，又因为－1>－2>－3，所以y3>y1>y2，故选B.
答案：B
要点二　二次函数y＝ax2＋k图象的平移
当k>0时，y＝ax2＋k是将y＝ax2的图象向上平移|k|个单位得到的；当k<0时，y＝ax2＋k是将y＝ax2的图象向下平移|k|个单位得到的.
在抛物线的平移过程中，因为抛物线上任意一点的平移情况都是一致的，故常以点代线，通过研究顶点的平移情况来研究整条抛物线的平移情况.
经典例题2　抛物线y＝x2－5是由抛物线y＝x2经过怎样的平移得到的，并求：
(1)顶点坐标、对称轴及函数值y随x的变化情况；
(2)函数的最大(小)值.
解：抛物线y＝x2－5是由抛物线y＝x2向下平移5个单位得到的.
(1)顶点坐标是(0，－5)；对称轴是y轴；x<0时，函数值y随x的增大而减小；x>0时，函数值y随x的增大而增大.
(2)当x＝0时，函数有最小值－5，无最大值.
点拨：(1)抛物线y＝ax2平移的方向和距离取决于k的值.当k>0时，将抛物线y＝ax2向上平移k个单位，得抛物线y＝ax2＋k；当k<0时，将抛物线y＝ax2向下平移|k|个单位，得抛物线y＝ax2＋k.(2)函数值y随x的变化情况分为x>0与x<0两种情况.(3)函数有最大值还是最小值取决于a的符号.
当 堂 检 测
1. 函数y＝－x2－3的图象的顶点是(　　)
A. (0，3) B. (－，) C. (0，－3) D. (－1，－3)
2. 抛物线y＝2x2－1的(　　)
A. 开口方向向上，且有最高点 B. 开口方向向上，且有最低点
C. 开口方向向下，且有最高点 D. 开口方向向下，且有最低点
3. 二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是(　　)
A. 抛物线开口向下 B. 抛物线经过点(2，3)
C. 抛物线的对称轴是直线x＝1 D. 抛物线与x轴有两个交点
4. 若二次函数y＝ax2＋c的图象在x轴上方，且与x轴没有交点，则必有(　　)
A. a＞0，c为任意实数 B. a＜0，c＜0
C. a＞0，c＞0 D. a，c均为不等于零的实数
5. 若在同一直角坐标系中，作y＝x2，y＝x2＋2，y＝－2x2＋1的图象，则它们(　　)
A. 都关于y轴对称 B. 开口方向相同
C. 都经过原点 D. 互相可以通过平移得到
6. 将抛物线y＝x2向上平移2个单位所得的抛物线的表达式是(　　)
A. y＝x2＋2 B. y＝x2－2
C. y＝(x＋2)2 D. y＝(x－2)2
7. 抛物线y＝－2x2－3开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小.
8. 抛物线y＝ax2＋(a－2)的顶点在x轴的下方，则a的取值范围是 .
9. 已知抛物线y＝2x2，若抛物线不动，把坐标轴向下平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的函数表达是 ，顶点坐标是 .
10. 二次函数y＝ax2－2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1，m).
(1)求a，m的值；
(2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大.
当堂检测参考答案
1. C 2. B 3. D 4. C 5. A 6. A
7. 下 y轴 (0，－3) ＜0 ＞0
10. 解：(1)∵点P(1，m)在y＝2x－1的图象上，∴m＝2×1－1＝1.又∵P(1，1)在y＝ax2－2的图象上，∴1＝a－2.∴a＝3.
(2)y＝3x2－2，当x＞0时，y随x的增大而增大.