21.2.1 二次函数y＝ax2的图象和性质(要点讲解+当堂检测+答案)

沪科版数学九年级上册同步学案
第二十一章　二次函数与反比例函数
21.2　二次函数的图象和性质
21.2.1　二次函数y＝ax2的图象和性质
要 点 讲 解
要点　二次函数y＝ax2的图象和性质
1. 抛物线定义：二次函数y＝ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线，我们把这条曲线叫做抛物线.
2. 二次函数y＝ax2(a≠0)的性质可列表归纳如下：
函数
图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最大(小)值
y＝ax2 (a>0)
向上
(0，0)
y轴
x>0时，y随x增大而增大；x<0时，y随x增大而减小
当x＝0时，y最小值＝0，且y没有最大值，即y≥0
y＝ax2 (a<0)
向下
(0，0)
y轴
x>0时，y随x增大而减小；x<0时，y随x增大而增大
当x＝0时，y最大值＝0，且y没有最小值，即y≤0
点拨：抛物线是一个轴对称图形，开口方向、对称轴、顶点通常被称为抛物线的三要素.
3. 抛物线y＝ax2开口方向、大小与系数a的关系
(1)a的符号决定抛物线开口方向，a为正，开口向上；a为负，开口向下.
(2)|a|的大小决定抛物线开口的大小，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大.
4. 抛物线y＝ax2上点的坐标特征
由于抛物线y＝ax2关于y轴对称，所以若点A(x，y)在抛物线y＝ax2的图象上，则点A′(－x，y)也在抛物线y＝ax2的图象上.
点拨：(1)由于x可取一切实数，所以描点法所画的图象只是整个函数图象的一部分，是近似的图象，图象应是向两方无限延伸的；(2)点取的越多，图象画的越精确；(3)图象必须平滑.
经典例题1　已知y＝(k＋1)xk2－2是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的k的值；
(2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个抛物线的最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？
(3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？
解：(1)由题意，得解得k＝±2.
∴当k＝±2时，原函数是二次函数.
(2)若抛物线有最低点，则抛物线的开口向上，
∴k＋1>0，即k>－1，∴k＝2.
∴该抛物线的表达式为y＝3x2，
∴抛物线的顶点为(0，0)，
当x>0时，y随x的增大而增大.
(3)若抛物线有最大值，则抛物线的开口向下，
∴k＋1<0，∴k<－1，∴k＝－2.
∴抛物线的表达式为y＝－x2，顶点坐标为(0，0).
∴函数最大值为0，当x<0时，y随x的增大而减小.
点拨：(1)对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点，顶点不是抛物线与y轴的交点；(2)a的绝对值越大，抛物线的开口越小.
经典例题2　若A(－，y1)，B(－1，y2)，C(，y3)是二次函数y＝－x2的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是(　　　)
A. y1C. y2解析：因为a＝－<0，所以当x<0时，y随x的增大而增大.又由抛物线的对称性知，y3的大小等于函数在x＝－时的函数值.因为0>－>－>－1，所以y2答案：C
点拨：比较抛物线上几个点的纵坐标的大小时，首先要判断所给的点是否在对称轴的同侧，若在对称轴的同侧，利用函数的增减性直接判断；若不在对称轴的同侧，就利用抛物线的对称性把它们转化到对称轴的同侧，然后再比较.
易错易混警示　对二次函数y＝ax2的图象和性质理解不透
经典例题3　已知函数y＝(1－n)xn2＋n－4是关于x的二次函数，当n为何值时，抛物线有最低点？并求出这个最低点的坐标.
解：∵函数y＝(1－n)xn2＋n－4是关于x的二次函数，
∴
解得n＝2或n＝－3.
∵抛物线有最低点，∴1－n>0，即n<1.∴n＝－3.
∴当n＝－3时，抛物线有最低点，这个最低点的坐标是(0，0).
点拨：抛物线有最低点或最高点是由抛物线y＝ax2(a≠0)的二次项系数a的符号决定的：当a>0时，抛物线开口向上，有最低点；当a<0时，抛物线开口向下，有最高点.而此题常错误地认为n>0时，抛物线有最低点.正确的答案应为1－n>0，即n<1时，抛物线有最低点，因为二次项系数是1－n.
当 堂 检 测
1. 抛物线y＝ax2(a＜0)的图象一定经过(　　)
A. 第一、二象限　　 B. 第三、四象限
C. 第一、三象限 D. 第二、四象限
2. 苹果熟了，从树上落下经过的路程s与下落时间t满足关系式s＝gt2(g＝9.8)，则s与t的函数图象大致是(　　)
A B C D
3. 二次函数y＝3x2与y＝－3x2的图象的共同点是(　　)
A. 开口向上，对称轴是y轴
B. 开口向下，对称轴是y轴
C. 顶点在原点，对称轴是y轴
D. 顶点在原点，对称轴是x轴
4. 对于函数y＝6x2，下列说法正确的是(　　)
A. 当x＞0时，y随x的增大而减小
B. 当x＜0时，y随x的增大而减小
C. y随x的增大而减小
D. y随x的增大而增大
5. 二次函数y＝x2，y＝x2，y＝－x2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y轴为对称轴；④当x＞0，y都随x的增大而减小.其中正确的个数有(　　)
A. 1个　 B. 2个 C. 3个　 D. 4个
6. 若A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)为二次函数y＝－2020x2的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)
A. y1＜y2＜y3 B. y3＜y2＜y1
C. y1＜y3＜y2 D. y2＜y1＜y3
7. 若抛物线y＝ax2经过点(1，－)，则当x＞0时，y随x的增大而 ；当x＜0时，y随x的增大而 .
8. 已知二次函数y＝x2.
(1)指出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)画出这个函数的图象.
9. 已知y与x2成正比例，且经过点(2，－2).
(1)求此抛物线的表达式；
(2)写出这个抛物线的对称轴和顶点坐标；
(3)试说明当x＜0时，函数值的变化情况.
当堂检测参考答案
1. B 2. B 3. C 4. B 5. B 6. C
7. 减小 增大
8. 解：(1)图象的开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，0).
(2)列表：
x
…
－5
－3
－1
0
1
3
5
…
y＝x2
…
2.5
0.9
0.1
0
0.1
0.9
2.5
…
描点并用平滑曲线连接，得到的函数图象如图所示.
9. 解：(1)设y＝kx2(k≠0)，当x＝2时，y＝－2，∴k＝－，∴y＝－x2.