21.2.2 第4课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质(要点讲解+当堂检测+答案)

沪科版数学九年级上册同步学案
第二十一章　二次函数与反比例函数
21.2.2　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第4课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
要 点 讲 解
要点一　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线，与抛物线y＝ax2的形状相同，位置不同，利用配方法可以将y＝ax2＋bx＋c转化为顶点式，即y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋x)＋c＝a[x2＋x＋()2－()2]＋c＝a(x＋)2＋.
2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质
(1)当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－，顶点坐标为(－，).当x<－时，y随x的增大而减小；当x>－时，y随x的增大而增大；当x＝－时，y有最小值.
(2)当a<0时，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－，顶点坐标为(－，).当x<－时，y随x的增大而增大；当x>－时，y随x的增大而减小；当x＝－时，y有最小值.
经典例题1　已知抛物线y＝－x2＋2x－3，下列结论中不正确的是(　　　)
A. 抛物线的最大值是－2
B. x<1时，y随x的增大而减小
C. 图象的对称轴是直线x＝1
D. 图象与y轴的交点在x轴下方
解析：因为y＝－x2＋2x－3＝－(x－1)2－2，所以可得出以下结论：当x＝1时，抛物线有最大值为－2，故A正确；x<1时，y随x的增大而增大，故B错误；图象的对称轴是直线x＝1，故C正确；令x＝0，则y＝－3，即图象与y轴的交点为(0，－3)，在x轴的下方，故D正确.故选B.
答案：B
点拨：将函数表达式配方成顶点式，再由顶点式确定对称轴和顶点坐标.
要点二　二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的平移
利用二次函数图象平移的规律求平移后的函数的表达式，首先要把函数表达式化为顶点式：y＝a(x＋h)2＋k.
经典例题2　将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线表达式是(　　　)
A. y＝(x－4)2－6　　 B. y＝(x－4)2－2
C. y＝(x－2)2－2 D. y＝(x－1)2－3
解析：∵y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，∴向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线表达式是y＝(x－3－1)2－4＋2＝(x－4)2－2，故选B.
答案：B
要点三　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与系数a，b，c之间的关系
系数
图象的特征
系数的符号
a
开口向上
a>0
开口向下
a<0
b
对称轴为y轴
b＝0
对称轴(直线x＝－)在y轴左侧
a，b同号，即ab>0
对称轴(直线x＝－)在y轴右侧
a，b异号，即ab<0
c
经过原点
c＝0
与y轴正半轴相交
c>0
与y轴负半轴相交
c<0
经典例题3　已知一次函数y＝－kx＋k的图象如图所示，则二次函数y＝－kx2－2x＋k的图象大致是(　　　)
A B
C D
解析：由一次函数图象可知k>1，∴二次函数y＝－kx2－2x＋k的图象开口向下；∵对称轴为x＝－＝－>－1，∴对称轴在x＝－1的右侧；∵k>1，∴与y轴的交点在(0，1)的上方，综上所述，选B.
答案：B
点拨：解答此类问题，可以根据系数的取值情况对函数图象所在的位置进行讨论，能同时满足条件的就是正确的选项.
易错易混警示　不能准确判断a，b，c的符号
我们常忽略图象的作用，不能根据函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质准确地判断a，b，c的符号.
经典例题4　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列关于a，b，c的关系判断正确的是(　　　)
A. ab<0 B. bc<0 C. a＋b＋c>0 D. a－b＋c<0
解析：由图象可知a<0，c<0，由于对称轴在y轴左侧，所以x＝－<0，所以b<0，所以选项A，B都是错误的.当x取任意实数时，函数值都是负数，所以当x＝－1时，y＝a×(－1)2＋b×(－1)＋c＝a－b＋c<0；当x＝1时，y＝a＋b＋c<0，故选项C是错误的，选项D是正确的.
答案：D
点拨：a的符号由抛物线的开口方向决定，b的符号由抛物线的对称轴和开口方向决定，c符号由抛物线与y轴的交点决定，a＋b＋c的符号由x＝1时y的符号决定，a－b＋c的符号由x＝－1时y的符号决定.
当 堂 检 测
1. 二次函数y＝x2＋4x－5的图象的对称轴是(　　)
A. 直线x＝2 B. 直线x＝4
C. 直线x＝－5 D. 直线x＝－2
2. 二次函数y＝x2＋2x－3的开口方向、顶点坐标分别是(　　)
A. 开口向上、顶点坐标为(－1，－4)
B. 开口向下、顶点坐标为(1，4)
C. 开口向上、顶点坐标为(1，4)
D. 开口向下、顶点坐标为(－1，－4)
3. 对于二次函数y＝－x2＋x－4，下列说法正确的是(　　)
A. 当x＞0时，y随x的增大而增大
B. 当x＝2时，y有最大值－3
C. 图象的顶点坐标为(－2，－7)
D. 图象与x轴有两个交点
4. 将函数y＝x2＋x的图象向右平移a个单位，得到函数y＝x2－3x＋2的图象，则a的值为(　　)
A. 1　　 B. 2　 C. 3　　 D. 4
5. 把二次函数y＝x2＋3x＋的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是(　　)
A. y＝(x－5)2＋1 B. y＝(x＋1)2－5
C. y＝x2－ D. y＝x2＋x＋
6. 一次函数y＝ax＋c(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一个坐标系中的图象可能是(　　)
A B C D
7. 抛物线y＝ax2－4x－6的顶点的横坐标是－2，则a＝ .
8. 若A(－，y1)，B(－1，y2)，C(，y3)为二次函数y＝－x2－4x＋5图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为 .
9. 已知二次函数：①y＝x2；②y＝－x2；③y＝(x－1)2＋2.其中，图象通过平移可以得到函数y＝x2＋2x－3的图象的有 .(填写正确选项的序号)
10. 如图所示，抛物线y＝x2＋mx＋n交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点P是它的顶点，点A的横坐标是－3，点B的横坐标是1.
(1)求m，n的值；
(2)求直线PC的表达式.
当堂检测参考答案
1. D 2. A 3. B 4. B 5. D 6. D
7. －1
8. y2＞y1＞y3
9. ①③
(2)∵y＝x2＋x－，∴P(－1，－2)，C(0，－).设直线PC的表达式是y＝kx＋b，则解得k＝，b＝－，∴直线PC的表达式是y＝x－.