21.3 二次函数与一元二次方程(要点讲解+当堂检测+答案)

沪科版数学九年级上册同步学案
第二十一章　二次函数与反比例函数
21.3　二次函数与一元二次方程
要 点 讲 解
要点一　二次函数与一元二次方程的联系
1. 二次函数图象与一元二次方程是“形”与“数”的有机结合，一方面可以根据函数图象的特征来分析方程中的数量关系，另一方面也可以由方程中的某些数量关系得出函数图象的特征.当二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值y＝0时，恰好得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).此时，方程的根是二次函数的图象与x轴交点的横坐标.
2. 方程实数根的个数就是函数图象与x轴交点的个数.根据方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ就能判断二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的个数，即对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ>0时，二次函数的图象与x轴有两个交点；当Δ＝0时，二次函数的图象与x轴有唯一一个交点(即顶点)；当Δ<0时，二次函数的图象与x轴没有交点.
经典例题1　已知关于x的函数y＝ax2＋x＋1(a为常数)：
(1)若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；
(2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围.
解：(1)当a＝0时，函数为y＝x＋1，它的图象与x轴只有一个交点(－1，0).
当a≠0时，依题意得方程ax2＋x＋1＝0有两个相等实数根.
∴Δ＝1－4a＝0，∴a＝. ∴当a＝0或a＝时，函数图象与x轴恰有一个交点.
(2)依题意有>0，当4a>0，4a－1>0时，解得a>；
当4a<0，4a－1<0，解得a<0. ∴a>或a<0.
∴当a>或a<0时，抛物线顶点始终在x轴上方.
点拨：图象与x轴的交点个数：(1)当Δ＝b2－4ac>0时，图象与x轴交于两点A(x1，0)，B(x2，0)(x1≠x2)，这两点间的距离AB＝|x2－x1|＝.(2)当Δ＝0时，图象与x轴只有一个交点.(3)当Δ<0时，图象与x轴没有交点.
要点二　用二次函数的图象解一元二次方程
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)可以看成是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值等于0时的特殊情况，因此抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根.可通过抛物线与x轴交点的位置确定一元二次方程的解或近似解.
用二次函数的图象解一元二次方程的近似解时，解的整数部分可以观察图象得到，解的小数部分的探求需用到函数的性质.当x取x1，x2时，若对应的y1，y2异号，则方程必有一根在x1与x2之间，据此采用逐步逼近的方法能使得到的根的精确度越来越高.
要点三　二次函数与一元二次不等式的关系
求不等式ax2＋bx＋c>0的解集，就是求x为何值时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值y>0；求不等式ax2＋bx＋c<0的解集，就是求x为何值时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值y<0.具体如下表：(以a>0为例)
b2－4ac的符号
b2－4ac>0
b2－4ac＝0
b2－4ac<0
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点
两个交点
一个交点(即顶点)
没有交点
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
两个不等实数根x＝
两个相等实数根x＝－
无解
一元
二次
不等
式
ax2＋bx＋c>0(a>0)
xx2
x≠－
全体实数
ax2＋bx＋c<0(a>0)
x1无解
无解
由二次函数的图象确定一元二次不等式解集的关键是找出二次函数图象与x轴的交点.图象在x轴上方的部分，所对应的自变量x的取值范围就是一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集.图象在x轴下方的部分，所对应的自变量x的取值范围就是一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集.
经典例题2　抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是(　　　)
A. x>－1　　　 B. x<2
C. －12
解析：图象与x轴两交点的横坐标为x＝－1与x＝2，由图象又知当－1答案：C
点拨：利用函数图象解不等式，当函数值y>0时，图象上的点在x轴的上方；当函数值y<0时，图象上的点在x轴的下方.
易错易混警示　忽略隐含条件考虑问题不周全
有些函数表达式中含有字母系数，要求我们能够根据题目所提供的情况确定字母系数的取值范围，我们常因没有仔细审题、认真分析题目中与字母系数有关的要求，考虑问题不全面而导致错误.
经典例题3　已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　　)
A. k<4　　　　 B. k≤4
C. k<4且k≠3 D. k≤4且k≠3
解析：当k－3＝0，即k＝3时，函数为y＝2x＋1，此一次函数与x轴有一个交点；当k－3≠0时，此函数为二次函数，当Δ＝22－4(k－3)≥0，即k≤4且k≠3时，函数图象与x轴有交点.综上所述，当k≤4时，函数图象与x轴有交点，故选B.
答案：B
点拨：不要受思维定式的影响，主观臆断此函数一定是二次函数，考虑问题不全面而导致错误，由于题中没有明确函数是一次函数还是二次函数，因而要分k－3＝0和k－3≠0两种情况进行讨论.
当 堂 检 测
1. 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是－3和1，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴是(　　)
A. x＝0　　 B. x＝－2 C. x＝－1 D. 以上都不对
2. 抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点个数是(　　)
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
3. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－5＝0的根的情况是(　　)
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不确定
4. 下列表格是二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解的范围是(　　)
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2＋bx＋c
－0.03
－0.01
0.02
0.04
A. 6＜x＜6.17 B. 6.17＜x＜6.18
C. 6.18＜x＜6.19 D. 6.19＜x＜6.20
5. 抛物线y＝kx2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是(　　)
A. k＞－ B. k≥－且k≠0
C. k≥－ D. k＞－且k≠0
6. 抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是(　　)
A. －4＜x＜1 B. －3＜x＜1
C. x＜－1或x＞1 D. x＜－3或x＞1

第6题 第7题
7. 已知函数y1＝x2与函数y2＝－x＋3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是(　　)
A. －＜x＜2 B. x＞2或x＜－
C. －2＜x＜ D. x＜－2或x＞
8. 已知抛物线y＝2x2－4x＋m的顶点在x轴上，则m的值是 .
9. 小颖用几何画板软件探索方程ax2＋bx＋c＝0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为x1≈－4.5，则方程的另一个近似根为x2≈ (精确到0.1).
10. 由二次函数y＝－(x＋1)(x－2)的图象，可知当x的取值范围是 时，y≤0.
11. 已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1的图象与x轴有交点，求m的取值范围.
当堂检测参考答案
1. C 2. D 3. C 4. C 5. B 6. B 7. C
8. 2
9. 2.5
10. x≤－1或x≥2
11. 解：当m＋6＝0，即m＝－6时，y＝－14x－5，此时函数为一次函数，其图象与x轴有交点.当m