21.4 第1课时 求几何图形面积的最值问题(要点讲解+当堂检测+答案)
文档属性
| 名称 | 21.4 第1课时 求几何图形面积的最值问题(要点讲解+当堂检测+答案) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-06-17 10:59:05 | ||
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文档简介
沪科版数学九年级上册同步学案
第二十一章 二次函数与反比例函数
21.4 二次函数的应用
第1课时 求几何图形面积的最值问题
要 点 讲 解
要点一 求二次函数的最大(或最小)值
将二次函数表达式配方成顶点式y＝a(x＋h)2＋k即可得出最大(最小)值.a>0时，k是最小值；a<0时，k是最大值.
要点二 利用二次函数求几何图形面积的最值问题
“求最大面积”的问题是二次函数的一类应用题，首先要分析几何图形，求得两个变量(其中一个变量为图形的面积)之间的二次函数关系，然后利用二次函数的性质求最大面积.
“求最大面积”的问题是代数、几何的综合题，涉及的图形有三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等，因此深入研究几何图形的大小关系、列出关于两个变量的关系式尤为重要.
经典例题1 如图①，若要建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙(墙长18米)，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米.
求：(1)若养鸡场面积为150平方米，养鸡场的长和宽各为多少米？
(2)养鸡场面积可能达到200平方米吗？
(3)如图②，若在养鸡场内要用竹篱笆加建一道隔栏，则养鸡场最大面积可达多少平方米？
解：(1)设养鸡场宽为x米，则x(33－2x＋2)＝150，解得x1＝10，x2＝7.5(不合题意，舍去)，
∴长为15米，宽为10米.
(2)不能.理由如下：
解方程x(33－2x＋2)＝200，
整理，得－2x2＋35x－200＝0.
∵b2－4ac＝352－4×(－2)×(－200)＝－375<0，
∴方程无实数根.
∴养鸡场面积不能达到200平方米.
(3)设此时面积为S平方米，宽为x米，则
S＝x(33－3x＋2)＝－3(x－)2＋，
∴此时养鸡场面积最大值为平方米.
点拨：利用图形面积公式或把不规则图形分割、组合等，列出图形面积与相关线段的二次函数表达式，然后利用二次函数的最值求出面积的最值.
易错易混警示 在应用二次函数知识解决实际问题的最大(小)值时忽略自变量的取值对最大(小)值的影响
利用二次函数解决实际问题时，忽略了实际问题中自变量的取值范围，使所求的解不符合实际意义.
经典例题2 如图所示，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2.
(1)求S关于x的函数表达式.
(2)如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
(3)能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.
解：(1)∵宽AB＝xm，则长BC＝(24－3x)m，
∴面积S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x.
(2)由S＝－3x2＋24x＝45，即x2－8x＋15＝0，解得x1＝5，x2＝3.
∵0<24－3x≤10，解得≤x<8，∴仅有x1＝5符合题意.
∴AB＝5m，即花圃的宽AB为5m.
(3)能.∵S＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48，∴当≤x<8时，S最大值在x＝处取得，当花圃宽AB＝m，长BC＝10m时，S最大值＝46>45.
即花圃的长取10m，宽取4m时，达到最大面积46m2.
点拨：本题易忽视墙的最大可用长度为10m，即0<24－3x≤10，即x的取值范围为≤x<8；第(2)问x＝3不在此范围内，应舍去；第(3)问x＝4也不在此范围内，应根据函数的增减性求解，x＝时S最大.
当 堂 检 测
1. 已知0≤x＜，那么函数y＝－2x2＋8x－6的最大值是( )
A. －6 B. －2.5 C. 2 D. 不能确定
2. 用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x(单位：m)与面积y(单位：m2)满足函数表达式y＝－(x－12)2＋144(0＜x＜24)，则矩形面积的最大值为( )
A. 12m2 B. 144m2 C. 108m2 D. 36m2
3. 小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是( )
A. 4cm2 B. 8cm2 C. 16cm2 D. 32cm2
4. 二次函数y＝2(x－3)2－4的最小值为 .
5. 二次函数y＝x2－4x＋k的最小值是1，则k的值是 .
6. 如图，线段AB＝6，点C是AB上一点，点D是AC的中点，分别以AD，DC，CB为边作正方形，则AC＝ 时，三个正方形的面积之和最小.
第6题 第7题
7. 如图所示，用长为8m的木板围建一个一边靠墙的矩形养鸡场，则养鸡场的最大面积为 m2.
8. 某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成.若设花园垂直于墙的一边的长为x(m)，花园的面积为y(m2).
(1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)根据(1)中求得的函数表达式，描述其图象的变化趋势，并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？
当堂检测参考答案
1. B 2. B 3. A
4. －4
5. 5
6. 4
7. 8
8. 解：(1)由题意可知，y＝x(40－2x)，即y＝－2(x－10)2＋200.∵0＜40－2x≤15，∴12.5≤x＜20.
第二十一章 二次函数与反比例函数
21.4 二次函数的应用
第1课时 求几何图形面积的最值问题
要 点 讲 解
要点一 求二次函数的最大(或最小)值
将二次函数表达式配方成顶点式y＝a(x＋h)2＋k即可得出最大(最小)值.a>0时，k是最小值；a<0时，k是最大值.
要点二 利用二次函数求几何图形面积的最值问题
“求最大面积”的问题是二次函数的一类应用题，首先要分析几何图形，求得两个变量(其中一个变量为图形的面积)之间的二次函数关系，然后利用二次函数的性质求最大面积.
“求最大面积”的问题是代数、几何的综合题，涉及的图形有三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等，因此深入研究几何图形的大小关系、列出关于两个变量的关系式尤为重要.
经典例题1 如图①，若要建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙(墙长18米)，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米.
求：(1)若养鸡场面积为150平方米，养鸡场的长和宽各为多少米？
(2)养鸡场面积可能达到200平方米吗？
(3)如图②，若在养鸡场内要用竹篱笆加建一道隔栏，则养鸡场最大面积可达多少平方米？
解：(1)设养鸡场宽为x米，则x(33－2x＋2)＝150，解得x1＝10，x2＝7.5(不合题意，舍去)，
∴长为15米，宽为10米.
(2)不能.理由如下：
解方程x(33－2x＋2)＝200，
整理，得－2x2＋35x－200＝0.
∵b2－4ac＝352－4×(－2)×(－200)＝－375<0，
∴方程无实数根.
∴养鸡场面积不能达到200平方米.
(3)设此时面积为S平方米，宽为x米，则
S＝x(33－3x＋2)＝－3(x－)2＋，
∴此时养鸡场面积最大值为平方米.
点拨：利用图形面积公式或把不规则图形分割、组合等，列出图形面积与相关线段的二次函数表达式，然后利用二次函数的最值求出面积的最值.
易错易混警示 在应用二次函数知识解决实际问题的最大(小)值时忽略自变量的取值对最大(小)值的影响
利用二次函数解决实际问题时，忽略了实际问题中自变量的取值范围，使所求的解不符合实际意义.
经典例题2 如图所示，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2.
(1)求S关于x的函数表达式.
(2)如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
(3)能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.
解：(1)∵宽AB＝xm，则长BC＝(24－3x)m，
∴面积S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x.
(2)由S＝－3x2＋24x＝45，即x2－8x＋15＝0，解得x1＝5，x2＝3.
∵0<24－3x≤10，解得≤x<8，∴仅有x1＝5符合题意.
∴AB＝5m，即花圃的宽AB为5m.
(3)能.∵S＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48，∴当≤x<8时，S最大值在x＝处取得，当花圃宽AB＝m，长BC＝10m时，S最大值＝46>45.
即花圃的长取10m，宽取4m时，达到最大面积46m2.
点拨：本题易忽视墙的最大可用长度为10m，即0<24－3x≤10，即x的取值范围为≤x<8；第(2)问x＝3不在此范围内，应舍去；第(3)问x＝4也不在此范围内，应根据函数的增减性求解，x＝时S最大.
当 堂 检 测
1. 已知0≤x＜，那么函数y＝－2x2＋8x－6的最大值是( )
A. －6 B. －2.5 C. 2 D. 不能确定
2. 用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x(单位：m)与面积y(单位：m2)满足函数表达式y＝－(x－12)2＋144(0＜x＜24)，则矩形面积的最大值为( )
A. 12m2 B. 144m2 C. 108m2 D. 36m2
3. 小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是( )
A. 4cm2 B. 8cm2 C. 16cm2 D. 32cm2
4. 二次函数y＝2(x－3)2－4的最小值为 .
5. 二次函数y＝x2－4x＋k的最小值是1，则k的值是 .
6. 如图，线段AB＝6，点C是AB上一点，点D是AC的中点，分别以AD，DC，CB为边作正方形，则AC＝ 时，三个正方形的面积之和最小.
第6题 第7题
7. 如图所示，用长为8m的木板围建一个一边靠墙的矩形养鸡场，则养鸡场的最大面积为 m2.
8. 某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成.若设花园垂直于墙的一边的长为x(m)，花园的面积为y(m2).
(1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)根据(1)中求得的函数表达式，描述其图象的变化趋势，并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？
当堂检测参考答案
1. B 2. B 3. A
4. －4
5. 5
6. 4
7. 8
8. 解：(1)由题意可知，y＝x(40－2x)，即y＝－2(x－10)2＋200.∵0＜40－2x≤15，∴12.5≤x＜20.