21.4 第2课时 求“抛物线”形建筑问题(要点讲解+当堂检测+答案)
文档属性
| 名称 | 21.4 第2课时 求“抛物线”形建筑问题(要点讲解+当堂检测+答案) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-06-17 11:00:29 | ||
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文档简介
沪科版数学九年级上册同步学案
第二十一章 二次函数与反比例函数
21.4 二次函数的应用
第2课时 求“抛物线”形建筑问题
要 点 讲 解
要点 利用二次函数解“抛物线”形建筑问题
1. 抛物线形建筑物
(1)常见情形：常见的抛物线形建筑物有拱形桥洞、涵洞、隧道洞门、拱形门窗等
(2)解题步骤：①建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在坐标系中；②从已知和图象中获得求二次函数表达式所需要的条件；③利用待定系数法求出抛物线的表达式；④运用已求出的抛物线的表达式去解决相关问题
2. 解题技巧
一般把抛物线的顶点作为坐标系的原点建立平面直角坐标系，用待定系数法求二次函数的表达式时，可设表达式为y＝ax2
经典例题 如图1所示的大桥桥体造型新颖，气势恢宏，两条拱肋如长虹卧波，极具时代气息，大桥为中承式悬索拱桥，大桥的主拱肋ACB是抛物线的一部分(如图2)，跨径AB为100m，拱高OC为25m，抛物线顶点C到桥面的距离为17m.
(1)请建立适当的坐标系，求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)七月份汛期来临，河水水位上涨，假设水位比AB所在直线高出1.96m，这时位于水面上的拱肋的跨径是多少？在不计桥面厚度的情况下，一条高出水面4.6m的游船是否能够顺利通过大桥？
图1 图2
解：(1)以AB所在直线为x轴，直线OC为y轴，建立直角坐标系，如图所示：
设抛物线所对应的函数表达式为y＝ax2＋c，
由题意得B(50，0)，C(0，25)，
∴解得a＝－，c＝25.
∴抛物线对应的函数表达式是y＝－x2＋25(－50≤x≤50).
(2)当水位比AB所在直线高出1.96m时，
将y＝1.96代入函数表达式得1.96＝－x2＋25，
解得x＝±48.∴48×2＝96(m).
故位于水面上的拱肋的跨径是96m.
根据题意，游船的最高点到桥面的距离为(25－17)－(1.96＋4.6)＝1.44(m)，
∴游船能顺利通过大桥.
点拨：利用二次函数与抛物线的知识解决实际问题，有时必须建立直角坐标系，建立直角坐标系时，一般要以图形的对称轴为坐标轴.
当 堂 检 测
1. 某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中所建的直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数表达式是( )
A. y＝x2 B. y＝x2＋
C. y＝－x2 D. y＝－x2＋
2. 如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门底部地面宽4米，顶部距地面的高度为 4.4米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为2.4米，该车要想通过此门，装货后的最大高度应小于( )
A. 2.80米 B. 2.816米 C. 2.82米 D. 2.826米
3. 如图所示，某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距离地面4m高各有一个挂校名横匾用的铁环.两铁环的水平距离为6m，则校门的高为(精确到0.1m，水泥建筑物的厚度忽略不计)( )
A. 9.2m B. 9.1m C. 9m D. 5.1
4. 如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是y＝－(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是 .
5. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝－x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB均为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 米.
6. 某蔬菜塑料大棚及其截面如图所示，曲线部分近似看成抛物线，现测得AB＝6m，最高点D到地面AB的距离为2.5m，点O到墙BC的距离OB＝1m，借助图中的直角坐标系回答下列问题：
(1)写出A，B的坐标；
(2)求墙高BC.
当堂检测参考答案
1. C 2. B 3. B
4. y＝－(x＋6)2＋4
5. 8
6. 解：(1)∵OB＝1，AB＝6，∴AO＝5，∴A(－5，0)，B(1，0).
第二十一章 二次函数与反比例函数
21.4 二次函数的应用
第2课时 求“抛物线”形建筑问题
要 点 讲 解
要点 利用二次函数解“抛物线”形建筑问题
1. 抛物线形建筑物
(1)常见情形：常见的抛物线形建筑物有拱形桥洞、涵洞、隧道洞门、拱形门窗等
(2)解题步骤：①建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在坐标系中；②从已知和图象中获得求二次函数表达式所需要的条件；③利用待定系数法求出抛物线的表达式；④运用已求出的抛物线的表达式去解决相关问题
2. 解题技巧
一般把抛物线的顶点作为坐标系的原点建立平面直角坐标系，用待定系数法求二次函数的表达式时，可设表达式为y＝ax2
经典例题 如图1所示的大桥桥体造型新颖，气势恢宏，两条拱肋如长虹卧波，极具时代气息，大桥为中承式悬索拱桥，大桥的主拱肋ACB是抛物线的一部分(如图2)，跨径AB为100m，拱高OC为25m，抛物线顶点C到桥面的距离为17m.
(1)请建立适当的坐标系，求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)七月份汛期来临，河水水位上涨，假设水位比AB所在直线高出1.96m，这时位于水面上的拱肋的跨径是多少？在不计桥面厚度的情况下，一条高出水面4.6m的游船是否能够顺利通过大桥？
图1 图2
解：(1)以AB所在直线为x轴，直线OC为y轴，建立直角坐标系，如图所示：
设抛物线所对应的函数表达式为y＝ax2＋c，
由题意得B(50，0)，C(0，25)，
∴解得a＝－，c＝25.
∴抛物线对应的函数表达式是y＝－x2＋25(－50≤x≤50).
(2)当水位比AB所在直线高出1.96m时，
将y＝1.96代入函数表达式得1.96＝－x2＋25，
解得x＝±48.∴48×2＝96(m).
故位于水面上的拱肋的跨径是96m.
根据题意，游船的最高点到桥面的距离为(25－17)－(1.96＋4.6)＝1.44(m)，
∴游船能顺利通过大桥.
点拨：利用二次函数与抛物线的知识解决实际问题，有时必须建立直角坐标系，建立直角坐标系时，一般要以图形的对称轴为坐标轴.
当 堂 检 测
1. 某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中所建的直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数表达式是( )
A. y＝x2 B. y＝x2＋
C. y＝－x2 D. y＝－x2＋
2. 如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门底部地面宽4米，顶部距地面的高度为 4.4米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为2.4米，该车要想通过此门，装货后的最大高度应小于( )
A. 2.80米 B. 2.816米 C. 2.82米 D. 2.826米
3. 如图所示，某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距离地面4m高各有一个挂校名横匾用的铁环.两铁环的水平距离为6m，则校门的高为(精确到0.1m，水泥建筑物的厚度忽略不计)( )
A. 9.2m B. 9.1m C. 9m D. 5.1
4. 如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是y＝－(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是 .
5. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝－x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB均为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 米.
6. 某蔬菜塑料大棚及其截面如图所示，曲线部分近似看成抛物线，现测得AB＝6m，最高点D到地面AB的距离为2.5m，点O到墙BC的距离OB＝1m，借助图中的直角坐标系回答下列问题：
(1)写出A，B的坐标；
(2)求墙高BC.
当堂检测参考答案
1. C 2. B 3. B
4. y＝－(x＋6)2＋4
5. 8
6. 解：(1)∵OB＝1，AB＝6，∴AO＝5，∴A(－5，0)，B(1，0).