21.5.2 反比例函数的图象和性质(要点讲解+当堂检测+答案)

沪科版数学九年级上册同步学案
第二十一章　二次函数与反比例函数
21.5　反比例函数
第2课时　反比例函数的图象和性质
要 点 讲 解
要点一　反比例函数的图象
1. 画反比例函数的图象常用描点法，主要有三个步骤：
(1)列表：自变量的取值应以0为中心，沿x轴的两个方向取三对(或三对以上)互为相反数的数.注意：x不能为0.
(2)描点：先描出一侧，另一侧可根据关于原点成中心对称的点的性质去找.
(3)连线：在y轴的每一侧，按照从左到右的顺序，分别用一条光滑的曲线连接各点并延伸.
2. 反比例函数y＝(k为常数，且k≠0)的图象是双曲线.它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限(或第二、四象限)，它们关于原点中心对称，且分别关于直线y＝x和y＝－x轴对称.
经典例题1　画反比例函数y＝的图象.
解析：根据反比例函数图象的画法，分三个步骤进行，即列表、描点、连线.
解：列表：
x
－5
－4
－2
－1
－
－


1
2
4
5
y＝
－0.4
－0.5
－1
－2
－4
－6
6
4
2
1
0.5
0.4
描点：在平面直角坐标系内，以表中x的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点.
连线：把y轴左侧各点和右侧各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来并延伸，就得到函数y＝的图象，如图所示.
要点二　反比例函数的性质
反比例函数的性质与k的符号有关，现列表归纳如下：
反比例函数
y＝(k是常数，且k≠0)
k的符号
k>0
k<0
图象
性质
图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，图象自左向右下降，函数值y随x的增大而减小
图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，图象自左向右上升，函数值y随x的增大而增大
(1)描述反比例函数的增减性时，应强调条件“在每个象限内”，如图所示，k>0，xA(2)在每个象限中，函数图象与x轴和y轴无限接近但不相交；(3)双曲线的两个分支关于直线y＝x或直线y＝－x成轴对称，也关于原点O成中心对称.
经典例题2　已知反比例函数y＝，分别根据下列条件求出k的取值范围.
(1)函数的图象位于第一、三象限；
(2)在第二象限内，y随x的增大而增大.
解：(1)∵反比例函数图象的两个分支位于第一、三象限，
∴4－k>0，∴k<4.
(2)∵在第二象限内，y随x的增大而增大，
∴4－k<0，∴k>4.
点拨：(1)反比例函数的图象位置和函数的增减性都由k的符号确定；(2)因为反比例函数y＝的图象在实数范围内是不连续的，所以在描述函数的增减情况时，必须指明“在每个象限内”，而不能笼统地说“当k>0时，y随x的增大而减小”；(3)因为k≠0，x≠0，y≠0，所以函数图象无限地接近x轴、y轴，但永远也达不到x轴、y轴.
要点三　反比例函数中系数k的几何意义
如图所示，过反比例函数y＝(k为常数，且k≠0)图象上任意一点P(x，y)，分别向x轴、y轴作垂线，垂线段与x轴、y轴围成的矩形面积都相等，均为|k|；过图象上任意一点D(x，y)向x轴(或y轴)作垂线，垂线段、坐标轴、点D与原点连接所成的线段围成的直角三角形面积都相等，均为.
经典例题3　如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，BC⊥x轴于点C，则△ABC的面积为(　　　)
A. 1 B. 2 C.  D. 
解析：∵正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，∴A(1，1)，B(－1，－1)，∴点A与点B关于原点对称，∴S△AOC＝S△BOC.∵BC⊥x轴，∴△ABC的面积＝2S△BOC＝2××|－1|＝1.
答案：A
点拨：因为反比例函数y＝中的k有正、负之分，所以在利用反比例函数表达式求矩形或三角形的面积时，都应将k加上绝对值符号.
易错易混警示　利用反比例函数的性质时，忽略“在每一象限内”这一特定的条件
经典例题4　在函数y＝(a为常数)的图象上有三点(－3，y1)，(－1，y2)，(2，y3)，则函数值y1，y2，y3的大小关系是(　　　)
A. y2C. y1解析：∵y＝是反比例函数，且－a2－1＝－(a2＋1)<0，∴双曲线在第二、四象限，且在各象限内，y随x的增大而增大.∴y1又∵点(2，y3)在第四象限，∴y3因此，y1，y2，y3的大小关系是y3答案：D
点拨：反比例函数的性质，y随x的增大而增大(或减小)是指在各个象限内，不是笼统地概括，本例中(－3，y1)，(－1，y2)两点在第二象限内的分支上，(2，y3)在第四象限内的分支上，应将两个象限内的点分开讨论.另外，由于本题是一道选择题，也可以采用特殊值法.根据题意，取a＝0，则y＝.由点(－3，y1)，(－1，y2)，(2，y3)在图象上，则y1＝，y2＝1，y3＝－，所以y3当 堂 检 测
1. 反比例函数y＝的图象在(　　)
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限
C. 第二、三象限 D. 第二、四象限
2. 点(2，－4)在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是(　　)
A. (2，4) B. (－1，－8)
C. (－2，－4) D. (4，－2)
3. 如果点A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)都在反比例函数y＝(k＞0)的图象上，那么，y1，y2，y3的大小关系是(　　)
A. y1＜y3＜y2 B. y2＜y1＜y3
C. y1＜y2＜y3 D. y3＜y2＜y1
4. 若A(a，b)，B(a－2，c)两点均在函数y＝的图象上，且a＜0，则b与c大小关系为(　　)
A. b＞c B. b＜c C. b＝c D. 无法判断
5. 如图，点A为反比例函数y＝－图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为(　　)
A. －4 B. 4　 C. －2　　　　 D. 2
6. 如果反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，那么m的范围为　 .
7. 双曲线y＝在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是 .
8. 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y＝(k＞0)图象上两点，若x1＜0＜x2，则y1，y2，0大小关系是 .
9. 已知反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象经过点A(2，3).
(1)求这个函数的表达式；
(2)判断点B(－1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由；
(3)当－3＜x＜－1时，求y的取值范围.
当堂检测参考答案
1. B 2. D 3. B 4. B 5. D
6. m＞
7. m＜1
8. y1＜0＜y2
9. 解：(1)∵反比例函数y＝的图象经过点A(2，3)，把点A的坐标(2，3)代入表达式，得3＝，解得k＝6，∴这个函数的表达式为y＝.
(2)点B不在此函数图象上，点C在此函数图象上.理由：分别把点B，C的坐标代入y＝，可知点B的坐标不满足函数表达式，点C的坐标满足函数表达式，∴点B不在这个函数的图象上，点C在这个函数的图象上.