21.6 综合与实践 获取最大利润(要点讲解+当堂检测+答案)

沪科版数学九年级上册同步学案
第二十一章　二次函数与反比例函数
21.6　综合与实践　获取最大利润
要 点 讲 解
要点　获取最大利润
解决此类问题，应明确下面的关系：利润＝(销售单价－每件成本)×销售量.
运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先应当求出函数表达式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求最大值或最小值.值得注意的是，由此求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
解决实际问题中的最大值或最小值问题的基本步骤：
(1)寻找实际问题中两个变量之间的等量关系，并用字母表示这两个变量；
(2)用含自变量的代数式表示相关的量；
(3)根据给出的数据确定函数的表达式和自变量的取值范围；
(4)利用二次函数的有关性质计算最大值或最小值.
经典例题1　某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y＝ax2＋bx－75.其图象如图所示.
(1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
解析：(1)利用待定系数法，先求得二次函数表达式，再利用二次函数的最大值得到答案；
(2)观察图象，该种商品每天的销售利润不低于16元，即函数值大于或等于16，利用抛物线的对称性求不等式的解集，可得答案.
解：(1)二次函数y＝ax2＋bx－75的图象过点(5，0)，(7，16)，
∴解得
即y＝－x2＋20x－75＝－(x－10)2＋25.
当x＝10时，y取得最大值，最大值为25.
故销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元.
(2)∵函数y＝－x2＋20x－75图象的对称轴为直线x＝10，可知点(7，16)关于对称轴的对称点是(13，16).
又∵函数y＝－x2＋20x－75图象开口向下，
∴当7≤x≤13时，y≥16，
故销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元.
点拨：解答第(2)问时，结合函数图象更容易理解每天的销售利润不低于16元时商品的销售单价的取值范围.
易错易混警示　忽视自变量的取值范围造成解题错误
经典例题2　某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围.
(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
解析：(1)每件商品的售价上涨x元时，每件商品的利润为(50＋x－40)元，每个月的销售量为(210－10x)件，可列出表达式.(2)利用二次函数的性质可求出最大利润.
解：(1)y＝(210－10x)(50＋x－40)＝－10x2＋110x＋2100(0(2)y＝－10(x－5.5)2＋2402.5
∵a＝－10<0，∴当x＝5.5时，y有最大值2402.5.
又∵0当x＝5时，50＋x＝55，y＝2400(元)；当x＝6时，50＋x＝56，y＝2400(元).
∴当售价定为每件55元或56元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元.
点拨：本题易出现的错误是解答第(2)问时直接由x＝5.5时，y有最大值2402.5而得出结论：当售价定为每件55.5元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2402.5元.出现这种错误的原因是忽略了自变量的取值范围，本题中的x不仅要求0当 堂 检 测
1. 童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y(元)与销售量x(件)满足关系y＝－x2＋50x－500，要想获得最大利润，则该日的销售量是(　　)
A. 20件　　 B. 25件 C. 30件 D. 40件
2. 某汽车经销商销售汽车所获利润y(元)与销售量x(辆)之间的关系满足y＝－x2＋10000x＋250000，则当0＜x≤4500时，最大利润是(　　)
A. 2500元 B. 25000000元
C. 2250元 D. 24997500元
3. 出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8－x)个，则当x＝ 元时，一天出售该手工艺品总利润y最大.
4. “六一”期间，小张购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如下表：
型号
进价(元/只)
售价(元/只)
A型
10
12
B型
15
23
(1)小张如何进货，使进货款恰好为1300元？
(2)要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮小张设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．
5. 某商场出售一种成本为20元的商品，市场调查发现，该商品每天的销售量w(千克)与售价x(元/千克)有如下关系：w＝－2x＋80.设这种商品的销售利润为y(元).
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)在不亏本的前提下，售价在什么范围内每天的销售利润随售价的增加而增加？最大利润是多少？
(3)如果物价部门规定这种产品的售价不得高于28元/千克，该商场想要每天获得150元的销售利润，售价应定为多少元？
当堂检测参考答案
1. B 2. B
3. 4
4. 解：(1)设A文具为x只，则B文具为(100－x)只，可得：10x＋15(100－x)＝1300，解得：x＝40.答：A文具为40只，则B文具为100－40＝60只；
(2)设A文具为x只，则B文具为(100－x)只，可得(12－10)x＋(23－15)(100－x) ≤40%[10x＋15(100－x)]，解得：x≥50，设利润为y元，则可得：y＝(12－10)x＋(23－15)(100－x)＝2x＋800－8x＝－6x＋800，因为y随x的增大而减小，所以当x＝50时，利润最大，即最大利润＝－50×6＋800＝500元．
5. 解：(1)y＝w(x－20)＝(－2x＋80)(x－20)＝－2x2＋120x－1600.
(3)当y＝150时，－2x2＋120x－1600＝150，解这个方程，得x1＝25，x2＝35.