课题 第1课时 圆的对称性(圆的旋转不变性和弧、弦、圆心角之间的关系) 授课人
教学目标 知识技能 知道圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，利用其中心对称的性质掌握弧、弦、圆心角的关系定理，并能运用其关系定理解答问题．
数学思考 1.通过观察分析弧、弦、圆心角之间的关系，发展学生的合情推理能力和演绎推理能力．2．通过教具的演示，使学生感受圆的旋转不变性，发展学生观察分析的能力．
问题解决 能运用弧、弦、圆心角之间的关系定理证明弧相等、弦相等、圆心角相等．
情感态度 引导学生对图形进行观察，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的信心．
教学重点 在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系定理及其灵活运用．
教学难点 探索在同一个圆中，弧、弦、圆心角之间的关系定理及其灵活运用．
授课类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 问题： 1．以前我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的呢？而中心对称图形的定义又是什么？ 2．圆是一个特殊的图形，我们知道圆既是中心对称图形又是轴对称图形，那么根据这些特征，圆还有哪些性质呢？师生活动：学生完成复习任务，积极回答，教师及时鼓励，评价． 通过中心对称图形的定义以及圆的中心对称性的复习，引导学生从旋转角度来探索新知.
活动一：创设情境导入新课 【课堂引入】按下面的步骤做一做：(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，连结AB，A′B′如图27－1－51所示，将两个圆心固定在一起．注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．图27－1－51(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系？同学们互相交流，说一说你的理由．实验发现：∠AOB＝∠A′O′B′，AB＝A′B′，＝.师生活动：教师进行演示，学生观察、讨论，针对问题进行回答，同时归纳圆中各量之间的关系. 通过实验操作，探索圆心角相等，那么它们所对的弧、弦是不是相等；激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望.
活动二：实践探究交流新知 【探究】弧、弦、圆心角之间的关系教师提出问题1：在同圆或等圆中，相等的两个圆心角所对的弦相等吗？如图27－1－52，∠AOB＝∠A′OB′，连结AB，A′B′，那么AB与A′B′相等吗？为什么？弧AB与弧A′B′呢？教师演示教具，引导学生发现：当∠AOB＝∠A′OB′， 图27－1－52弦AB与A′B′重合，弧AB与弧A′B′重合，即相等．教师引导学生用语言总结结论．教师提出问题2：若题目中缺少“在同圆或等圆中”这一条件，结论还能够成立吗？学生交流、讨论，教师出示图形，学生分析图形得到结论．教师提出问题3：若在同圆或等圆中，当两条弦相等时，它们所对的圆心角或弧呢？检查学生的探究情况，在学生统一认识的基础上归纳总结. 通过问题探究，让学生发现在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧之间的关系，让学生通过观察、猜想、证明、归纳得到新知，培养学生分析问题、解决问题的能力.
结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等；相等的弦所对的圆心角相等，所对的劣弧或优弧相等．由此，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．简单地说：知一得二.
活动三：开放训练体现应用 【应用举例】例1 如图27－1－53，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.证明：∵＝，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA.师生活动：教师引导学生观察图中∠AOB、∠BOC、 图27－1－53∠AOC三个角是什么角？思考圆心角相等，该怎样去证明．学生观察、思考、讨论，尝试写出解题过程，教师进行指导并演示证明过程．学生解题后反思：证明圆心角相等可以证明它所对的弧相等或弦相等．例2 如图27－1－54，在⊙O中，弦AB＝CD，求证：AC＝BD.证明：∵AB＝CD，∴＝，∴－＝－，∴＝，∴AC＝BD.师生活动：教师引导学生分析，怎样证明两条弦相等？ 图27－1－54 学生分析从圆心角或弧相等进行证明，观察图形，交流、讨论，书写过程. 培养学生正确应用所学的知识的能力，增强应用意识.
【拓展提升】例3 如图27－1－55，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4 cm，则⊙O的周长为(D)A．5π cm B．6π cm C．9π cm D．8π cm 图27－1－55 例题将本节所学内容与以前的知识紧密结合，使学生很好地进行知识的迁移，在练习中加深对本节知识的理解.
活动四：课堂总结反思 【达标测评】 1．如果两条弦相等，那么(D)A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等C．圆心到这两条弦的距离(弦心距)相等 D．以上都不对 2．在圆O中，如果＝2，那么下列说法中正确的是(D)A．AB＝BC B．AB＝2BC C．AB>2BC D．AB<2BC 3．一条弦把圆分成1∶3的两部分，则弦所对的圆心角度数为__90°__.
活动四：课堂总结反思 4.如图27－1－56，AB是⊙O的直径，＝＝， ∠COD＝35°，则∠AOE的度数为__75°__． 图27－1－56 图27－1－57 5.已知：如图27－1－57，AB为⊙O的直径，∠DOC＝90°，∠DOC绕O点旋转，D，C两点不与A、B重合．(1)求证：＋＝；(2)AD＋BC＝CD成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由？解：(1)∵AB为⊙O直径，∠DOC＝90°，∴∠AOD＋∠BOC＝∠DOC＝90°，∴＋＝；(2)AD＋BC＞CD，理由：在上截取＝，故＝，则DE＝AD，BC＝EC，在△DEC中，DE＋EC＞DC，故AD＋BC＞CD.师生活动：学生，完成达标测评后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在各自思考解答的基础上，共同交流、形成共识、确定答案. 设置达标测评的目的是使学生加深对所学知识的理解和运用，在问题的选择上以基础为主、疑难点突出，增加开放型、探究型问题，使学生思维得到拓展、能力得以提升.
【课堂小结】(1)谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？(2)学习本节课后，你还存在哪些困惑？教师强调：运用定理时，要注意“在同圆和等圆中”这一重要条件，同时提醒学生，证明相等的方法．布置作业：教材P39练习第1，2题． 巩固、梳理所学知识．对学生进行鼓励、进行思想教育.
【板书设计】 提纲挈领，重点突出.
活动四：课堂总结反思 【教学反思】①[授课流程反思]在探究新知的过程中，让学生通过观察、猜想、证明、归纳的数学过程，轻松直观学习新的知识，在应用提高过程中，让数学充满趣味，提高课堂效率．②[讲授效果反思]教师引导学生注意：(1)应用定理的前提条件：在同圆或等圆中；(2)证明弦相等，可以考虑证明弦所对的圆心角或弧相等的思维方法．③[师生互动反思]从课堂学生发言和表现来看，课堂设计合理，问题有层次性，学生解答经过思考后能够独立完成，形象化的演示给学生带来很大帮助．④[习题反思]好题题号__________________________________错题题号__________________________________ 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.
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课题 第2课时 圆的轴对称性(垂径定理) 授课人
教学目标 知识技能 1.通过观察实验，理解圆的轴对称性．2．掌握垂径定理及其推论，理解其证明方法，并能运用垂径定理解决有关证明和实际问题．
数学思考 在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的轴对称性，体会圆的性质，经历探索圆的轴对称性及相关性质的过程．
问题解决 进一步体会和理解研究几何图形的各种方法，培养学生独立探索、相互合作交流的精神．
情感态度 使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．
教学重点 垂径定理及其推论．
教学难点 利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．
授课类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 复习 1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2．你用了什么方法解决上述问题？师生活动：学生自由回答，教师及时鼓励，评价． 从已有知识出发，激发学生的学习兴趣，营造主动思考、积极探索的氛围.
活动一：创设情境导入新课 【课堂引入】你知道赵州桥吗？它是1400多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度为37.4米，拱高为7.2米，怎样才能求出它的主桥拱的半径呢？ 图27－1－102通过本节课的学习，我们就会很容易解决这一问题．师生活动：学生动脑思考问题，解答受阻，教师引入课题． 结合赵州桥相关资料渗透爱国主义教育，并引入课题.
(续表)
活动二：实践探究交流新知 活动1：学生动手操作把事先准备好的一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，能有什么发现？由此你能得到什么结论？重复做几次，试一试！师生活动：学生动手操作，教师观察操作结果，在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．结论：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴．活动2：出示问题从上面的证明可知，如果圆O的直径CD垂直于弦AA′，垂足为M，那么点A和点A′是对称点，把圆沿着直径CD折叠时，点A与点A′重合，你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ 图27－1－103师生活动：学生进行观察、分析，通过合情推理总结结论．教师指导学生分析题目中的条件和结论，教师用多媒体演示，学生尝试归纳垂径定理后，教师补充、完善，最后用几何语言进行描述．教师板书：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．∵CD⊥AA′，CD是直径，∴AM＝MA′，＝，＝.活动3：教师针对图形，提出问题问题1：垂径定理中由几个条件得到几个结论？师生分析得：①直径；②直径垂直于弦；③平分弦；④平分优弧；⑤平分劣弧．问题2：把垂径定理条件中的垂直和平分互换，是否成立呢？学生讨论、交流，并用语言进行总结，教师引导、点拨，得到结论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦． 1.在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，掌握证明轴对称图形的方法．2．探究垂直于弦的直径的性质，培养学生的思维能力和语言表达能力.
活动三：开放训练体现应用 【应用举例】例1 如图27－1－104，在⊙O中，若弦AB的长为8 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，求⊙O的半径．解：过点O作OC⊥AB于点C，连结OB，则AC＝BC＝AB.∵AB＝8 cm，OC＝3 cm，∴BC＝4 cm.在Rt△BOC中，OB＝＝＝5(cm)．即⊙O的半径是5 cm. 图27－1－104师生活动：教师引导学生分析，圆心到弦的距离为3 cm，则需要作辅助线——圆心到弦的垂线段，连结OB得半径从而构造直角三角形进行解答．学生书写解答过程，教师做好点评.
(续表)
活动三：开放训练体现应用 【拓展提升】例2 如图27－1－105，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C在弦AB上，且AC＝6，过点C作CD⊥AB交OB于点D，则CD的长为(C)A．1 B．2 C．1.5 D．2.5 图27－1－105例3 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图27－1－106)．(1)求证：AC＝BD； (2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长． 图27－1－106解：(1)证明：过O作OE⊥AB于点E，则CE＝DE，AE＝BE，∴BE－DE＝AE－CE，即AC＝BD.(2)由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连结OC，OA，∴OE＝6，∴CE＝＝＝2，AE＝＝＝8，∴AC＝AE－CE＝8－2 .例4 解答赵州石拱桥的问题．教师引导学生分析：1.根据桥的实物图画出几何图形； 2．结合所画图形思考：圆的半径、弦心距、弦、拱高之间有怎样的数量关系？学生尝试解答问题，小组内交流、讨论，书写解答过程，教师做好指导工作．教师总结：在圆中解决有关弦或半径的问题，常常需要作垂直于弦的直径或弦心距，把垂径定理和勾股定理结合，得到半径r，弦心距d，弦长a之间的关系：r2＝d2＋.变式 如图27－1－107，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的)，点O是这段弧的圆心，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝180 m，CD＝30 m，则这段弯路的半径为(A) 图27－1－107A．150 m B．165 m C．180 m D．200 m 1.学习弦心距的作法，强调在垂径定理中的应用，用半径、弦心距、弦构造直角三角形的重要作用．2．体会转化思想，化未知为已知，从而解决问题，同时把握一类题型的解题方法.
活动四：课堂总结反思 【达标测评】 1．下列命题中错误的是( )①弦的垂直平分线经过圆心；②平分弦的直径垂直于弦；③梯形的对角线互相平分；④圆的对称轴是直径．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图27－1－108，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8 cm，OC＝5 cm，则OD的长是( ) 图27－1－108A．3 cm B．2.5 cmC．2 cm D．1 cm 3．已知P为⊙O内一点，OP＝3 cm，⊙O半径为5 cm，则经过P点的最短弦长为________，最长弦长为________.
(续表)
活动四：课堂总结反思 4.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图27－1－109，已知EF＝CD＝80 cm，则截面圆的半径为________ cm. 5.已知⊙O的半径为10，弦AB＝ 图27－1－109 12，CD＝16，且AB∥CD，求AB与CD之间的距离．师生活动：学生完成达标测评后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在各自思考解答的基础上，共同交流、形成共识、确定答案． 设置达标测评的目的是使学生加深学生对所学知识的理解和运用，在问题的选择上以基础为主、疑难点突出，增加开放型、探究型问题，使学生思维得到拓展、能力得以提升.
【课堂小结】(1)谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？教师讲解主要内容：在圆内求弦的长度，常常需要作弦心距，利用勾股定理进行解答．布置作业：教材P40页，练习第1，2题． 巩固、梳理所学知识．对学生进行鼓励、进行思想教育.
【知识网络】 提纲挈领，重点突出.
【教学反思】①[授课流程反思]在创设情境环节中，通过比较熟悉的赵州桥背景进行引入，提高学生的兴趣，通过折叠圆使学生达到动手动脑的目的，通过讨论让学生间相互交流，培养学生思考问题的方式．②[讲授效果反思]教师强调以下几点：(1)垂径定理中辅助线的作法；(2)推论中的特殊情况，弦不能是直径；(3)常用的计算公式．③[师生互动反思]从课堂表现来看，学生能够深入课堂，通过动手、动脑、交流、讨论等活动，善于发言、善于总结，课堂表现出严谨、认真的学习状态．④[习题反思]好题题号______________________________________错题题号______________________________________ 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.
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