课题 第1课时 弧长和扇形面积 授课人
教学目标 知识技能 掌握弧长和扇形面积公式的推导过程，初步运用弧长和扇形的面积公式进行一些有关计算．
数学思考 通过弧长和扇形面积公式的推导过程，发展学生分析问题、解决问题的能力．
问题解决 通过扇形面积公式的推导，发展学生的抽象、理解、概括、归纳和迁移能力．
情感态度 通过探索弧长及扇形面积计算公式的过程，让学生体验数学活动充满着探索和创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，激发学生的数学兴趣，提高学习积极性．
教学重点 弧长公式和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积．
教学难点 运用公式计算比较复杂图形的面积．
授课类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 (多媒体演示)问题： 1.圆的周长公式是什么？2.圆的面积公式是什么？3.什么是弧？师生活动：教师引导学生进行解答，并适时做出补充和讲解． 教师确立延伸目标，让学生独立思考，为本课学习做好准备.
活动一：创设情境导入新课 【课堂引入】在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3米的绳子，绳子的另一端栓着一只狗.图27－3－14 (1)这只狗的最大活动区域有多大？ (2)如果这只狗只能绕着柱子转过n°，那么它的最大活动区域有多大？ 通过对绳子拴狗实际问题的导入，建立圆和扇形的模型，激发学生的学习兴趣和探究扇形面积的欲望.
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活动二：实践探究交流新知 【探究1】 弧长与扇形的变化关系多媒体动态演示弧长和扇形的变化，把握变化过程中几个特殊的位置对应的弧长和扇形面积．师生活动：教师引导学生观察、思考弧长的变化和扇形面积的变化有什么关系？学生讨论、交流，发表各自见解．教师关注：①学生能否发现圆心角度数的变化与弧长、扇形的面积有关；②学生能否理解半径的大小与弧长、扇形的面积有关；【探究2】 弧长公式通过多媒体动态演示，学生得到弧长的变化与半径和圆心角有关系．提出问题：观察，结合特殊条件下的几个弧长的分析和计算，有什么发现？(1)已知圆的半径为2时，圆的周长是__4π__．当圆心角为180°时，弧长是__2π__，弧为__半圆__；当圆心角为360°时，弧长是__4π__，弧为__整个圆圈__；当圆心角为90°时，弧长是__π__，弧为圆周的____；当圆心角为60°时，弧长是__π__，弧为圆周的____；当圆心角为30°时，弧长是____，弧为圆周的____；当圆心角为1°时，弧长是____，弧为圆周的____．(2)你能推导出半径为r，圆心角为n°时，弧长是多少吗？师生活动：学生根据提示自主探究后，小组内合作、交流，教师派代表发言，师生共同总结： 360°的圆心角对应圆周长2πr，那么1°的圆心角对应的弧长为＝，n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍，即弧长公式为l＝n·＝.【探究3】 扇形面积公式问题1：类似地，能推导出半径为r，圆心角为n°时，扇形的面积是多少吗？师生活动：学生根据弧长公式的推导过程，小组内讨论解答，类比后得到扇形的面积计算公式，教师给予点拨和指导．学生阐述理由：因为圆的面积为πr2，所以1°的圆心角对应的扇形面积为， n°的圆心角对应的扇形面积为n·＝，所以扇形的面积计算公式为S扇形＝.问题2：当扇形的半径为r，圆心角为n°时，扇形的面积S与弧长l之间有什么关系？教师引导学生发现：在这两个公式中，弧长和扇形的面积都和圆心角n°，半径r有关系，因此l和S之间也有一定的关系，列式表示为：S扇形＝＝××r＝lr. 由已知知识入手，经过特殊值的推导，调动学生课堂参与的积极性，在老师的指引下，在热烈的讨论中互相启发、质疑、争辨、补充，自己得出公式．不仅锻炼学生的合作学习能力、表达能力，同时对知识有了深刻、全面、正确的理解，培养了他们抽象的思维能力、科学严谨的学习态度和数学学习的方式方法.
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活动三：开放训练体现应用 【应用举例】例1 [教材P61例1] 如图27－3－15，圆心角为60°的扇形的半径为10 cm，求这个扇形的面积和周长．(精确到0.01 cm2和0.01 cm)变式1 若一个扇形的半径为8 cm，弧长为π cm，则扇形的圆心角为(B)A．60° B．120° C．150° D．180° 图27－3－15 图27－3－16变式2 如图27－3－16，B，C，D是半径为6的⊙O上的三点，已知的长为2π，且OD∥BC，则BD的长为(C)A．3 B．6 C．6 D．12变式3 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算图27－3－17中管道的展直长度(结果精确到0.1 mm)．教师引导学生分析：要求管道的展直长度，即求出弧AB的长，根根弧长公式l＝可求得弧AB的长，其中n为圆心角，r为半径． 图27－3－17教师指导学生写出解题过程：因为r＝40 mm，n＝110，所以弧AB的长l＝＝≈76.8(mm)．因此，管道的展直长度约为76.8 mm.例2 如图27－3－18，水平放置的一个圆柱形排水管道的横截面的半径为0.6 m，其中水高0.3 cm，求截面上有水部分的面积(结果精确到0.01 cm2)．教师引导学生分析：要求图中阴影部分(弓形)的面积，没有直接的公式，需要转化为规则图形的和差问题，即扇形面积与三角形面积的差．容易想到作辅助线(如图)，利用垂径定理，先根据公式分 图27－3－18 别求出扇形和三角形的面积，再相减，从而问题得到解决. 通过对于教材例题的教学，巩固两个公式，并学习规范的书写步骤．对课本例题书写过程加以改进，使学生精准掌握例题.
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活动三：开放训练体现应用 【拓展提升】例3 如图27－3－19，AB是半圆O的直径，且AB＝8，点C为半圆上的一点，将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则下列说法：①∠ABC＝30°；②弧AC的长与弧OC的长相等；③BC的长为4 ；④阴影部分的面积是. 图27－3－19其中正确的个数是(D)A．1 B．2 C．3 D．4例4 [黄陂区校级模拟] 如图27－3－20，使一块长为4 cm，宽为3 cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)，木板上的点A的位置变化为A→A1→A2，其中 图27－3－20 第二次翻滚被桌面上一木板挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为多少？ 解：第一次是以点B为旋转中心，BA长为半径旋转90°，此次点A走过的路径长是2π·5＝π.第二次是以点C为旋转中心，3 cm为半径旋转60°，此次走过的路径长是·2π·3＝π，∴点A两次共走的路径长是π cm. 及时获知学生对所学知识的掌握情况，落实本课的学习目标．分层设计可让不同程度的同学最大限度地发挥他们的潜力，树立学好教学的信心.
活动四：课堂总结反思 【达标测评】 1．若扇形的圆心角为120°，弧长为10π cm，则扇形的半径为__15_cm__，扇形的面积为__75π_cm2__． 2．如果一个扇形的面积和一个圆的面积相等，且扇形的半径为圆半径的2倍，那么这个扇形的圆心角为__90°__． 3．已知扇形的周长为28 cm，面积为49 cm2，则它的半径为__7__ cm. 4．如图27－3－21，已知?ABCD的对角线BD＝2 cm，将?ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为(A) 图27－3－21A.π cm B．2π cm C．3π cm D．4π cm
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活动四：课堂总结反思 5.如图27－3－22，AC⊥BC，AC＝BC＝4，以BC为直径作半圆，圆心为O.以点C为圆心，BC为半径作弧AB，过点O作AC的平行线交两弧于点D，E，则阴影部分的面积是__－2___． 图27－3－22 图27－3－23 6.[贵阳中考] 如图27－3－23，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝60°，连结AO，BO.(1)所对的圆心角∠AOB＝________；(2)求证：PA＝PB；(3)若OA＝3，求阴影部分的面积．解：(1)120°(2)证明：连结OP.在Rt△OAP和Rt△OBP中，OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴PA＝PB.(3)∵Rt△OAP≌Rt△OBP，∴∠OPA＝∠OPB＝∠APB＝30°.在Rt△OAP中，OA＝3，∴AP＝3 ，∴S△OPA＝×3×3 ＝，∴S阴影＝S四边形OAPB－S扇形OAB＝2×－＝9 －3π.师生活动：学生完成达标测评后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在各自思考解答的基础上，共同交流、形成共识、确定答案. 设置达标测评的目的是使学生加深对所学知识的理解和运用，在问题的选择上以基础为主、疑难点突出，增加开放型、探究型问题，使学生思维得到拓展、能力得以提升.
【课堂小结】(1)谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？教师指导学生回顾弧长公式和扇形公式的推导过程，对于典型例题进行分析巩固．布置作业：教材P62练习第1，2题． 巩固、梳理所学知识．对学生进行鼓励、进行思想教育.
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活动四：课堂总结反思 【知识网络】 提纲挈领，重点突出.
【教学反思】①[授课流程反思]在探究新知的环节中，通过层层设问引导学生获得计算公式，让学生知道公式的推导过程；在课堂练习中，教师指导学生融合相关知识点，并能进行转化和计算．②[讲授效果反思]引导学生注意以下几点：(1)记忆弧长和扇形面积公式，并明确各个要素表示的意义；(2)明确弧长公式和扇形面积公式之间的关系，理解其推导过程．③[师生互动反思] ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________④[习题反思]好题题号___________________________________________错题题号___________________________________________ 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.
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课题 第2课时 圆锥及其侧面积 授课人
教学目标 知识技能 掌握圆锥的特征，会计算圆锥的侧面积和全面积，并会解决实际问题．
数学思考 增强学生用数学知识解决实际问题的能力，同时还可以培养学生的空间观念．
问题解决 掌握圆锥的侧面积和全面积的计算方法，并可以解决一些实际问题．
情感态度 引导学生对圆锥展开图的认识，培养学生的空间观念，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答实际问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．
教学重点 圆锥的侧面积和全面积的计算．
教学难点 明确圆锥各个元素与侧面展开图扇形的各元素的对应关系．
授课类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 (多媒体演示)问题： 1.弧长和扇形面积的计算公式是什么？2.什么是圆锥？请描述圆锥的形状，并列举生活中常见的圆锥形状的物体．师生活动：教师引导学生进行解答，并适时作出补充和讲解． 让学生独立思考后，教师做好总结，为本课学习做好准备.
活动一：创设情境导入新课 【课堂引入】(多媒体展示)伴随着优美的音乐进入蒙古大草原，看到了雪白的蒙古包，感受到圆锥的存在. 老师展示圆锥形小帽，出示问题：你能用手上的长方形白纸折叠出这种圆锥形帽子吗？学生先认真观察圆锥形帽子，再尝试用手中的长方形白纸折叠圆锥形帽子．小组内讨论、交流做法，教师做好巡视指导． 初步尝试、体验，产生悬念，造成认知冲突，从而激发学生的兴趣，使学生产生强烈的求知欲望.
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活动二：实践探究交流新知 【探究1】 圆锥的展开图活动一：老师展示圆锥形小帽子，结合实物介绍圆锥的底面、侧面、母线、高等概念．学生边听、边理解、边记忆．活动二：老师沿圆锥的一条母线剪开，然后用双面胶粘贴在黑板上，老师引导学生通过观察得出圆锥的侧面展开图是扇形．问题：怎样才能制作出这种圆锥形的小帽子？老师引导学生观察、分析、比较展开扇形与圆锥的关系，并进行演示，让学生有意识地观察．学生分组讨论，合作探究出展开的扇形半径、弧长与圆锥的母线、底面周长的关系．教师做好总结：①圆锥的侧面展开图是一个扇形；②圆锥的母线是展开图中扇形的半径；③圆锥底面圆的周长是展开图中扇形的弧长；④圆锥的侧面积是展开图中扇形的面积．【探究2】 面积公式问题：如果设圆锥的底面半径为r，母线为l，那么圆锥的侧面积怎么计算？全面积呢？ 图27－3－52 教师引导学生进行思考后，全班进行交流，最后学生写出自己认为正确的计算公式，教师给予讲解．圆锥的侧面积就是展开图中扇形的面积，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长2πr，半径为圆锥的母线l，根据扇形面积公式得×2πr×l＝πrl.圆锥由一个底面和一个侧面组成，所以圆锥的全面积是S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2＝πr.教师与学生共同总结，归纳，给予学生充分的时间观察图形，理解公式. 1.学生在小学已经初步认识了圆锥，但对底面、侧面，尤其是母线、高等概念的理解可能还不是很到位，在此通过实物对这些概念做一简介，既形象又直观，为后面的探究和推导展开圆锥的侧面积公式做好准备．2．让学生通过比较、讨论、合作探索出展开扇形与圆锥间的内在联系，体验探索活动的乐趣和成功的快感，从而树立学习的自信心.
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活动三：开放训练体现应用 【应用举例】例1 蒙古包可以近似地看成是由圆锥和圆柱组成的．如果想用毛毡搭建20个底面积为12 m2，高为3.2 m，外围高1.8 m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡？(结果取整数)教师引导学生分析：毛毡的面积是指圆柱的 图27－3－53 侧面积和圆锥的侧面积之和．先求圆柱的侧面积，因为圆柱的侧面为矩形，所以可利用公式S圆柱侧＝2πrh，已知h＝1.8，关键求r；要求圆锥的侧面积，根据公式S圆锥侧＝πrl，r已求出，转化为求l，圆锥的高为1.4，所以利用勾股定理即可求解．通过教师引导，学生能够熟知解题思路，独立完成解题过程，教师进行指导．学生完成整理后，教师展示解题过程，学生小组内交流、纠正．变式训练 1.如图27－3－54，某同学用一扇形纸板为一个玩偶制作一个圆锥形帽子，已知扇形的半径OA＝13 cm，扇形的弧长为10π cm，那么这个圆锥形帽子的高是(不考 图27－3－54 虑接缝)(B)A．5 cm B．12 cm C．13 cm D．14 cm 2．如图27－3－55，是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是(A)图27－3－55A.π cm2 B．2 π cm2 C．6π cm2 D．3π cm2 在实际生活中，圆锥展开图的知识非常常见，将本课知识与实际生活中的问题密切联系，有利于培养学生的数学思想、方法和对数学的积极情感.
【拓展提升】例2 如图27－3－56所示是底面半径为1，母线长为3的圆锥形纸帽，假设一只蚂蚁要从底面圆周上一点B(设点B为纸帽底面圆弧的接口处)出发，沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B，问它爬行的最短路线是多少？ 图27－3－56解：把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，即BB′的长是蚂蚁爬行的最短路程，过点A作AD⊥BB′于点D，BB′的长是2π·1＝2π. 及时获知学生对所学知识的掌握情况，落实本课的学习目标．分层设计可让不同程度的同学最大限度地发挥他们的潜力，树立学好数学的信心.
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活动三：开放训练体现应用 设侧面展开图的圆心角是n°，则＝2π，解得n＝120，∴∠DAB′＝60°.∵AB′＝3，∴由勾股定理得AD＝，CD＝，∴由垂径定理得BB′＝2B′D＝3 ，即蚂蚁爬行的最短路程是3 . 图27－3－57教师引导学生分析：蚂蚁所走的最短路线应是直线，所以把圆锥的侧面展开，分析最短路线.
活动四：课堂总结反思 【达标测评】 1．若圆锥的底面半径为6 cm，母线长为10 cm，则圆锥的侧面积为__60π_cm2__． 2．一个底面直径是80 cm，母线长为90 cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为__160°__．3．已知圆锥的底面直径为20 cm，母线长为90 cm，则圆锥的表面积是__1000π_cm2__． 4.在纸上剪下一个圆形和一个扇形纸片，使之恰好能够围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于120°(如图27－3)，则r与R之间的关系是(C)A．R＝2r B．R＝r C．R＝3r D．R＝4r 图27－3－58 5．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，现在以AC为轴旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的表面积为(B)A．130π B．90π C．25π D．65π6.如图27－3－59，一个圆锥的高为3 cm，侧面展开图是半圆．求：(1)圆锥的母线长与底面半径之比；(2)∠BAC的度数；(3)圆锥的侧面积(结果保留π)．解：(1)设此圆锥的高为h，底面半径为r，母线长AC＝l.∵2πr＝πl，∴l∶r＝2∶1.(2)∵AO⊥OC，＝2，∴圆锥的高与母线的夹角为30°，则∠BAC＝60°. 图27－3－59(3)由图可知l2＝h2＋r2，h＝3 cm，∴(2r)2＝(3 )2＋r2，即4r2＝27＋r2，解得r＝3(负值以舍去)，∴l＝2r＝6 cm，∴圆锥的侧面积为＝18π(cm2)．师生活动：学生完成达标测评后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在各自思考解答的基础上，共同交流、形成共识、确定答案． 设置达标测评的目的是使学生加深对所学知识的理解和运用，在问题的选择上以基础为主、疑难点突出，增加开放型、探究型问题，使学生思维得到拓展、能力得以提升.
(续表)
活动四：课堂总结反思 【课堂小结】(1)谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 教师强调：熟记圆锥的侧面积和全面积公式，明确公式中各个字母所表示的意义．布置作业：教材P63练习第1，2题． 巩固、梳理所学知识．对学生进行鼓励、进行思想教育.
【知识网络】 提纲挈领，重点突出.
【教学反思】①[授课流程反思]在探究活动中，让学生动手操作，实际探索圆锥的性质和展开图与圆锥之间的对应关系，使学生在推理和思考中学会交流，进行体验．②[讲授效果反思]引导学生注意以下两点：(1)熟记圆锥的侧面积和全面积的公式；(2)明确公式中各个量所表示的意义．③[师生互动反思]从课堂发言和练习来看，学生能够积极参与课堂，在小组合作交流中，能充分发挥自主作用，课堂效果较好，富有成效．④[习题反思]好题题号___________________________________________错题题号___________________________________________ 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.
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