27.4 正多边形和圆
1.(2018拱墅区期末)如图,正八边形ABCDEFGH内接于☉O,则∠ADB的度数为( C )
(A)45° (B)25° (C)22.5° (D)20°
2.以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是( D )
(A) (B) (C) (D)
3.(2018武汉月考)已知☉O的内接正方形的面积为8,则☉O的内接正八边形的面积为 8 .?
4.正六边形的边长等于2,则这个正六边形的面积为 6 .?
5.如图,某圆形场地内有一个内接于☉O的正方形中心场地,若☉O的半径为10米,求图中所画的一块草地的面积.(计算结果保留π)
解:连结AC,则AC为直径,即AC=20,
因为正方形ABCD中,AB=BC,
∠B=90°,
所以在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2,
即2AB2=202,所以AB2=200,
S阴影=(S☉O-S正方形ABCD)
=(π·102-200)=(25π-50)平方米.
6.(规律探究)(1)已知△ABC为正三角形,点M是BC上一点,点N是AC上一点,AM,BN相交于点Q,BM=CN,证明△ABM≌△BCN,并求出∠BQM的度数;
(2)将(1)中的“正△ABC”分别改为正方形ABCD、正五边形ABCDE、正六边形ABCDEF、正n边形ABCD…,“点N是AC上一点”改为点N是CD上一点,其余条件不变,分别推断出∠BQM等于多少度,将结论填入下表:
正多边形
正方形
正五边形
正六边形
…
正n边形
∠BQM
的度数
?
?
?
…
?
(1)证明:因为△ABC为正三角形,所以∠ABC=∠C=60°.
在△ABM和△BCN中,
所以△ABM≌△BCN,所以∠BAM=∠CBN,
所以∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=60°.
(2)解:正方形ABCD中,由(1)得,△ABM≌△BCN,
所以∠BAM=∠CBN,
所以∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=90°.
同理正五边形ABCDE中,∠BQM=108°,
正六边形ABCDEF中,∠BQM=120°,
正n边形ABCD…中,∠BQM=.
27.4 正多边形和圆
一、选择题
1．2018·益阳如图K－22－1，正方形ABCD内接于⊙O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是( )
图K－22－1
A．4π－16
B．8π－16
C．16π－32
D．32π－16
2．在正三角形、正五边形、正十边形和正十五边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．一个正n边形的中心角是它的一个内角的，则n的值为( )
A．12 B．11 C．10 D．8
4．如图K－22－2所示，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是( )
图K－22－2
A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长
B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C.＝
D．∠BAC＝30°
5．如图K－22－3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB的度数为( )
图K－22－3
A．30° B．35° C．40° D．60°
6．正六边形的边心距与边长之比为( )
A.∶3 B.∶2 C．1∶2 D.∶2
7．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是( )
A．36° B．60° C．72° D．108°
8．若正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为∶2，则这个正多边形为( )
A．正十二边形 B．正六边形
C．正方形 D．正三角形
9．如图K－22－4所示，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ的度数为( )
图K－22－4
A．60° B．65° C．72° D．75°
二、填空题
10．已知正六边形的边长为a，则它的内切圆的面积为________．
11．如图K－22－5，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形AFB(阴影部分)的面积为________．
图K－22－5
12．如图K－22－6，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在上．若AE恰好为⊙O的内接正十边形的一边，∠DAE的度数为________．
图K－22－6
三、解答题
13．如图K－22－7所示，⊙O中，＝＝＝＝＝.求证：六边形ABCDEF是正六边形．
图K－22－7
14．如图K－22－8所示，已知等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径为R，求△ABC的边长a，周长P，边心距r及面积S.
图K－22－8
15．如图K－22－9，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，CE，CE交AD于点F，连结BF.小颖得出了下列四个结论：
(1)△CDF的周长等于AD＋CD；
(2)FC平分∠BFD；
(3)AC2＋BF2＝4CD2；
(4)DE2＝EF·CE.
你认为这四个结论正确吗？请说明理由．
图K－22－9
16．如图K－22－10，已知⊙O和⊙O上的一点A.
(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
(2)在(1)题的作图中，如果点E在上，求证：DE是⊙O的内接正十二边形的一边．
图K－22－10
素养提升 思维拓展 能力提升
阅读探究阅读材料并解答问题：
与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，…，与正n(n≥3)边形各边都相切的圆叫做正n边形的内切圆．设正n边形的面积为S正n边形，其内切圆的半径为r，试探索正n边形的面积．
图K－22－11
(1)如图K－22－11所示，当n＝3时，设AB切⊙O于点C，连结OC，OA，OB，
则OC⊥AB，OA＝OB，
∴∠AOC＝∠AOB，AB＝2AC.
在Rt△AOC中，∵∠AOC＝×＝60°，OC＝r，
∴AC＝r·tan60°，AB＝2r·tan60°，
∴S△OAB＝·r·2r·tan60°＝r2tan60°，
∴S正三角形＝3S△OAB＝3r2tan60°.
(2)如图K－22－12①，当n＝4时，仿照(1)中的方法和过程可求得：S正四边形＝4S△OAB＝__________；
(3)如图②，当n＝5时，仿照(1)中的方法和过程求S正五边形；
(4)如图③，根据以上探索过程，请直接写出S正n边形＝________．
图K－22－12
教师详解详析
[课堂达标]
1.
[解析] B 连结OA，OB，如图．
∵四边形ABCD为正方形，∴∠AOB＝90°.
设OA＝OB＝r，则r2＋r2＝42，解得r＝2 .
∴S阴影＝S⊙O－S正方形ABCD＝π×(2 )2－42＝8π－16.
故选B.
2．[答案] A
3．[答案] A
4．[解析] D 因为OA＝OB＝AB，所以△OAB是等边三角形．又因为OC⊥AB，所以∠AOC＝∠BOC＝30°，所以∠BAC＝15°，＝，所以A，B，C正确，D不正确．
5．[答案] A
6．[解析] B 如图，设正六边形的边长是a，则其半径长也是a.
过正六边形的中心O作边AB的垂线段OC，连结OA，OB，则AC＝AB＝a，
∴OC＝＝a，
∴正六边形的边心距与边长之比为a∶a＝∶2.故选B.
7．[答案] C
8．[解析] B 正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为∶2，则半径之比为∶2.
如图，设AB是正多边形的一边，O为正多边形内切圆与外接圆的圆心，OC⊥AB于点C，OC＝k，则OA＝OB＝2k，
在Rt△AOC中，
cos∠AOC＝＝，
∴∠AOC＝30°，
∴∠AOB＝60°，
则正多边形的边数是＝6.故选B.
9．[解析] D 因为圆心角与它所对弧的度数相等，所以求出的度数就求出了∠AOQ的大小，而＝－.根据题意，得所对的圆心角为120°，所对的圆心角为×360°＝45°，所以 所对的圆心角为120°－45°＝75°，所以∠AOQ＝75°.
10．[答案]
11．[答案] 18
[解析] 由题意可得，正六边形的边长AB就是扇形的半径，正六边形的边长BC，CD，DE，EF的和就是扇形的弧长，所以扇形AFB的半径AB＝3，弧BDF的长为12，
所以扇形AFB(阴影部分)的面积为S＝rl＝×3×12＝18.故答案为18.
12．[答案] 42°
[解析] 连结BD，OA，OE，OD，如图所示．
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD＋∠C＝180°.
∵∠C＝120°，∴∠BAD＝60°.
又∵AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，∴∠AOD＝2∠ABD＝120°.
∵AE恰好为⊙O的内接正十边形的一边，
∴∠AOE＝360°÷10＝36°，
∴∠DOE＝120°－36°＝84°，∴∠DAE＝42°.
13．[解析] 由弧相等得到弦相等，从而证得该六边形的六条边相等，由弧相等也可以证得该六边形的六个内角相等．
证明：∵＝＝＝＝＝，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA(等弧所对的弦相等)．
∵＝＝＝＝＝，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F(等弧所对的圆周角相等)，
∴六边形ABCDEF是正六边形．
14．解：如图，连结OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，则OB＝R，∠OBD＝∠ABC＝30°，∴OD＝OB＝R，
∴a＝2·＝2·R＝R，
P＝3a＝3R，
r＝OD＝R，
S＝3·ar＝3××R×R＝R2.
15．解：结论(2)错误，其他三个结论都正确．
理由：正五边形的每一个内角均为108°，
由AE＝DE，可求得∠EAD＝∠EDA＝36°，
同理可得∠ECD＝36°.
又因为∠FED＝∠DEC，
所以△EFD∽△EDC，可得DE2＝EF·CE；
由角的关系可得AF＝CF，
所以△CDF的周长＝CF＋DF＋CD＝AF＋DF＋CD＝AD＋CD.
所以(1)和(4)正确．
易知∠AFB＝∠BFC＝54°，而∠CFD＝72°，
所以(2)是错误的．
由条件可得AB＝BC＝AF＝CF，
所以四边形ABCF是菱形，
则AC垂直平分BF，
设AC与BF交于点M，
由勾股定理可得CM2＋MF2＝CF2，
从而可得AC2＋BF2＝4CD2，
所以(3)正确．
16．解：(1)作法：
①作⊙O的直径AC；
②作直径BD⊥AC；
③依次连结A，B，C，D四点，则四边形ABCD即为⊙O的内接正方形；
④分别以A，C为圆心，OA长为半径作弧，交⊙O于点E，H和F，G；
⑤顺次连结AE，EF，FC，CG，GH，HA，则六边形AEFCGH即为⊙O的内接正六边形．
(2)证明：如图，
连结OE，DE.
∵∠AOD＝＝90°，
∠AOE＝＝60°，
∴∠DOE＝∠AOD－∠AOE＝90°－60°＝30°，
∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边．
[素养提升]
解：(2)4r2tan45°
(3)如图，当n＝5时，设AB切⊙O于点C，连结OC，OA，OB，则OC⊥AB，OA＝OB，
∴∠AOC＝∠AOB＝×＝36°，AB＝2AC.
∵OC＝r，
∴AC＝r·tan36°，AB＝2r·tan36°，S△OAB＝·r·2r·tan36°＝r2tan36°，
∴S正五边形＝5S△OAB＝5r2tan36°.
(4)nr2tan
