27.2.1 点与圆的位置关系教案（表格式）

课题
1.点与圆的位置关系
授课人
教
学
目
标
知识技能
　　理解并掌握点和圆的三种位置关系及数量关系，探求过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法，能画出三角形的外接圆．
数学思考
　　经历探索点与圆的位置关系的过程，理解不在同一直线上的三个点确定一个圆．
问题解决
　　熟练掌握点与圆的位置关系，了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．
情感态度
　　通过本节知识的学习，体验点和圆的位置关系与生活中的射击、投掷等活动紧密相连，感知数学就在身边，从而更加热爱生活，激发学生学习数学的兴趣．
教学重点
　　理解和掌握点和圆的三种位置关系及三角形的外接圆和外心等概念．
教学难点
　　能用不同的方法判断点和圆的位置关系，会用外心的性质解决有关问题．
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
　　问题：
1．什么是圆？请举例说明圆是如何形成的？
2．画出圆后，观察圆上各点到圆心的距离有什么关系？
3．思考：到圆心的距离大于半径的点在什么位置？小于半径的点呢？
师生活动：学生自主回答问题，教师鼓励学生积极思考，同时进行强调和总结．
　　通过复习圆的定义和形成过程，使学生能够明确圆上各点到圆心的距离都相等，都等于半径，为学习点和圆的位置关系做好知识储备和铺垫.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
我国射击运动员在奥运会等运动会上屡次取得佳绩，被称为“梦之队”．如图27－2－5是射击靶的示意图，它是由许多同心圆组成的，你知道击中靶上不同位置的成绩如何计算吗？这一现象体 图27－2－5
现了平面上的点与圆的位置关系，那么如何判断点与圆的位置关系呢？
师生活动：
教师演示课件和图片，展示射击靶，指导学生说出各个成绩，继而引出点与靶心的距离，从而得到点与圆的位置关系．
从实际问题导入新课，学生根据已有的经验易于解答问题，从而激发学生的求知欲和学习兴趣.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】点与圆的位置关系
问题1：观察图27－2－6，说出点A，B，C与⊙O的位置关系？
问题2：设⊙O的半径为r，说出点A，B，C与圆心O之间的距离d与半径r的关系； 图27－2－6
问题3：反过来，已知点P与圆心O之间的距离d和圆的半径r，能否判断点和圆的位置关系？
师生活动：学生进行口答，阐述自己的想法，教师引导全班同学发现、探究规律，继而进行总结归纳．
教师板书：
①点与圆的三种位置关系：点在圆上、点在圆外、点在圆内．
②点到圆心的距离d与半径r之间的数量关系有三种：d＞r、d＝r、d＜r.
③d>r?点在圆外；d＝r?点在圆上；d【探究2】不在同一直线上的三点确定一个圆
问题1：经过已知点A作圆，这样的圆能作出多少个？
问题2：经过已知点A，B作圆，这样的圆能作出多少个？圆心分布有什么特点？

图27－2－7 图27－2－8
师生活动：学生动手操作，教师进行指导、帮助，讨论交流后统一结论：经过平面内一个点可以作无数个圆；经过平面内两个点可以作无数个圆，圆心都在线段AB的垂直平分线上．
教师提出问题：经过不在同一条直线上的三点做一个圆，如何确定这个圆的圆心？
师生活动：教师引导学生进行分析．如图27－2－7，A，B，C三点不在同一条直线上，因为所求作的圆要经过A，B，C三点，所以圆心到这三点的距离相等，因此这个点既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上．
学生说明作图步骤：1.连结AB，BC；2.分别作出线段AB，BC的垂直平分线l1和l2交于点O；3.以点O为圆心，OA为半径作圆，便可以作出经过A，B，C三点的圆．
教师引导学生总结结论，从而根据图形进行讲解与拓展，并板书．
定理：不在同一条直线上的三点确定一个圆．
概念：(1)经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；
1.通过观察得到点与圆的位置关系，从而能够总结出怎样经过点作圆，由实际操作到总结归纳，学生的思维得到提升．
2．通过总结得出当三个点不在同一直线上时，可以且只能作一个圆，使学生进行分类讨论，让学生亲历知识的探究过程.
　　(2)外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
思考：经过同一直线上的三点能作一个圆吗？
师生活动：学生在得到结论的同时，进行证明，教师设疑，点拨．
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1　在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以B为圆心，BC为半径作圆，请问点A，C与圆有什么样的位置关系？
图27－2－9
[答案：点A在圆外，点C在圆上]
变式训练
1．关于半径为5的圆，下列说法正确的是(C)
A．若有一点到圆心的距离为5，则该点在圆外
B．若有一点在圆外，则该点到圆心的距离不小于5
C．圆上任意两点之间的线段长度不大于10
D．圆上任意两点之间的部分可以大于10π
2．已知⊙O的直径为3 cm，点P到圆心O的距离OP＝2 cm，则点P(A)
A．在⊙O外　　　　　B．在⊙O上
C．在⊙O内　　　　　D．不能确定
例2　如图27－2－10，某公园有一个三角形花坛，三角形的顶点A，B，C处各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上，请你只用直尺和圆规在原图上画出你所设计的圆形花坛示意图，不写作法但保留作图痕迹．

图27－2－10 图27－2－11
　　解：如图27－2－11.
师生活动：学生自主思考、画图，并尝试写出解题过程，教师进行指导并演示解答过程．
例题将本节所学内容与以前的知识紧密结合，使学生很好地进行知识的迁移，在练习中加深对本节知识的理解.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【拓展提升】
例3　如图27－2－12，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，求△ABC的外接圆的半径．

图27－2－12 图27－2－13
解：如图27－2－13，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则圆心O一定在AD上，BD＝CD＝6，所以AD＝＝8.设OA＝r，在Rt△OBD中，OB2＝OD2＋BD2，即r2＝(8－r)2＋62，解得r＝.故△ABC外接圆的半径为.
例4　如图27－2－14，已知AD既是△ABC的中线，又是角平分线，请判断：
(1)△ABC的形状，并证明你的结论；
(2)AD是否过△ABC外接圆的圆心O，⊙O是否是△ABC的外接圆？
图27－2－14
解：(1)△ABC是等腰三角形．证明：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.∵AD是角平分线，∴DE＝DF.又∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.在Rt△BDE与Rt△CDF中，BD＝CD，DE＝DF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．
(2)AD过△ABC的外接圆的圆心O，⊙O是△ABC的外接圆．
师生活动：教师引导学生思考，求三角形的外接圆的半径，首先要确定外接圆的圆心，即三角形的外心指导学生找出圆心，然后再运用勾股定理进行计算．
及时获知学生对所学知识的掌握情况，落实本课的学习目标．分层设计可让不同程度的同学最大限度地发挥他们的潜力，树立学好教学的信心.
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1．若⊙A的半径是5，圆心A的坐标是(3，4)，点P的坐标是(5，8)，则点P(A)
A．在⊙A内　 B．在⊙A上 C．在⊙A外　 D．无法确定
2．下列图形中四个顶点在同一个圆上的是(D)
A．矩形、平行四边形　　　B．菱形、正方形
C．正方形、平行四边形　　　 D．矩形、等腰梯形
3．正方形ABCD的边长为2 cm，以A为圆心，2 cm为半径作⊙A，则点B在⊙A__上__；点C在⊙A__外__；点D在⊙A__上__．
(续表)
活动
四：
课堂
总结
反思
4.如图27－2－15，矩形ABCD的边AB＝3 cm，AD＝4 cm.
(1)以点A为圆心，4 cm为半径作⊙A，求点B，C，D与⊙A的位置关系； 图27－2－15
(2)若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点至少有一个在圆内，至少有一个在圆外，则⊙A的半径r的取值范围．
解：(1)点B在圆内，点C在圆外，点D在圆上
(2)3＜r＜5
5．[广东一模] 如图27－2－16，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝2，∠A＝∠ADC，∠C＝∠A.
(1)求BC的长；
(2)利用尺规作图画出△BCD的外接圆，并求出外接圆的半径r.(不写作法，保留作图痕迹)
解：(1)过点D作DE∥AB交BC于点E ，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD＝BE＝2，AB＝DE.∵∠A＝∠ADC，∠C＝∠A，∴∠C＝∠ADC.∵∠ADC＋ 图27－2－16
∠C＝180°，∴∠C＝60°.∵AB＝DE，AB＝DC，∴DE＝DC，
∴△DEC是等边三角形．∵CD＝2，∴EC＝2，∴CB＝4.
(2)如图27－2－17所示，∵DE＝CE＝BE＝2，∴⊙E是△BCD的外接圆，且半径为2.
师生活动：学生完成达标测评后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在各自思考解答的基础上，共同交流、形成共识、确定答案. 图27－2－17
设置达标测评的目的是使学生加深对所学知识的理解和运用，在问题的选择上以基础为主、疑难点突出，增加开放型、探究型问题，使学生思维得到拓展、能力得以提升.
【课堂小结】
(1)谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？
(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？
教师总结本课时主要学习内容：点与圆的位置关系；不在同一直线上的三个点确定一个圆．
布置作业：教材P48练习第1，2题．
巩固、梳理所学知识．对学生进行鼓励、进行思想教育.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
活动
四：
课堂
总结
反思
【教学反思】
①[授课流程反思]
在创设情境环节中，通过射击这种学生常见且富有自豪感的情境导入，使学生学习的积极性大大增强，内容理解透彻，效果较好．
②[讲授效果反思]
引导学生注意以下几点：(1)对于在同一直线上的三个点不能确定圆的解析；(2)三角形外心的位置．
③[师生互动反思]
本节课通过观察、操作、思考、解释等教学环节和活动，使学生从中体会到了创造的乐趣和成功的喜悦．
④[习题反思]
好题题号___________________________________________
错题题号___________________________________________
反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.