课题
第1课时 切线
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.使学生掌握圆的切线的判定方法和切线的性质.
2.能够运用切线的判定方法证明直线是圆的切线.
3.综合运用切线的判定和性质解决问题，培养学生的逻辑推理能力．
数学思考
以圆心到直线之间的距离和圆的半径之间的数量关系为依据，探究切线的判定定理和性质定理，让学生体验“观察—猜想—论证—归纳”的数学研究方法．
问题解决
通过学生自己探究(猜想、类比、演绎)，发现切线的判定定理，并能说明证明方法的正确性．
情感态度
培养学生的观察能力、研究问题能力、数学思维能力以及创新意识，充分领会数学转化思想．
教学
重点
圆的切线的识别方法和圆的切线的性质．
教学
难点
体验证明圆的切线问题中辅助线的添加方法．
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
(多媒体演示)问题：
1.直线与圆有哪几种位置关系？你有哪些判断方法？
2.什么叫做圆的切线？怎样判断一条直线是否是圆的切线？
师生活动：学生回答问题，教师引导学生进行复习并及时总结．
通过问题形势引导学生回顾所学，为学习新知打下基础.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
(课件展示)画图并解答问题：请画出⊙O，并在⊙O上任取一点A，连结OA，过点A作直线l⊥OA.请问：直线l是不是⊙O的切线？
师生活动：教师指导学生根据题意画图，并根据图形，观察直线与圆的交点个数，猜想直线与圆的位置关系，讨论、合作利用数量关系说明直线是否是圆的切线．
通过学生动手操作，观察、猜想、论证等过程，培养学生探究新知的方法和能力.
(续表)
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】 切线的判定
图27－2－77
活动一：教师结合所画图形，引导学生分析：因为直线l⊥OA，所以圆心O到直线l的距离等于OA，而OA正好是圆O的半径，根据“当圆心到直线的距离等于该圆的半径时，这条直线就是圆的一条切线”可知直线l是圆O的切线．
教师引导学生对切线的判定定理进行概括．
师生共同总结，教师板书．
切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
教师引导学生小组讨论定理的条件和结论，做好定理的分析，运用判定定理判定一条直线是圆的切线时要把握两点：①经过半径外端；②垂直于这条半径．
活动二：提问：生活中你看到哪些现象是体现直线和圆相切的位置关系的？
师生活动：学生思考并回答，教师做好补充．
(多媒体展示)如下雨天，转动雨伞，雨伞上的水滴会沿着什么方向飞出？车轮和笔直的公路；磨砂轮上的火花等．
活动三：判断下列说法是否正确．
(1)过半径外端的直线是圆的切线．( × )
(2)与半径垂直的直线是圆的切线．( × )
(3)过半径的端点且与半径垂直的直线是圆的切线．( × )
(4)经过直径的端点且与直径垂直的直线是圆的切线．( √ )
师生活动：学生判断、操作后，教师用多媒体演示反例．
教师提出问题：判断一条直线是圆的切线，共有几种方法？
师生活动：学生讨论、交流后，请学生代表总结方法，教师最后进行总结．
方法1：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
方法2：与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
方法3：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【探究2】 切线的性质
将切线的判定定理反过来，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是否垂直呢？
师生活动：教师引导学生小组内进行分析，直接证明较为困难，可以运用反证法进行说明．
师生共同总结圆的切线的性质：
(教师板书)圆的切线垂直于经过切点的半径．
1.数学活动必须建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验基础之上．教学应激发学生的学习积极性，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基础的数学知识技能、数学思想和方法，让学生自己总结，提高学生概括的能力，并进一步理解本课的学习内容和方法．
2．总结出切线的几种判定方法，便于以后灵活选择并加以运用．
(续表)
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 如图27－2－78，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，求证：AC是⊙O的切线．
师生活动：学生独立思考，然后小组交流，教师及时引导点拨画出辅助线，并规范解题步骤． 图27－2－78
教师总结：①当直线与圆有明确的公共点时，应连结圆心和公共点，即得到“半径”，再证明“直线与半径垂直”，简称为“连半径，证垂直”；②当直线与圆没有明确的公共点时，应过圆心作直线的垂线段，再证明“垂线段等于半径”，简称为“作垂直，证半径”．
例2 如图27－2－79，A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于点C，CD⊥OB于点E，交⊙O于点D，连结OD.若AB＝12，AC＝8.
(1)求OD的长； 图27－2－79
(2)求CD的长．
变式 如图27－2－80，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.已知∠A＝30°，则∠C的大小是(A)
图27－2－80
A.30° B．45° C．60° D．40°
例题采取师生互动的形式，尊重学生的个体差异，既落实双基又满足不同层次学生的要求，让不同的人在数学上得到不同的发展，让层次不同的学生都尝试到成功的喜悦.
【拓展提升】
例3 如图27－2－81，BC与⊙O相切于点B，AB为⊙O的直径，弦AD∥OC，求证：CD是⊙O的切线．
图27－2－81
证明：连结OD，∵AD∥OC，∴∠A＝∠COB，∠ADO＝∠COD.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠COB＝∠COD.在△COB和△COD中，OB＝OD，∠COB＝∠COD，OC＝OC，∴△COB≌△COD，∴∠ODC＝∠OBC.∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∴∠ODC＝90°，即OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线．
师生活动：学生先独立解决问题，然后小组中讨论，鼓励学生勇于探索实践，然后与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注学生的解题过程．
及时获知学生对所学知识的掌握情况，落实本课的学习目标．分层设计可让不同程度的同学最大限度地发挥他们的潜力，树立学好数学的信心.
(续表)
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1．如图27－2－82，AB与⊙O切于点B，AO＝6 cm，AB＝4 cm，则⊙O的半径为(B)
A．4 cm B．2 cm C．2 m D. m
图27－2－82 图27－2－83 图27－2－84
2.如图27－2－83，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2 cm为半径作⊙M，当OM＝__4__ cm时，⊙M与OA相切．
3．如图27－2－84，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为__∠ABC＝90°(答案不唯一)__．
4.如图27－2－85，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C.
(1)求∠BAC的度数；
(2)求证：AD＝CD. 图27－2－85
5．[吉林中考] 如图27－2－86，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连结CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若BC＝3，CD＝4，求平行四边形OABC的面积．
图27－2－86
解：(1)证明：连结OD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠A，∵四边形OABC是平行四边形，∴OC∥AB，∴∠EOC＝∠A，∠COD＝∠ODA，∴∠EOC＝∠DOC.在△EOC和△DOC中，OE＝OD，∠EOC＝∠DOC，OC＝OC，∴△EOC≌△DOC，∴∠ODC＝∠OEC＝90°，即OD⊥DC，∴CD是⊙O的切线．
(2)∵△EOC≌△DOC，∴CE＝CD＝4.∵四边形OABC是平行四边形，∴OA＝BC＝3，∴平行四边形OABC的面积S＝OA×CE＝3×4＝12.
师生活动：学生完成达标测评后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在各自思考解答的基础上，共同交流、形成共识、确定答案．
设置达标测评的目的是使学生加深对所学知识的理解和运用，在问题的选择上以基础为主、疑难点突出，增加开放型、探究型问题，使学生的思维得到拓展、能力得以提升.
(续表)
活动
四：
课堂
总结
反思
【课堂总结】
(1)谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？
(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？
教师总结本课时主要学习内容：切线的性质和判定；提醒学生证明圆的切线时注意是否有切点．
布置作业：教材P52练习第1，2，3，4题．
巩固、梳理所学知识．对学生进行鼓励、进行思想教育.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在探究新知的过程中，学生动手操作，经历动脑思考、归纳、总结等活动，得到结论；在课堂训练环节中，通过不同类型的问题，指导学生灵活地掌握基本知识．
②[讲授效果反思]
引导学生注意以下两点：(1)判定定理中直线经过半径外端；(2)辅助线的作法．
③[师生互动反思]
从课堂发言和练习来看，学生在探究基本知识时，推理能力和有条理的符号表达能力得到了一定发展．
④[习题反思]
好题题号___________________________________________
错题题号___________________________________________
反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.
课题
第2课时 切线长定理与三角形的内切圆
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.掌握切线长的定义及切线长定理，并利用切线长定理进行有关的计算.
2.了解三角形的内切圆、内心的概念，会作三角形的内切圆．
数学思考
经历画图、测量、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地阐述自己观点的能力．
问题解决
初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识，在解题过程中，形成基本解题策略，发展实践能力与创新精神．
情感态度
通过课题学习，使学生对数学有好奇心和求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼意志，增强自信心．
教学
重点
切线长定理及其应用．
教学
难点
与切线长定理有关的计算和证明问题．
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
(多媒体演示)问题：
1.已知△ABC，作三个内角的平分线，说说它们具有什么性质？
2.直线与圆有几种位置关系？切线的判定定理和性质定理的内容是什么？
师生活动：教师引导学生进行解答，并适时作出补充和讲解.
教师总结：①三角形的三个内角平分线相交于一点，交点到三条边的距离相等；
②切线的判定定理是经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
③切线的性质定理是圆的切线垂直于经过切点的半径．
通过问题形式引导学生回顾所学，为学习新知打下基础.
(续表)
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
(课件展示)问题：过圆上一点能够画圆的几条切线呢？过圆外一点？
师生活动：教师指导学生根据题意画图，并根据图形回答问题．
结论：过圆上一点只能作圆的一条切线； 图27－2－121
过圆外一点可以作圆的两条切线．
通过学生动手操作得到圆的切线长基本图形，为解析新知做好图形上的准备.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】 切线长定理
(多媒体展示)问题1：在⊙O外任取一点P，过点P作⊙O的两条切线，如图27－2－122，请找出图形中存在哪些等量关系？
问题2：请把图形沿着直线PO进行对折，观察两部分能否互相重合？请用语言概括你的发现． 图27－2－122
师生活动：教师指导学生运用猜想、测量、对折等方法和策略进行探究，教师适时点拨后，学生交流、讨论，说明自己的发现，教师做好总结和鼓励．
教师强调：
①切线长的定义：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长，如图27－2－122中的线段PA，PB.
②切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
问题3：你能运用所学进行证明吗？
师生活动：学生小组内讨论、交流，教师引导，作辅助线证明三角形全等即可，学生写出证明过程，教师巡视、指导．
证明过程：连结OA，OB，
因为PA，PB是圆的切线，所以OA⊥PA，OB⊥PB.
因为OA＝OB，PO＝PO，所以Rt△AOP≌Rt△BOP，所以PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
问题4：如何根据图形，用几何语言描述切线长定理呢？
师生活动：学生根据定理的题设和结论，结合图形，进行回答，教师板书并补充．
∵PA，PB是圆的切线，∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
【探究2】 三角形的内切圆
(课件展示)有一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切．
教师提示：
(1)与其中两边都相切的圆的圆心在哪里？
(2)与三角形三边都相切的圆的圆心在哪里？
师生活动：学生根据提示问题，思考解答，教师做好引导与点拨，最后进行总结．
1.在探索问题的过程中，学生通过自主探索、合作交流发现问题，归纳知识，获得积极、深层次的体验，从而发展学生的探究能力、语言表达能力和归纳总结能力．
2．利用实际问题引入三角形的内切圆，层层设问，引导学生作图，指导学生发现知识适用于生活实际，并服务于实际问题.
(续表)
活动
二：
实践
探究
交流
新知
教师阐述：
①圆心到角两边的距离相等，所以圆心在角的平分线上，则圆心是两个内角的平分线的交点；
②与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三个内角平分线的交点，叫做三角形的内心，这个三角形叫做这个圆的外切三角形．
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 如图27－2－123，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9 cm，BC＝14 cm，CA＝13 cm，求AF，BD，CE的长．
师生活动：教师引导学生观察图形，根据切线长定 图27－2－123
理能够得到哪些相等的线段？学生进行思考、解答．教师做好总结归纳：
设AF＝x后，用x表示出其他线段的长度，运用方程思想进行解答即可．
变式训练
1.如图27－2－124，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2 ，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为(C)
A. B. C．2 D．3 图27－2－124
2.如图27－2－125，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，⊙O内切于△ABC，则阴影部分的面积为(D)
A．12－π B．12－2π
C．14－4π D．6－π
图27－2－125
在教师的引导下，学生能够熟练地列方程解答问题，使切线长定理实用化，增强了学生的数形结合思想.
【拓展提升】
例2 如图27－2－126，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，若直径AC＝12，∠P＝60°，求弦AB的长．
图27－2－126
解：连结CB.∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∠CAP＝90°.又∵∠P＝60°，∴∠PAB＝60°，∴∠CAB＝30°.又∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.在Rt△ABC中，cos30°＝，∴AB＝12×＝6 ，弦AB的长为6 .
师生活动：学生先独立解决问题，然后小组中讨论，鼓励学生勇于探索实践，然后与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注学生的解题过程．
(续表)
活动
三：
开放
训练
体现
应用
例3 如图27－2－127，△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，∠A＝60°，BC＝7，⊙O的半径为.求：
(1)求BF＋CE的值；
(2)求△ABC的周长．
解：(1)∵△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F， 图27－2－127
∴BF＝BD，CE＝CD，∴BF＋CE＝BD＋CD＝BC＝7，故BF＋CE的值是7.
(2)连结OE，OF，OA，∵△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，∴∠OEA＝90°，∠OAE＝∠BAC＝30°，∴OA＝2OE＝2 ，由勾股定理得AE＝AF＝＝＝3，∴△ABC的周长是AB＋BC＋AC＝AF＋AE＋CE＋BF＋BC＝3＋3＋7＋7＝20，故△ABC的周长是20.
及时获知学生对所学知识的掌握情况，落实本课的学习目标．分层设计可让不同程度的同学最大限度地发挥他们的潜力，树立学好教学的信心.
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1．下列命题中，正确的命题有(D)
①边长为1.5，2，2.5的三角形是直角三角形
②三角形各个内角的平分线的交点是三角形的内心
③三角形各条边的中垂线的交点是三角形的外心
④三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若一个直角三角形的斜边长为10 cm，内切圆的半径为1 cm，则这个三角形的周长是(B)
A．15 cm B．22 cm C．24 cm D．26 cm
3．如图27－2－128，已知△ABC，下面说法正确的有(C)
①若O是△ABC的外心，∠A＝50°，则∠BOC＝100°；
②若O是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BOC＝115°；
③若BC＝6，AB＋AC＝10，则△ABC的面积的最大值是12；
④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
图27－2－128 图27－2－129 图27－2－130
4.如图27－2－129，⊙O与△ABC中AB，AC的延长线及BC边相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是__2__．
5.如图27－2－130，等腰三角形ABC中，AE是底边BC上的高，点O在AE上，⊙O与AB和BC分别相切．
(1)⊙O是否为△ABC的内切圆？请说明理由；
(2)若AB＝5，BC＝4，求⊙O的半径．
设置达标测评的目的是使学生加深对所学知识的理解，在问题的选择上以基础为主、疑难点突出，增加开放型、探究型问题，使学生思维得到拓展、能力得以提升.
(续表)
活动
四：
课堂
总结
反思
解：(1)是．理由：∵⊙O与AB相切，把切点记作D.连结OD，则OD⊥AB于点D.作OF⊥AC于点F.∵AE是底边BC上的高，∴AE也是顶角∠BAC的平分线，∴OF＝OD，∴⊙O与AC相切于点F.又∵⊙O与BC相切，∴⊙O是△ABC的内切圆．
(2)∵OE⊥BC，∴点E是切点，即OE＝r.由题意，知AB＝5，BE＝AB＝2，∴AE＝＝.∵Rt△AOD∽Rt△ABE，∴＝，即＝，解得r＝，∴⊙O的半径是.
师生活动：学生完成达标测评后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在各自思考解答的基础上，共同交流、形成共识、确定答案．
【课堂小结】
(1)谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？
(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？
教师总结本课时主要学习内容：切线长定理和三角形内心的性质，注意区分内心和外心．
布置作业：教材P55练习第1，2，3题．
巩固、梳理所学知识．对学生进行鼓励、进行思想教育.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在探究新知的过程中，学生动手画图，通过折叠探究对称性，从而发现切线长定理，学习过程中，以小组合作形式为主，积极探究知识，掌握并能应用知识．
②[讲授效果反思]
引导学生注意以下几点：(1)数形结合思想；(2)切线长定理及其应用；(3)内心和外心的区别．
③[师生互动反思]
从教学过程来看，采用小组教学和自主探究相结合的学习方式，对于学生探究新知识十分有效，学生反应积极，小组讨论热烈、有效．
④[习题反思]
好题题号___________________________________________
错题题号___________________________________________
反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.
