27.1.2圆的对称性 导学案（含答案）

27.1.1圆的对称性导学案
学习目标
1.知道圆既是轴对称图形又是中心对称图形还是旋转对称图形.
2.理解弧、弦和圆心角之间的关系定理及推论，并能解决相关问题的证明
学习策略
1.结合图形识别理解相关元素的意义.
2.细心观察，注意分组交流，共同探究加深理解.
学习过程
一.复习回顾：
1.回忆小学中所学习的圆，你对圆都有哪些认识？
2.思考写出在我们身边有哪些圆的形象或运用.
二.新课学习：
1.自学教材P36，回答以下问题：
1、把圆形纸片沿直径所在直线对折，你发现了什么？把圆绕圆心旋转，你会发现什么？
2、在圆形纸片上画出弧AB，连接弦AB，连接半径OA和OB得到圆心角∠AOB，将圆形纸片旋转一个角度后画出相应的部分进行观察：写出你的发现圆心角，弧以及弦有何关系？
3、总结圆心角、弧和弦之间的关系定理及其推论
4、例1中 已知哪些弧相等？可以推出哪些弧相等？∠1与∠2有何关系？
5、结合教材图27.1.5自己尝试证明例1
6. 自制一个圆形纸片，进行对折，体会圆的轴对称性，观察分析圆的对称轴以及如何把圆2等分，4等分···.
三.尝试应用：
1. 如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=（　　）
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
2. 如图，AB、CE是⊙O的直径，∠COD=60°，且，那么与∠AOE相等的角有 ，与∠AOC相等的角有
?
3. 如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠1=∠2，求证：AC=BD．
四.自主总结：
（1）弧、弦和圆心角之间的关系定理及推论：在同圆或等圆中，弧相等所对的弦相等所对的弧相等；
（2）对称性：任意一条直径所对的直线都是圆的对称轴，圆是中心对称图形.
五.达标测试
一．选择题（共4小题）
1．如图，已知AB是⊙O的直径，D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40°，那么∠AOE=（　　）
A．40° B．60° C．80° D．120°
2．下列命题是真命题的是（　　）
A．相等的弦所对的弧相等
B．圆心角相等，其所对的弦相等
C．在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等
D．弦相等，它所对的圆心角相等
3．如图，C、D为半圆上三等分点，则下列说法正确的有（　　）
①；②∠AOD=∠DOC=∠BOC；③AD=CD=OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．在⊙O中，C是的中点，连接AB，AC，BC，则（　　）
A．AB＞2AC B．AB=2AC C．AB＜2AC D．不能确定
　
二．填空题（共3小题）
5．如图，AB、CE是⊙O的直径，∠COD=60°，且，那么与∠AOE相等的角有　 　，与∠AOC相等的角有　 　．
6．如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径 MN上一动点，若⊙O的直径为2，则AP+BP的最小值是　 　．
7．如图，在⊙O中，=，若∠AOB=40°，则∠COD=　 　°．
　
三．解答题（共3小题）
8．已知如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC=NC．
9．如图，∠AOB=90°，C、D是的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F．
求证：AE=BF=CD．
10．如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC∥OD．
（1）求证：=．
（2）若的度数为58°，求∠AOD的度数．
1. 【分析】根据等弧所对的圆心角相等求得∠EOD=∠COD=∠BOC，从而可求得∠AOE的度数．
【解答】解：∵D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40°
∴∠EOD=∠COD=∠BOC=40°
∴∠AOE=60°．
故选B．
2. 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各个命题进行分析，从而得到答案．
【解答】解：A、B、D结论若成立，都必须以“在同圆或等圆中”为前提条件，所以A、B、D错误；
故选C．
3. 【分析】根据“在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相等”仔细找出等量关系即可．
【解答】解：∵C、D为半圆上三等分点，
∴，根据在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相等知，AD=CD=OC，∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，∵AO=OD=OC=OB，
∴△AOD≌△COD≌△COB，
∴四种说法都正确．
故选A．
4. 【分析】根据已知得出弧AC=弧BC，推出AC=BC，在△ACB中，根据三角形三边关系定理得出AB＜AC+BC，即可得出答案．
【解答】解：
∵C是的中点，
∴弧AC=弧BC，
∴AC=BC，
在△ACB中，AB＜AC+BC，
∴AB＜2AC，
故选C．
5.
【分析】根据圆心角、弧间的关系求得∠AOD=∠BOC=60°，由对顶角的定义知∠AOE=∠BOC=60°，根据图中角与角间的和差关系来求等于120°的角．
【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，∠COD=60°，
∴∠AOD+∠BOC=120°．
∵，
∴∠AOD=∠BOC=60°，
∴∠AOE=∠BOC=60°，
∴∠AOC=2∠COD=120°，
∴∠DOE=∠DOB=∠BOE=120°．
综上所述，∠AOE相等的角有：∠AOD，∠DOC，∠BOC；与∠AOC相等的角有：∠DOE，∠DOB，∠BOE．
故答案分别是：∠AOD，∠DOC，∠BOC；∠DOE，∠DOB，∠BOE．
6. 【分析】作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，连接BP，由三角形两边之和大于第三边即可得出此时AP+BP=AB′最小，连接OB′，根据点A是半圆上一个三等分点、点B是的中点，即可得出∠AOB′=90°，再利用勾股定理即可求出AB′的值，此题得解．
【解答】解：作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，连接BP，此时AP+BP=AB′最小，连接OB′，如图所示．
∵点B和点B′关于MN对称，
∴PB=PB′．
∵点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，
∴∠AON=180°÷3=60°，∠B′ON=∠AON÷2=30°，
∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=90°．
∵OA=OB′=1，
∴AB′=．
故答案为：．
　
7. 【分析】先根据在⊙O中，=，可得出=，再由∠AOB=40°即可得出结论．
【解答】解：∵在⊙O中，=，
∴=，
∵∠AOB=40°，
∴∠COD=∠AOB=40°．
故答案为：40．
8. 【分析】根据弧与圆心角的关系，可得∠AOC=∠BOC，又由M、N分别是半径OA、OB的中点，可得OM=ON，利用SAS判定△MOC≌△NOC，继而证得结论．
【解答】证明：∵弧AC和弧BC相等，
∴∠AOC=∠BOC，
又∵OA=OB M、N分别是OA、OB的中点
∴OM=ON，
在△MOC和△NOC中，，
∴△MOC≌△NOC（SAS），
∴MC=NC．
　
9. 【分析】连接AC，BD，根据∠AOB=90°得出∠AOC的度数，由等腰三角形的性质求出∠OFE的度数．根据SAS定理得出△ACO≌△DCO，故可得出∠ACO=∠OCD，根据等角对等边可得出AC=AE，同理可得BF=BD，由此可得出结论．
【解答】证明：连接AC，BD，
∵在⊙O中，半径OA⊥OB，C、D为弧AB的三等分点，
∴∠AOC=∠AOB=×90°=30°．
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠AOC=∠BOD=30°，
∴∠OEF=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠OFE=75°，
∵C，D是的三等分点，
∴AC=CD=BD，
在△ACO与△DCO中，
∵，
∴△ACO≌△DCO（SAS），
∴∠ACO=∠OCD．
∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD==75°，
∴∠OEF=∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC=∠OCD，
∴∠ACO=∠AEC．
∴AC=AE，
同理，BF=BD．
又∵AC=CD=BD
∴AE=BF=CD．
10. 【分析】（1）欲证弧BD=弧CD，只需证明它们所对的圆心角相等，即∠BOD=∠COD．
（2）利用圆周角、弧，弦的关系求得=61°+85°=119°，则∠AOD=119°．
【解答】解：（1）证明：连接OC．∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO．
∵AC∥OD，
∴∠OAC=∠BOD．
∴∠DOC=∠ACO．
∴∠BOD=∠COD，
∴=．
（2）∵=，
∴===（180°﹣58°）=61°．
∴=61°+85°=119°，
∴∠AOD=119°．