27.1.3圆周角 导学案含答案
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文档简介
27.1.3圆周角导学案
学习目标
1.知道圆周角、多边形的外接圆以及圆内接四边形的概念.
2.掌握圆周角定理及其推论，并会进行相关的计算和证明.
学习策略
1.结合等腰三角形的性质和三角形外角性质进行分析.
2.细心观察，注意分组交流，共同探究加深理解.
学习过程
一.复习回顾：
1.什么是圆心角？
2.圆心角和弧与弦之间有何关系？
3.等腰三角形顶角的邻补角与底角之间有何关系？
二.新课学习：
1.自学教材P40-43，回答以下问题：
1、结合教材图27.1.8认识圆周角的定义，分析圆周角的特征，
①顶点在 ，两边与圆 .
2、当三角形的一边上的中线等于这条边的一半时，这三角形是什么三角形？
结合教材图27.1.9分析若AB是直径，OC是三角形ABC的中线吗？∠ACB等于多少度？
写出你的发现：半圆所对的圆心角是多少度？所对的圆周角呢？
3、自己任意画一个圆任意取一条弧，画出这条弧所对的几个圆周角，测量它们的度数，看是否相等，写出你的猜想：
4、结合等腰三角形的性质与三角形外角性质进行证明：
5、总结圆周角定理：
6. 运用圆周角定理尝试证明推论1和推论2
2.自学教材P44，回答以下问题：
1、例2中的已知条件有哪些？运用推论1结合直角三角形的性质分析证明.
2. 例3中观察已知角和所求角的关系，运用圆周角定理进行分析证明.
三.尝试应用：
1. 如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙的直径，∠ACB=50°，点D是⊙O上一点，则∠D=（ ）
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
2. 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，在这8个角中，有几对相等的角？请把它们分别表示出来：
3. 已知：如图，AE是⊙O的直径，AF⊥BC于D，证明：BE=CF
四.自主总结：
（1）圆周角定义： .
（2）圆周角定理：
推论1：
推论2：
五.达标测试
一．选择题（共4小题）
1．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙的直径，∠ACB=50°，点D是⊙O上一点，则∠D=（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
2．如图，BC是⊙O的直径，点A是的中点，则∠ADB的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．37.5° D．45°
3．如图，AB是半圆的直径，D是的中点，∠B=40°，则∠A等于（ ）
A．60° B．50° C．80° D．70°
4．圆的内接四边形ABCD的四个内角之比∠A：∠B：∠C：∠D的比值可能为（ ）
A．1：2：3：4 B．1：4：3：2 C．2：1：3：4 D．1：2：1：2
二．填空题（共3小题）
5．如图，AB是⊙O的直径，∠BOC=120°，CD⊥AB，则∠ABD= ．
6．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°，∠C= ，∠AOC= ．
7．如图，AB为⊙O直径，，则∠ABC= ．
三．解答题（共3小题）
8．已知：如图，AE是⊙O的直径，AF⊥BC于D，证明：BE=CF．
9．如图，在⊙O中，E，F为上两点，=，OE，OF分别交AB于点C，D．
求证：AD=BC．
10．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．
1. 【分析】由AC是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠D的度数．
【解答】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠ACB=50°，
∴∠A=90°﹣∠ACB=40°，
∴∠D=∠A=40°．
故选B．
2. 【分析】先根据BC是⊙O的直径得出∠BAC=90°，再根据点A是的中点得出AB=AC，故可得出∠ACB的度数，由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°．
∵点A是的中点，
∴AB=AC，
∴∠ACB=45°．
∵∠ADB与∠ACB是同弧所对的圆周角，
∴∠ADB=45°．
故选D．
3. 【分析】连接BD．根据等弧所对的圆周角相等，求得∠ABD=∠CBD=20°，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°，从而求得∠A的度数．
【解答】解：连接BD．
∵D是的中点，∠B=40°，
∴∠ABD=∠CBD=20°．
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A=70°．
故选D．
4. 【分析】由四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆的内接四边形的对角互补，可得∠A+∠C=∠B+∠D=180°，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°．
∴圆内接四边形ABCD的四个内角之比可能是：2：1：3：4．
故选C．
5.
【分析】连接OD，先根据平角的定义得出∠AOC的度数，再由垂径定理得出=，进而得出∠AOD的度数，根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：连接OD，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=180°﹣120°=60°，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴=，
∴∠AOD=∠AOC=60°，
∴∠ABD=∠AOD=30°．
故答案为：30°．
6. 【分析】根据AB=2DE得DE等于圆的半径，在△EDO和△CEO中，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求解．
【解答】解：连接OD，
∵AB=2DE，
∴OD=DE，
∴∠E=∠EOD，
在△EDO中，∠ODC=∠E+∠EOD=36°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=36°，
在△CEO中，∠AOC=∠E+∠OCD=18°+36°=54°．
故答案为：36°；54°．
7. 【分析】由AB为⊙O直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠C的度数，又由，根据圆周角定理与弧与圆心角的关系，即可求得∠A=2∠B，继而求得答案．
【解答】解：∵AB为⊙O直径，
∴∠C=90°，
∵，
∴∠A=3∠B，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠ABC=90°×=22.5°．
故答案为：22.5°．
8. 【分析】若要证明BE=CF，则可转化为证∠BAE=∠FAC即可，根据圆周角定理和等角的余角相等证明即可．
【解答】证明：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠E+∠BAE=90°，
∵AF⊥BC于D，
∴∠FAC+∠ACB=90°，
∵∠E=∠ACB，
∴∠BAE=∠FAC，
∴弧BE=弧CF，
∴BE=CF．
9. 【分析】连接OA、OB，证明△OAC≌△OBD，根据全等三角形的对应边相等即可证得AC=BD，据此即可证得．
【解答】证明：连接OA、OB．
∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
又∵=，
∴∠AOE=∠BOF，
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（ASA），
∴AC=BD，
∴AD=BC．
10. 【分析】求出∠A=∠BCE=∠E，即可得出AD=DE，从而判定等腰三角形．
【解答】证明：∵A、D、C、B四点共圆，
∴∠A=∠BCE，
∵BC=BE，
∴∠BCE=∠E，
∴∠A=∠E，
∴AD=DE，
即△ADE是等腰三角形．
学习目标
1.知道圆周角、多边形的外接圆以及圆内接四边形的概念.
2.掌握圆周角定理及其推论，并会进行相关的计算和证明.
学习策略
1.结合等腰三角形的性质和三角形外角性质进行分析.
2.细心观察，注意分组交流，共同探究加深理解.
学习过程
一.复习回顾：
1.什么是圆心角？
2.圆心角和弧与弦之间有何关系？
3.等腰三角形顶角的邻补角与底角之间有何关系？
二.新课学习：
1.自学教材P40-43，回答以下问题：
1、结合教材图27.1.8认识圆周角的定义，分析圆周角的特征，
①顶点在 ，两边与圆 .
2、当三角形的一边上的中线等于这条边的一半时，这三角形是什么三角形？
结合教材图27.1.9分析若AB是直径，OC是三角形ABC的中线吗？∠ACB等于多少度？
写出你的发现：半圆所对的圆心角是多少度？所对的圆周角呢？
3、自己任意画一个圆任意取一条弧，画出这条弧所对的几个圆周角，测量它们的度数，看是否相等，写出你的猜想：
4、结合等腰三角形的性质与三角形外角性质进行证明：
5、总结圆周角定理：
6. 运用圆周角定理尝试证明推论1和推论2
2.自学教材P44，回答以下问题：
1、例2中的已知条件有哪些？运用推论1结合直角三角形的性质分析证明.
2. 例3中观察已知角和所求角的关系，运用圆周角定理进行分析证明.
三.尝试应用：
1. 如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙的直径，∠ACB=50°，点D是⊙O上一点，则∠D=（ ）
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
2. 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，在这8个角中，有几对相等的角？请把它们分别表示出来：
3. 已知：如图，AE是⊙O的直径，AF⊥BC于D，证明：BE=CF
四.自主总结：
（1）圆周角定义： .
（2）圆周角定理：
推论1：
推论2：
五.达标测试
一．选择题（共4小题）
1．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙的直径，∠ACB=50°，点D是⊙O上一点，则∠D=（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
2．如图，BC是⊙O的直径，点A是的中点，则∠ADB的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．37.5° D．45°
3．如图，AB是半圆的直径，D是的中点，∠B=40°，则∠A等于（ ）
A．60° B．50° C．80° D．70°
4．圆的内接四边形ABCD的四个内角之比∠A：∠B：∠C：∠D的比值可能为（ ）
A．1：2：3：4 B．1：4：3：2 C．2：1：3：4 D．1：2：1：2
二．填空题（共3小题）
5．如图，AB是⊙O的直径，∠BOC=120°，CD⊥AB，则∠ABD= ．
6．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°，∠C= ，∠AOC= ．
7．如图，AB为⊙O直径，，则∠ABC= ．
三．解答题（共3小题）
8．已知：如图，AE是⊙O的直径，AF⊥BC于D，证明：BE=CF．
9．如图，在⊙O中，E，F为上两点，=，OE，OF分别交AB于点C，D．
求证：AD=BC．
10．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．
1. 【分析】由AC是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠D的度数．
【解答】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠ACB=50°，
∴∠A=90°﹣∠ACB=40°，
∴∠D=∠A=40°．
故选B．
2. 【分析】先根据BC是⊙O的直径得出∠BAC=90°，再根据点A是的中点得出AB=AC，故可得出∠ACB的度数，由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°．
∵点A是的中点，
∴AB=AC，
∴∠ACB=45°．
∵∠ADB与∠ACB是同弧所对的圆周角，
∴∠ADB=45°．
故选D．
3. 【分析】连接BD．根据等弧所对的圆周角相等，求得∠ABD=∠CBD=20°，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°，从而求得∠A的度数．
【解答】解：连接BD．
∵D是的中点，∠B=40°，
∴∠ABD=∠CBD=20°．
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A=70°．
故选D．
4. 【分析】由四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆的内接四边形的对角互补，可得∠A+∠C=∠B+∠D=180°，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°．
∴圆内接四边形ABCD的四个内角之比可能是：2：1：3：4．
故选C．
5.
【分析】连接OD，先根据平角的定义得出∠AOC的度数，再由垂径定理得出=，进而得出∠AOD的度数，根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：连接OD，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=180°﹣120°=60°，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴=，
∴∠AOD=∠AOC=60°，
∴∠ABD=∠AOD=30°．
故答案为：30°．
6. 【分析】根据AB=2DE得DE等于圆的半径，在△EDO和△CEO中，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求解．
【解答】解：连接OD，
∵AB=2DE，
∴OD=DE，
∴∠E=∠EOD，
在△EDO中，∠ODC=∠E+∠EOD=36°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=36°，
在△CEO中，∠AOC=∠E+∠OCD=18°+36°=54°．
故答案为：36°；54°．
7. 【分析】由AB为⊙O直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠C的度数，又由，根据圆周角定理与弧与圆心角的关系，即可求得∠A=2∠B，继而求得答案．
【解答】解：∵AB为⊙O直径，
∴∠C=90°，
∵，
∴∠A=3∠B，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠ABC=90°×=22.5°．
故答案为：22.5°．
8. 【分析】若要证明BE=CF，则可转化为证∠BAE=∠FAC即可，根据圆周角定理和等角的余角相等证明即可．
【解答】证明：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠E+∠BAE=90°，
∵AF⊥BC于D，
∴∠FAC+∠ACB=90°，
∵∠E=∠ACB，
∴∠BAE=∠FAC，
∴弧BE=弧CF，
∴BE=CF．
9. 【分析】连接OA、OB，证明△OAC≌△OBD，根据全等三角形的对应边相等即可证得AC=BD，据此即可证得．
【解答】证明：连接OA、OB．
∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
又∵=，
∴∠AOE=∠BOF，
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（ASA），
∴AC=BD，
∴AD=BC．
10. 【分析】求出∠A=∠BCE=∠E，即可得出AD=DE，从而判定等腰三角形．
【解答】证明：∵A、D、C、B四点共圆，
∴∠A=∠BCE，
∵BC=BE，
∴∠BCE=∠E，
∴∠A=∠E，
∴AD=DE，
即△ADE是等腰三角形．