27.1.1圆的基本元素导学案
学习目标
1.在探索中认识圆，理解圆的本质属性.
2.理解圆、弦、弧（劣弧和优弧）、等圆、等弧、圆心角等相关概念，会结合图形进行识别.
学习策略
1.结合图形识别理解相关元素的意义.
2.细心观察，注意分组交流，共同探究加深理解.
学习过程
一.复习回顾：
1.回忆小学中所学习的圆，你对圆都有哪些认识？
2.思考写出在我们身边有哪些圆的形象或运用.
二.新课学习：
1.自学教材P36，回答以下问题：
1、回忆在统计中，我们是如何绘制扇形统计图的？
2、画圆的工具是 ，画圆的步骤是 .
3、用相同的半径画几个不同位置的圆，观察它们的特征，裁剪下来看是否可以重合，分析圆的大小与什么有关？什么是等圆?
4、结合教材图27.1.2学习认识什么是弦？什么是弧？什么是优弧？什么是劣弧?什么是圆心角？
5、自己任意画一个圆，并在上面画出一条弦，一个圆心角，标出优弧和劣弧.
三.尝试应用：
1. 下列说法，正确的是（ ）
A．半径相等的两个圆大小相等
B．长度相等的两条弧是等弧
C．直径不一定是圆中最长的弦
D．圆上两点之间的部分叫做弦
2. 圆的半径为3，则弦AB长度的取值范围是 .
3. 如图，点P（x，y）在以坐标原点为圆心、5为半径的圆上，若x，y都是整数，请探究这样的点P一共有多少个？写出这些点的坐标．
四.自主总结：
（1）圆：①当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点形成的封闭图形叫做圆。
②在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆；
（2）圆的基本元素：弦、弧（优弧劣弧）和圆心角.
五.达标测试
一．选择题（共4小题）
1．下列说法，正确的是（ ）
A．半径相等的两个圆大小相等 B．长度相等的两条弧是等弧
C．直径不一定是圆中最长的弦 D．圆上两点之间的部分叫做弦
2．下列说法正确的是（ ）
A．直径是弦 B．弧是半圆
C．长度相等的弧是等弧 D．弦是圆上两点间的部分
3．下列条件中，能确定圆的是（ ）
A．以点O为圆心
B．以2cm长为半径
C．以点O为圆心，以5cm长为半径
D．经过已知点A
4．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=52°，则∠MON的度数为（ ）??
A．38°? B．52°?? C．76°? D．104°??
二．填空题（共3小题）
5．如图，在⊙O中，半径有 ，直径有 ，弦有 ，劣弧有 ，优弧有 ．
6．以2cm为半径可以画 个圆；以点O为圆心可以画 个圆；以点O为圆心，以2cm为半径可以画 个圆．
7．⊙O的半径为2cm，则它的弦长dcm的取值范围是 ．?
三．解答题（共2小题）
8．如图，点P（x，y）在以坐标原点为圆心、5为半径的圆上，若x，y都是整数，请探究这样的点P一共有多少个？写出这些点的坐标．
9．如图，墙AB与墙AC垂直，在地面的P处有一木柱，系着一匹马，已知系马的绳子的长度为4m，试在图中画出马的活动区域．
1. 【分析】根据弧的定义、等弧的定义即可解决．
【解答】解：A、根据半径确定圆的大小，故正确；
B、根据等弧的概念，长度相等的两条弧不一定能够重合，故错误；
C、根据三角形的两边之和大于第三边，可以证明直径是圆中最长的弦，故错误；
D、圆上任意两点间的部分叫弧，故错误．
故选A．
2. 【分析】根据圆中的有关定义解答即可；
【解答】解：A、直径是弦，是最长的弦，故正确；
B、弧分为优弧、劣弧和半圆三种情况，故错误；
C、能完全重合的弧是等弧，故错误；
D、弧是圆上两点间的部分，故错误，
故选A．
3. 【分析】根据圆的定义对各选项进行判断．
【解答】解：A、点O为圆心，半径不确定，则不能确定圆；
B、2cm长为半径，圆心不确定，则不能确定圆；
C、以点O为圆心，以5cm长为半径可确定圆；
D、经过点A，则圆心和半径都不能确定，则不能确定圆．
故选C．
4. 【分析】根据半径相等得到OM=ON，则∠M=∠N=52°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数．
【解答】解：∵OM=ON，
∴∠M=∠N=52°，
∴∠MON=180°﹣2×52°=76°．
故选C．
5.
【分析】根据半径、直径、弦、劣弧和优弧的定义求解．
【解答】解：在⊙O中，半径有OA、OB、OC、OD，直径有AB，弦有AB、BC，劣弧有、、、、，优弧有、、、、．
故答案为OA、OB、OC、OD；AB、BC；、、、、；、、、、．
6. 【分析】根据圆的定义求解．
【解答】解：以2cm为半径可以画无数个圆；以点O为圆心可以画无数个圆；以点O为圆心，以2cm为半径可以画一个圆．
故答案为：无数；无数；一．
7. 【分析】先为两种情况：①若这个点在坐标轴上，那么有四个；②若这个点在象限内，由52=42+32，可知在每个象限有两个，总共12个，即可得出答案．
【解答】解：分为两种情况：
①若这个点在坐标轴上，那么有四个，它们是（0，5），（5，0），（﹣5，0），（0，﹣5）；
②若这个点在象限内，
∵52=42+32，而P都是整数点，
∴这样的点有8个，分别是（3，4），（﹣3，4），（3，﹣4），（﹣3，﹣4），（4，3）（﹣4，3），（4，﹣3 ），（﹣4，﹣3），
∴这些点的坐标共有12个．
8. 【分析】马的活动区域是以P为圆心，以4m长为半径画弧与两墙相交所得到的范围．
【解答】解：作法：以p为圆心，以4米长为半径画一条与两墙均相交的弧．
27.1.2垂径定理 导学案
学习目标
1.了解垂径定理和推论及其证明.
2.能初步应用垂径定理及其推论进行相关的计算.
学习策略
1.结合图形在操作中观察分析，思考总结.
2.细心观察，注意分组交流，共同探究加深理解.
学习过程
一.复习回顾：
1.圆的对称轴是什么？
2.等腰三角形有哪些性质？
3.根据你对圆的认识，怎样可以在圆中构造等腰三角形？
二.新课学习：
1.自学教材P39-40，回答以下问题：
1、自己制作一个圆形纸片，对折画出直径，再任意画出一条与直径垂直的弦.
2、沿直径再次对折，结合教材图27.1. 7观察分析AP与BP；与有何关系.
3、总结垂直于弦的直径与其所对的弦和弧之间有何联系
4、根据命题画出图形，写出已知和求证，根据同一个圆的半径相等与等腰三角形的性质进行证明.
5、根据教材记住垂径定理：
6. 分析垂径定理的推理过程，并类比垂径定理的证明加以论证相关推论.
三.尝试应用：
1. 下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦B．垂直于弦的直线必过圆心
C．垂直于弦的直径平分弦D．平分弦的直径平分弦所对的弧
2. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若OP=3，CD=8，则AO= .
3. 已知，如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AE=1，BE=5，∠AEC=45°，求CD的长．
四.自主总结：
（1）垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且平分这条弦所对的 .
（2）推论1：
推论2：
五.达标测试
一．选择题（共4小题）
1．下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．垂直于弦的直线必过圆心
C．垂直于弦的直径平分弦
D．平分弦的直径平分弦所对的弧
2．如图，弦AB垂直于⊙O的直径CD，OA=5，AB=6，则BC=（ ）
A．3 B．2 C． D．9
3．弓形弦长为24，弓形高为8，则弓形所在圆的直径是（ ）
A．10 B．26 C．13 D．5
4．如图，⊙O的半径等于4，半径OC与弦AB互相平分，AB的长为（ ）
A． B． C．2 D．
二．填空题（共3小题）
5．如图，AB、CD为⊙O的弦，且AB⊥CD，AB将CD分成3cm和7cm两部分，O到弦AB的距离= ．
6．⊙O的半径是4，AB是⊙O的弦，∠AOB=120°，则AB的长是 ．
7．当圆心到弦的距离是弦的一半时，弦长与直径的比是 ，弦所对的圆心角是 ．
三．解答题（共3小题）
8．已知，如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AE=1，BE=5，∠AEC=45°，求CD的长．
9．在⊙O中，弦AB∥EF，连结OE、OF交AB于C、D，求证：AC=DB．
10．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，E为垂足，AE=4，CE=6，求⊙O的半径．
1. 【分析】关键垂径定理的内容判断即可．
【解答】解：A、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误；
B、弦的垂线有多条，不一定过圆心哦，故本选项错误；
C、垂直于弦的直径平分弦，正确，故本选项正确；
D、平分弦（弦不是直径）的直径平分弦所对的两条弧，故本选项错误；
故选C．
2. 【分析】根据垂径定理求出BM=AM=3，根据勾股定理求出OM，求出MC，根据勾股定理求出BC即可．
【解答】解：
∵CD⊥AB，CD过O，AB=6，
∴AM=BM=3，
在Rt△OAM中，OA=5，AM=3，由勾股定理得：OM=4，
即CM=4+5=9，
在Rt△CMB中，CM=9，BM=3，由勾股定理得：BC==3，
故选A．
3. 【分析】如图，弦AB=24，过O点作OD⊥AB，D为垂足，交⊙O于C点，则DA=DB=12，弧AC=弧BC，则CD为弓形高，即CD=8；然后在Rt△OAD中，设半径为r，利用勾股定理即可得到半径r，也就得到圆的直径．
【解答】解：如图，弦AB=24，
过O点作OD⊥AB，D为垂足，交⊙O于C点，则DA=DB，弧AC=弧BC，则CD为弓形高，即CD=8；
连OA，
∵AB=24，
∴DA=12，
在Rt△OAD中，设半径为r，
∴r2=122+（r﹣8）2，
解得r=13，
所以圆的直径是26．
故选B．
4. 【分析】首先连接OA，设OC与AB交于点D，由⊙O的半径等于4，半径OC与弦AB互相平分，可求得OA与OD的长，然后由勾股定理求得答案．
【解答】解：连接OA，设OC与AB交于点D，
∵⊙O的半径等于4，半径OC与弦AB互相平分，
∴OA=4，OD=OC=2，
∴AD==2，
∴AB=2AD=4．
故选A．
5.
【分析】过O作OM⊥CD，ON⊥AB，易知四边形ONEM是矩形，所以ON=EM，再根据垂径定理和已知数据求出EM的长即可得到ON的长，即圆心O到AB的距离．
【解答】解：过O作OM⊥CD，ON⊥AB，
∴∠ONE=∠OME=90°，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠NEM=90°，
∴四边形ONEM是矩形，
∴ON=EM，
∵OM⊥CD，
∴CM=DM=CD，
∵CE=3cm，DE=7cm，
∴CD=10cm，
∴CM=5cm，
∴EM=CM﹣CE=2cm，
∴ON=EM=2cm，
∴圆心O到AB的距离是2cm．
故答案为：2cm．
6. 【分析】作OC⊥AB于C，根据垂径定理得AC=BC，由于∠AOB=120°，利用三角形内角和易得∠A=∠B=30°，在Rt△AOC中，OA=4，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到OC=OA=2，AC=OC=2，于是AB=2AC=4．
【解答】解：作OC⊥AB于C，如图，
∴AC=BC，
∵∠AOB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
在Rt△AOC中，OA=4，
∴OC=OA=2，
∴AC=OC=2，
∴AB=2AC=4．
故答案为4．
7. 【分析】根据垂径定理得出AC=BC，推出OC=AC=BC，得出等腰直角三角形AOB，即可得出答案．
【解答】解：
∵OC⊥AB，OC过O，
∴AC=BC=AB，
∵OC=AB，
∴OC=AC=BC，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB，
∴AB=OA，
∴当圆心到弦的距离是弦的一半时，弦长与直径的比是：2，弦所对的圆心角是90°，
故答案为：：2，90°．
8. 【分析】作OH⊥CD于H，连结OD，由AE=1，BE=5得到AB=6，则OA=OD=3，OE=2，利用∠AEC=45°得到OH=OE=，然后利用勾股定理计算出DH=，再利用垂径定理得到CH=DH=，所以CD=2．
【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OD，如图，
∵AE=1，BE=5，
∴AB=AE+BE=6，
∴OA=OD=3，
∴OE=OA﹣AE=2，
∵∠AEC=45°，
∴OH=OE=，
在Rt△ODH中，DH==，
∵OH⊥CD，
∴CH=DH=，
∴CD=2DH=2．
9. 【分析】过点O作OG⊥EF于点G，交AB于点H，根据AB∥EF可知OG⊥CD，故AD=BD，CH=DH，由此可得出结论．
【解答】解：过点O作OG⊥EF于点G，交AB于点H，
∵AB∥EF，
∴OG⊥CD，
∴AH=BH，CH=DH，
∴AH﹣CH=BH﹣DH，即AC=DB．
10. 【分析】连接OB，设⊙O的半径是R，求出AE=BE=4，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：
连接OB，设⊙O的半径是R，
∴CD⊥AB，CD过O，
∴AB=2AE=2BE，AE=BE=4，
在Rt△OBE中，由勾股定理得：OB2=BE2+OE2，
即R2=42+（R﹣6）2，
R=，
答：⊙O的半径是．
