27.2.2直线与圆的位置关系 导学案
学习目标
1.掌握切线的判定定理，会证明一条直线是圆的切线.
2.掌握切线的性质定理，会运用于证明命题或计算求角.
学习策略
1.在操作与测量中发现分析，总结归纳，在例题探究中规范推理过程.
2.注意独立思考与分组交流结合，共同探究加深理解.
学习过程
一.复习回顾：
1.什么点和圆有哪些位置关系？怎样判断？
2.直线和圆有哪些位置关系？怎样判断？
3.当你在雨中转动雨伞时，伞上的水珠是顺着什么方向飞出的？
二.新课学习：
1.自学教材P51-52，回答以下问题：
1、自己任意画一个圆并作出一条半径，过半径的外端作一条与半径垂直的直线，
观察直线与圆有几个交点，分析这条直线与圆有何位置关系.
2、分析在1中的作图中，直线都具备了什么条件？
总结：切线的判定定理
3、根据直线与圆相切的定义和垂线段的性质分析当直线与圆相切时，直线与过切点的半径有何位置关系？
总结：切线的性质定理
2.自学教材P52，回答以下问题：
1、自学例2：分析例2中有哪些已知条件？
有哪些特殊图形？
要证明结论，只需证明
2、整理思路写出解答过程：
三.尝试应用：
1. AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B等于（ ）
A．20°B．25°C．30°D．40°
2. 如图，AB为⊙O的直径，圆周角∠ABC=40゜，
当∠BCD= 时，CD为⊙O的切线.
3. 如图，AB=AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E，过D作DF⊥AC于F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AC与⊙O相切于点G，⊙O的半径为3，CF=1，求AC长．
四.自主总结：
（1）圆的切线的判定定理：
（2）圆的切线的判定定理：
五.达标测试
一．选择题（共4小题）
1．下列说法中正确的是（ ）
A．垂直于半径的直线是圆的切线
B．圆的切线垂直于半径
C．经过半径的外端的直线是圆的切线
D．圆的切线垂直于过切点的半径
2．如图所示，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果∠CAB=55°，那么∠AOB等于（ ）
A．120° B．110° C．90° D．55°
3．如图△ABC中，∠C=90°，⊙O分别切AC，BD于M，N，圆心O在AB上，⊙O的半径为12cm，BO=20cm，则AO的长是（ ）
A．10cm B．8cm C．12cm D．15cm
4．如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是（ ）
A．AB=4，AT=3，BT=5 B．∠B=45°，AB=AT
C．∠B=55°，∠TAC=55° D．∠ATC=∠B
二．填空题（共3小题）
5．如图，AB为⊙O的直径，圆周角∠ABC=40゜，当∠BCD= 时，CD为⊙O的切线．
6．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，若AB=8，圆环的面积是 ．
7．如图，BC是⊙O直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于A，若∠P=30°，PA=，则⊙O半径为 ．
三．解答题（共3小题）
8．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，BD是⊙O的切线．∠BAD=30°，边BD交圆于点D，求∠B．
9．如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点E，点D是BC边的中点，连接ED．
（1）试说明：ED是⊙O的切线；
（2）若⊙O 直径为6，线段BC长为8，求AE的长．
10．如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，BA平分∠CBE，AD⊥BE．垂足为D，求证：AD为⊙O的切线．
1. 【分析】根据圆的切线的性质定理和判定定理可得．
【解答】解：根据圆的切线的性质定理得：圆的切线垂直于经过切点的半径；
切线的判定定理得：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．
故选D．
2. 【分析】根据切线性质即可得出．
【解答】解：根据切线的性质定理得∠OAC=90°，
则∠OAB=35°，
∴∠AOB=180°﹣35°×2=110°．
故选B．
3. 【分析】连接ON，OM，可证明四边形CMON为正方形，由△AOM∽△ABC，根据相似三角形的性质求得AO的长．
【解答】解：如图，连接ON，OM，
∴ON⊥BC，∴由勾股定理得BN2=BO2﹣ON2，
∵ON=12cm，BO=20cm，∴BN=16cm，
∴，
即=，
解得AO=15cm，
故选D．
4. 【分析】分别利用切线的判定进而得出得出∠BAT=90°，得出答案即可．
【解答】解：A、∵AB=4，AT=3，BT=5，
∴AB2+AT2=BT2，
∴△BAT是直角三角形，
∴∠BAT=90°，
∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误；
B、∵∠B=45°，AB=AT，
∴∠T=45°，
∴∠BAT=90°，
∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误；
C、∵AB为直径，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=55°，
∴∠BAC=35°，
∵∠TAC=55°，
∴∠CAT=90°，
∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误；
D、∠ATC=∠B，无法得出直线AT是⊙O的切线，故此选项正确．
故选：D．
5.【分析】首先连接OC，易得∠OCB=∠ABC=40゜，即可得当∠BCD=50°时，∠BCD+∠OCB=90°，即此时CD为⊙O的切线．
【解答】解：连接OC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠ABC=40°，
∴当∠BCD=50°时，∠BCD+∠OCB=90°，
即OC⊥CD，
∴当∠BCD=50°时，CD为⊙O的切线．
故答案为：50°．
6. 【分析】连接OC，根据切线性质得出OC⊥AB，根据垂直定理得出AC=BC=AB=4，∠OCB=90°，由勾股定理得出OB2﹣OC2=BC2=16，即可求出答案．
【解答】
解：连接OC，
∵AB切小⊙O于C，
∴OC⊥AB，
∴AC=BC=AB=4，∠OCB=90°，
由勾股定理得：OB2﹣OC2=BC2=16，
∴圆环的面积是πOB2﹣πOC2=π（OB2﹣OC2）=16π，
故答案为：16π．
7. 【分析】连结OA，根据切线的性质得到OA⊥AP，则∠OAP=90°，在Rt△OPA中根据含30度的直角三角形三边的关系求OA即可．
【解答】解：连结OA，如图，
∵PA切⊙O于A，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
在Rt△OPA中，∠P=30°，PA=，
∴OA=AP=×=1．
故答案为1．
8. 【分析】由OA=OD∠ADO=∠BAD=30°，根据三角形外角性质得∠BOD=60°，再根据切线的性质得到OD⊥BD，则∠BDO=90°，然后利用互余计算∠B的度数．
【解答】解：∵OA=OD，
∴∠ADO=∠BAD=30°，
∴∠BOD=60°
∵BD是⊙O的切线，
∴OD⊥BD，
∴∠BDO=90°，
∴∠B=90°﹣∠BOD=90°﹣60°=30°．
9. 【分析】（1）可求得∠DEO=90°，即可得到DE是⊙O的切线；
（2）根据勾股定理求出AB，以及利用三角形面积求出BE，进而得出AE的长．
【解答】解：（1）证明：连接BE，EO；
∵AB为⊙O直径．
∴∠AEB=90°．
∴△CEB为直角三角形．
∵D为BC中点；
∴DC=BD=ED．
∴∠DEB=∠EBD．
∵EO=OB；
∴∠OEB=∠OBE．
∴∠OEB+∠DEB=∠OBE+∠DBE=∠ABC=90°．
即∠DEO=90°．
∴DE与⊙O相切于点E．
（2）解：∵BE⊥AC，
∴BE×AC=AB×BC，
∵AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∴BE=4.8，
∴AE==．
10. 【分析】连结OA，由角平分线的定义得到∠1=∠2，由OA=OB得∠2=∠3，则∠1=∠3，根据平行线的判定得BE∥OA，而AD⊥BE，所以AD⊥OA，然后根据切线的判定定理即可得到结论．
∴AD为⊙O的切线．
【解答】证明：连结OA，如图，
∵BA平分∠CBE，
∴∠1=∠2，
∵OA=OB，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴BE∥OA，
∵AD⊥BE，
∴AD⊥OA，
∴AD为⊙O的切线．
27.2.3切线长定理导学案
学习目标
1.了解切线长定理的探究与演绎推理，会运用切线长定理进行计算和证明.
2.知道三角形的内切圆和内心以及圆的外切三角形的意义.
学习策略
1.在操作与测量中发现分析，总结归纳，在例题探究中规范推理过程.
2.注意独立思考与分组交流结合，共同探究加深理解.
学习过程
一.复习回顾：
1.什么是圆的切线？圆的切线有什么性质？
2.怎样判断一条直线是圆的切线？
3.过圆外一点画圆的切线，可以画几条？
二.新课学习：
1.自学教材P53，回答以下问题：
1、自己任意画一个圆，并在圆外任意取一点，过这点画圆的两条切线，测量到切点的线段长度，对比分析测量结果.
2、切线长的定义是什么？
3、结合1中的测量对比，猜想切线长的关系：
4、并运用轴对称的性质分析总结切线长定理：
5. 自己运用切线的性质定理结合全等三角形的知识演绎证明切线长定理.
2.自学教材P54，回答以下问题：
1、什么是三角形的内切圆？什么是三角形的内心？什么是圆的外切三角形？
2、三角形的内心怎样确定？
3.怎样画三角形的内切圆？自己任意画三角形，并画其内切圆：
三.尝试应用：
1. 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，若PA=4，则△PCD的周长为（ ）
A．5
B．7
C．8
D．10
2. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于 .
3.如图所示，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，连接PO，交⊙O于点D，交AB于点C，根据以上条件，请写出三个你认为正确的结论，并对其中的一个结论给予证明．
四.自主总结：
（1）切线长定理：
（2）相关概念：三角形的内切圆： 、内心： 和圆的外切三角形： .
五.达标测试
一．选择题（共4小题）
1．下列说法中不正确的是（ ）
A．三角形只有一个外接圆
B．三角形只有一个内切圆
C．三角形的内心到三个顶点的距离相等
D．三角形的内心到这个三角形三边的距离相等
2．如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知△ABC的内切圆O与三边分别切于D、E、F，∠A=60°，CB=6cm，△ABC的周长为16cm，则DF的长等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
4．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
二．填空题（共3小题）
5．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为 ．
6．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是 cm．
7．若一三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的内切圆半径为 ．
三．解答题（共3小题）
8．如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别相切于点D、E、F．
（1）求证：BE=CE；
（2）若∠A=90°，AB=AC=2，求⊙O的半径．
9．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
10．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是AB上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．若PA=4，求△PED的周长．
1. 【分析】分别根据三角形外接圆以及内切圆和内心的性质判断得出即可．
【解答】解：A、三角形只有一个外接圆，此选项正确，不合题意；
B、三角形只有一个内切圆，此选项正确，不合题意；
C、三角形的内心到这个三角形三边的距离相等，错误，符合题意；
D、此选项正确，不合题意．
故选：C．
2. 【分析】根据等边三角形三线合一，可以构造一个由其内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成的30°的直角三角形，利用锐角三角函数关系求出内切圆半径即可．
【解答】解：∵内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成一个30°的直角三角形，
∴∠OBD=30°，BD=，
∴tan∠BOD==，
∴内切圆半径OD=×=a．
故选：A．
3. 【分析】利用三角形内切圆的性质以及切线长定理得出BD=BE，CE=CF，AD=AF，进而得出△ADF是等边三角形，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC的内切圆O与三边分别切于D、E、F，CB=6cm，△ABC的周长为16cm，
∴BD=BE，CE=CF，AD=AF，
∵BE+EC=BD+FC=6，
∴AD=AF=（AB+AC+BC﹣BC﹣BD﹣CF）=（16﹣6﹣6）=2，
∵∠A=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴DF=2．
故选：A．
4. 【分析】由切线长定理可得PA=PB，CA=CE，DE=DB，由于△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，所以△PCD的=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，故可求得三角形的周长．
【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA=PB，
同理可得：CA=CE，DE=DB．
∵△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，
∴△PCD的周长=10，
故选D．
5.【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．
故答案为：2．
6. 【分析】先画图，根据题意求出∠OAB=60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB，从而得出光盘的直径．
【解答】解：∵∠CAD=60°，
∴∠CAB=120°，
∵AB和AC与⊙O相切，
∴∠OAB=∠OAC，
∴∠OAB=∠CAB=60°
∵AB=3cm，
∴OA=6cm，
∴由勾股定理得OB=3cm，
∴光盘的直径6cm．
故答案为：6．
7. 【分析】根据勾股定理的逆定理推出∠C=90°，连接OE、OQ，根据圆O是三角形ABC的内切圆，得到AE=AF，BQ=BF，∠OEC=∠OQC=90°，OE=OQ，推出正方形OECQ，设OE=CE=CQ=OQ=a，得到方程12﹣a+5﹣a=13，求出方程的解即可．
【解答】解：∵AC2+BC2=25+144=169，AB2=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°，
连接OE、OQ，
∵圆O是三角形ABC的内切圆，
∴AE=AF，BQ=BF，∠OEC=∠OQC=∠C=90°，OE=OQ，
∴四边形OECQ是正方形，
∴设OE=CE=CQ=OQ=a，
∵AF+BF=13，
∴12﹣a+5﹣a=13，
∴a=2，
故答案为：2．
8. 【分析】（1）利用切线长定理得出AD=AF，BD=BE，CE=CF，进而得出BD=CF，即可得出答案；
（2）首先连结OD、OE，进而利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=∠A=90°，进而得出四边形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半径．
【解答】解法一：（1）证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F
∴AD=AF，BD=BE，CE=CF，
∵AB=AC，
∴AB﹣AD=AC﹣AF，
即BD=CF，
∴BE=CE；
解法二：（1）证明：连结OB、OC、OE
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
又∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为E，
∴OE⊥BC，
∴BE=CE；
（2）解：连结OD、OE，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°，
又∵OD=OF，
∴四边形ODAF是正方形，
设OD=AD=AF=r，
则BE=BD=CF=CE=2﹣r，
在△ABC中，∠A=90°，
∴，
又∵BC=BE+CE，
∴（2﹣r）+（2﹣r）=，
得：r=，
∴⊙O的半径是．
9. 【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；
（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；
（3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长．
【解答】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBE+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°；
（2）由（1）知，∠BOC=90°．
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴由勾股定理得到：BC==10cm，
∴BE+CG=BC=10cm．
（3）∵OF⊥BC，
∴OF==4.8cm．
10. 【分析】由PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，根据切线长定理得到PA=PB=4，同理得DC=DA，EC=EB，再根据三角形周长的定义得到△PED的周长=PD+DE+PE，然后利用等相等代换得到△PDE的周长=PD+DA+EB+PE=PA+PB．
【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴PA=PB=4，
∵过点C的切线分别交PA、PB于点D、E，
∴DC=DA，EC=EB，
∴△PED的周长=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=4+4=8．
