27.3.1弧长和扇形面积导学案
学习目标
1.掌握弧长公式和扇形的面积公式.
2.能运用弧长公式和扇形的面积公式进行相关的计算.
学习策略
1.学会由特殊到一般的研究方法，注意独立思考与分组交流结合，共同探究加深理解.
2.记住弧长公式和扇形的面积公式.
学习过程
一.复习回顾：
1.怎样计算圆的周长、你会计算半圆的周长吗？
2.怎样计算圆的面积、你会计算半圆的面积吗？
3.你会计算圆心角为30°，半径是2的圆的弧长吗？
二.新课学习：
1.自学教材P58-59，回答以下问题：
1、计算半径是100m的圆的周长 ，
分析圆心角为180°、90°、45°的圆弧长与圆的周长的关系确定它们的弧长： ，
2、分析1°圆心角所对的弧长与圆周长的关系？归纳圆心角为n°的弧长与圆周长的关系.
3、自己推导总结弧长公式：
2.自学教材P60-61，回答以下问题：
1、什么是扇形？扇形的面积与哪些元素有关？
2、圆的面积如何表示？析圆心角为180°、90°、45°、1°的扇形面积与圆的面积有何关系？
3.、类比弧长公式的探究，分析圆心角为n°的扇形面积如何计算.
4、独立归纳推导扇形面积公式：
5、例1中，已知条件有哪些，根据相应公式求出扇形面积和周长.
三.尝试应用：
1.120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．18
2. 扇形的半径为3cm，弧长为2πcm，则该扇形的面积为
cm2
3. 如图所示，扇形AOB中，∠AOB=60°，AD=3cm，
长为3πcm，求图中阴影部分的面积．
四.自主总结：
（1）弧长公式： l表示圆心角为n°，半径为r的弧长.
（2）扇形面积公式：.
（3）弧长与扇形面积的关系：.
五.达标测试
一．选择题（共5小题）
1．如图，?ABCD中，∠B=70°，BC=6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧的长等于（ ）
A． B． C． D．
3．如果扇形所含的圆心角为150°，弧长为5π．那么扇形的面积是（ ）
A．5π B．10π C．15π D．30π
4．如图，四个半径为1的圆两两外离，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
5．扇形的面积是l2π，它的弧所对的圆心角为30°，则扇形的半径是（ ）
A．12 B．24 C．12 D．10
二．填空题（共3小题）
6．扇形的弧长等于半径为1的圆的周长，面积等于半径为2的圆的面积，则此扇形的圆心角为 ．
7．在半径为2cm的圆中，有一条弧长为2π cm的弧，则这条弧所对圆心角的度数为 ．
8．若钟表的抽心到分针针瑞的长度为5cm，那么经过45min，分针针端转过的弧长是 ．
三．解答题（共3小题）
9．如图，△ABC内接于⊙O，AB=cm，∠C=45°，求的长．
10．制弯制管道时，先按中心线计算“展直长度”再下料．试计算图所示，管道的展直长度L（单位：mm，精确到10mm）．
11．如图，两个同心圆被两条半径截得的长为6πcm，的长为10πcm，又AC=12cm，求部分圆环ABDC的面积．
1. 【分析】连接OE，由平行四边形的性质得出∠D=∠B=70°，AD=BC=6，得出OA=OD=3，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE=40°，再由弧长公式即可得出答案．
【解答】解：连接OE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=70°，AD=BC=6，
∴OA=OD=3，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠D=70°，
∴∠DOE=180°﹣2×70°=40°，
∴的长==；
故选：B．
2. 【分析】连接OB、OC，利用圆周角定理求得∠BOC=60°，属于利用弧长公式l=来计算劣弧的长．
【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=2∠BAC=60°，
又OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=OC=2，
∴劣弧的长为：=．
故选：A．
3. 【分析】根据弧长公式l=求得该扇形的半径，然后由扇形面积公式S=来求该扇形的面积．
【解答】解：设该扇形的半径为r，则
5π=，
解得，r=6，
则该扇形的面积S==15π．
故选C．
4. 【分析】先根据n边形的内角和定理计算出四边形ABCD的内角和，而四个扇形的圆心角的和等于四边形ABCD的内角和，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵四个扇形的圆心角的和等于四边形ABCD的内角和，即为（4﹣2）?180°=360°，
∴阴影部分面积之和==π．
故选A．
5.
【分析】已知扇形的圆心角和面积，可直接根据扇形的面积公式求半径长．
【解答】解：扇形的面积公式=，
即12π=，
得r2=144，
解得r=12．
故选C．
6. 【分析】由题意，本题中的等量关系是扇形的弧长等于半径为1的圆的周长，可令圆心角为n，半径为r，弧长为l，建立方程，求得弧长与半径的关系，再求扇形的圆心角．
【解答】解：∵扇形的弧长等于半径为1的圆的周长，
∴l=2π，
∵面积等于半径为2的圆的面积，
∴S扇形=lr=π×22，
∴×2πr=π×22，
∴r=4，
∴l=2π=，
解得：n=90．
故答案为：90°．
7. 【分析】根据弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），代入即可求出圆心角的度数．
【解答】解：由题意得，2π=，
解得：n=180°．
故答案为：180°．
8. 【分析】钟表的分针经过45min转过的角度是270°，即圆心角是270°，半径是5cm，弧长公式是l=，代入就可以求出弧长．
【解答】解：钟表的分针经过45min转过的角度为：360°×=270°，
即圆心角为270°，
则弧长l==（cm）．
故答案为：cm．
9. 【分析】首先由圆周角定理推知∠AOB=90°；然后根据勾股定理可以求得OA的长度；最后由弧长公式进行计算．
【解答】解：如图，∵∠C=45°，
∴∠AOB=2∠C=90°，
又∵OA=OB，
∴由勾股定理得OA=AB=3．
∴的长为：=π．
10. 【分析】先利用弧长公式求出弧长，再加上两直线长就可．
【解答】解：L==500π=1570（mm），
所要求的R展直长度L=2×700+1570=2970（mm）．
11. 【分析】首先利用弧长公式求出n，x的值，再利用扇形面积公式求出部分圆环ABDC的面积．
【解答】解：∵两个同心圆被两条半径截得的长为6πcm，的长为10πcm，又AC=12cm，
∴设AO=x，6π=，
∴nx=1080，
10π=，
∴1800=12n+nx，
∴12n=720，
解得：n=60，
∴x=18，
则S扇形AOB=×18×6π=54π，S扇形COD=（18+12）×10π=150π，
∴部分圆环ABDC的面积为：S=150π﹣54π=96π．
27.3.2圆锥的侧面积与全面积 导学案
学习目标
1.知道圆锥的侧面和全面展开图.
2.能结合弧长公式与扇形面积公式进行圆锥的侧面积和全面积的计算.
学习策略
1.注意独立思考与分组交流结合，共同探究加深理解.
2.记住圆锥的侧面积和全面积的计算方法.
学习过程
一.复习回顾：
1.怎样计算弧长和扇形面积？
2.半径为8cm的圆中，72°的圆心角所对的弧长为 ；
扇形面积为 弧长为8πcm的圆心角约为 .
3.我们在小学中就有了对圆锥的初步认识，圆锥的展开图是什么形状？
二.新课学习：
1.自学教材P62，回答以下问题：
1、自己画出一个圆锥，并结合教材图27.3.6进一步复习认识圆锥的顶点、高、底面半径和母线.
2、把圆锥的侧面沿母线展开，观察其形状： .
3、找出圆锥母线、底面周长与侧面展开的扇形中元素的对应关系.
4、结合教材分析总结圆锥侧面积的计算公式：
2.自学教材P62，回答以下问题：
1、例2中，有哪些已知条件？
2、圆锥母线与谁相等？怎样计算侧面的半径？
3、结合相关公式，，自己整理解答过程：
三.尝试应用：
1. 用弧长为8π的扇形做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面的半径是（ ）
A．4π
B．8π
C．4
D．8
2. 一个底面半径为5cm，母线长为8cm的圆锥，它的侧面展开图的面积是 ?
3. 已知一个圆锥沿轴剖开是一个等腰三角形．若这个三角形的底为8cm，腰为10cm． （1）求圆锥侧面展开图的扇形弧长； （2）求圆锥的表面积．
四.自主总结：
（1）圆锥的基本元素：顶点、高、底面半径和母线.
（2）圆锥展开图：侧面是 ；底面是 .
（3）圆锥侧面计算公式：若母线为a，底面半径为r，则侧面积= ；
五.达标测试
一．选择题（共4小题）
1．用弧长为8π的扇形做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面的半径是（ ）
A．4π B．8π C．4 D．8
2．若圆锥的底面积为16πcm2，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角为（ ）
A．240° B．120° C．180° D．90°
3．一个底面半径为5cm，母线长为8cm的圆锥，它的侧面展开图的面积是（ ）
A．40πcm2 B．80πcm2 C．40cm2 D．80cm2
4．底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°，则这个圆锥的高为（ ）
A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm
二．填空题（共4小题）
5．一个圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长是50cm，则这个烟囱帽的侧面展开图的面积是 cm2．
6．已知圆锥的侧面展开图的圆心角是72°，它的侧面积为10πcm2，则该圆锥的全面积是 cm2．
7．若把一个半径为12cm，圆心角为120°的扇形做成圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的周长是 ，半径是 ，圆锥的高是 ，侧面积是 ．
8．一个圆锥的底面半径为10cm，母线长为20cm，则圆锥的高是 ，侧面展开图的圆心角是 ．
三．解答题（共3小题）
9．已知一个圆锥沿轴剖开是一个等腰三角形．若这个三角形的底为8cm，腰为10cm．
（1）求圆锥侧面展开图的扇形弧长；
（2）求圆锥的表面积．
10．圆锥的高为12cm，底面直径为10cm，求图中圆锥的全面积．
11．如图，已知扇形OAB的圆心角为90°，半径为4厘米，用这个扇形卷成的圆锥的侧面，求该圆锥圆锥的侧面积及圆锥的高．
1. 【分析】圆锥侧面展开图的弧长=底面周长，那么底面半径=周长÷2π．
【解答】解：∵弧长为8π，∴底面周长=8π，则圆锥的底面的半径=8π÷2π=4，故选C．
2. 【分析】根据圆锥的母线长等于展开图扇形的半径，求出圆锥底面圆的周长，也即是展开图扇形的弧长，然后根据弧长公式可求出圆心角的度数．
【解答】解：由题意得，圆锥的底面积为16πcm2，
故可得圆锥的底面圆半径为：=4，底面圆周长为2π×4=8π，
设侧面展开图的圆心角是n°，根据题意得：=8π，
解得：n=120．
故选B．
3. 【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形和扇形的面积公式求解．
【解答】解：根据题意得
圆锥的侧面展开图的面积=×2π×5×8=40π（cm2）．
故选A．
4. 【分析】圆锥的展开图为扇形，根据弧长公式l=|α|R，可求出扇形的半径，继而利用勾股定理可求出圆锥的高．
【解答】解：由题意得，扇形的半径===5cm，
即AB=5cm，
过点A作AD⊥BC与点D，
在RT△ABD中，AD===4cm，
即圆锥的高为4cm．
故选D．
5.
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面直径是80cm，则底面周长=80πcm，烟囱帽的侧面展开图的面积=×80π×50=2000πcm2．
6. 【分析】根据圆锥的侧面展开扇形的侧面积和圆心角的度数求的圆锥的地面半径后即可求的其全面积．
【解答】解：设圆锥的母线长为R，
则：=10π，
解得：R=5cm．
∴底面的周长为l=2S÷R=20π÷5=2π，
∴底面半径为2π÷2π=cm，
∴底面积为2π，
∴全面积=10π+2π=12πcm2．
故答案为12π
7 【分析】利用勾股定理得出h的值即可，以及把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
【解答】解：圆锥的底面圆的周长=8π；
设半径为r，则有2πr=8π，
解得r=4cm；
圆锥的高是：h===8，
侧面积是：πrl=π×4×12=48πcm2．
故答案为：8πcm，4cm，8cm，48πcm2．
8. 【分析】底面半径为10cm，母线长为20cm，由勾股定理可得圆锥高；由底面周长与扇形的弧长相等求得圆心角．
【解答】解：（1）如图所示，在Rt△SOA中，
SO===10；
设侧面展开图扇形的圆心角度数为n，则由2πr=，
得n=180，
故侧面展开图扇形的圆心角为180度．故答案为：10cm，180°．
9. 【分析】（1）根据题意得到圆锥的底面圆的直径为8cm，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长进行计算；
（2）圆锥的表面积为底面圆的面积加上展开的扇形面积．
【解答】解：（1）圆锥侧面展开图的扇形弧长=8πcm；
（2）圆锥的表面积=?8π?10+π?（）2=56π（cm2）．
10. 【分析】利用勾股定理易得圆锥母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．底面是圆，利用圆的面积公式求得底面积即可．
【解答】解：底面直径为10cm，则底面周长=10πcm，由勾股定理得，母线长=13cm，侧面面积=×10×13=65πcm2．
底面积为：25πcm2
全面积为：65π+25π=90πcm2
11. 【分析】先利用弧长公式和扇形的面积公式计算弧AB==2π，扇形OAB的面积==4π，利用扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长得到2π?DC=2π，则DC=1，可计算出圆锥的底面圆的面积为π，由扇形的半径等于圆锥的母线长得到SC=4，然后利用勾股定理可计算出高SD．
【解答】解：如图，点D为圆锥底面圆的圆心，
∵扇形OAB的圆心角为90°，半径为4厘米，
∴弧AB==2π，扇形OAB的面积==4π，
∴2π?DC=2π，
∴DC=1，
∴圆D的面积=π?12=π，
在RtSDC中，SC=4，
SD===，
∴用这个扇形卷成的圆锥的高为cm，圆锥的侧面积为4π．
