第27章 圆
27.2 圆心角、弧、弦的关系
1．在同圆或等圆中，下列说法错误的是( )
A．相等弦所对的弧相等
B．相等弦所对的圆心角相等
C．相等圆心角所对的弧相等
D．相等圆心角所对的弦相等
2．如图所示，在⊙O中，弦AB＝CD，图中的线段、角、弧分别具有相等关系的量共有(不包括AB＝CD)( )
A．10组
B．7组
C．6组
D．5组
3．如图所示，在⊙O中，点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝( )
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
4．如图所示，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上．已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝_____度．
5．如图所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE＝BD.求证：＝.
6. 如图，AB、CD为⊙O的直径，
＝.求证：BD＝CE.
7．如图所示，在同圆或等圆中，如果＝2，则弦AB和弦CD的关系是 ( )
A．AB＝2CD
B．AB>2CD
C．AB<2CD
D．AB＝CD
8．如图所示，C、D是以线段AB为直径的⊙O上的两点，且四边形OBCD是菱形．求证：＝.
.
9．如图所示，A，B，C为⊙O上的三点，且有＝＝，连结AB，BC，CA.
(1)试确定△ABC的形状；
(2)若AB＝a，求⊙O的半径．
10．如图所示，AB、CD是⊙O的弦，OC、OD分别交AB于点E，F，且OE＝OF，＝ 吗？请加以说明．
参考答案
1．A
2．A
3．A
4．40
5．证明：∵AB、CD是⊙O的两条直径，
∴AB、CD的交点为圆心O，
∴∠AOC＝∠BOD，∴＝.
又∵BE＝BD，∴＝，∴＝.
6. 证明：∵＝，∴AC＝CE.
∵∠AOC＝∠BOD，
∴AC＝BD，
∴BD＝CE.
7． C
8． 答图
证明：连结OC，如答图．
∵四边形OBCD是菱形，
∴OB＝BC，∠3＝∠2，OD∥BC，∴∠1＝∠B，
又∵OC＝OB，∴OC＝BC，
∴∠3＝∠B，∴∠1＝∠2，∴＝.
9．
答图
解：(1)∵＝＝，
∴AB＝BC＝CA，
∴△ABC为等边三角形．
(2)如图，连结OA、OB、OC，过O作OE⊥BC于E.
∵＝＝，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA.
又∵∠AOB＋∠BOC＋∠COA＝360°.
∴∠BOC＝120°.
又∵OB＝OC，OE⊥BC，
∴∠BOE＝∠COE＝60°，BE＝EC＝BC＝AB＝a，
∴∠OBE＝90°－∠BOE＝30°，∴OE＝OB.
根据勾股定理得BE2＋OE2＝OB2，
∴＋＝OB2，
解得OB＝a(负值已舍)，即⊙O的半径为a.
10． 解：＝.过O作OH⊥AB于点H.
在△AOB中，因为OA＝OB，OH⊥AB，
所以∠AOH＝∠BOH.
在△EOF中，因为OE＝OF，OH⊥AB，
所以∠EOH＝∠FOH，所以∠AOE＝∠BOF，
所以＝.
2.圆的对称性
第1课时 圆心角、弧、弦之间的关系
1.下列说法中,正确的是( B )
(A)等弦所对的弧相等
(B)等于半径的弦所对的圆心角为60°
(C)圆心角相等,所对的弦相等
(D)弦相等所对的圆心角相等
2.如图,AB,CD是☉O的直径,=,若∠AOE=32°,则∠COE的度数是( D )
(A)32° (B)60° (C)68° (D)64°
3.如图,AB是圆O的直径,BC,CD,DA是圆O的弦,且BC=CD=DA,则∠BCD等于( C )
(A)100° (B)110°
(C)120° (D)135°
4.如图,已知点A,B,C均在☉O上,并且四边形OABC是菱形,那么∠AOC与2∠OAB之间的关系是( B )
(A)∠AOC>2∠OAB (B)∠AOC=2∠OAB
(C)∠AOC<2∠OAB (D)不能确定
5.(2018怀化月考)如图,弦AC,BD相交于E,并且==,∠BEC=110°,则∠ACD的度数是 75° .?
6.如图,AB是☉O的直径,已知AB=2,C,D是☉O上的两点,且+=,M是AB上一点,则MC+MD的最小值是 .?
7.如图所示,在☉O中,AB,CD为直径,判断AD与BC的位置关系.
解:AD∥BC.理由:
因为AB,CD为☉O的直径,
所以OA=OD=OC=OB.
又∠AOD=∠BOC,所以△AOD≌△BOC.
所以∠A=∠B.所以AD∥BC,
即AD与BC的位置关系为平行.
8.(核心素养—逻辑推理)如图,已知AB为☉O的直径,点C为半圆ACB上的动点(不与A,B两点重合),过点C作弦CD⊥AB,∠OCD的平分线交圆于点P,则点P的位置有何规律?请证明你的结论.
解:点P为半圆ADB的中点.理由如下:连结OP,如图,因为∠OCD的平分线交圆于点P,所以∠PCD=∠PCO,因为OC=OP,所以∠PCO=∠OPC,
所以∠PCD=∠OPC,所以OP∥CD,
因为CD⊥AB,所以OP⊥AB,所以=,
即点P为半圆ADB的中点.
第27章 圆
27.2.2 垂径定理
1．[2018 ·张家界]如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC ＝5 cm，CD＝8 cm，则AE＝( )
A．8 cm
B．5 cm
C．3 cm
D．2 cm
,第1题图) ,第2题图)
2．如图所示，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是( )
A．CE＝DE
B．AE＝OE
C．＝
D．△OCE≌△ODE
3．如图所示，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形特片，则弓形弦AB的长为( )
A．10 cm
B．16 cm
C．24 cm
D．26 cm
4．[2018·绥化]如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm，一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升__________cm
5．如图所示，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连结CO，并延长交AD于点F，且CF⊥AD.求∠D的度数．
6．[2018·枣庄]如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为( )
A.
B．2
C．2
D．8
,)
7．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图所示)．
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
8．本市新建一座圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A，B，C三根木柱，使得A，B之间的距离与A，C之间的距离相等，并测得BC长为120米，A到BC的距离为4米，如图所示．请你帮他们求出该湖的半径．
参考答案
1． A
2． B
3． C
4．10或70
5．
答图
解：如答图，连结OD.
∵AB⊥CD，CF⊥AD，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
∴∠A＋∠ADE＝90°，∠C＋∠CDF＝90°，
∴∠A＝∠C.
∵OA，OC，OD为⊙O的半径，
∴OA＝OC＝OD，
∴∠C＝∠ODC，∠A＝∠ODA，
∴∠A＝∠ODA＝∠ODC，
∴3∠A＝90°，∠A＝30°，∴∠ADC＝60°.
6． C
答图
【解析】过点O作OE⊥CD于E，如答图．
∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8,
∴OA＝OB＝4, ∴OP＝2.
∵∠APC＝30°，∴OE＝OP＝1.
在Rt△OCE中，CE＝＝.
∵OE⊥CD，O是圆心，
∴CD＝2CE＝2.故选C.
7．
答图
(1)证明：作OE⊥AB，如答图．
则AE＝BE，CE＝DE，
∴BE－DE＝AE－CE，即AC＝BD.
(2)解：连结OC，OA.∵由(1)可知，OE⊥AB，
∴OE＝6，
∴CE＝＝＝2 ，
AE＝＝＝8，
∴AC＝AE－CE＝8－2 .
8．
答图
解：如答图，设圆心为点O，连结OB，OA，OA交线段BC于点D.
∵AB＝AC，∴＝，
∴OA⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝60.
∵DA＝4米，在Rt△BDO中，OB2＝OD2＋BD2，
设OB＝x米，
则x2＝(x－4)2＋602，
解得x＝452.∴人工湖的半径为452米．
第2课时 垂径定理
1.(2017泸州)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AB=8,AE=1,则弦CD的长是( B )
(A) (B)2
(C)6 (D)8
2.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示,其中有水部分水面宽0.8米,最深处水深0.2米,则此输水管道的直径是( D )
(A)0.4米 (B)0.5米
(C)0.8米 (D)1米
3.如图,已知☉O的直径CD垂直于弦AB,∠ACD=22.5°,若CD=6 cm,则AB的长为( B )
(A)4 cm
(B)3 cm
(C)2 cm
(D)2 cm
4.(2018陕西三模)如图,☉O的半径OD⊥弦AB于点C,连结BO并延长交☉O于点E,连结AE,若AB=6,CD=1,则AE的长为( B )
(A)3 (B)8
(C)12 (D)8
5.如图,将半径为12的☉O沿AB折叠,弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D,则折痕AB长为( C )
(A)3 (B)4
(C)6 (D)12
6.如图,在半径为5的☉O中,AB,CD是互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB=CD=8,则OP的长为 3 .?
7.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AB=8,CD=6,则BE= 4- .?
8.(2018玄武区期中)如图是一个隧道的横截图,它的形状是以点O为圆心的一部分,如果M是☉O中弦CD的中点,EM经过圆心O交☉O于点E,若CD=4 m,EM=6 m,则☉O的半径为 m.?
9.如图,☉O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,求线段OM的取值范围.
解:当OM垂直于AB时OM最小,
这时AM=AB=4,连结AO(图略)得直角三角形AOM,
由勾股定理得,OM=3,当M与A或B重合时,OM最大,为半径5.所以线段OM的取值范围是3≤OM≤5.
10.(开放探究题)如图,AB是☉O的直径,CB是弦,OD⊥CB于E,交于D,连结AC.
(1)请你写出三个不同类型的正确结论;
(2)若CB=8,ED=2,求☉O的半径.
解:(1)CE=BE,=,
∠C=90°,AC∥OD.(任选三个即可)
(2)因为OD⊥CB,
所以CE=BE=BC=4,
又DE=2,
设☉O的半径为R,
则OE=R-2,
在Rt△OEB中,
因为OB2=OE2+EB2,
所以R2=(R-2)2+42,
解得R=5.
所以☉O的半径为5.
11.(分类讨论题)已知☉O的直径CD=10 cm,AB是☉O的弦,AB=8 cm,且AB⊥CD,垂足为M,求AC的长.
解:连结AC,AO,
因为☉O的直径CD=10 cm,
AB⊥CD,AB=8 cm,
所以AM=AB=×8=4(cm),
OD=OC=5 cm,
当C点位置如图1所示时,
因为OA=5 cm,AM=4 cm,CD⊥AB,
所以OM===3(cm),
所以CM=OC+OM=5+3=8 cm,
所以AC===4(cm);
当C点位置如图2所示时,可得OM=3 cm,
因为OC=5 cm,
所以MC=5-3=2(cm),
在Rt△AMC中,
AC===2(cm).
所以AC的长为4 cm或2 cm.
