第27章 圆
27.3 圆周角
1．[2018·菏泽]如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是( )
A．64°
B．58°
C．32°
D．26°
2．[2018·苏州]如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点．若∠BOC＝40°，则∠D的度数为( )
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
3．如图所示，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连结CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是( )
A．AD＝2OB
B．CE＝EO
C．∠OCE＝40°
D．∠BOC＝2∠BAD
4．[2018·淮安]如图，点A，B，C都在⊙O上．若∠AOC＝140°，则∠B的度数是( )
A．70°
B．80°
C．110°
D．140°
5．[2018·盐城]如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为( )
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
6．[2018·邵阳]如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是( )
A．80°
B．120°
C．100°
D．90°
7．[2018·北京]如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝______．
8．[2018·遂宁改编]如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连结BE.若AB＝2，CD＝1，求BE的长．
9．如图所示，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°.
(1)求∠EBC的度数；
(2)求证：BD＝CD.
10．[2017·苏州节选]如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连结CD交OE边于点F.
(1)求证：△DOE∽△ABC；
(2)求证：∠ODF＝∠BDE.
11．[2018·安徽]如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.
(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
12．[2017·临沂]如图所示，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.
(1)求证：DE＝DB；
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC的外接圆半径．
参考答案
1． D
2． B
3． D
4． C
5． C
6． B
7．70°
8． 解：设⊙O的半径为r，则OA＝OE＝OC＝r，
∵OC⊥AB，∴AD＝AB＝.
∵CD＝1，∴OD＝r－1，∴OD2＋AD2＝OA2，
∴(r－1)2＋()2＝r2，∴r＝4，∴OD＝3.
∵AE是⊙O的直径，
∴AB⊥BE，∴OD∥BE，∴BE＝2OD＝6.
9．
答图
(1)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.
又∵∠BAC＝45°，∴∠ABE＝45°.
又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67.5°.
∴∠EBC＝22.5°.
(2)证明：如图，连结AD.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC.
又∵AB＝AC，∴BD＝CD.
10．证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵DE⊥AB，∴∠DEO＝90°，
∴∠DEO＝∠ACB.
∵OD∥BC，∴∠DOE＝∠ABC，
∴△DOE∽△ABC.
(2)∵△DOE∽△ABC，
∴∠ODE＝∠A.
∵∠A和∠BDC是所对的圆周角，
∴∠A＝∠BDC，∴∠ODE＝∠BDC，
∴∠ODF＝∠BDE.
11． 解：(1)如答图1所示．
答图1 答图2
(2)连结OE，OC，EC，如答图2，由(1)知AE为∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE, ∴＝.
根据垂径定理知OE⊥BC，则DE＝3.
∵OE＝OC＝5，∴OD＝OE－DE＝2.
在Rt△ODC中，DC＝＝，
在Rt△DEC中，CE＝＝.
12．
答图
(1)证明：如答图，连结BD，CD.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
又∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CBD.
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE，
∴∠DBE＝∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.
又∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD，
∴∠DBE＝∠BED，∴BD＝DE.
(2)解：∵∠BAC＝90°，
∴BC是直径，∴∠BDC＝90°.
∵AD平分∠BAC，BD＝4，∴BD＝CD＝4，
∴BC＝＝4，∴半径为2.
3.圆周角
1.如图,在☉O中,=,∠AOB=40°,则∠ADC的度数是( C )
(A)40° (B)30° (C)20° (D)15°
2.(2018南充)如图,BC是☉O的直径,A是☉O上一点,∠OAC=32°,则∠B的度数是( A )
(A)58° (B)60° (C)64° (D)68°
3.(2018青岛模拟)如图,点A,B,C,D都在☉O上,且四边形OABC是平行四边形,则∠D的度数为( B )
(A)45°
(B)60°
(C)75°
(D)不能确定
4.(2018淮南模拟)如图,在半径为5的☉O中,弦AB=6,点C是优弧上一点(不与A,B重合),则cos C的值为( D )
(A) (B) (C) (D)
5.如图,☉C过原点,且与两坐标轴分别交于点A,点B,点A的坐标为(0,3),M是第三象限内☉C上一点,∠BMO=120°,则☉C的半径为( C )
(A)6 (B)5 (C)3 (D)
6.(2018衢州一模)AB为半圆O的直径,现将一块等腰直角三角板如图放置,锐角顶点P在半圆上,斜边过点B,一条直角边交该半圆于点Q.若AB=2,则线段BQ的长为 .?
7.如图,圆心角∠AOB=30°,弦CA∥OB,延长CO与圆交于点D,则∠BOD= 30° .?
8.(2018南浔区期末)如图,已知☉O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E,F,若∠E+∠F=70°,则∠A的度数是 55° .?
9.如图,已知A,B,C,D是☉O上的四点,延长DC,AB相交于点E,若BC=BE.
求证:△ADE是等腰三角形.
证明:因为A,D,C,B四点共圆,
所以∠A+∠BCD=180°,
因为∠BCD+∠BCE=180°,所以∠A=∠BCE,
因为BC=BE,所以∠BCE=∠E,
所以∠A=∠E,所以AD=DE,
即△ADE是等腰三角形.
10.如图所示,☉O的直径AB为10 cm,弦AC为6 cm,∠ACB的平分线交☉O于D,求BC,AD,BD的长.
解:因为AB是直径,
所以∠ACB=∠ADB=90°,
在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,
AB=10 cm,AC=6 cm,
所以BC2=AB2-AC2=102-62=64,
所以BC==8(cm),
又CD平分∠ACB,所以∠ACD=∠BCD,
所以=,所以AD=BD,
又在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,
所以AD2+BD2=102,
所以AD=BD==5(cm).
11.(分类讨论题)A,B是圆O上的两点,∠AOB=60°,C是圆O上不与A,B重合的任一点,求∠ACB的度数是多少?
解:分两种情况:
(1)当C点在劣弧AB上时,如图所示,A,B是圆O上两点,∠AOB=60°,所以弧AB的度数为60°,
优弧ADB的度数为300°,
所以∠ACB=150°.
(2)当点C在优弧ADB上时,
∠ACB=∠AOB=30°.
综上所述∠ACB为30°或150°.
12.(核心素养—逻辑推理)如图,在☉O中,AB是直径,CD是弦(不过圆心),AB⊥CD.
(1)E是优弧CAD上一点(不与C,D重合),求证:∠CED=∠COB;
(2)点E′在劣弧CD上(不与C,D重合)时,∠CE′D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论.
(1)证明:如图所示,连结OD.
因为AB是直径,AB⊥CD,
所以=,
所以∠COB=∠DOB=∠COD.
又因为∠CED=∠COD,
所以∠CED=∠COB.
(2)解:∠CE′D与∠COB的数量关系是∠CE′D+∠COB=180°.理由:因为∠CED=∠COD,∠CE′D=180°-∠CED,由(1)知,∠CED=∠COB,所以∠CE′D+∠COB=180°.
