第27章 圆
7. 2.3.1 切线的判定与性质
1．[2018·常州]如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB＝52°，则∠NOA的度数为( )
A．76°
B．56°
C．54°
D．52°
2．[2018·福建A卷]如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D.若∠ACB＝50°，则∠BOD等于( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
3．[2018·连云港]如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P.已知∠OAB＝22°，则∠OCB＝____.
4．[2018·台州]如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.若∠A＝32°，则∠D＝_______度．
5．[2018·安徽]如图．菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D，E.若点D是AB的中点，则∠DOE________．
6．[2018·重庆A卷改编]如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若⊙O的半径为4，BC＝6，求PA的长．
7．[2018·邵阳]如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连结BC，BC平分∠ABD.求证：CD为⊙O的切线．
8．[2018·沈阳]如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C.
(1)若∠ADE＝25°，求∠C的度数；
(2)若AB＝AC，CE＝2，求⊙O半径的长．
9．[2018·聊城]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．
10．[2018·天水]如图所示，AB是⊙O 的直径，点P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连结AC，BC.
(1)求证：∠BAC＝∠BCP；
(2)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的角平分线交AC于点D，你认为∠CDP的大小是否会发生变化？若变化，请说明理由；若没有变化，求出∠CDP的大小．
参考答案
1．A
2．D
3．44°.
4．26
5．60°
6．
答图
解：如答图，连结OD.
∵PC切⊙O于点D，∴OD⊥PC.
∵⊙O的半径为4，
∴PO＝PA＋4，PB＝PA＋8.
∵OD⊥PC，BC⊥PD，
∴OD∥BC.∴△POD∽△PBC，
∴＝，即＝，解得PA＝4.
7． 证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠DBC.
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠DBC＝∠OCB，
∴OC∥BD.
∵BD⊥CD，
∴OC⊥CD .
又∵OC为 ⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线．
8．
答图
解：(1)如答图，连结OA.
∵AC为⊙O的切线，OA是⊙O半径，
∴OA⊥AC，∴∠OAC＝90°.
∵∠AOE＝2∠ADE＝50°，
∴∠C＝90°－∠AOE＝90°－50°＝40°.
(2)∵ AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵＝，∴∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝2∠C.
∵∠OAC＝90°，
∴∠AOC＋∠C＝90°，3∠C＝90°，∠C＝30°.
∵∠OAC＝90°，∴OA＝OC.
设⊙O的半径为r，
∵CE＝2, ∴r＝(r＋2)，∴r ＝2，
∴⊙O的半径为2.
9．
答图
(1)证明：如答图所示，连结OE.
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE.
∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠CBE＝∠OBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠OEA＝∠C＝90°，
∴OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．
(2)解：∵ED⊥EB，∠C＝90°，
∴∠BED＝∠C＝90°.
由(1)知∠CBE＝∠OBE，
∴△BCE∽△BED，
∴＝.
∵⊙O的半径为2.5，BE＝4，
∴＝，
∴BC＝.
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴＝.
∵OE＝2.5，BC＝，AO＝AD＋OD＝AD＋2.5，AB＝AD＋BD＝AD＋5，
∴＝，
∴AD＝.
10． (1)证明：连结CO.
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥CO，即∠OCP＝90°，
∴∠PCB＋∠BCO＝90°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＋∠BCO＝90°，
∴∠ACO＝∠PCB.
∵AO＝CO，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠PCB＝∠CAO，
即∠BAC＝∠BCP，
(2)解：∠CDP的大小不发生变化．理由如下：
∵∠CDP＝∠A＋∠APD，∠BOC＝2∠A，∠CPO＝2∠APD，∠PCO＝90°，
∴∠CDP＝∠BOC＋∠CPO＝(∠BOC＋∠CPO)＝×90°＝45°.
第27章 圆
27. 2.3.2 切线长定理和三角形的内切圆
1．如图所示，已知PA，PB切⊙O于A，B，C是劣弧AB上一动点，过C作⊙O的切线交PA于M，交PB于N.已知∠P＝56°，则∠MON＝( )
A．56° B．60° C．62° D．不可求
2．如图所示，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．若∠C＝65°，则∠P的度数为( )
A. 65° B. 130° C. 50° D. 100°
3．如图所示，AB，AC是⊙O的切线，B，C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是( )
A．65° B．115°
C．65°或115° D．135°或65°
4．边长为1的正三角形的内切圆半径为__________．
5．[2018·湖州]如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是__________．
6．如图所示，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，求∠ACB的大小．
7．如图所示，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3 cm，求此光盘的直径．
8．[2018·威海]在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连结AE，BE，则∠AEB的度数为__________．
9．[2017·百色]已知△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F.若＝，如图1.
图1 图2
(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；
(2)设AE与DF相交于点M，如图2，AF＝2FC＝4，求AM的长．
10．[2018·北京]如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连结OP，CD.
(1)求证：OP⊥CD；
(2)连结AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．
11．如图所示，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm.求：
(1)∠BOC的度数；
(2)BE＋CG的长；
(3)⊙O的半径．
参考答案
1．C 2．C
3．C
4．
5．70°
6．
答图
解：连结OB.∵PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.根据四边形内角和为360°且∠P＝40°，得∠COB＝40°，故∠ACB＝＝70°.
7．
答图
解：画出示意图如答图所示．
∵∠CAD＝60°，∴∠CAB＝120°.
∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB＝∠OAC，
∴∠OAB＝∠CAB＝60°.
∵在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，AB＝3 cm，
∴OA＝6 cm，
∴由勾股定理得OB＝3 cm，
∴光盘的直径为6 cm.
8．135°
【解析】连结CE.∵∠ADC＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝90°.
∵⊙E内切于△ADC，∴∠EAC＋∠ECA＝45°，∴∠AEC＝135°.∵△AEC≌△AEB，∴∠AEB＝∠AEC＝135°.
9．解：(1)等腰三角形．
证明：∵AC，AB，BC是切线，
∴AF＝AD，CF＝CE，BE＝BD，∠CFO＝∠CEO＝90°.
连结CO，BO，如答图1.则△CFO≌△CEO，
∴∠COF＝∠COE.
同理，∠BOE＝∠BOD.
∵＝，∴∠EOF＝∠EOD，
∴∠COE＝∠BOE.
又∵∠CEO＝∠BEO，OE＝OE，
∴△COE≌△BOE，∴CE＝BE.
∵CF＝CE，BE＝BD，∴CF＝BD.
又∵AF＝AD，∴AC＝AB，
即△ABC是等腰三角形．
答图1 答图2
(2)连结OB，OC，OD，OF，如答图2.
∵等腰三角形ABC中，AE⊥BC，
∴E是BC中点，BE＝CE.
∵在Rt△AOF和Rt△AOD中，
∴Rt△AOF≌Rt△AOD，∴AF＝AD.
同理Rt△BOD≌Rt△BOE，BD＝BE，
∴AD＝AF，∴DF∥BC，∴＝.
∵AE＝＝4，
∴AM＝4×＝.
10． (1)证明：如答图，连结OC，OD.
∵PC，PD切⊙O于点C，D，
∴PC＝PD，
∴点P在线段CD的垂直平分线上．
∵OC＝OD，
答图
∴点O在线段CD的垂直平分线上．
∴OP⊥CD.
(2)解：如答图，连结OD，OC.
∵OA＝OD，∠DAB＝50°，
∴∠DOA＝80°.
同理，∠BOC＝40°.
∴∠COD＝180°－∠AOD－∠BOC＝60°.
∵OC＝OD，PD＝PC，OP＝OP，
∴△OPC≌△OPD，
∴∠POD＝∠POC＝30°.
∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥DP.
在Rt△OPD中，cos∠DOP＝，
∴OP＝＝.
11．
答图
解：(1)连结OF，根据切线长定理得BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG.
∵AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°，
∴∠OBF＋∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°.
(2)由(1)知，∠BOC＝90°.
∵OB＝6 cm，OC＝8 cm，
∴由勾股定理得到BC＝＝10 cm.
∴BE＋CG＝BC＝10 cm.
(3)∵OF⊥BC，
∴OF＝ ＝4.8 cm.
