第27章 圆
27. 3.1 弧长和扇形的面积
1．[2018·天门]一个扇形的弧长是10π cm，面积是60π cm2，则此扇形的圆心角的度数是( )
A．300°
B．150°
C．120°
D．75°
2．[2018·成都]如图，在?ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是( )
A．π
B．2π
C．3π
D．6π
3．已知扇形的半径为3 cm，此扇形的弧长是2π cm，则此扇形的圆心角等于______度，扇形的面积是______(结果保留π)．
4．钟面上分针的长是6 cm，经过10分钟，分针在钟面上扫过的面积是________cm2(结果用含π的代数式表示)．
5．[2017·舟山]如图所示，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8 cm的⊙O, ＝90°，弓形ACB(阴影部分)粘贴胶皮，则胶皮面积为__________．
6．[2018·义乌]如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB.通过计算可知，这些市民其实仅仅少B走了____步(假设1步为0.5米，结果保留整数)．(参考数据：≈1.732，π取3.142)
7．[2018·绥化]如图，△ABC是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是____________．
(结果用含π的式子表示)
8．如图所示，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝6 cm，AC＝8 cm，∠ABD＝45°.
(1) 求BD的长；
(2) 求图中阴影部分的面积．
9．[2018·达州]已知，如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若等边△ABC的边长为8，求由，DF，EF围成的阴影部分的面积．
参考答案
1．B
2．C
3．120 3π__cm2
4．6π
5．(32＋48π)cm2
6．15
7．4π－3
答图
【解析】连结OA，OB，OC，过O点作OD⊥BC于点D.∵△ABC为等边三角形，∴∠OBD＝30°.∵⊙O的半径为2，∴OB＝2，∴OD＝1，BD＝，∴BC＝2，∴S△ABC＝3S△OBC＝3×BC·OD＝3，∴S阴影＝4π－3.
8．
答图
解：(1)连结AD，如答图，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝ 90°.
在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，
且AC＝8 cm，BC＝6 cm，∴AB＝10 cm.
∵∠ABD＝45°，∴∠BAD＝45°，
∴AD＝BD＝5 cm.
(2)连结OD.S阴影＝ S扇形ODB－ S△ODB＝π×52－×5×5＝cm2.
9．
答图1 答图2
解：(1)连结OD，CD.如答图1.
∵BC是直径，∴∠BDC＝90°.
∵等边△ABC，∴点D是AB的中点．
又∵点O是BC的中点，∴OD∥AC.
又∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线．
(2)连结OD，OE，DE.如答图2.
∵点D是AB的中点，点E是AC的中点，
∴DE＝BC＝4.
∵DF⊥AC，∠AED＝∠C＝60°，∴EF＝2，DF＝2，
∴△DEF的面积＝·EF·DF＝2，
∴△ADE的面积＝△ODE的面积＝4.
扇形ODE的面积＝＝.
∴阴影部分的面积＝△DEF的面积－弓形DE的面积＝2－(－4)＝6－.
第27章 圆
27. 3.2 圆锥的侧面积和全面积
1．[2018·遵义]已知圆锥的底面面积为9π cm2，母线长为6 cm，则圆锥的侧面积是( )
A．18π cm2
B．27π cm2
C．18π cm2
D． 27π cm2
2．如图所示，圆锥体的高h＝2 cm，底面圆半径r＝2 cm，则圆锥体的全面积为( )
A．4 π cm2
B．8π cm2
C．12π cm2
D．(4 ＋4)π cm2
3．若一个圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则该圆锥的高是( )
A．R
B．R
C．R
D．R
4．[2018·江汉油田]一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是( )
A．120°
B．180°
C．240°
D．300°
5．[2018·绵阳]如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成， 若用毛毡搭建一个底面圆面积为25π m2，圆柱高为3 m，圆锥高为2 m的蒙古包，则需要毛毡的面积是( )
A．(30＋5)π m2
B．40π m2
C．(30＋5)π m2
D．55π m2
6．[2018·龙东]用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高为________．
7．[2018·东营]已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积为 ________ .
8．[2017·杭州]在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1.把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，
所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则( )
A．l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶2
B．l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶2
C．l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶4
D．l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶4
9．如图所示，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线AB与高AO的夹角．
10．如图所示，有一直径是 米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC.求：
(1)AB的长；
(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为多少？
参考答案
1．A 2．C 3．D
4．B
【解析】设母线长为R，圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为n，底面半径为r.
由题意，得πrR＝2πr2，∴R＝2r.∵圆锥底面周长为2πr，∴2πr＝，∴n＝180.故选B.
5．A
【解析】∵蒙古包底面圆面积为25π m2，
∴底面半径为5 m，
∴圆柱的侧面积为π×2×5×3＝30π(m2)．
∵圆锥的高为2 m，
∴圆锥的母线长为＝(m)，
∴圆锥的侧面积为π×5×＝5π(m2)，
∴需要毛毡的面积为30π＋5π＝(30＋5)π m2.
故选A.
6．
7．20π
【解析】由题意知，扇形的母线长为＝5，再根据圆锥侧面开图的扇形的半径就是母线长，弧长就是底面圆的周长，所以侧面积＝×8π×5＝20π.
8．A
9．解：依题意，得2πr＝πl，所以l＝2r，所以在Rt△BAO中，sin∠BAO＝＝，所以∠BAO＝30°，所以母线AB与高AO的夹角为30°.
10．
解：(1)∵∠BAC＝90°，
∴BC为⊙O的直径，即BC＝，
∴AB＝BC＝1.
(2)设所得圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝.
27.3 圆中的计算问题
第1课时 弧长和扇形面积
1.如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为“等边扇形”.则半径为2的“等边扇形”的面积为( C )
(A)π (B)1 (C)2 (D)π
2.(2018潮南区模拟)一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚(如图),那么B点从开始至结束所走过的路径长度为( B )
(A) (B)
(C)4 (D)2+
3.(2018惠民县期末)如图,边长为2的菱形ABCD绕点A旋转,当B,C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时,的长度等于 ( D )
(A) (B)
(C) (D)
4.(2018成都)如图,在?ABCD中,∠B=60°,☉C的半径为3,则图中阴影部分的面积是( C )
(A)π (B)2π
(C)3π (D)6π
5.如图,△ABC的边长都大于2,分别以它的顶点为圆心,1为半径画弧(弧的端点分别在三角形的相邻两边上),则这三条弧的长的和是( D )
(A)4π (B)3π
(C)6π (D)5π
6.钟表的轴心到分针针端的长为5 cm,那么经过40分钟,分针针端转过的弧长是 cm.?
7.如图,某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心,AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得的扇形ABD的面积为 25 .?
8.(2018全椒县一模)如图,正方形ABCD的边长为4,点O是AB的中点,以点O为圆心,4为半径作☉O,分别与AD,BC相交于点E,F,则劣弧的长为 .?
9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=CB=4,分别以A,B,C为圆心,以AC为半径画弧,求三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积.
解:因为∠C=90°,CA=CB=4,
所以AC=2,S△ABC=·4·4=8,
因为三条弧所对的圆心角的和为180°,
S扇形==2π,
所以阴影部分的面积
S△ABC-S扇形=8-2π.
10.如图,☉O的半径为5,直径AB⊥直径CD,以B为圆心,BC长为半径作,求与围成的新月形ACED(阴影部分)的面积.
解:连结BC,BD,如图,
因为直径AB⊥CD,
所以△BCD为等腰直角三角形,
所以BC=CD=·10=5,
所以S弓形CED=S扇形BCD-S△BCD
=-×10×5
=-25,
所以新月形ACED(阴影部分)的面积
S半圆CD-S弓形CED=·π·52-(π-25)=25.
11.(探究规律题)如图,依次以三角形、四边形、…、n边形的各顶点为圆心画半径为1的圆,且圆与圆之间两两不相交.把三角形与各圆重叠部分面积之和记为S3,四边形与各圆重叠部分面积之和记为S4,…,n边形与各圆重叠部分面积之和记为Sn.求S90的值.(结果保 留π)
解:S3===π;
S4===π;
…
S90===44π.
12.(拓展探究题)如图,两个同心圆被两条半径截得的的长为6π cm,的长为10π cm,又AC=12 cm,求阴影部分ABDC的面积.
解:设OA=R,OC=R+12,∠O=n°,
根据已知条件有
得,=.
所以3(R+12)=5R,
所以R=18.
所以OC=18+12=30.
所以S=S扇形COD-S扇形AOB
=×10π×30-×6π×18
=96π(cm2).
所以阴影部分的面积为96π cm2.
第2课时 圆锥的侧面积和全面积
1.现有30%圆周的一个扇形彩纸片,该扇形的半径为40 cm,小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目,她打算剪去部分扇形纸片后,利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠),那么剪去的扇形纸片的圆心角为( B )
(A)9° (B)18° (C)63° (D)72°
2.(2018惠山区一模)如图是某几何体的三视图及相关数据,则该几何体的全面积是( B )
(A)15π (B)24π (C)20π (D)10π
3.如图,从一块直径为24 cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC,使点A,B,C在圆周上,将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的半径是( C )
(A)12 cm (B)6 cm
(C)3 cm (D)2 cm
4.(2017广州)如图,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形,若圆锥的底面圆半径是,则圆锥的母线l为 3 .?
5.将一块弧长为π的半圆形铁皮围成一个圆锥(接头忽略不计),则围成的圆锥的高为 .?
6.如图所示:用一个半径为60 cm,圆心角为150°的扇形围成一个圆锥,则这个圆锥的底面半径为 25 cm.?
7.如图,在图1所示的正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形,使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型.设正方形的边长为(5+),求圆锥的全面积.
解:设圆的半径为r,扇形的半径为R,
因为扇形的弧长等于圆锥底面周长,
所以×2πR=2πr,
化简得R=4r.
如图,根据勾股定理,得
(5r+r)2=(5+)2+(5+)2,解得r=,
所以圆锥的全面积为
S=π+π=10π.
8.(核心素养-数学建模)如图,锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的,它的上下两部分是圆锥,中间是一个圆柱(如图,单位:mm).电镀时,如果每平方米用锌0.11 kg,要电镀1 000个这样的锚标浮筒约需要用多少锌?(精确到1 kg)
解:由图形可知圆锥的底面圆的半径为0.4 m,
圆锥的高为0.3 m,
则圆锥的母线长为=0.5 m,
所以圆锥的侧面积S1=π×0.4×0.5=0.2π(m2).
因为圆柱的高为0.8 m.
圆柱的侧面积
S2=2π×0.4×0.8=0.64π(m2),
所以浮筒的表面积为2S1+S2=1.04π(m2).
因为每平方米用锌0.11 kg,
所以一个浮筒需用锌1.04π×0.11 kg,
所以1 000个这样的锚标浮筒需用锌
1 000×1.04π×0.11=114.4π≈359(kg).
答:1 000个这样的锚标浮筒约需用锌359 kg.
9.(拓展探究题)如图,圆锥底面的半径为10 cm,高为10 cm.
(1)求圆锥的全面积;
(2)若一只蚂蚁从底面上一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处,且SM=3AM,求它所走的最短距离.
解:(1)由题意,可得圆锥的母线
SA==40(cm),
圆锥的侧面展开图扇形的弧长
l=2π·OA=20π cm,
所以S侧=l·SA=400π(cm2),
S底=πAO2=100π cm2,
所以S全=S侧+S底=(400+100)π=500π(cm2).
(2)沿母线SA将圆锥的侧面展开,如图,
则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离.
由(1)知,SA=40 cm,弧长为20π cm,
因为=20π cm,
所以∠S=n==90°,
因为SA′=SA=40 cm,SM=3A′M,
所以SM=30 cm,
所以在Rt△ASM中,由勾股定理得
AM===50 (cm),
所以,蚂蚁所走的最短距离是50 cm.
