第27章 圆
27. 2.1 点与圆的位置关系
1．若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，那么点A与⊙O的位置关系是( )
A．点A在圆外
B．点A在圆上
C．点A在圆内
D．不能确定
2．如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)．如果以A为圆心，r为半径画图，选取的格点中除A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为( )
A．2B. C. D. 53．[2018·烟台]如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为________．
4．如图所示，Rt△ABC的两条直角边BC＝15 cm，AC＝20 cm，斜边AB上的高为CD.若以C为圆心，分别以r1＝11 cm，r2＝12 cm，r3＝13 cm为半径作圆，试判断点D与这三个圆的位置关系．
5．如图所示，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是( )
A．△ABE
B．△ACF
C．△ABD
D．△ADE
6．设AB＝4 cm，作出满足下列要求的图形：
(1)到点A的距离等于3 cm的所有点组成的图形，到点B的距离等于2 cm的所有点组成的图形；
(2)到点A的距离等于3 cm，且到点B的距离等于2 cm的所有点组成的图形；
(3)到点A的距离小于3 cm，且到点B的距离小于2 cm的所有点组成的图形；
(4)到点A的距离大于3 cm，且到点B的距离小于2 cm的所有点组成的图形．
7．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是∠BAC的平分线，过A，C，D三点作圆与斜边AB交于点E，连结DE.
(1)求证：AC＝AE；
(2)求△ACD外接圆的半径．
参考答案
1．C
2．B
3．(－1，－2)
4．解：∵Rt△ABC的两条直角边BC＝15 cm，AC＝20 cm，
∴AB＝＝25 cm.
∵BC·AC＝CD·AB，
∴CD＝＝12(cm)．
∵当以r1＝11 cm作圆，点D在这个圆的外部；当以r2＝12 cm作圆，点D在这个圆上；当以r3＝13 cm作圆，点D在这个圆的内部．
5．B
6．解：(1)如答图1所示，到点A的距离等于3 cm的所有点组成的图形是以A为圆心，3 cm为半径的圆，到点B的距离等于2 cm的所有点组成的图形是以B为圆心，2 cm为半径的圆．
答图1 答图2
(2)如答图2所示，以A为圆心，3 cm为半径的圆A与以B为圆心，2 cm为半径的圆B的两个交点P，Q即为所求．
(3)如答图3所示，以A为圆心，3 cm为半径的⊙A内部与以B为圆心，2 cm为半径的⊙B内部的公共部分(不包括边界)即为所求．
答图3 答图4
(4)如图4所示，以A为圆心，3 cm为半径的⊙A的外部与以B为圆心，2 cm为半径的⊙B内部的公共部分(不包括边界)即为所求．
7． (1)证明：∵∠ACB＝90°，∴AD为圆的直径．
又∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD＝∠DAE，
∴＝.
又∵＝，
∴＝，∴AC＝AE.
(2)解：∵AC＝5，CB＝12，
∴AB＝＝＝13.
∵AE＝AC＝5，∴BE＝AB－AE＝13－5＝8.
∵AD为圆的直径，
∴∠AED＝∠ACB＝∠BED＝90°.
∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBE，
∴＝，∴DE＝，
∴AD＝＝＝，
∴△ACD外接圆的半径为.
27.2 与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系
1.关于半径为5的圆,下列说法正确的是( C )
(A)若有一点到圆心的距离为5,则该点在圆外
(B)若有一点在圆外,则该点到圆心的距离不小于5
(C)圆上任意两点之间的线段长度不大于10
(D)圆上任意两点之间的部分可以大于10π
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,则它的外心与顶点C的距离为( A )
(A)5 cm (B)6 cm
(C)7 cm (D)8 cm
3.(2018靖江市二模)☉O的半径为4,圆心到点P的距离为d,且d是方程x2-2x-8=0的根,则点P与☉O的位置关系是( B )
(A)点P在☉O内部 (B)点P在☉O上
(C)点P在☉O外部 (D)点P不在☉O上
4.点A在以O为圆心,3 cm为半径的☉O内,则点A到圆心O的距离d的范围是 0≤d<3 cm .?
5.若AB=4 cm,则过点A,B且半径为3 cm的圆有 两 个.?
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,以B为圆心,以BC为半径作☉B,D,E是AB,AC中点,A,C,D,E分别与☉B有怎样的位置关系?
解:因为BC=3=R,
所以点C在☉B上;
因为AB=5>3,
所以点A在☉B外;
因为D为BA的中点,
所以BD=AB=2.5<3,
所以点D在☉B内;
因为E为AC的中点,
所以CE=AC=×4=2,
连结BE,
所以BE===>3,
所以E在☉B外.
即点A在☉B外,点C在☉B上,点D在☉B内,点E在☉B外.
7.(教材衔接题)如图所示,△ABC中,AB=AC=10,BC=12,求△ABC外接圆的半径.
解:作AD⊥BC,垂足为D,则O一定在AD上,如图所示,
所以AD==8.
设OA=r,OB2=OD2+BD2,
即r2=(8-r)2+62,解得r=.
答:△ABC外接圆的半径为.
8.(分类讨论题)一点和☉O上的最近点距离为4 cm,最远距离为9 cm,求这个圆的半径.
解:点P应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论:
(1)当点P在圆内时(如图①),最近点的距离为4 cm,最远点的距离为9 cm,则直径是4+9=13(cm),因而半径是6.5 cm.
(2)当点P在圆外时(如图②),最近点的距离为4 cm,最远点的距离为9 cm,则直径是9-4=5(cm),因而半径是2.5 cm.
即这个圆的半径为6.5 cm或2.5 cm.
9.(拓展探究题)已知Rt△ABC的两直角边为a和b,且a,b是方程x2-3x+1=0的两根,求Rt△ABC的外接圆面积.
解:由一元二次方程根与系数的关系可得
a+b=3,ab=1.
由勾股定理,得(2r)2=a2+b2
即(2r)2=(a+b)2-2ab=9-2=7,
所以r2=,所以S=πr2=π.
即Rt△ABC的外接圆面积为π.
