必修4 第二章《平面向量》综合复习学案

高一数学 必修4 第二章《平面向量》综合复习
班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿
复习要点
基本概念
（1）向量的定义
（2）零向量 单位向量
（3）平行向量（共线向量）
（4）相等向量
（5）在上的投影：
2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。
运 算
图形语言
符号语言
坐标语言
加法与减法
+=
+=
记=(x1,y1),=(x2,y2)
则=
=
=
实数与向量的乘积
=λ
λ∈R
记=(x,y)
则λ=
两个向量的数量积
记
则·=
3．重要定理、公式
（1）向量共线定理：如果有一个实数使那么与是共线向量；反之，如果是共线向量，那么有且只有一个实数，使。
（2）平面向量基本定理；如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量，有且只有一对数数λ1，λ2，满足=λ1+λ2。
（3）两个向量平行 ：设=（x1,y1），=(x2,y2)，则∥
（4）两个向量垂直：设=(x1,y1), =(x2,y2)，则⊥
（5）线段定比分点公式: 设, 则
设P（x,y），P1（x1,y1），P2（x2,y2）,则
（6）平面向量夹角公式 ；平面向量求模公式 .
例题精析
题型一：向量的基本概念
【例1】下列命题中： ①若,则或; ②若不平行的两个非零向量,满足,则; ③若与平行,则 ； ④若∥,∥,则∥;其中真命题的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
【变式1】下面5个命题：①且则；②(·)=·；③⊥(－)，则·=·；④·=0，则|+|=|－|；⑤，其中真命题是（ ）
A．①②⑤ B．③④ C．①③ D．②④⑤
题型二、向量共线定理的应用
【例2】设、是两个不共线的向量，已知，，，若三点共线，求的值.
【变式2】已知点A、B、C在同一直线上，并且a + b，a + 2b，a + 3b (其中a 、b是两个任意非零向量) ，试求m、n之间的关系．
题型三、向量的数量积及向量的垂直关系
【例3】已知|a|＝6，|b| ＝4且a与b的夹角为，求 (a + 2b)·(ab)
【变式3】在直角△ABC中，＝（2,3），＝（1，k），求实数k的值
题型四、向量数量积中的运算
【例4】长方形ABCD中，，M、N分别是AB、CD的中点，.
（1）求； （2）求的夹角大小； （3）若向量与垂直，试求的值.
【例5】向量，且与方向相同，求的取值范围。
【变式4】已知那么与夹角为（ ）
A、 B、 C、 D、
【变式5】已知向量，、夹角为的单位向量，设向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
题型五、平面向量中的三角形问题
【例6】（选讲）已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且＝＝，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的(　　)．
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
【变式6】（选讲）已知O为平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个动点，点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的（ ）
A.重心 B.外心 C.垂心 D.内心
【变式7】（选讲）已知点O为所在平面内一点，且，则点O一定为的（ ）
A.重心 B.外心 C.垂心 D.内心
题型六、三角函数与平面向量综合性问题
【例7】已知向量= ()和=()， ．
（1）求 的最大值； （2）若=，求的值．
【变式8】已知、、三点的坐标分别为、、，，
（1）若，求角的值； （2）若，求的值。
课后作业
必修4第二章 平面向量 测试题
满分：150分 时间：120分钟
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有四个表达式：①|a＋b|＝|a|＋|b|； ②|a－b|＝±(|a|－|b|)； ③a2>|a|2； ④|a·b|＝|a|·|b|.
其中正确的个数为(　　)
A．0　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
2．下列命题中，正确的是(　　)
A．a＝(－2,5)与b＝(4，－10)方向相同 B．a＝(4,10)与b＝(－2，－5)方向相反
C．a＝(－3,1)与b＝(－2，－5)方向相反 D．a＝(2,4)与b＝(－3,1)的夹角为锐角
3．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上两点，且||＝，则·等于(　　)
A．－ B. C．0 D.
4．已知向量a＝，b＝(x＋1,2)，其中x>0，若a∥b，则x的值为(　　)
A．8 B．4 C．2 D．0
5．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于(　　)
A. B. C．－ D．－
6．(2010·广东)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
7．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
8．设单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量3e1＋4e2与向量e1的夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
9．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b
10．已知点B为线段AC的中点，且A点坐标为(－3,1)，B点坐标为，则C点坐标为(　　)
A．(1，－3) B. C．(4,2) D．(－2,4)
11．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上求一点P，使·有最小值，则点P的坐标为(　　)
A．(－3,0) B．(2,0) C．(3,0) D．(4,0)
12．下列命题中正确的个数是(　　)
①若a与b为非零向量，且a∥b，则a＋b必与a或b的方向相同；
②若e为单位向量，且a∥e，则a＝|a|e； ③a·a·a＝|a|3；
④若a与b共线，又b与c共线，则a与c必共线；
⑤若平面内有四点A，B，C，D，则必有＋＝＋.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．已知a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(3，)，且a与b共线，θ∈[0,2π)，则θ＝________.
14．假设|a|＝2，b＝(－1,3)，若a⊥b，则a＝________.
15．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，那么a·b＝________.(其中i，j为夹角90°的单位向量)
16．(提高题)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.
(1)当m为何值时，c与d垂直？
(2)当m为何值时，c与d共线？
18．(12分) 如图所示，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上一点，PFCE是矩形，证明：.
19．(12分)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．
20．(12分)在直角坐标系中，已知＝(4，－4)，＝(5,1)，在方向上的射影数量为||，求的坐标．
21．(12分)在四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，判断四边形的形状．
22．(12分)已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：⊥；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．
必修4 第二章《平面向量》综合复习参考答案
1、答案　A
解析　对于①仅当a与b同向时成立．对于②左边|a－b|≥0，而右边可能≤0，∴不成立．对于③∵a2＝|a|2，∴a2>|a|2不成立．对于④当a⊥b时不成立，综上知，四个式子都是错误的．
2、答案　B
解析　在B中，a＝(4,10)＝－2(－2，－5)＝－2b，∴a与b方向相反．
3、答案　A
解析　易知△ABC为正三角形，·＝·cos120°＝－，应选A.
4、答案　B
解析　∵a∥b，∴(8＋x)×2－x(x＋1)＝0，即x2＝16，又x>0，∴x＝4.
5、答案　A
解析　M为BC的中点，得＋＝2＝，∴·(＋)＝2.
又∵＝2，∴||＝||＝. ∴2＝||2＝.
6、答案　C
解析　8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，c＝(3，x)， ∴(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝18＋3x.
又(8a－b)·c＝30，∴18＋3x＝30，x＝4.
7、答案　B
解析　依题意可设a＋2b＝λa(λ>0)，则b＝(λ－1)a，∴a·b＝(λ－1)a2＝(λ－1)×2＝λ－1>－1.
8、答案　D
解析　∵(3e1＋4e2)·e1＝3e＋4e1·e2＝3×12＋4×1×1×cos60°＝5，
|3e1＋4e2|2＝9e＋16e＋24e1·e2＝9×12＋16×12＋24×1×1×cos60°＝37.
∴|3e1＋4e2|＝. 设3e1＋4e2与e1的夹角为θ，则cosθ＝＝.
9、答案　B
解析　如右图所示，＝＋，
由题意知，DE：BE＝DF：BA＝1：3. ∴＝.
∴＝a＋b＋(a－b)＝a＋b.
10、答案　C
解析　设C(x，y)，则由＝，得＝，
∴?∴C(4,2)．
11、答案　C
解析　设＝(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，∴·＝(x－2)(x－4)－2×(－1)＝
x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，∴当x＝3时，·有最小值1，此时P(3,0)．
12、答案　A
解析　易知①②③④均错误，⑤正确，因为＋＝＋，∴－＝－，即＝，∴⑤正确．
13、答案　或π
解析　由a∥b，得2cosθ＝6sinθ，∵cosθ≠0，∴tanθ＝，又θ∈[0,2π)，∴θ＝或.
14、答案　(3，)或(－3，－)
解析　设a＝(x，y)，则有x2＋y2＝20.① 又a⊥b，∴a·b＝0，∴－x＋3y＝0.②
由①②解得x＝3，y＝，或x＝－3，y＝－，
∴a＝(3，)，或a＝(－3，－)．
15、答案　－63
解析　由得∴a＝(－3,4)，b＝(5，－12)．
∴a·b＝－3×5＋4×(－12)＝－63.
16、答案　－2
解析　∵等边△ABC的边长为2，
∴如下图建立直角坐标系．
∴＝(，－3)，＝(－，－3)．
∴＝＋＝.
∴＝＋＝(0,3)＋＝.
∴·＝·＝－＋＝－2.
17、解　(1)令c·d＝0，则(3a＋5b)·(ma－3b)＝0，
即3m|a|2－15|b|2＋(5m－9)a·b＝0，解得m＝. 故当m＝时，c⊥d.
(2)令c＝λd，则3a＋5b＝λ(ma－3b) 即(3－λm)a＋(5＋3λ)b＝0，
∵a，b不共线， ∴解得
故当m＝－时，c与d共线．
18、【解析】以点D为坐标原点，DC所在直线为轴建立如图所示坐标系，设正方形的边长为1，
，则，，，，
于是，，
∵
∴.
19、解　设D点坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)，
∵D在直线BC上，即与共线，∴存在实数λ，使＝λ，
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．
∴∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①
又∵AD⊥BC，∴·＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0.∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.②
由①②可得∴||＝ ＝，
即||＝，D(1,1)．
20、解　设点M的坐标为M(x，y)．∵在方向上的射影数量为||，
∴⊥，∴·＝0. 又＝(x，y)，＝(5－x,1－y)，
∴x(5－x)＋y(1－y)＝0.
又点O，M，A三点共线，∴∥. ∴＝.
∴解得
∴＝－＝(5－2,1＋2)＝(3,3)．
21、解　∵a＋b＋c＋d＝0，∴(a＋b)2＝(c＋d)2，∴a2＋2a·b＋b2＝c2＋2c·d＋d2.
∵a·b＝c·d，∴a2＋b2＝c2＋d2.① 同理a2＋d2＝b2＋c2.②
①②两式相减，得b2－d2＝d2－b2，
两式相加，得a2＝c2，
∴|b|＝|d|，|a|＝|c|. ∴四边形ABCD是平行四边形．
又a·b＝b·c，∴b·(a－c)＝0.∴b·2a＝0，即a·b＝0. ∴a⊥b，即AB⊥BC.
∴四边形ABCD是矩形．
22、解　(1)证明：A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，∴⊥.
(2)∵⊥，若四边形ABCD为矩形，则＝.
设C点的坐标为(x，y)，则有(1,1)＝(x＋1，y－4)，
∴∴∴点C的坐标为(0,5)．
由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，
∴·＝(－2)×(－4)＋4×2＝16，||＝2，|＝2.
设对角线AC与BD的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝>0.
故矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值为.