第三章《三角恒等变换》综合复习学案
文档属性
| 名称 | 第三章《三角恒等变换》综合复习学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-06-17 17:40:00 | ||
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文档简介
高一数学 必修4 第三章《三角恒等变换》综合复习
班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿
学习目标
能运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换，体会换元思想、方程思想在三角恒等变换中的作用。
利用公式的正用、逆用、变形、化简三角函数式，求某些角的三角函数值以及简单三角恒等式的证明。
学习过程
复习知识点
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式
降幂公式（余弦倍角公式变形式）
半角公式
5、辅助角公式
， ，
※ 典型例题
类型一：正用公式
例1．已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
例2．已知，是第二象限角，且，求的值.
类型二：逆用公式
例3．求值：
（1）；（2）；（3）；
类型三：变用公式
例4．求值：
（1）； （2）
例5．化简：
（1）； （2）
类型四：三角函数知识的综合应用
例6．已知函数的最小正周期为
（1）求的值；
（2）设，求的值．
例7．函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.
(1)求的值及函数的值域;
(2)求函数的单调区间.
（选讲）例8．设,其中
(1)求函数 的值域
(2)若在区间上为增函数,求 的最大值.
三、总结提升
三角式的化简、求值、证明是三角恒等变换的基本题型：
1．三角函数式的化简
（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等．（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．
2．三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．
3．三角等式的证明
（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；
（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明．
课后作业
1．若
B. C. D.
2．已知，，则等于 （ ）
A、 B、 C、 D、
3．已知，则的值是（ ）
A、1999 B、2000 C、2001 D、2002
4．已知，,则的值为（ ）
A、 B、1 C、 D、2
5．已知, ，则的值为（ ）
A、 B、 C、3 D、
6．若,,且是锐角，则等于（ ）
A、 B、 C、 D、
7. 若,，则的值为（ ）
A、1 B、 C、 D、
8．已知, 则的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
9．的值为＿ ＿．
10．已知，，，则____.
11．函数的图象如图所示，则的值等于 .
12．定义一种运算令且，
则函数的最大值是______.
13．条件求值：
（1）已知
（2）已知，（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的值.
14．已知
（1）求的值； （2）求的值．
15．已知函数,.
(Ⅰ)求函数的最小正周期; (Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.
必修4 第三章《三角恒等变换》综合复习参考答案
例1、解：（1）得，
（2）得
==
例2、解：由且是第二象限角，得，
∵，
∴.
例3、解：（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式．
例4、（1）原式
.
（2）原式=
例5、（1）原式
=
（2）原式=；
例6、解：（1）由得
（2）由（1）知
∵
∴，
∵ ∴，
∴
例7、(1)由已知可得:=3cosωx+
又由于正三角形ABC的高为2,则BC=4
所以,函数
所以,函数
(2)因为(Ⅰ)有
由x0 所以,
故
例8、 (1)
因,所以函数的值域为
(2)因在每个闭区间上为增函数,故在每个闭区间上为增函数.
依题意知对某个成立,此时必有,于是
,解得,故的最大值为.
课后作业参考答案
1．【答案】A 【解析】由
∴
2．【答案】 A
3．【答案】C 【解析】
=＝2001
4．【答案】B 【解析】注意角的特点：
5．【答案】D 【解析】易知,利用可求．
6．【答案】A 【解析】∵都是锐角，∴,
又,利用易求．
7．【答案】C 【解析】需要先求出k的值，再求出的值．
8．【答案】C 【解析】=．由已知求再求,代入即可．
9．【答案】
【解析】
10．【答案】
11．【答案】
【解析】由图知，，，所以周期，又，所以，所以，即，所以，所以，
又，
所以.
12．【答案】
【解析】令，则
∴由运算定义可知，
∴当，即时，该函数取得最大值. 由图象变换可知，
所求函数的最大值与函数在区间上的最大值相同.
13．【解析】（1）由已知得
∴ ①
由已知得，，∴，即
∴tan，∴由①得
∴＝
＝＝
(2) (ⅰ)由已知得，由此解得
(ⅱ)利用(ⅰ)的结果，原式＝
14．【解析】（1）对于 ，两边平方得
∴
∵，∴cosx＞0，sinx＜0 ∴sinx－cosx<0，∴sinx－cosx＝－
（2）====
15．【解析】
所以,的最小正周期.
(2)因为在区间上是增函数,在区间上是减函数,
又,,
故函数在区间上的最大值为,最小值为.
班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿
学习目标
能运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换，体会换元思想、方程思想在三角恒等变换中的作用。
利用公式的正用、逆用、变形、化简三角函数式，求某些角的三角函数值以及简单三角恒等式的证明。
学习过程
复习知识点
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式
降幂公式（余弦倍角公式变形式）
半角公式
5、辅助角公式
， ，
※ 典型例题
类型一：正用公式
例1．已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
例2．已知，是第二象限角，且，求的值.
类型二：逆用公式
例3．求值：
（1）；（2）；（3）；
类型三：变用公式
例4．求值：
（1）； （2）
例5．化简：
（1）； （2）
类型四：三角函数知识的综合应用
例6．已知函数的最小正周期为
（1）求的值；
（2）设，求的值．
例7．函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.
(1)求的值及函数的值域;
(2)求函数的单调区间.
（选讲）例8．设,其中
(1)求函数 的值域
(2)若在区间上为增函数,求 的最大值.
三、总结提升
三角式的化简、求值、证明是三角恒等变换的基本题型：
1．三角函数式的化简
（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等．（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．
2．三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．
3．三角等式的证明
（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；
（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明．
课后作业
1．若
B. C. D.
2．已知，，则等于 （ ）
A、 B、 C、 D、
3．已知，则的值是（ ）
A、1999 B、2000 C、2001 D、2002
4．已知，,则的值为（ ）
A、 B、1 C、 D、2
5．已知, ，则的值为（ ）
A、 B、 C、3 D、
6．若,,且是锐角，则等于（ ）
A、 B、 C、 D、
7. 若,，则的值为（ ）
A、1 B、 C、 D、
8．已知, 则的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
9．的值为＿ ＿．
10．已知，，，则____.
11．函数的图象如图所示，则的值等于 .
12．定义一种运算令且，
则函数的最大值是______.
13．条件求值：
（1）已知
（2）已知，（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的值.
14．已知
（1）求的值； （2）求的值．
15．已知函数,.
(Ⅰ)求函数的最小正周期; (Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.
必修4 第三章《三角恒等变换》综合复习参考答案
例1、解：（1）得，
（2）得
==
例2、解：由且是第二象限角，得，
∵，
∴.
例3、解：（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式．
例4、（1）原式
.
（2）原式=
例5、（1）原式
=
（2）原式=；
例6、解：（1）由得
（2）由（1）知
∵
∴，
∵ ∴，
∴
例7、(1)由已知可得:=3cosωx+
又由于正三角形ABC的高为2,则BC=4
所以,函数
所以,函数
(2)因为(Ⅰ)有
由x0 所以,
故
例8、 (1)
因,所以函数的值域为
(2)因在每个闭区间上为增函数,故在每个闭区间上为增函数.
依题意知对某个成立,此时必有,于是
,解得,故的最大值为.
课后作业参考答案
1．【答案】A 【解析】由
∴
2．【答案】 A
3．【答案】C 【解析】
=＝2001
4．【答案】B 【解析】注意角的特点：
5．【答案】D 【解析】易知,利用可求．
6．【答案】A 【解析】∵都是锐角，∴,
又,利用易求．
7．【答案】C 【解析】需要先求出k的值，再求出的值．
8．【答案】C 【解析】=．由已知求再求,代入即可．
9．【答案】
【解析】
10．【答案】
11．【答案】
【解析】由图知，，，所以周期，又，所以，所以，即，所以，所以，
又，
所以.
12．【答案】
【解析】令，则
∴由运算定义可知，
∴当，即时，该函数取得最大值. 由图象变换可知，
所求函数的最大值与函数在区间上的最大值相同.
13．【解析】（1）由已知得
∴ ①
由已知得，，∴，即
∴tan，∴由①得
∴＝
＝＝
(2) (ⅰ)由已知得，由此解得
(ⅱ)利用(ⅰ)的结果，原式＝
14．【解析】（1）对于 ，两边平方得
∴
∵，∴cosx＞0，sinx＜0 ∴sinx－cosx<0，∴sinx－cosx＝－
（2）====
15．【解析】
所以,的最小正周期.
(2)因为在区间上是增函数,在区间上是减函数,
又,,
故函数在区间上的最大值为,最小值为.