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《22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质》导学案
课题 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 让学生经历二次函数y (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝a(x－h)2+k性质探究的过程 理解函数y＝a(x－h)2+k的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系
重点难点 重点： 二次函数y＝a(x－h)2+k的性质难点： 会用二次函数y＝a(x－h)2+k的性质解决问题
教学过程
知识链接 说出下列函数的平移方式，并指出其顶点与对称轴。 y=ax2如何平移得到y=ax2+k y=ax2如何平移得到y=a(x-h)2
合作探究 活动1、画出函数 的图象.指出它的开口方向、顶点与对称轴①列表②描点 ③连线 ★你还有其他的平移方法吗？学生画出图像，并讨论图像有什么特点：●归纳：1．抛物线y＝a(x－h)2+k(这种表达式称为顶点式）有如下特点： （1）当a>0时，开口_____________，当a<0时，开口_____________．（2）对称轴是直线_____________．（3）顶点坐标是_____________． 2．一般地，抛物线y＝a(x－h)2+k与y＝ax2的形状_____________，位置_____________；把抛物线 y＝ax2 向_____________向_____________平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2+k平移的方向、距离要根据________、_______的值来决定 思考：通过前面两节课的学习，你能概括一下y＝ax2、y＝ax2+k、y=a(x-h)2、y＝a(x－h)2+k之间的平移规律吗？ 例1、把二次函数y=a(x+h)2+k的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=-(x+1)2-1的图像 （1）试确定a,h,k的值 （2）指出二次函数y=a(x+h)2+k（a≠0）图像的开口方向、对称轴、顶点坐标 例2、要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
自主尝试 完成下列表格:
当堂检测 1.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是___________________. 2.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如下左图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( ) 3.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到 y=-3x2 . 答：先向左平移一个单位，再向下平移两个单位. 4.对于抛物线y=-2(x+1)2+5下列说法正确的有：（ ）①开口向下，②当x＞-1时y随x增大而减小，③顶点坐标是（-1，5）④对称轴是直线x=1 A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的解析式. 6.小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y=x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( )A.3.5 m B.4 m C.4.5 m D.4.6 m 7.如图所示，已知一个大门呈抛物线型，其地面宽度AB=18m，一个同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好定在抛物线形门上C处，请你求出大门的高h的值. 8.安利公司今年推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系，（即前t个月的利润总和s和t之间的关系）根据图像提供的信息，解答下列问题。 （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
小结反思 本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对函数图象的讨论,分析归纳出的性质: （1）a的符号决定抛物线的开口方向（2）对称轴是直线x=h(3)顶点坐标是(h,k) (3)顶点坐标是(h,k)
观察图象可得：
抛物线 QUOTE
的开口方向 ，
对称轴是 ，
顶点坐标是 ；
当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小．
抛物线 QUOTE 可以看成是抛物线 QUOTE 向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到．
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《22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质》导学案
课题 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 让学生经历二次函数y (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝a(x－h)2+k性质探究的过程 理解函数y＝a(x－h)2+k的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系
重点难点 重点： 二次函数y＝a(x－h)2+k的性质难点： 会用二次函数y＝a(x－h)2+k的性质解决问题
教学过程
知识链接 说出下列函数的平移方式，并指出其顶点与对称轴。 y=ax2如何平移得到y=ax2+k y=ax2如何平移得到y=a(x-h)2 问题：顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？今天我们一起来学习！
合作探究 活动1、画出函数 的图象.指出它的开口方向、顶点与对称轴①列表②描点 ③连线 ★你还有其他的平移方法吗？学生画出图像，并讨论图像有什么特点：●归纳：1．抛物线y＝a(x－h)2+k(这种表达式称为顶点式）有如下特点： （1）当a>0时，开口_____________，当a<0时，开口_____________．（2）对称轴是直线_____________．（3）顶点坐标是_____________． 2．一般地，抛物线y＝a(x－h)2+k与y＝ax2的形状_____________，位置_____________；把抛物线 y＝ax2 向_____________向_____________平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2+k,平移的方向、距离要根据________、_______的值来决定 答案：1.向上、向下、x=h、（h,k） 2.相同、不同、左右、上下、h、k记住这些特点，并能运用这些特点去完成下列题目． 思考：通过前面两节课的学习，你能概括一下y＝ax2、y＝ax2+k、y=a(x-h)2、y＝a(x－h)2+k之间的平移规律吗？学生自己概述、教师总结，并且强调：上述抛物线形状相同、知识位置不同。平移的方法并不是唯一的。例1、把二次函数y=a(x+h)2+k的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=-(x+1)2-1的图像 （1）试确定a,h,k的值 （2）指出二次函数y=a(x+h)2+k（a≠0）图像的开口方向、对称轴、顶点坐标解：（1）a=-,h=-1,k=5 它的开口向下，对称轴是直线x=1,顶点坐标（1，-5）例2、要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?解:如图建立直角坐标系, 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) ∴ 0=a(3－1)2＋3解得a=-因此抛物线的解析式为:y=-(x－1)2＋3当x=0时,y=2.25
自主尝试 完成下列表格:答案：向上、直线x=-3、（-3,5） 向下、直线x=1、（1，-2） 向上、直线x=3、（3,7） 向下、直线x=2、（2，-6）
当堂检测 1.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是___________________. 答案：y=-3(x-1)2+22.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如下左图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( )A 3.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到 y=-3x2 . 答：先向左平移一个单位，再向下平移两个单位. 4.对于抛物线y=-2(x+1)2+5下列说法正确的有：（ ）C①开口向下，②当x＞-1时y随x增大而减小，③顶点坐标是（-1，5）④对称轴是直线x=1 A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的解析式. y=5(x+1)2+36.小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y=x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( )BA.3.5 m B.4 m C.4.5 m D.4.6 m 7.如图所示，已知一个大门呈抛物线型，其地面宽度AB=18m，一个同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好定在抛物线形门上C处，请你求出大门的高h的值.答案：h=8.1 8.安利公司今年推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系，（即前t个月的利润总和s和t之间的关系）根据图像提供的信息，解答下列问题。 （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？答案：(1)s= (2)当s=30,解得t=10或t=-6（舍） （3）当t=8时，s=5.5万
小结反思 本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对函数图象的讨论,分析归纳出的性质: （1）a的符号决定抛物线的开口方向（2）对称轴是直线x=h(3)顶点坐标是(h,k) (3)顶点坐标是(h,k)
观察图象可得：
抛物线 QUOTE
的开口方向 ，
对称轴是 ，
顶点坐标是 ；
当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小．
抛物线 QUOTE 可以看成是抛物线 QUOTE 向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到．
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22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质
人教版 九年级上
新知导入
y=ax2
y=a(x-h)2
y=ax2+k
y=ax2
k>0
k<0
上移
下移
左加
右减
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。
新知讲解
活动1、画出函数 的图象.指出它的开口方向、顶点与对称轴。
解: 先列表
再描点
后连线.
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
… …
新知讲解
直线x=－1
解: 先列表
再描点、连线
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
抛物线
的开口向下,
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, －1).
新知讲解
向左平移1个单位
向下平移1个单位
向左平移1个单位
向下平移1个单位
平移方法1:
平移方法2:
x=－1
新知讲解
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
向左(右)平移|h|个单位
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2
y=a(x－h)2
y=a(x－h)2+k
y=ax2
y=a(x－h)2+k
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2+k
向左(右)平移|h|个单位
平移方法:
新知讲解
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时，开口向下;
(2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
这种表达式称为顶点式！
新知讲解
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
y = a( x - h )2 + k
上下平移
|k|个单位
左右平移
|h|个单位
上下平移
|k|个单位
左右平移
|h|个单位
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同。
各种形式的二次函数的关系
巩固练习
向上
( 1 , －2 )
向下
向下
( 3 , 7)
( 2 , －6 )
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(－3, 5 )
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
例题讲解
巩固练习
1.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是___________________.
3.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到 y=-3x2 .
答：先向左平移一个单位，再向下平移两个单位.
2.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如下左图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( )
A
巩固练习
5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的解析式.
y=a(x-h)2+k
y=5(x+1)2+3
4.对于抛物线y=-2(x+1)2+5下列说法正确的有：（ ）
①开口向下，②当x＞-1时y随x增大而减小，③顶点坐标是（-1，5）④对称轴是直线x=1
A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
新知讲解
C(3,0)
B(1，3)
例2、要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
A
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是
∵这段抛物线经过点(3,0)
∴ 0=a(3－1)2＋3
解得:
因此抛物线的解析式为:
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3)
当x=0时,y=2.25
答:水管长应为2.25m.
巩固练习
1、小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y= x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( )
A.3.5 m B.4 m C.4.5 m D.4.6 m
B
解析：由图可以知道，小敏与篮底的距离就是AB.因为AB=OA+OB,OA=2.5m，所以要求OB即可，而OB就是篮圈中心的横坐标，设为a，则篮圈中心的坐标就是（a，3.5），点在抛物线上，即：3.5= a2+3.5，整理得：a2=2.25,即a=±1.5,a=-1.5（舍去），故a=1.5，因此AB=4.
巩固练习
2、如图所示，已知一个大门呈抛物线型，其地面宽度AB=18m，一个同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好定在抛物线形门上C处，请你求出大门的高h的值.
巩固练习
巩固练习
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
巩固练习
巩固练习
课堂总结
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对函数图象的讨论,分析归纳出 的性质:
(1)a的符号决定抛物线的开口方向
(2)对称轴是直线x=h
(3)顶点坐标是(h,k)
开口向上
开口向上
开口向上
直线X=0
直线X=h
直线X=h
(0,k)
(h,0)
(h,k)
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
作业布置
教材37页练习题
谢谢
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