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《22.1.3二次函数y=ax2+k的图像和性质》导学案
课题 二次函数y=ax2+k的图像和性质 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1、会用描点法画y=ax2+k的图像2、理解y=ax2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标3、理解抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的位置关系。
重点难点 重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象，理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解函数y＝ax2＋k与函数y＝ax2的相互关系。 难点： 正确理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的关系。
教学过程
知识链接 1、 二次函数y=ax?的图象及其特点？ 2、二次函数y＝2x2的图象 (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。
合作探究 活动1、在同一直角坐标系中,画出二次函数y=2x2+1和y=2x2－1的图像,然后回答下列问题：(1)观察图像回答：抛物线y=2x2+1,y=2x2－1的开口方向、对称轴、顶点各是什么? （2）观察图像回答，抛物线y=2x2+1,y=2x2－1与抛物线y=2x2的异同点: 活动2、用类比的方法讨论y=-x2+3、y=-x2和y=-x2－2顶点、对称轴、位置关系。 通过上述活动，总结抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2在位置上有什么关系？它们的性质有什么区别和联系？●归纳：平移的规律：1、若k>0，将抛物线y=ax2向上平移k个单位，那么它的解析式为____________,向下平移k个单位，那么它的解析式为_____________.（记为：上加下减）2、性质：①当a>0时，抛物线y=ax2+k的开口_______ ，对称轴是_______ ，顶点坐标是_______，在对称轴的左侧，y随x的增大而_______，在对称轴的右侧,y随x的增大而_______，当x=_______时，取得最_______值，这个值等于_______； ②当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口_______ ，对称轴是_______ ，顶点坐标是 _______ ，在对称轴的左侧，y随x的增大而_______ ，在对称轴的右侧,y随x的增大而_______，当x= _______时，取得最_______ 值，这个值等于_______。例、已知抛物线y=x2，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若⊿ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？
自主尝试 活动1后练习：1、在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.你能说出抛物线 的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线有什么关系？ 2、把抛物线y=2x2+1向上平移5个单位,会得到那条抛物线?向下平移3.4个单位呢? 活动2 后练习：1、函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向 ______平移______个单位得到；y=4x2-11的图象可由 y=4x2的图象向______平移______个单位得到。 2、将函数y=-3x2+4的图象向______平移______个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向______平移______个单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象 向______平移______个单位可得到 y=x2+2的图象。 3、将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是__________________。 将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是__________________。4、抛物线y= ?2x2+3的顶点坐标是________,对称轴是________，在___ 侧，y随着x的增大而增大；在________侧，y随着x的增大而减小，当x= _____ 时，函数y的值最大，最大值是________ ,它是由抛物线y= ?2x2线怎样平移得到的__________. 5、抛物线 y=x?-5 的顶点坐标是_______，对称轴是____,在对称轴的左侧，y随着x的增大而________；在对称轴的右侧，y随着x的增大而________ ，当x=____时，函数y的值最___，最小值是________
1、将抛物线 y=-x2向下平移多少个单位可以经过（3，-14）？并求出这时抛物线的解析式. 2、写出一个顶点坐标是（0，-3），开口方向与抛物线 y= -x2的方向相反，形状相同的抛物线解析式：__________. 3、已知抛物线y＝2x2－1上有两点（a, m）（b, n）,且a n B、m = n C、m < n D、不能确定 变式1：若a>b>0，其他条件不变，则m与n的大小关系为（ ）变式2：若a|x1|, |x3|>|x4|,则 ( )A.y1>y2>y3>y4 B.y2>y1>y3>y4C.y3>y2>y4>y1 D.y4>y2>y3>y1
小结反思 1、你对抛物线y=ax2+k有何新的认识？ 2、你能从静态的图像观点说明二次函数y=ax2与y=ax2+k的性质的区别和联系吗？你还能从动态的平移观点说明他们的区别和联系吗？
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《22.1.3二次函数y=ax2+k的图像和性质》导学案
课题 二次函数y=ax2+k的图像和性质 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1、使学生会用描点法画y=ax2+k的图像2、使学生理解y=ax2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标3、使学生理解抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的位置关系。
重点难点 重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象，理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解函数y＝ax2＋k与函数y＝ax2的相互关系。 难点： 正确理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的关系。
教学过程
知识链接 1、 二次函数y=ax?的图象及其特点？ 2、二次函数y＝2x2的图象 (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。 同一直角坐标系下y=ax2与y=ax2+k有什么区别和联系？今天这节课我们一起来学习探索！
合作探究 活动1、在同一直角坐标系中,画出二次函数y=2x2+1和y=2x2－1的图像,然后回答下列问题：观察图像回答：抛物线y=2x2+1,y=2x2－1的开口方向、对称轴、顶点各是什么? 抛物线y=2x2+1: 开口向上、对称轴是y轴,、顶点为(0,1).抛物线y=2x2－1： 开口向上,对称轴是y轴,顶点为(0, －1).（2）观察图像回答，抛物线y=2x2+1,y=2x2－1与抛物线y=2x2的异同点: 相同点：①形状大小相同②开口方向相同③对称轴相同不同点：顶点的位置不同，抛物线的位置也不同． y=2x2向上平移1个单位抛物线 y=2x2+1y=2x2向下平移1个单位抛物线 y=2x2-1活动2、用类比的方法讨论y=-x2+3、y=-x2和y=-x2－2顶点、对称轴、位置关系。 (1)函数y=-x2+3的图象顶点（0，3），对称轴是y轴可由y=-x2的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到.(2)函数y=-x2-2的图象顶点（0，-2），对称轴是y轴可由y=-x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到. 通过上述活动，总结抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2在位置上有什么关系？它们的性质有什么区别和联系？●归纳：平移的规律：1、若k>0，将抛物线y=ax2向上平移k个单位，那么它的解析式为____________,向下平移k个单位，那么它的解析式为_____________.（记为：上加下减）2、性质：①当a>0时，抛物线y=ax2+k的开口_______ ，对称轴是_______ ，顶点坐标是_______，在对称轴的左侧，y随x的增大而_______，在对称轴的右侧,y随x的增大而_______，当x=_______时，取得最_______值，这个值等于_______； ②当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口_______ ，对称轴是_______ ，顶点坐标是 _______ ，在对称轴的左侧，y随x的增大而_______ ，在对称轴的右侧,y随x的增大而_______，当x= _______时，取得最_______ 值，这个值等于_______。 答案：①向上、y轴、（0，k）、减小、增大、0、小、k②向下、y轴、增大、增大、0、大、k例、已知抛物线y=x2，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若⊿ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？解：原抛物线应向下平移2个单位，理由如下： 设向下平移b个单位，则抛物线的解析式为：y=x2-b A（，0），B（，0），C（0，-b）， ∵△ABC是直角三角形 ∴OB=OC=OA，即=b，解得b=2， ∴若△ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下平移2个单位．
自主尝试 活动1后练习：1、在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.你能说出抛物线 的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线有什么关系？答案：它们开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标分别是：（0,0）、（0,2）、（0，-2）2、把抛物线y=2x2+1向上平移5个单位,会得到那条抛物线?向下平移3.4个单位呢? (1)得到抛物线y=2x2+6 (2)得到抛物线y=2x2－2.4活动2 后练习：1、函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向 ______平移______个单位得到；y=4x2-11的图象可由 y=4x2的图象向______平移______个单位得到。 2、将函数y=-3x2+4的图象向______平移______个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向______平移______个单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象 向______平移______个单位可得到 y=x2+2的图象。 3、将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是__________________。 将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是__________________。4、抛物线y= ?2x2+3的顶点坐标是________,对称轴是________，在___ 侧，y随着x的增大而增大；在________侧，y随着x的增大而减小，当x= _____ 时，函数y的值最大，最大值是________ ,它是由抛物线y= ?2x2线怎样平移得到的__________. 5、抛物线 y=x?-5 的顶点坐标是_______，对称轴是____,在对称轴的左侧，y随着x的增大而________；在对称轴的右侧，y随着x的增大而________ ，当x=____时，函数y的值最___，最小值是________ 答案：1.上、5 、下、11 下、4、上、7、上、9y=4x2+3、y=-5x2-4 4.（0，3）、y轴、y轴左侧、右、0、3、向上平移3个单位 5.（0，-5）、y轴、减小、增大、0、小、-5
当堂检测 1、将抛物线 y=-x2向下平移多少个单位可以经过（3，-14）？并求出这时抛物线的解析式. 答案：向下平移5个单位，解析式为y= -x2-5. 2、写出一个顶点坐标是（0，-3），开口方向与抛物线 y= -x2的方向相反，形状相同的抛物线解析式：__________.答案：y = x2-3 3、已知抛物线y＝2x2－1上有两点（a, m）（b, n）,且a n B、m = n C、m < n D、不能确定 变式1：若a>b>0，其他条件不变，则m与n的大小关系为（ ）A变式2：若a|x1|, |x3|>|x4|,则 ( )BA.y1>y2>y3>y4 B.y2>y1>y3>y4C.y3>y2>y4>y1 D.y4>y2>y3>y1
小结反思 1、你对抛物线y=ax2+k有何新的认识？ 2、你能从静态的图像观点说明二次函数y=ax2与y=ax2+k的性质的区别和联系吗？你还能从动态的平移观点说明他们的区别和联系吗？
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22.1.3二次函数y=ax2+k的图像和性质
人教版 九年级上
新知导入
二次函数y=ax?的图象及其特点？
1、顶点坐标？
（0，0）
2、对称轴？
y轴（直线x=0）
3、图象具有以下特点：
一般地，二次函数y=ax? （ a≠0 ）的图象是一条抛物线；
当a>0 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；
抛物线在x轴的上方（除顶点外）。
当a<0 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
抛物线在x轴的下方（除顶点外）
同一直角坐标系下
y=ax2与y=ax2+k有
什么区别和联系？
新知讲解
活动1、在同一直角坐标系中,画出二次函数y=2x2+1和y=2x2－1的图像
解: 列表
描点
连线
（1）观察图像回答：抛物线y=2x2+1,y=2x2－1的开口方向、对称轴、顶点各是什么?
（1）抛物线y=2x2+1:
开口向上,
顶点为(0,1).
对称轴是y轴,
抛物线y=2x2－1:
开口向上,
顶点为(0, －1).
对称轴是y轴,
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=2x2+1
y=2x2-1
… 19 9 3 1 3 9 19 …
… 17 7 1 -1 1 7 17 …
新知讲解
（2）观察图像回答，抛物线y=2x2+1,y=2x2－1与抛物线y=2x2的异同点:
y=2x2+1
抛物线y=2x2
抛物线 y=2x2－1
向上平移
1个单位
抛物线y=2x2
向下平移
1个单位
y=2x2－1
y=2x2
抛物线 y=2x2+1
相同点：
①形状大小相同
②开口方向相同
③对称轴相同
不同点：
顶点的位置不同，抛物线的位置也不同．
●
●
●
巩固练习
1、在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
巩固练习
向上
向上
向上
向上
（0,0）
（0,2）
（0，-2）
（0，k）
y轴
y轴
y轴
y轴
开口方向 顶点 对称轴
巩固练习
2、把抛物线y=2x2+1向上平移5个单位,会得到那条抛物线?向下平移3.4个单位呢?
(1)得到抛物线y=2x2+6
(2)得到抛物线y=2x2－2.4
新知讲解
y=-x2-2
y=-x2+3
y=-x2
函数y=-x2-2的图象顶点（0，-2），对称轴是y轴可由y=-x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.
函数y=-x2+3的图象顶点（0，3），对称轴是y轴可由y=-x2的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到.
活动2、用类比的方法讨论y=-x2+3、y=-x2和y=-x2－2顶点、对称轴、位置关系。
新知讲解
若k>0，将抛物线y=ax2向上平移k个单位，那么它的解析式为____________,向下平移k个单位，那么它的解析式为_____________.
y=ax2+k
y=ax2-k
抛物线之间的平移规律：
抛物线 y=ax2
抛物线 y=ax2-k
向上平移
k(k>0)个单位
抛物线 y=ax2
向下平移
k(k>0)个单位
抛物线 y=ax2+k
归纳：
抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系？
上加下减
新知讲解
当a>0时，抛物线y=ax2+k的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 ；
当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 。
y=-x2-2
y=-x2+3
y=-x2
y=x2-2
y=x2+1
y=x2
向上
y轴
(0,k)
减小
增大
0
小
k
向下
y轴
(0,k)
增大
减小
0
大
k
归纳：
巩固练习
1、函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向 平移 个单位得到；y=4x2-11的图象可由 y=4x2的图象向 平移 个单位得到。
3、将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是 。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 。
2、将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 平移 个单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象
向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图象。
上
5
下
11
下
4
上
7
上
9
y=4x2+3
y=-5x2-4
巩固练习
4、抛物线y= ?2x2+3的顶点坐标是 ,对称轴是 ，在___ 侧，y随着x的增大而增大；在___ 侧，y随着x的增大而减小，当x= _____ 时，函数y的值最大，最大值是 ,它是由抛物线y= ?2x2线怎样平移得到的__________.
（0，3）
y轴
y轴左
右
0
3
向上平移3个单位
（0，-5）
y轴
减小
增大
0
小
-5
例题讲解
例、已知抛物线 ，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若⊿ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？
巩固练习
1、将抛物线 y=-x2向下平移多少个单位可以经过（3，-14）？并求出这时抛物线的解析式.
答案：向下平移5个单位，
解析式为y= -x2-5.
2、写出一个顶点坐标是（0，-3），开口方向与抛物线 y= -x2的方向相反，形状相同的抛物线解析式：__________.
y = x2-3
3、已知抛物线y＝2x2－1上有两点（a, m）
（b, n）,且aA、m > n B、m = n C、m < n D、不能确定
A
A
D
变式1：若a>b>0，其他条件不变，
则m与n的大小关系为（ ）
变式2：若a 则m与n的大小关系为（ ）
巩固练习
4、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（ ）
B
巩固练习
巩固练习
5、已知二次函数y=ax2+k ，当x取x1,x2(x1≠x2,
x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等，
则当x取x1+x2时，函数值为 （ ）
A. a+k B. a-k C. 0 D. k
D
巩固练习
6、已知二次函数y=3x2+4,点A(x1,y1), B(x2,y2),
C(x3,y3), D(x4,y4)在其图象上,且x2< x4<0,
0|x1|, |x3|>|x4|, 则 ( )
x1
x2
x3
x4
y1
y4
y3
y2
A.y1>y2>y3>y4
B.y2>y1>y3>y4
C.y3>y2>y4>y1
D.y4>y2>y3>y1
B
课堂总结
二次函数y=ax2+k的图象特征和性质
向上
向下
关于y轴对称
X<0时，y随x的增大而增大
X>0时，y随x的增大而减小
X<0时，y随x的增大而减小
X>0时，y随x的增大而增大
(0,k)
y＝ax2+k a>0 a<0
图象
开口
对称性
顶点
增减性
作业布置
教材33页练习题
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