第五章 分式与分式方程单元检测题（含解析）

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第五章《分式与分式方程》检测题
评卷人 得 分

一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
3．（3分）下列运算错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：

接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
5．（3分）已知x+＝6，则x2+＝（　　）
A．38 B．36 C．34 D．32
6．（3分）已知＝3，则代数式的值是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）若x＝4是分式方程＝的根，则a的值为（　　）
A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4
8．（3分）关于x的分式方程＝1的解为负数，则a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a＜1 C．a＜1且a≠﹣2 D．a＞1且a≠2
9．（3分）若分式方程+＝有增根，则实数a的取值是（　　）
A．0或2 B．4 C．8 D．4或8
10．（3分）解分式方程﹣3＝时，去分母可得（　　）
A．1﹣3（x﹣2）＝4 B．1﹣3（x﹣2）＝﹣4
C．﹣1﹣3（2﹣x）＝﹣4 D．1﹣3（2﹣x）＝4
11．（3分）甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，骑自行车前往C地．已知A，C两地的距离为60km，B，C两地的距离为50km，甲骑行的平均速度比乙快3km/h，两人同时到达C地．设乙骑行的平均速度为xkm/h，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
12．（3分）如图，y1，y2分别表示燃油汽车和纯电动汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知纯电动汽车每千米所需的费用比燃油汽车每千米所需费用少0.54元，设纯电动汽车每千米所需费用为x元，可列方程为（　　）

A． B．
C． D．
评卷人 得 分

二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）已知m+n＝3mn，则+的值为　 　．
14．（4分）已知＝+，则实数A＝　 　．
15．（4分）若关于x的方程+＝无解，则m的值为　 　．
16．（4分）已知关于x的分式方程﹣2＝有一个正数解，则k的取值范围为　 　．
17．（4分）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如max{﹣3，4}＝4，按照这个规定，方程max{x，﹣x}＝的解为　 　．
18．（4分）A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程　 　．
评卷人 得 分

三．解答题（共9小题，满分60分）
19．（15分）解分式方程：
（1）+1＝．
（2）﹣1＝．
（3）﹣＝1．
20．（10分）化简：
（1）?．
（2）﹣．
21．先化简，再求值：
（1）（7分）（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．
（2）（8分）（﹣）÷（﹣）?（++2），其中+（n﹣3）2＝0．
22．（10分）俄罗斯足球世界杯点燃了同学们对足球运动的热情，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球供学生使用．已知用1000元购买甲种足球的数量和用1600元购买乙种足球的数量相同，甲种足球的单价比乙种足球的单价少30元．
（1）求甲、乙两种品牌的足球的单价各是多少元？
（2）学校准备一次性购买甲、乙两种品牌的足球共25个，但总费用不超过1610元，那么这所学校最多购买多少个乙种品牌的足球？
23．（10分）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：
（1）大巴与小车的平均速度各是多少？
（2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？


答案与解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案．
【解答】解：根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，
A、，错误；
B、，错误；
C、，错误；
D、，正确；
故选：D．
2．【分析】根据分式为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
【解答】解：∵分式的值为零，
∴，解得x＝1．
故选：B．
3．【分析】根据分式的基本性质作答，分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，即可得出答案．
【解答】解：A、＝＝1，故本选项正确；
B、＝＝﹣1，故本选项正确；
C、＝，故本选项正确；
D、＝﹣，故本选项错误；
故选：D．
4．【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．
【解答】解：∵÷
＝?
＝?
＝?
＝
＝，
∴出现错误是在乙和丁，
故选：D．
5．【分析】把x+＝6两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求．
【解答】解：把x+＝6两边平方得：（x+）2＝x2++2＝36，
则x2+＝34，
故选：C．
6．【分析】由＝3得出＝3，即x﹣y＝﹣3xy，整体代入原式＝，计算可得．
【解答】解：∵＝3，
∴＝3，
∴x﹣y＝﹣3xy，
则原式＝
＝
＝
＝，
故选：D．
7．【分析】把x＝4代入分式方程，得到关于a的一元一次方程，通过解新方程求得a的值．
【解答】解：将x＝4代入分式方程可得：＝，
化简得＝1，
解得a＝6．
故选：A．
8．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围．
【解答】解：分式方程去分母得：x+1＝2x+a，即x＝1﹣a，
根据分式方程解为负数，得到1﹣a＜0，且1﹣a≠﹣1，
解得：a＞1且a≠2．
故选：D．
9．【分析】先把分式方程化为整式方程，确定分式方程的增根，代入计算即可．
【解答】解：方程两边同乘x（x﹣2），得3x﹣a+x＝2（x﹣2），
由题意得，分式方程的增根为0或2，
当x＝0时，﹣a＝﹣4，
解得，a＝4，
当x＝2时，6﹣a+2＝0，
解得，a＝8，
故选：D．
10．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．
【解答】解：去分母得：1﹣3（x﹣2）＝﹣4，
故选：B．
11．【分析】设乙骑行的平均速度为xkm/h，则甲骑行的平均速度为（x+3）km/h，根据时间＝路程÷速度结合甲、乙所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设乙骑行的平均速度为xkm/h，则甲骑行的平均速度为（x+3）km/h，
依题意，得：＝．
故选：A．
12．【分析】设纯电动汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为（x+0.54）元，根据路程＝总费用÷每千米所需费用结合路程相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设纯电动汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为（x+0.54）元，
根据题意得：＝．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．【分析】原式通分后可得出，代入m+n＝3mn即可求出结论．
【解答】解：原式＝+＝，
又∵m+n＝3mn，
∴原式＝＝3．
故答案为：3．
14．【分析】先计算出+＝，再根据已知等式得出A、B的方程组，解之可得．
【解答】解：+
＝+
＝，
∵＝+，
∴，
解得：，
故答案为：1．
15．【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案．
【解答】解：去分母得：x+4+m（x﹣4）＝m+3，
可得：（m+1）x＝5m﹣1，
当m+1＝0时，一元一次方程无解，
此时m＝﹣1，
当m+1≠0时，
则x＝＝±4，
解得：m＝5或﹣，
综上所述：m＝﹣1或5或﹣，
故答案为：﹣1或5或﹣．
16．【分析】根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零．
【解答】解；﹣2＝，
方程两边都乘以（x﹣3），得
x＝2（x﹣3）+k，
解得x＝6﹣k≠3，
关于x的方程程﹣2＝有一个正数解，
∴x＝6﹣k＞0，
k＜6，且k≠3，
∴k的取值范围是k＜6且k≠3．
故答案为：k＜6且k≠3．
17．【分析】分x＞﹣x和x＜﹣x，依据新定义列出关于x的分式方程，解之可得x的值．
【解答】解：①若x＞﹣x，即x＞0，则x＝，即x2﹣3x﹣2＝0，
解得：x＝（负值舍去），
经检验：x＝是原分式方程的解；
②若x＜﹣x，即x＜0，则﹣x＝，即x2+3x+2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2，
经检验：x＝﹣1和x＝﹣2是原分式方程的解；
综上，方程max{x，﹣x}＝的解为x＝或x＝﹣1或x＝﹣2．
18．【分析】直接利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可．
【解答】解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程：
﹣＝．
故答案为：﹣＝．
三．解答题（满分60分）
19．（1）【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：4+x2﹣1＝x2﹣2x+1，
解得：x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是增根，分式方程无解．
（2）【分析】根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论依次计算可得．
【解答】解：两边都乘以3（x﹣1），得：3x﹣3（x﹣1）＝2x，
解得：x＝1.5，
检验：x＝1.5时，3（x﹣1）＝1.5≠0，
所以分式方程的解为x＝1.5．
（3）【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，方程左右两边相等，
所以x＝2是原方程的解．
20．（1）【分析】先将分子、分母因式分解，再约分即可得．
【解答】解：原式＝?＝．
（2）【分析】根据分式的减法可以解答本题．
【解答】解：﹣
＝
＝
＝．
21．（1）【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（+）÷（﹣）
＝÷
＝?
＝，
当a＝时，
原式＝＝1﹣2．
（2）【分析】先通分，再利用因式分解，把可以分解的分解，然后统一化成乘法运算，约分化简，再将所给等式化简，得出m和n的值，最后代回化简后的分式即可．
【解答】解：（﹣）÷（﹣）?（++2）
＝÷?
＝??
＝﹣．
∵+（n﹣3）2＝0．
∴m+1＝0，n﹣3＝0，
∴m＝﹣1，n＝3．
∴﹣＝﹣＝．
∴原式的值为．
22．【分析】（1）设甲种品牌的足球的单价为x元/个，则乙种品牌的足球的单价为（x+30）元/个，根据数量＝总价÷单价结合用1000元购买甲种足球的数量和用1600元购买乙种足球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设这所学校购买m个乙种品牌的足球，则购买（25﹣m）个甲种品牌的足球，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过1610元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种品牌的足球的单价为x元/个，则乙种品牌的足球的单价为（x+30）元/个，
根据题意得：＝，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是所列分式方程的解，且符合题意，
∴x+30＝80．
答：甲种品牌的足球的单价为50元/个，乙种品牌的足球的单价为80元/个．
（2）设这所学校购买m个乙种品牌的足球，则购买（25﹣m）个甲种品牌的足球，
根据题意得：80m+50（25﹣m）≤1610，
解得：m≤12．
答：这所学校最多购买12个乙种品牌的足球．
23．【分析】（1）根据“大巴车行驶全程所需时间＝小车行驶全程所需时间+小车晚出发的时间+小车早到的时间”列分式方程求解可得；
（2）根据“从学校到相遇点小车行驶所用时间+小车晚出发时间＝大巴车从学校到相遇点所用时间”列方程求解可得．
【解答】解：（1）设大巴的平均速度为x公里/小时，则小车的平均速度为1.5x公里/小时，
根据题意，得：＝++，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原方程的解，
答：大巴的平均速度为40公里/小时，则小车的平均速度为60公里/小时；

（2）设苏老师赶上大巴的地点到基地的路程有y公里，
根据题意，得：+＝，
解得：y＝30，
答：苏老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里．







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