参考答案
1. D 2. D 3. A 4. C 5. B 6. C 7. D 8. D 9. B 10. B 11. B 12. B 13. D
14. x＜－1
15. y＝(x－2)2(答案不唯一)
16. 1，2或－1
17. a＞1
18. －6 增大
19. ＞
20. －1＜x＜3
21. －8
22.
23. (3，0)，(5，0)，(－3，0)，(－5，0)
24. x1＝0，x2＝2
25. y＝x2－x＋2或y＝－x2＋x＋2
26. 解：(1)由长方形面积为2000平方米，得到xy＝2000，即y＝.
(2)当x＝20米时，y＝＝100(米)，则当鱼塘的宽是20米时，鱼塘的长为100米.
27. 解：(1)由已知得C(0，4)，B(4，4).把B与C的坐标代入y＝－x2＋bx＋c得解得∴此抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋4.
(2)∵y＝－x2＋2x＋4＝－(x－2)2＋6，∴抛物线顶点D的坐标为(2，6).则S四边形ABDC＝S△ABC＋S△BCD＝×4×4＋×4×2＝8＋4＝12.
28. 解：(1)分情况讨论：①当0≤x≤3时，设线段AB对应的函数表达式为y＝kx＋b；把A(0，10)，B(3，4)代入得解得∴y＝－2x＋10；②当x＞3时，设y＝，把(3，4)代入得：m＝3×4＝12，∴y＝；综上所述：当0≤x≤3时，y＝－2x＋10；当x＞3时，y＝.
(2)能；理由如下：令y＝＝1，则x＝12＜15，故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L.
29. 解：(1)裁剪示意图如图.
设裁掉的正方形的边长为xdm，根据题意可得：(10－2x)(6－2x)＝12，解得x1＝2，x2＝6(不合题意，舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm.
(2)由题意可得：10－2x≤5(6－2x)，解得0＜x≤2.5，设总费用为y元，根据题意可得：y＝2[x(10－2x)＋x(6－2x)]×0.5＋2(10－2x)(6－2x)＝4x2－48x＋120＝4(x－6)2－24，∵对称轴x＝6，开口向上，∴当0＜x≤2.5时，y随x的增大而减小，∴当x＝2.5时，y最小＝4×(2.5－6)2－24＝25.答：当裁掉的正方形的边长为2.5dm时，总费用最低为25元.
30. 解：(1)根据题意得B(0，4)，C(3，)，把点B(0，4)，C(3，)的坐标代入y＝－x2＋bx＋c得解得所以抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋2x＋4，即y＝－(x－6)2＋10，所以D(6，10)，所以拱顶D到地面OA的距离为10m.
(2)由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2，0)或(10，0)，当x＝2或x＝10时，y＝＞6，所以这辆货车能安全通过.
(3)令y＝8，则－(x－6)2＋10＝8，解得x1＝6＋2，x2＝6－2，则x1－x2＝4，所以两排灯的水平距离最小是4m.
31. 解：(1)k1＝30，k2＝20，b＝6000.解法提示：k1＝18000÷600＝30，k2＝(26000－18000)÷20×600＋b，∴b＝6000.
(2)当0≤x＜600时，W＝30x＋(－0.01x2－20x＋30000)＝－0.01x2＋10x＋30000＝－0.01(x－500)2＋32500，∵－0.01＜0，∴当x＝500时，W取得最大值为32500元；当600≤x≤1000时，W＝20x＋6000＋(－0.01x2－20x＋30000)＝－0.01x2＋36000，∵－0.01＜0，∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小，∴当x－600时，W取最大值为32400元，∵32400＜32500，∴W的最大值为32500元.
沪科版数学九年级上册第二十一章《二次函数与反比例函数》
复习巩固专讲专练
章 末 知 识 复 习
类型一 二次函数、反比例函数的图象及性质
要点简介：1. 二次函数的图象与性质；2. 反比例函数的性质；3. 反比例函数与一次函数的综合应用.
经典例题1 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是( )
A. 函数有最小值 B. 对称轴是直线x＝
C. 当x<时，y随x的增大而减小 D. 当－10
解析：选项A中，由抛物线的开口向上，可知a>0，函数有最小值，故选项A正确；选项B中，由图象可知，对称轴为直线x＝，故选项B正确；选项C中，因为a>0，所以当x<时，y随x的增大而减小，故选项C正确；选项D中，由图象可知，当－1答案：D
经典例题2 设点A(x1，y1)和B(x2，y2)是反比例函数y＝图象的两个点，当x1A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：对于反比例函数y＝，当k>0时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每个象限内，y随x的增大而增大.由题意，A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在反比例函数的图象上，且x1答案：A
类型二 确定反比例函数与二次函数的表达式
要点简介：利用待定系数法确定函数表达式.
经典例题3 已知反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象经过点A(2，3).
(1)求这个函数的表达式；
(2)判断点B(－1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由；
(3)当－3解析：(1)将点A的坐标代入反比例函数y＝，便可求出反比例函数的表达式；(2)判断点B，C是否在该函数图象上，只需将这两点坐标代入函数表达式验证便可；(3)分别求出x＝－3和x＝－1时对应的函数值，根据函数的性质求得对应的y的取值范围.
解：(1)∵反比例函数y＝的图象经过点A(2，3)，把点A(2，3)的坐标代入表达式，得3＝，解得k＝6，∴这个函数的表达式为y＝.
(2)分别把点B，C的坐标代入y＝，可知点B的坐标不满足函数表达式，点C的坐标满足函数表达式，∴点B不在这个函数的图象上，点C在这个函数的图象上.
(3)∵当x＝－3时，y＝－2，当x＝－1时，y＝－6，又由k>0知，在x<0时，y随x的增大而减小，∴当－3点拨：已知反比例函数图象上一点，要确定其函数表达式只需将点的坐标代入，求出k值，即可求出反比例函数表达式.
类型三 反比例函数中系数k的几何意义
要点简介：反比例函数中系数k的几何意义的运用.
经典例题4 下列选项中，阴影部分面积最小的是( )
A B C D
解析：由反比例函数y＝中比例系数k的几何意义知A和B中阴影部分面积都是2，D中阴影部分面积为×1×4＝2.用排除法知选C.
答案：C
点拨：解答这类题目要准确掌握反比例函数中k的几何意义，即双曲线上任一点与原点之间的线段、坐标轴和向坐标轴所作的垂线段三者所围成的直角三角形的面积S＝|k|.
类型四 二次函数的实际应用
要点简介：利用二次函数解决实际问题.
经典例题5 大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店.该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件.市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件.为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60＋x(元/件)(x>0即售价上涨，x<0即售价下降)，每月饰品销量为y(件)，月利润为w(元).
(1)直接写出y与x之间的函数表达式；
(2)如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；
(3)为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？
解析：(1)y与x的函数表达式应分两段.为保证在销售过程中不亏损，销售数量大于或等于零，售价大于或等于进价，故自变量x取值范围为0≤x≤30和－20≤x<0.(2)根据月利润＝每件利润×月销售量，再根据二次函数的最值求得.(3)可借助函数图象进行分析.
解：(1)y＝
(2)w＝化简得，w＝
即w＝
①当0≤x≤30，x＝5时，w最大值为6250.
②当－20≤x<0，x＝－时，w最大值为6125.
由题意知x应取整数，
所以－20≤x<0时，x取－2或－3时w有最大值，且最大值小于6125.
故当销售价格为每件65元时，利润最大，最大利润为6250元.
(3)由题意w≥6000，如图所示，令w＝6000得x1＝－5，x2＝0，x3＝10，所以－5≤x≤10.
所以将销售价格控制在每件55元到70元之间(含55元和70元)才能使每月利润不少于6000元.
综 合 检 测
一、选择题
1. 对于y＝ax2＋bx＋c，有以下四种说法，其中正确的是( )
A. 当b＝0时，二次函数是y＝ax2＋c
B. 当c＝0时，二次函数y＝ax2＋bx
C. 当a＝0时，一次函数是y＝bx＋c
D. 以上说法都不对
2. 点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y3＞y2＞y1 B. y3＞y1＝y2
C. y1＞y2＞y3 D. y1＝y2＞y3
3. 抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是( )
A. m＜2 B. m＞2 C. 0＜m≤2 D. m＜－2
4. 一元二次方程x2－3x－2＝0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是( )
A. x1＝－1，x2＝2 B. x1＝1，x2＝－2
C. x1＋x2＝3 D. x1x2＝2
5. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，其函数值y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
4
1
0
1
4
…
点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系是( )
A. y1＞y2 B. y1＜y2
C. y1≥y2 D. y1≤y2
6. 函数y＝的图象可能是( )
A B C D
7. 对于二次函数y＝x2－2x＋3，下列说法：①不论x为何实数，y的值总是正数；②不论x为何值，y的值总不大于2；③若x2－2x＋3＝0，则该方程无实数根；④若x2－2x＋3＞0，则该不等式的解集是一切实数.其中正确的是( )
A. 仅① B. 仅② C. ①②④ D. ①③④
8. 如图是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是( )
A. －1≤x≤3 B. x≤－1 C. x≥1 D. x≤－1或x≥3
第8题 第9题
9. 在某幢建筑物上，从10m高的窗口A向外用水管喷水，喷出的水呈抛物线形(抛物线所在平面与墙面垂直，如图所示)，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙距离OB是( )
A. 2m B. 3m C. 4m D. 5m
10. 如图，点A(a，3)，B(b，1)都在双曲线y＝上，点C，D分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为( )
A. 5 B. 6 C. 2＋2 D. 8
第10题 第11题
11. 如图，直线y＝－x＋5与双曲线y＝(x＞0)相交于A，B两点，与x轴相交于C点，△BOC的面积是.若将直线y＝－x＋5向下平移1个单位，则所得直线与双曲线y＝(x＞0)的交点有( )
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 0个或1个或2个
12. 如图为抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，A，B，C为抛物线与坐标轴的交点，且OA＝OC＝1，则下列关系正确的是( )
A. a＋b＝－1 B. a－b＝－1
C. b＜2a D. ac＜0
第12题 第13题
13. 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(－1，0)，与y轴的交点B在(0，－2)和(0，－1)之间(不包括这两个点)，对称轴为直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②4a＋2b＋c＞0；③4ac－b2＜8a；④＜a＜；⑤b＞c.其中正确的是( )
A. ①③ B. ①③④
C. ②④⑤ D. ①③④⑤
二、填空题
14. 已知函数y＝－x2－2x，当 时，函数y随x的增大而增大.
15. 老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三位同学各指出这个函数的一个性质：
甲：函数的图象经过第一、二、四象限
乙：当x＜2时，y随x的增大而减小
丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点
已知这三位同学叙述都正确，请写出满足上述所有性质的一个函数 .
16. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 .
17. 不论x取何值，函数y＝x2－2x＋a的函数值永远大于零，则a的取值范围是 .
18. 已知点P(3，－2)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则k＝ ；在第四象限，函数值y随x的增大而 .
19. 已知点(m－1，y1)，(m－3，y2)是反比例函数y＝(m＜0)图象上的两点，则y1 y2(填“＞”“＝”或“＜”).
20. 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴的一个交点为A(3，0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是 .
第20题 第21题
21. 如图，直线AB经过原点O，与双曲线y＝(k≠0)交于AB两点，AC⊥y轴于点C，且△ABC的面积是8，则k值是 .
22. 如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，则△OAB的面积等于 .
第22题 第23题
23. 如图，已知点A(1，2)是反比例函数y＝图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点，若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是 .
24. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程 ax2＋bx＝0的根是 .
25. 设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则这个抛物线对应的函数表达式为 .
三、解答题
26. 某养鱼专业户准备挖一个面积为2000平方米的长方形鱼塘.
(1)求鱼塘的长y(米)关于宽x(米)的函数表达式；
(2)由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米，当鱼塘的宽是20米，鱼塘的长为多少米？
27. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过B，C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC，BD，CD.
(1)求此抛物线的表达式；
(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABDC的面积.
28. 环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天以内(含15天)排污达标.整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系.
(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
29. 工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)
(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线、虚线表示折痕，并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元.裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？
30. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m.按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－x2＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m.
(1)求该抛物线对应的函数表达式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
31. 为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花.设种草部分的面积为x(m2)，种草所需费用y1(元)与x(m2)的函数关系式为y1＝其图象如图所示；栽花所需费用y2(元)与x(m2)的函数关系式为y2＝－0.01x2－20x＋30000(0≤x≤1000).
(1)请直接写出k1，k2和b的值；
(2)设这块1000m2空地的绿化总费用为W(元)，请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；
(3)若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值.
