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《 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质（2）》导学案
课题 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质（2） 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1、通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法. 2、在经历探索用待定系数法求二次函数解析式及条件的制约性的过程中，让学生感悟到“类比思想”和“数形结合思想
重点难点 重点：会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式. 难点：实际应用中体会求二次函数解析式作为一种数学模型的作用，会利用待定系数法求二次函数的解析式.
学习过程
知识链接 1、你还记得如何用待定系数法求函数的解析式吗？ 2、已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求这个一次函数的解析式。
合作探究 知识1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的确定方法 由已知条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)，可写出二次函数的解析式y＝ax2＋bx＋c，列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c，从而确定二次函数的解析式.例1、已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、（1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式. 知识2 二次函数解析式y＝a(x－h)2＋k的确定方法 已知顶点(h，k)和另外一个点的坐标，可写出二次函数的解析式y＝a(x－h)2＋k，再代入另一个已知点的坐标，得到关于a的一元一次方程，求出a，从而确定二次函数的解析式.例2、已知抛物线的顶点为（1，－4），且过点（0，－3），求抛物线的解析式？ 知识点3 二次函数解析式y＝a(x－x1)(x－x2)的确定方法 已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)，(x2,0)和另外一个点的坐标，可写出二次函数的解析式y＝a(x－x1)(x－x2)，再代入另一个已知点的坐标，得到关于a的一元一次方程，求出a，从而确定二次函数的解析式. 例3、 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C(0,3)，求这个二次函数的解析式.
自主尝试 知识1巩固练习：1、若二次函数y＝ax2的图象经过点P(－1，－3)，则a＝________ .2、若二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(0,2)，B(1,0)，则b＝________，c＝________.3、二次函数的图象与x轴交于A(－3,0)和B(1,0)两点，交y轴于点C(0,3)，求二次函数的解析式. 知识2巩固练习： 1、如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为( ) A. y=x2+2 B. y=(x-2)2+2 C. y=(x-2)2-2 D. y=(x+2)2-2 2、已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其解析式为___________ .3、已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5） 对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式. 知识3巩固练习： 1、 已知抛物线过点A（-3，0）B（1，0）C（2，5），求该抛物线的解析式。 2、如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点A、C的坐标分别是(8,0)、(0,4),求这个抛物线的解析式. 3、已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式.
当堂检测 已知一个二次函数的图象经过A(-2,),B(0,-)和C(1,-2)三点. (1)求出这个二次函数的解析式; (2)若函数的图象与x轴相交于点E,F(E在F的左边),求△EFB的面积. 2、已知二次函数的图象经过(0,0),且它的顶点坐标是(1,-2). (1)求这个二次函数的关系式; (2)判断点P(3,5)是否在这条抛物线上. 3、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),B(3,0)且过点C(0,-3). (1)求抛物线的解析式和顶点坐标; (2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上,并写出平移后抛物线的解析式.
小结反思 经过本节课的探究学习你有什么收获，感受到了哪些数学思想与方法，还有哪些疑问？
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《 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质（2）》导学案
课题 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质（2） 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1、通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法. 2、在经历探索用待定系数法求二次函数解析式及条件的制约性的过程中，让学生感悟到“类比思想”和“数形结合思想
重点难点 重点：会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式. 难点：实际应用中体会求二次函数解析式作为一种数学模型的作用，会利用待定系数法求二次函数的解析式.
教学过程
知识链接 1、你还记得如何用待定系数法求函数的解析式吗？ 2、已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求这个一次函数的解析式。 想一想：如何用待定系数法求二次函数的解析式。下面我们将通过3个只是板块来学习如何确定二次函数的解析式。
合作探究 知识1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的确定方法 由已知条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)，可写出二次函数的解析式y＝ax2＋bx＋c，列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c，从而确定二次函数的解析式.例1、已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、（1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式. 设所求的二次函数为y=ax2+bx+ca-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 解方程得：a=2, b=-3, c=5∴解析式为y=2x2-3x+5知识2 二次函数解析式y＝a(x－h)2＋k的确定方法 已知顶点(h，k)和另外一个点的坐标，可写出二次函数的解析式y＝a(x－h)2＋k，再代入另一个已知点的坐标，得到关于a的一元一次方程，求出a，从而确定二次函数的解析式.例2、已知抛物线的顶点为（1，－4），且过点（0，－3），求抛物线的解析式？解：设所求解析式：y=a(x-1)2 -4∵点( 0,-3)在抛物线上∴a-4=-3, ∴ a=1 ∴所求的抛物线解析式为 y=(x-1)2-4即 y=x2-2x-3知识点3 二次函数解析式y＝a(x－x1)(x－x2)的确定方法 已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)，(x2,0)和另外一个点的坐标，可写出二次函数的解析式y＝a(x－x1)(x－x2)，再代入另一个已知点的坐标，得到关于a的一元一次方程，求出a，从而确定二次函数的解析式. 例3、 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C(0,3)，求这个二次函数的解析式.解: ∵图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0) ∴设函数解析式为y＝a(x-1)(x-3) ∵图象过点C(0,3) ∴3=a(0-1)(0-3)，解得a=1. ∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3
自主尝试 知识1巩固练习：1、若二次函数y＝ax2的图象经过点P(－1，－3)，则a＝________ .答案：-32、若二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(0,2)，B(1,0)，则b＝________，c＝________.答案：-3、23、二次函数的图象与x轴交于A(－3,0)和B(1,0)两点，交y轴于点C(0,3)，求二次函数的解析式. 解：设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，根据题意，得 ∴二次函数的解析式为y＝－x2－2x＋3.知识2巩固练习： 1、如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为( )D A. y=x2+2 B. y=(x-2)2+2 C. y=(x-2)2-2 D. y=(x+2)2-2 2、已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其解析式为___________ .答案：y=-7(x-3)2+4.3、已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5） 对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式.解：设所求的二次函数为y=a(x-1)2+k 把（0，-3）（4,5）代入得二次函数解析式为：y=(x-1)2-4即 y=x2-2x-3知识3巩固练习： 1、 已知抛物线过点A（-3，0）B（1，0）C（2，5），求该抛物线的解析式。 解：设所求的二次函数为 y=a(x+3)(x-1)把C（2,5）代入得5a=5 解得 a=1 ∴所求的抛物线解析式为 y=（x+3)(x-1) 即y=x2+2x-3 2、如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点A、C的坐标分别是(8,0)、(0,4),求这个抛物线的解析式. 解：由抛物线过A(8,0)及对称轴为x=3,知抛物线一定过点(-2,0). 设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8), ∵抛物线过点(0,4),∴4=a(0+2)(0-8),解得：a=-∴所求的抛物线解析式为 y=-（x+2)(x-8) 3、已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式. 解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0)，(-3,0), 设解析式为y=a(x-5)(x+3), ∵抛物线过点(1,16) ∴16=a(1-5)(1+3),解得a=-1. ∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15.
当堂检测 1、已知一个二次函数的图象经过A(-2,),B(0,-)和C(1,-2)三点.(1)求出这个二次函数的解析式; 解:(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c, 所以二次函数解析式为y=x2-x- (2)若函数的图象与x轴相交于点E,F(E在F的左边),求△EFB的面积. 当y =0时, x2-x-=0,解得x1= -1,x2=3, 所以E点坐标为(-1,0),F点坐标为(3,0), 所以△EFB的面积=×(3+1)×=3. 2、已知二次函数的图象经过(0,0),且它的顶点坐标是(1,-2). (1)求这个二次函数的关系式; (2)判断点P(3,5)是否在这条抛物线上. 解:(1)设抛物线的顶点式为y=a(x-1)2-2， 将点(0,0)代入得a-2=0,解得a=2， 所以抛物线的解析式为y=2(x-1)2-2。 (2)当x=3时,y=2(3-1)2-2=6， 所以点P(3,5)不在这条抛物线上. 3、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),B(3,0)且过点C(0,-3). (1)求抛物线的解析式和顶点坐标; (2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上,并写出平移后抛物线的解析式. 解:(1)∵抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0), ∴可设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3), 把C(0,-3)代入得3a=-3,解得a=-1, 故抛物线解析式为y=-(x-1)(x-3), 即y=-x2+4x-3,∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1， ∴抛物线的顶点坐标为(2,1). (2)先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,得到的抛物线的解析式为y=-x2,平移后抛物线的顶点为(0,0),在直线y=-x上.（答案不唯一）
小结反思 经过本节课的探究学习你有什么收获，感受到了哪些数学思想与方法，还有哪些疑问？
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