21.2.2 公式法
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.会用求根公式解简单系数的一元二次方程;
2.知道一元二次方程根的判别式的意义,能熟练地运用判别式判别方程根的情况.
【过程与方法】
能用配方法推导出一元二次方程的求根公式,通过运用公式法进行解一元二次方程的训练,提高学生的运算能力.
【情感、态度与价值观】
在探索和应用求根公式中,使学生进一步认识特殊与一般的关系,并让学生在学习中获得成功的体验.
◇教学重难点◇
【教学重点】
运用求根公式解一元二次方程.
【教学难点】
1.一元二次方程求根公式的推导过程;
2.逆用一元二次方程根的判别式求方程中的字母系数.
◇教学过程◇
一、情境导入
如果某个一元二次方程是ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用配方法的步骤求出它的两根?在什么情况下,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根?有两个相等的实数根?没有实数根?
二、合作探究
探究点1 一元二次方程根的判别式及根的情况
典例2 不解方程,判别下列方程根的情况.
(1)4x2-2x+=0;(2)(y+1)(y-1)=2-y2;(3)x2+2mx-1=0.
[解析] (1)∵a=4,b=-2,c=,
∴b2-4ac=(-2)2-4×4×=0,
∴原方程有两个相等的实数根.
(2)原方程变形为2y2-3=0.
∵a=2,b=0,c=-3,
∴b2-4ac=02-4×2×(-3)=24>0,
∴原方程有两个不相等的实数根.
(3)∵a=1,b=2m,c=-1,
∴b2-4ac=(2m)2-4×1×(-1)=4m2+4>0,
∴原方程有两个不相等的实数根.
判断一元二次方程根的情况时,应先把方程化成一般形式.当方程的左边是一个完全平方式时,此方程有两个相等的实数根;当a,c异号时,方程有两个不相等的实数根;只有当a,c同号时,才计算判别式的值,根据判别式的符号判断方程根的情况.
变式训练 关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m-2=0根的情况是 ( )
A.两个相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
[答案] C
【方法指导】当方程中含有字母系数时,在确定判别式的符号时,可利用配方法,结合a2≥0,(a+1)2≥0,a2+1>0,-a2-1<0判别其符号.
探究点2 由根的判别式求字母的取值范围
典例3 若关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+(k2-1)=0无实数根,则k的取值范围为 .?
[解析] 根据一元二次方程无实数根,由Δ<0,得(2k-1)2-4(k2-1)<0,解得k>.
[答案] k>
变式训练 关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1=0有两个实数根,则实数m的取值范围是 ( )
A.m≥0 B.m>0
C.m≥0且m≠1 D.m>0且m≠1
[答案] C
【易错提示】当二次项的系数中存在字母时,一定要把使二次项系数为零的值去掉.
探究点3 用公式法解一元二次方程
典例1 用公式法解下列方程:
(1)3x2+x+1=0;
(2)x2-6x+9=(5-2x)2.
[解析] (1)a=3,b=1,c=1,
b2-4ac=12-4×3×1=-11<0,
所以原方程无实数根.
(2)原方程可化为3x2-14x+16=0.
则a=3,b=-14,c=16,
b2-4ac=(-14)2-4×3×16=4>0,
所以x=.
所以原方程的根是x1=2,x2=.
(1)用公式法解一元二次方程时,只要将方程化为一般形式,确定各项系数后代入求根公式就可以求得方程的根.但要注意只有b2-4ac≥0时,才能将a,b,c及b2-4ac的值代入求根公式求解.若b2-4ac<0,则直接写方程无实数根.
(2)当b2-4ac的值等于零时,必须把原方程的根写成x1=x2=-的形式.
三、板书设计
公式法
1.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式为Δ=b2-4ac.
2.根据根的判断式判断一元二次方程根的情况:Δ>0,方程有两个不相等的实数根;Δ=0,方程有两个相等的实数根;Δ<0,方程无实数根.
3.求根公式的概念及推导过程:ax2+bx+c=0?,x=.
4.用公式法解一元二次方程.
◇教学反思◇
本节课从回顾上节所学的配方法解一元二次方程的步骤,自然而然地引入如何利用配方法解一元二次方程的一般形式,从而产生一元二次方程根的几种情况:b2-4ac>0,b2-4ac=0,b2-4ac<0,并在不同情况下求出相应的根.本节主要讲用公式法解一元二次方程,因此在教学中要注意书写格式.在教学中不但要让学生会用求根公式,更要体会解方程的过程中判断根的情况的必要性,应给学生强调方程有无实数根,仅取决于根的判别式.
21.2.3 因式分解法
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.会应用因式分解法解一元二次方程;
2.能根据一元二次方程的特点,灵活选择方程的解法.
【过程与方法】
在应用因式分解解一元二次方程的过程中,体会“降次”的思想方法.
【情感、态度与价值观】
积极探索一元二次方程的不同解法,并和同学进行交流,勇于发表自己的观点,从交流中发现最优方法,在活动中获得成功体验,建立学习数学的自信心.
◇教学重难点◇
【教学重点】
应用因式分解法解一元二次方程.
【教学难点】
选择合适的方法解一元二次方程.
◇教学过程◇
一、情境导入
到目前为止,我们学了哪几种解一元二次方程的方法?对于下面的问题,你能用学过的知识解决吗?
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相等,这个数是多少?你是怎样求出来的?
二、合作探究
探究点1 用因式分解法解一元二次方程
典例1 用因式分解法解下列方程:
(1)x2-4x=0;(2)x2-6x=-9;(3)5x(x-3)=6-2x;(4)(2x-1)2+3(2x-1)+2=0;(5)(x+1)·(x-1)+2(x+3)=8.
[解析] (1)提公因式,得x(x-4)=0,
所以x=0或x-4=0,
所以原方程的根为x1=0,x2=4.
(2)原方程可变形为x2-6x+9=0,
则(x-3)2=0,
所以x-3=0,
所以原方程的根为x1=x2=3.
(3)移项,得5x(x-3)-(6-2x)=0,
即5x(x-3)+2(x-3)=0,
得(x-3)(5x+2)=0,
所以x-3=0或5x+2=0,
所以原方程的根为x1=3,x2=-.
(4)原方程可变形为(2x-1+2)(2x-1+1)=0,即2x(2x+1)=0,
所以2x=0或2x+1=0,
所以原方程的根为x1=0,x2=-.
(5)原方程可化为x2+2x-3=0.
即(x+3)(x-1)=0,
所以x+3=0或x-1=0,
所以原方程的根为x1=-3,x2=1.
变式训练 解方程x4-x2-6=0.
[解析] 原方程可化为(x2)2-x2-6=0,
所以(x2-3)(x2+2)=0,
所以x2-3=0或x2+2=0.
由x2-3=0,得x=±,
由x2+2=0,得方程无解.
所以方程的解为x1=,x2=-.
【方法指导】当二次项的系数中存在字母时,一定要把使二次项系数为零的值去掉.
探究点2 选择合适的方法解一元二次方程
典例2 用适当的方法解下列方程:
(1)x2-3x+1=0;(2)9(x+2)2=16;(3)x2-3x=0;(4)(x+4)2-(x+5)2+(x-3)2=24+4x.
[解析] (1)因为a=1,b=-3,c=1,
所以b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5,即x=.所以原方程的根为x1=,x2=.
(2)原方程变形为(x+2)2=.
直接开平方,得x+2=±,即x=±-2.
所以原方程的根为x1=-,x2=-.
(3)分解因式,得x(x-3)=0,所以x=0或x-3=0,所以原方程的根为x1=0,x2=3.
(4)原方程变形为x2-12x=24,即x2-12x+36=24+36,所以(x-6)2=60,所以x-6=±2.
所以原方程的根为x1=6+2,x2=6-2.
三、板书设计
因式分解法
1.用因式分解法解一元二次方程:
(1)因式分解法的概念;
(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤.
2.用适当的方法解一元二次方程:
(1)直接开平方法;(2)配方法;(3)公式法;(4)因式分解法.
◇教学反思◇
本节重点是用因式分解法解一元二次方程,根据方程的特点,将方程化为(x+m)(x+n)=0的形式,让学生在讨论、交流中体会“若ab=0,则a=0或b=0”这一理论在解方程中的巧妙应用,进而发展用因式分解法解方程的步骤.另外本节除介绍因式分解法解一元二次方程外,还对一元二次方程的四种解法进行了比较,加深了学生对一元二次方程解法的理解.若时间允许,还可以介绍用因式分解法解一些特殊的高次方程.
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.了解一元二次方程根与系数的关系;
2.能应用一元二次方程根与系数的关系解决相关问题.
【过程与方法】
经历一元二次方程根与系数关系的探究过程,培养学生观察思考、归纳概括的能力.
【情感、态度与价值观】
通过小组合作探究,发现根与系数的关系,增强学习的信心、培养科学探究精神.
◇教学重难点◇
【教学重点】
一元二次方程根与系数的关系.
【教学难点】
用根的判别式及根与系数的关系解题.
◇教学过程◇
一、情景导入
先填空,再找规律.
思考:观察表中的x1+x2与x1x2的值,它们与前面的一元二次方程各项系数之间有什么关系?从中你发现什么规律?
二、合作探究
探究点1 一元二次方程根与系数的关系
典例1 一元二次方程3x2-1=2x+5两实根的和与积分别是 ( )
A.,-2 B.,-2 C.-,2 D.-,2
[解析] 先把3x2-1=2x+5化为一元二次方程的一般形式3x2-2x-6=0,再根据一元二次方程根与系数的关系就可得出x1+x2=,x1x2==-2.
[答案] B
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2=-,x1x2=.
探究点2 根与系数的关系的应用
典例2 已知5是方程x2+mx-5=0的一个根,求m的值及方程的另一根.
[解析] 解法1:设方程的另一个根为x1,则有5+x1=-m,5·x1=-5,得x1=-1,m=-4.所以方程的另一个根为-1,m的值为-4.
解法2:由题意得52+5·m-5=0,解得m=-4.
当m=-4时,方程为x2-4x-5=0.
解得x1=-1,x2=5,
所以方程的另一个根为-1,m的值为-4.
已知方程的一个根,求另一个根及未知系数的值,一般用根与系数的关系列方程组求解.
典例3 已知x1,x2是方程2x2+14x-16=0的两实数根,那么的值为 .?
[解析] 由题意,得x1+x2=-7,x1x2=-8.
=-=-.
[答案] -
一元二次方程根与系数的关系,常用的拓展公式有:
=(x1+x2)2-2x1x2;x2+x2=x1x2·(x1+x2).
变式训练 若x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根,且x1+x2=1-x1x2,求m的值.
[解析] 因为x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根,
所以x1+x2=2m,x1·x2=m2-m-1.
因为x1+x2=1-x1x2,
所以2m=1-(m2-m-1),
即m2+m-2=(m+2)(m-1)=0,
解得m1=-2,m2=1.
因为方程x2-2mx+m2-m-1=0有实数根,
所以Δ=(-2m)2-4(m2-m-1)=4m+4≥0,
解得m≥-1.
所以m=1.
【方法指导】这类题目的一般解法:先根据根与系数的关系,将所给等式用两根之和与两根之积表示,进而求出未知系数的值,再代入判别式检验,把使方程无实数根的值舍去,进而得到答案.
三、板书设计
一元二次方程的根与系数的关系
1.利用求根公式推导根与系数的关系:ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1=,x2=得x1+x2=-,x1x2=.
2.利用根与系数的关系求值.
◇教学反思◇
本节主要探究一元二次方程根与系数的关系,在教学中主要通过填表的形式,让学生先发现规律,通过一些特殊的方程归纳出一般一元二次方程中根与系数的关系,再从理论上加以验证,经历从特殊到一般的科学探究过程.
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
◇教学目标◇
【知识与技能】
能熟练地运用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)和(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程,知道它的依据是平方根的定义.
【过程与方法】
理解一元二次方程解法的基本思想是降次及其与一元一次方程的联系,体会两者之间相互比较和转化的数学思想.
【情感、态度与价值观】
通过用直接开平方法解一元二次方程的学习,激发学生探究学习的兴趣.
◇教学重难点◇
【教学重点】
运用直接开平方法解形如(或可化为)x2=p(p≥0)的一元二次方程,领会解一元二次方程的基本思想——通过降次转化为一元一次方程求解.
【教学难点】
根据平方根的意义解形如x2=p(p≥0)的方程,将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程.
◇教学过程◇
一、情境导入
上节课我们与一元二次方程交了朋友,列出几个实际问题的方程.请你列出下列问题中的方程:一桶油漆可刷的面积为1500 dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?
二、合作探究
探究点1 用直接开平方法解一元二次方程
典例1 用直接开平方法解下列方程.
(1)9x2-25=0;(2)4(2x-1)2-36=0.
[解析] (1)移项,得9x2=25,
方程两边同除以9,得x2=,
由平方根的定义可知x是的平方根.
∴x=±.
∴原方程的根为x1=,x2=-.
(2)移项,得4(2x-1)2=36,
方程两边同除以4,得(2x-1)2=9.
∴2x-1=±3,即2x-1=3或2x-1=-3.
∴解得x1=2,x2=-1.
变式训练 解方程:(2t-4)2=(4t-3)2.
[解析]原方程变形为2t-4=±(4t-3),
∴2t-4=4t-3或2t-4=-(4t-3).
解这两个方程得原方程的解为t1=-,t2=.
形如(ax+b)2=(mx+n)2的一元二次方程,也可直接用开平方法求解,将方程转化为ax+b=±(mx+n)求解.
探究点2 用直接开平方法解一元二次方程的类型及条件
典例2 解方程:m(x+b)2=n(m≠0).
[解析]因为m≠0,所以(x+b)2=.
当n=0时,(x+b)2=0,x1=x2=-b;
当m,n异号时,<0,方程无实数根;
当m,n同号时,>0,此时x+b=±,
所以原方程的根为x1=-b+,x2=-b-.
能用直接开平方法求解的一元二次方程主要有以下两种形式:
(1)形如x2=q(q≥0)的一元二次方程;
(2)形如(mx+n)2=q(m≠0,q≥0)的一元二次方程.
在这两种形式中,若q<0,那么方程无实数根.
三、板书设计
直接开平方法
1.根据平方根的意义,解一元二次方程x2=p(p≥0),即x1=,x2=-.
2.根据平方根的意义,解能化成(mx+n)2=p(p≥0)型的一元二次方程,把原方程转化为两个一元一次方程:mx+n=或mx+n=-,即x1=,x2=.
◇教学反思◇
本节从学生已有的知识“平方根的定义”入手,应用“开平方”来求解特别形式的一元二次方程,从而把未知转化为已知,降低学生的学习难度,启发学生思维,让学生得到主动发展.在教学中要注意及时复习和应用相关的知识,加深对降次转化思想的认识,并及时对探索所得结果进行比较、验证和归纳,以培养和提高学生获取知识的能力.
第2课时 配方法
◇教学目标◇
【知识与技能】
理解配方法,会用配方法解简单数字系数的一元二次方程.
【过程与方法】
通过探索利用配方法解一元二次方程的过程,让学生体验数学转化的思想方法,培养学生用转化的数学思想解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
通过学生合作学习与探究,寻找解题途径,激发学生学习数学的兴趣.
◇教学重难点◇
【教学重点】
用配方法解一元二次方程.
【教学难点】
理解配方法的意义,掌握用配方法解一元二次方程的过程.
◇教学过程◇
一、情境导入
要使一块长方形地的长比宽多6 m,并且面积为16 m2,这块长方形地的长与宽各是多少?
二、合作探究
探究点1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
典例1 用配方法解下列方程:
(1)x2-2x=4;
(2)y(y-4)=8y+12.
[解析](1)配方x2-2x+1=4+1,
∴(x-1)2=5,
∴x=1±,
∴x1=1+,x2=1-.
(2)方程变形,得y2-4y=8y+12,y2-12y=12,
∴y2-12y+62=12+62,
∴(y-6)2=48,
∴y-6=±4.
∴y1=6+4,y2=6-4.
配方法是对二次项和一次项配方,所以一般先把常数项移到方程另一边,利用等式的性质,方程两边都加上一次项系数一半的平方.配方法解一元二次方程,实质上就是对一元二次方程变形,转化成开平方所需的形式.
探究点2 用配方法解二次项系数不为1的方程
典例2 用配方法解方程:3x2-2x-4=0.
[解析]移项,得3x2-2x=4,
系数化为1,得x2-x=,
配方,得x2-x+,
即,
∴x-=±,得x1=,x2=.
用配方法解一元二次方程时,应先将二次项的系数化为1,并将常数项移到方程的右边,然后在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方.
变式训练 用配方法解方程:(x-1)2-2(x-1)+=0.
[解析](x-1)2-2(x-1)=-,
(x-1)2-2(x-1)+1=-+1,
[(x-1)-1]2=,
x-2=±.
∴x1=2+,x2=2-.
三、板书设计
配方法
1.用配方法解二次项系数为1或不为1的一元二次方程.
2.用配方法解一元二次方程的方法及思想:直接开平方法及降次的思想.
3.用配方法解一元二次方程的主要步骤:(1)移项;(2)二次项系数化为1;(3)配方;(4)直接开平方.
◇教学反思◇
本节课主要讲解用配方法解一元二次方程.在教学中注重知识的前后联系,在温故中孕育新知,按照由特殊到一般的规律,降低了学生的学习难度.在教学中应让学生认识到,配方的思想在解决许多数学问题时都会用到.在时间允许的情况下,可向学生介绍如何用配方法说明代数式的正负,求最大(小)值的问题.因此在教学中要始终强调这种思想及配方的过程.
