21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 用一元二次方程解决传播类问题
◇教学目标◇
【知识与技能】
能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,并能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.
【过程与方法】
通过自主探究,独立思考与合作交流,使学生弄清实际问题的背景,挖掘隐藏的数量关系,把有关数量关系分析透彻,找出可以作为列方程依据的主要相等关系,建立一元二次方程.
【情感、态度与价值观】
通过学习获得更多运用数学知识分析和解决实际问题的方法和经验,更好地体会数学的价值观.
◇教学重难点◇
【教学重点】
将实际问题转化为一元二次方程的数学模型,并根据实际问题检验解的合理性.
【教学难点】
建立数学模型解决实际问题,设计方案解决实际问题.
◇教学过程◇
一、情境导入
若一人患流感,每轮能传染5个人,则第一轮过后共有6个人患了流感,第二轮后共有多少个人患了流感?经过几轮共有186个人患了流感呢?
二、合作探究
探究点1 列一元二次方程解决传播、握手问题
典例1 一个人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?如果按照这样的传染速度,经过三轮传染后共有多少人患流感?
解:设平均一人传染了x人,
根据题意,得x+1+(x+1)x=121.
解得x1=10,x2=-12(不合题意,舍去).
经过三轮传染后患流感的人数为121+10×121=1331.
答:每轮传染中平均一个人传染了10个人,经过三轮传染后共有1331个人患流感.
在应用一元二次方程解决实际问题时,要注意分析题意,抓住主要的数量关系,列出方程,把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程的解之后,要注意检验是否符合题意,然后得到答案.
变式训练 在李老师所教的班级中,每两个学生都握手一次,全班学生一共握手780次,那么李老师所教的班级共有 名学生.?
[答案] 40
典例2 已知一个两位数比它个位上数的平方小6,个位上的数与十位上的数的和是13,求这个两位数.
解:设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(13-x),由题意得10(13-x)+x+6=x2,解得x1=8,x2=-17(不合题意,舍去),∴13-x=5,则这个两位数是58.
三、板书设计
用一元二次方程解决传播类问题
1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:
(1)设:设未知数;
(2)列:根据题中的等量关系列方程;
(3)解:求出所列方程的根;
(4)检验:验证是否符合题意;
(5)答:回答题目中要解决的问题.
2.举例说明用一元二次方程解决传播问题、握手问题、数字问题等实际问题的常用方法.
◇教学反思◇
本节课主要内容是列一元二次方程解应用题.在教学中体现了类比(与列一元一次方程相类比)及建模的重要方法,有利于学生形成发现问题、解决问题和总结规律的思维方法.在教学中一定要反复强调验根的必要性,规范解题步骤,总结列方程解应用题的步骤.
第2课时 用一元二次方程解决增长率问题
◇教学目标◇
【知识与技能】
会用列一元二次方程的方法解决有关增长(降低)率问题和利润问题.
【过程与方法】
1.进一步体会利用一元二次方程解决实际问题的一般规律和方法;
2.进一步提高分析问题、解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
在问题解决过程中,丰富学生数学应用意识,培养学生学以致用的能力,激发学生的求知欲.
◇教学重难点◇
【教学重点】
解决增长率、利润有关的问题.
【教学难点】
把实际问题抽象成数学问题,并根据实际问题的意义构建等量关系,列出方程.
◇教学过程◇
一、情境导入
党的十八大提出,2020年实现全面建成小康社会的宏伟目标:“国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番.”如果把每5年作为一个整体,那么每5年的人均收入的增长率是多少?
二、合作探究
探究点1 与增长率有关的问题
典例1 今年,我市某中学响应“足球进校园”的号召,开设了“足球大课间”活动.现需要购进100个某品牌的足球供学生使用,经调查,该品牌足球2015年的单价为200元,2017年的单价为162元.
(1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率;
(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案:
试问去哪个商场购买足球更优惠?
[解析] (1)设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x,
根据题意得200×(1-x)2=162,
解得x=0.1=10%或x=1.9(舍去).
答:2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%.
(2)100×≈90.91(个),
在A商场需要的费用为162×91=14742(元),
在B商场需要的费用为162×100×=14580(元).
且14742>14580.
答:去B商场购买足球更优惠.
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时,要理清原数、后来数、增长率(或降低率),以及增长(或降低)的次数之间的数量关系.如增长率:若原数是a,每次增长的百分率为x,则第一次增长后为a(1+x);第二次增长后为a(1+x)+a(1+x)·x=a(1+x)2.即原数×(1+增长的百分率)2=后来数.同理得降低率问题的关系式:原数×(1-降低的百分率)2=后来数.另外,还要注意,增长率可以大于1,但降低率不能大于1.
变式训练 某农机厂四月份生产零件50万个,第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是 ( )
A.50(1+x)2=182
B.50+50(1+x)+50(1+x)2=182
C.50(1+2x)=182
D.50+50(1+x)+50(1+2x)=182
[答案] B
探究点2 与利润有关的问题
典例2 山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元.按每千克60元出售,平均每天可售出100千克.后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售量可增加20千克.若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:
(1)每千克核桃应降价多少元?
(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?
[解析] (1)设每千克核桃应降价x元.
根据题意,得(60-x-40)(100+×20)=2240.
化简,得x2-10x+24=0,解得x1=4,x2=6.
答:每千克核桃应降价4元或6元.
(2)由(1)可知每千克核桃可降价6元或4元.
因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价6元.
此时,售价为60-6=54(元),×100%=90%.
答:该店应按原售价的九折出售.
三、板书设计
用一元二次方程解决增长率问题
1.增长率=(实际数-基数)/基数.
2.平均增长(或降低)率公式:Q=a(1±x)2,其中a是增长(或降低)的基础量,x是平均增长(或降低)率,2是增长(或降低)的次数.
3.利用增长率的关系式解决有关增降率问题的应用题,适用直接开平方法来解.
◇教学反思◇
本节主要内容是平均增长(降低)率和利润问题.在教学中注重了问题的形成过程,不是向学生直接给出平均增长(降低)率公式,有利于学生对知识的掌握和理解.在今后的教学中要注意学生需根据情况对实际问题进行验根.
第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
◇教学目标◇
【知识与技能】
能根据几何图形,结合问题中的数量之间的等量关系,列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题.
【过程与方法】
经历读题、审题、建模和解题的过程,进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学生学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
◇教学重难点◇
【教学重点】
根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.
【教学难点】
根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型.
◇教学过程◇
一、情境导入
一幅长8分米,宽6分米的矩形风景画(如图1)的四周镶宽度相同的金色纸边,制成一幅矩形挂图(如图2).如果要使整个挂图的面积是80平方分米,你能求出金色纸边的宽吗?
二、合作探究
探究点 与几何图形有关的问题
典例1 如图,某小区有一块长为30 m,宽为24 m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为480 m2,两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道,则人行通道的宽度为 m.?
[解析] 设人行道的宽度为x m,根据题意得,(30-3x)(24-2x)=480,解得x1=20(舍去),x2=2.则人行通道的宽度是2 m.
[答案] 2
解与图形有关的应用题,要注意这类应用题中常用的相等关系——面积公式,还要注意挖掘题目中隐含的相等关系.将不规则图形分割或组合成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程.
变式训练 如图,在宽为20 m,长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪,求使草坪的面积为540 m2时道路的宽.
[解析] 设道路宽为x m,
根据题意,列出方程为(20-x)(32-x)=540.
整理得x2-52x+100=0.
解得x1=50(舍去),x2=2.
答:道路宽为2 m.
【方法指导】这类题目,不管路的形状,只要路的宽度相等,一般通过将路向上和向左平移,将绿化地转化为一个矩形.
典例2 如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m),现在已备足可以砌50 m长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300 m2.
[解析] 设AB=x m,则BC=(50-2x)m.
根据题意可得x(50-2x)=300,
解得x1=10,x2=15.
当x1=10时,BC=50-10-10=30>25,
故x1=10(不合题意,舍去).
当x2=15时,BC=50-2×15=20.
答:可以砌成AB为15米,BC为20米的矩形.
这类题一定要注意花园的长度不能超过墙的长度.(1)可设平行于墙的长度为x,列方程解,这样便于检验;(2)也可设垂直于墙的长度为x,列方程解,这样便于计算.
三、板书设计
用一元二次方程解决几何图形问题
1.常见几何图形的面积有:三角形的面积,矩形、菱形、正方形的面积,圆的面积等.
2.利用图形的面积公式找相等关系列方程.
3.举例说明一元二次方程解几何类应用题的常见类型:
(1)面积问题;(2)镶嵌问题;(3)动点问题;(4)区域规划问题等.
◇教学反思◇
本节主要讲解了与图形有关的应用题.对于这部分内容,让学生体会数学来源于生活,又服务于生活.在教学中要注意对常见类型进行归纳,如例1可用平移的方法解决.同时在教学时应复习与图形有关的面积公式.
