第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.掌握二次函数的概念,会判断一个函数是否为二次函数;
2.能够依据实际情况建立二次函数关系式.
【过程与方法】
通过具体实例中变量关系的特征,感受二次函数的特征和意义,初步认识二次函数.
【情感、态度与价值观】
1.体会数学与人们生活的联系.
2.在探究二次函数的学习活动中,体会通过探究得到发现的乐趣.
◇教学重难点◇
【教学重点】
二次函数的定义.
【教学难点】
经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
◇教学过程◇
一、情境导入
1.现有一根12 m长的绳子,用它围成一个矩形,怎样才能使矩形的面积最大?小明同学认为当围成的矩形是正方形时,它的面积最大,他说的有道理吗?
2.很多同学都喜欢打篮球,你知道吗,投篮时,篮球运动的路线是什么曲线?怎样计算篮球到达最高点时的高度?
二、合作探究
探究点1 二次函数的定义
典例1 下列函数中哪些一定是二次函数?
(1)y=x3-2x2+1;(2)y=x2-(1+x)x;(3)y=(x+1)(x-1);(4)y=xz+x2;(5)y=x2+;(6)y=ax2+bx+c.
[解析] (1)中自变量x的最高指数是3,不是2,所以不是二次函数;(2)中y=x2-(1+x)x,整理后解析式为y=-x,是一次函数;(3)中y=(x+1)(x-1)化简后为y=x2-1,符合二次函数的定义,是二次函数;(4)y=xz+x2,有两个变量,不符合二次函数的定义,不是二次函数;(5)y=x2+,含有分式,不是二次函数;(6)中当a=0时,不是二次函数,当a≠0时,是二次函数.
判断一个函数是否是二次函数,就是看它是否符合二次函数的定义,即经过去括号,合并同类项后,看它是否是关于自变量的二次整式,是否符合y=ax2+bx+c(a≠0)的形式.
变式训练 已知函数y=(m+1)+(m-1)x是二次函数,求m的值.
[解析] 根据二次函数的定义,得
解得m=4,即m=4时,此函数是二次函数.
【方法指导】这类题的一般解法是根据二次函数的定义令最高项的指数等于2,系数不为零.特别注意当二次项的系数含有字母时,一定要保证所取字母的值使二次项的系数不为零.
探究点2 列实际问题中的二次函数关系式
典例2 现有塑钢窗框材料8 m,准备加工一个如图所示的长方形窗框(窗框的宽度AB必须小于高度BC).已知窗台距离房屋天花板2.2 m,设窗架宽AB为x m,窗户的总面积为S m2(窗框本身及横梁EF占去的面积忽略不计).
(1)写出面积S与宽度x之间的关系式.
(2)S是x的二次函数吗?
(3)试求x的取值范围.
[解析] (1)因为窗架宽AB=x m,则高BC= m.
所以S=·x,即S=-x2+4x.
(2)S是关于x的二次函数.
(3)由已知BC≤2.2,AB
写出两个变量之间的关系式时,通常先用自变量的代数式表示相关的量,再由数量关系建立等式,写出关系式即可.在列与图形有关的函数关系式时,记住有关图形的面积公式是关键.
三、板书设计
二次函数
1.二次函数的定义:
形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.
2.判断是否是二次函数的方法:
判断一个函数是否是二次函数,就是看它是否符合二次函数的定义.即经过去括号,合并同类项后,看它是否是关于自变量的二次整式,也就是是否符合y=ax2+bx+c(a≠0)的形式.也就是自变量的指数必须是2且二次项的系数不为0.
◇教学反思◇
本节主要讲解二次函数的定义,在教学中不宜直接给出,而是让学生自己在分析实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型的过程中,增加对二次函数的感性认识,从而得出二次函数的定义.
通过回顾函数的定义及学过的几个函数,类比得出二次函数的定义.
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象,知道抛物线的有关概念;
2.掌握二次函数y=ax2的图象和性质.
【过程与方法】
1.经历探索二次函数y=x2的图象作法和性质的过程,获得利用图象研究二次函数性质的经验.
2.通过类比y=x2的图象及性质,得出y=-x2的图象及性质.
【情感、态度与价值观】
1.在画图、观察、比较等探究活动中,形成良好的思维习惯和学习方法;
2.在探究二次函数y=ax2的性质活动中,体会通过探究得到发现问题的乐趣.
◇教学重难点◇
【教学重点】
二次函数y=ax2(a≠0)的图象和由图象概括的二次函数y=ax2的性质.
【教学难点】
用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质.
◇教学过程◇
一、情境导入
如图是某篮球运动员投篮示意图,你知道篮球从出手到落入篮圈内的路线是什么图形吗?它是如何画出来的?
我们把篮球从出手到落入篮圈内的曲线叫抛物线,你还能举出一些抛物线的例子吗?
二、合作探究
探究点1 画二次函数y=ax2的图象
典例1 在同一坐标系中画出二次函数y=-2x2和y=x2的图象.
[解析] (1)列表如下:
(2)描点:如图所示.
(3)连线:如图所示.
画二次函数y=ax2的图象时注意以下几点:
(1)恰当选取自变量,求出相应函数值,一定要注意x=0是必须取的;
(2)连线时按一定顺序用平滑的曲线连接.
变式训练 当物体自由下落时,下落的高度h与下落时间t之间的关系:h=gt2(g为定值,g取10米/秒2),即h是t的函数.
(1)当t=1,2,3秒时,求出物体的下落高度h;
(2)画出函数h=gt2的图象.
[解析] (1)把t=1,2,3代入关系式h=gt2,可求得h1=5米,h2=20米,h3=45米.
(2)图略.
探究点2 二次函数y=ax2的图象与性质
典例2 画出函数y=2x2图象,回答下列问题:
(1)图象是抛物线吗?如果是抛物线,那么它的顶点是 ,对称轴是 .?
(2)图象有最高点还是最低点?坐标是什么?
(3)当x<0时,随着x值的增大,y的值如何变化?当x>0呢?
[解析] 列表:
在直角坐标系内描出相应各点的坐标如图所示,用平滑的曲线连接图中各点,即得到此函数的图象.
(1)由图可以看出,图象是抛物线,顶点为原点,对称轴是y轴.
(2)从图象可知,图象有最低点(0,0).
(3)当x<0时,随着x的增大,y的值逐渐减小;当x>0时,随着x值的增大,y的值逐渐增大.
二次函数y=ax2(a>0)的性质:
(1)函数y=ax2(a>0)的图象是一条抛物线,它的开口向上,对称轴是y轴,顶点是原点.抛物线在x轴上方,并向上无限延伸,顶点是抛物线的最低点.
(2)x>0时,y随x的增大而增大;x<0时,y随x的增大而减小;当x=0时,y取最小值0.
探究点3 二次函数y=ax2的图象与性质的运用
典例3 已知函数y=(m+2)是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的m值.
(2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点.这时当x为何值,y随x的增大而增大?
(3)m为何值时,函数有最大值?最大值是多少?这时当x为何值时,y随x的增大而减小?
[解析] (1)∵y=(m+2)是关于x的二次函数,
∴
解得m=2或m=-3.
(2)∵抛物线有最低点,
∴m+2>0.
∴当m=2时,抛物线有最低点,这个最低点的坐标是(0,0).
∴当x>0时,y随x的增大而增大.
(3)∵二次函数有最大值,
∴m+2<0,即m<-2.
∴当m=-3时,抛物线有最大值,最大值为0.
∴当x>0时,y随x的增大而减小.
抛物线有最高点和最低点与a的正负有关,当a>0时,抛物线开口向上,图象有最低点;a<0时,抛物线开口向下,图象有最高点.
变式训练 已知二次函数y=(m-1)的图象开口方向向下,则m的值为 .?
[答案] -
三、板书设计
二次函数y=ax2的图象
函数y=x2与y=-x2异同点
相同点:(1)图象相同:抛物线;(2)对称轴相同:都是y轴;(3)顶点相同:都是原点.
不同点:(1)开口方向不同,y=x2的开口向上,y=-x2的开口向下.(2)增减性不同:当x>0时,y=x2是y随x的增大而增大;y=-x2是y随x的增大而减小.当x<0时,y=x2是y随x的增大而减小;y=-x2是y随x的增大而增大.当x=0时,y=x2取最小值,图象有最低点;y=-x2取最大值,图象有最高点.
◇教学反思◇
本节课是研究二次函数图象与性质的第一节,抛物线对学生而言是全新的知识.教学中引导学生画出最简单的二次函数y=x2和y=-x2图象,形象直观地引出了抛物线的概念,并结合图形初步归纳出二次函数y=ax2的性质.
在教学中注意图象与解析式的联系.在探究图象性质时,要注意关注学生是否理解,而不是让学生死记硬背二次函数的性质.另外,要尽量利用多媒体进行教学.
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.经历求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标的过程;
2.会画二次函数y=ax2+bx+c的图象;
3.能把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k的形式,从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标,并掌握二次函数的性质.
【过程与方法】
1.经历求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标的探究过程,渗透配方和数形结合思想方法;
2.在学习y=ax2+bx+c的性质过程中,渗透转化的思想,学会用函数的思想去描述、研究其变化规律,逐步学会用函数的观点观察、分析问题,培养学生观察、分析、概括能力.
【情感、态度与价值观】
通过思考(立足于旧知识考虑新问题)、探究、归纳、尝试(应用)等过程,让学生从中学会探索新知的方式方法.
◇教学重难点◇
【教学重点】
二次函数y=ax2+bx+c的性质及顶点坐标公式的推导.
【教学难点】
通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k的形式,求对称轴和顶点坐标.
◇教学过程◇
一、情景导入
1.我们已经发现,二次函数y=2(x-3)2+1的图象,可以由函数y=2x2的图象先向右平移3个单位,再向上平移1个单位得到,因此可以直接得出:函数y=2(x-3)2+1的开口向上,对称轴是x=3,顶点坐标是(3,1).
2.对于任意一个二次函数,如y=ax2+bx+c(a≠0)你能把它化成y=a(x-h)2+k的形式,从而说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标,并画出图象吗?如二次函数y=-x2+x-.
二、合作探究
探究点1 二次函数y=ax2+bx+c的性质
典例1 已知二次函数y=x2-6x+21.
(1)写出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标;
(2)说明该函数图象有哪些性质.
[解析] (1)∵a=>0,∴抛物线的开口向上.
把二次函数y=x2-6x+21配方,得y=(x-6)2+3.
∴抛物线的顶点坐标为(6,3),对称轴为x=6.
(2)当x<6时,y随x的增大而减小;当x>6时,y随x的增大而增大;当x=6时,y取最小值3.
变式训练 在二次函数y=-x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是 ( )
A.x<1 B.x>1
C.x<-1 D.x>-1
[答案] A
探究点2 画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
典例2 画出二次函数y=-x2-3x-的图象.
[解析] (1)由y=-x2-3x-=-(x+3)2+2,所以它的顶点坐标为(-3,2).
(2)列表:
(3)描点、连线,如图所示.
【归纳总结】画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,通常先用配方法确定对称轴x=-,再以-为中心对称选取自变量x的对应值,求出对应y的值.一般情况下在x=-两边分别选取三个值.
三、板书设计
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.公式指导
y=ax2+bx+c=a.
结论:任何一个二次函数y=ax2+bx+c可通过配方法化为y=a(x-h)2+k的形式,y=a,其对称轴是直线x=-,顶点坐标.
2.性质
◇教学反思◇
本节依据学生“探索——思维——应用”的三大学习层次,从学生的原有知识出发,利用前面学过画图象的方法和抛物线平移的规律,让学生亲身体验,在体验中研究二次函数的性质.在应用过程中,针对学生易错易混点集中突破,使知识能够落实应用,并有效地迁移,提升学生应用知识的能力.
*第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
◇教学目标◇
【知识与技能】
会利用待定系数法求二次函数解析式.
【过程与方法】
类比求一次函数解析式的方法,经历确定二次函数解析式的过程,体会求二次函数的思想方法.
【情感、态度与价值观】
引导学生通过自主探究与合作交流,增强培养学生的学习兴趣及勇于探索的精神.
◇教学重难点◇
【教学重点】
用待定系数法求二次函数的解析式.
【教学难点】
根据条件合理选择适当形式求二次函数的解析式.
◇教学过程◇
一、情境导入
某科幻小说中,有这样一个情节:科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这种植物高度的增长情况(如表).
由这些数据,科学家推测出植物高度的增长量l与温度t的函数关系,并由它推测出最适合这种植物生长的温度.
你知道科学家是怎样推测的吗?
二、合作探究
探究点1 设一般式求二次函数的关系式
典例1 已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(-3,0),B(-2,3),C(0,3),求抛物线的解析式.
[解析] 将点A,B,C的坐标代入解析式,得解得
故抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.
变式训练
如图,抛物线的函数解析式是 ( )
A.y=x2-x+2
B.y=x2+x+2
C.y=-x2-x+2
D.y=-x2+x+2
[答案] D
探究点2 设顶点式求二次函数关系式
典例2 已知抛物线的顶点为A(-1,4),与y轴的交点为D(0,3),求抛物线的解析式.
[解析] 因为抛物线的顶点为A(-1,4),
所以设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4,
把D(0,3)代入,得3=a+4,
解得a=-1,
所以抛物线的解析式为y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3.
【方法指导】如果题目已知二次函数图象的顶点坐标为(h,k),或已知抛物线的对称轴,或函数的最大(小)值,一般设函数关系式为y=a(x-h)2+k,再根据其他条件求出其余的待定系数.
变式训练 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(1,0),B(0,-3),且对称轴为直线x=2,求其函数关系式.
[解析] 设所求的解析式为y=a(x-2)2+k.
∵二次函数图象过点A(1,0),B(0,-3)两点,
∴解得a=-1,k=1.
∴所求的函数关系式为y=-(x-2)2+1,即y=-x2+4x-3.
探究点3 设交点式求二次函数的解析式
典例3 已知二次函数的图象与x轴交于(-2,0),(4,0)两点且过点(1,-),求二次函数的解析式.
[解析] 设二次函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2),
即y=a(x+2)(x-4).
又∵图象过点(1,-),
∴a(1+2)(1-4)=-,解得a=,
∴此二次函数的解析式为y=(x+2)(x-4),
即y=x2-x-4.
当已知二次函数的图象与x轴的交点时,常设交点式y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标.
三、板书设计
用待定系数法求二次函数的解析式
1.用待定系数确定二次函数解析式的步骤:
(1)设:设出符合条件的二次函数解析式.
(2)列:根据题意,列出方程或方程组.
(3)解:解方程(组),求出相应的待定系数.
(4)代:把相应的系数代入前面所设的解析式,从而写出二次函数的解析式.
2.设解析式的几种形式:
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0).
(3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1,x2是图象与x轴交点的横坐标.)
◇教学反思◇
本节主要学习用待定系数法求二次函数的解析式,通过类比求一次函数解析式的方法得到求二次函数解析式的方法较好,学生易于接受.用一般式求二次函数的解析式是主要方法,顶点式和交点式是特殊的方法.对于交点式由于没有学习二次函数与一元二次方程的关系,学生开始可能只是模仿去做,需要在以后的学习中慢慢渗透和强化.同时要让学生体会合理选择不同的二次函数解析式的方法.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.会用描点法画二次函数y=ax2+k的图象;
2.理解抛物线y=ax2与y=ax2+k之间的位置关系.
【过程与方法】
1.经历探索二次函数y=ax2+k图象的作法和性质的过程,让学生进一步明确和掌握研究这类函数的一般方法和过程.
2.通过y=ax2+k与y=ax2的比较,培养学生观察与比较的能力.
【情感、态度与价值观】
在探究二次函数y=ax2+k性质的过程中,增强学生学习的自信心.
◇教学重难点◇
【教学重点】
二次函数y=ax2+k的图象与性质.
【教学难点】
1.二次函数y=ax2+k的性质.
2.理解二次函数y=ax2与y=ax2+k之间的联系.
◇教学过程◇
一、情境导入
你们还记得一次函数y=2x与y=2x+1的图象的关系吗?你能由此推测二次函数y=x2与y=x2+1的图象之间的关系吗?那么y=x2与y=x2-1的图象之间又有什么关系?
二、合作探究
探究点1 二次函数y=ax2+k的图象
典例1 已知下列二次函数:y=0.5x2,y=0.5x2+2,y=0.5x2-2,不画图象,回答下列问题:
(1)指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置.
(2)你能说出抛物线y=0.5x2+k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗?
(3)根据上题的结果,试说明:分别通过怎样的平移,可以由抛物线y=0.5x2得到抛物线y=0.5x2+2和y=0.5x2-2.
[解析] (1)抛物线y=0.5x2开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,0).抛物线y=0.5x2+2开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,2).抛物线y=0.5x2-2开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,-2).
(2)抛物线y=0.5x2+k开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,k).
(3)抛物线y=0.5x2向上平移2个单位长度得到y=0.5x2+2的图象,向下平移2个单位长度得到y=0.5x2-2的图象.
(1)二次函数y=ax2的图象与y=ax2+k的图象形状大小完全相同,只是位置不同.画y=ax2+k的图象可先画出y=ax2的图象,再将其向上(或向下)平移|k|个单位得到y=ax2+k的图象.
(2)用描点法画y=ax2+k的图象时,通常在对称轴两侧分别取三组对称的值,但一定要有顶点.
探究点2 二次函数y=ax2+k的性质
典例2 已知二次函数y=(3+k)x2-5,求:
(1)当k为何值时,函数有最大值?最大值是多少?
(2)当k为何值时,函数有最小值?最小值是多少?
[解析] (1)当k<-3时,函数有最大值,最大值是-5.
(2)当k>-3时,函数有最小值,最小值为-5.
二次函数y=ax2+k的性质与y=ax2的性质类似,只是最大(小)值不同,因此,可结合y=ax2的性质记y=ax2+k的性质.
变式训练 已知b<-1,点A(b-1,y1),B(b,y2),C(b+1,y3)都在函数y=-0.5x2-2的图象上,则 ( )
A.y1C.y3[答案] A
三、板书设计
二次函数y=ax2+k的图象和性质
1.二次函数y=ax2+k的图象
二次函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象上下平移得到.当k>0时,可由y=ax2的图象向上平移k个单位得到;当k<0时,可由y=ax2的图象向下平移|k|个单位而得到.
2.二次函数y=ax2+k的性质
二次函数y=ax2+k的图象可以通过把y=ax2的图象向上平移或向下平移|k|个单位得到.当k>0时,向上平移,当k<0时,向下平移.
3.当a>0时,抛物线y=ax2+k的图象开口向上,当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大;当x=0时,y取得最小值k.
当a<0时,抛物线y=ax2+k的图象开口向下,当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小;当x=0时,y取得最大值k.
◇教学反思◇
本节课的学习使学生经历探索与发现的过程,加深对二次函数性质的理解,突出培养学生自主研究二次函数的能力.
教学中让学生在作图时,边发现,边归纳,完成由感性认识到理性认识的提升,为后面研究其他形式的二次函数打下基础.
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
会用描点法画二次函数y=a(x-h)2的图象,理解抛物线y=a(x-h)2与y=ax2之间的位置关系.
【过程与方法】
经历探索二次函数y=a(x-h)2的作图的过程,体会数形结合的思想.
【情感、态度与价值观】
在探究二次函数y=a(x-h)2的性质的过程中,培养学生学习数学的兴趣和增强学生学习的自信心.
◇教学重难点◇
【教学重点】
二次函数y=a(x-h)2图象和性质.
【教学难点】
抛物线y=ax2通过平移后得到y=a(x-h)2时,确定平移的方向和距离.
◇教学过程◇
一、情境导入
我们已经了解到,函数y=ax2+k的图象,可以由函数y=ax2的图象上下平移所得,那么函数y=(x-2)2的图象,是否也可以由函数y=x2平移而得呢?
二、合作探究
探究点1 二次函数y=a(x-h)2的图象
典例1 在同一直角坐标系内,画出函数y=x2,y=(x+1)2,y=(x-1)2的图象,并根据图象回答下列问题.
(1)抛物线y=(x+1)2和y=(x-1)2可看作由y=x2怎样平移得到的?
(2)函数y=(x-1)2的图象的顶点坐标是 ,对称轴是 .?
[解析] 列表:
描点、连线得函数y=x2,y=(x+1)2,y=(x-1)2的图象如图所示.
(1)抛物线y=(x+1)2可看作是将抛物线y=x2向左平移1个单位长度得到的,抛物线y=(x-1)2可看作y=x2向右平移1个单位长度得到的.
(2)顶点坐标(1,0),对称轴为直线x=1.
(1)画二次函数y=a(x-h)2的图象时,要以x=h为中心左右取点.
(2)确定平移规律时,可看顶点是如何平移的.
探究点2 二次函数y=a(x-h)2的性质
典例2 已知二次函数y=a(x-h)2,当x=2时有最大值,且此函数的图象过点(1,-3),求h的值,并指出当x为何值时,y随x的增大而增大?
[解析] 因为当x=2时,y有最大值,
所以h=2,则y=a(x-2)2,
把(1,-3)代入得a=-3,
所以y=-3(x-2)2.
当x<2时,y随x的增大而增大.
三、板书设计
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
1.二次函数y=a(x-h)2的图象
二次函数y=a(x-h)2的图象可由二次函数y=ax2的图象左右平移得到.当h>0时,向右平移h个单位得到;当h<0时,向左平移|h|个单位得到.y=a(x-h)2的顶点是(h,0),对称轴是直线x=h.
2.二次函数y=a(x-h)2的性质
a>(<)0时,当x◇教学反思◇
本节主要学习二次函数y=a(x-h)2的图象与性质,要求学生掌握y=ax2的图象与y=a(x-h)2的图象之间的关系,即函数y=ax2(a≠0)和函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax2的图象沿x轴向左(当h<0时)或向右(当h>0时)平移|h|个单位就得到y=a(x-h)2的图象.
能够理解a,h对函数图象的影响,初步体会二次函数关系式与图象之间的联系,渗透数形结合的思想,为今后的学习打下良好的基础.
本节课的处理是在教师的引导下,学生进行观察、归纳、总结,充分体现以学生为主、教师为辅的教学思想.这样有助于提高学生分析问题和解决问题的能力.
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k的图象,并通过图象认识函数的性质.
【过程与方法】
结合函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象平移规律的探究过程,继续渗透数形结合的方法.
【情感、态度与价值观】
经历观察、猜想、总结等数学活动的过程,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力,能有条理并清晰地简述自己的观点.
◇教学重难点◇
【教学重点】
二次函数y=a(x-h)2+k的性质.
【教学难点】
二次函数y=a(x-h)2+k图象与y=ax2图象之间的关系.
◇教学过程◇
一、情境导入
由前面的知识,我们知道函数y=x2的图象,向上平移1个单位,可得到函数y=x2+1的图象,向右平移2个单位,可得函数y=(x-2)2的图象,那么函数y=x2的图象如何平移,才能得到函数y=(x-2)2+1的图象呢?
二、合作探究
探究点1 二次函数y=a(x-h)2+k的图象
典例1 画出二次函数y=-2(x+3)2-1的图象,说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标,并说明它是由y=-2(x-1)2经过怎样的平移得到的.
[解析] 列表:
描点、连线得函数的图象如图所示.
因为a=-2<0,所以它的开口向下,对称轴是直线x=-3,顶点坐标是(-3,-1),
因为y=-2(x-1)2的顶点坐标为(1,0),-3-1=-4,-1-0=-1,所以将y=-2(x-1)2的图象先向左平移4个单位,再向下平移1个单位就可得到y=-2(x+3)2-1的图象.
(1)画二次函数y=a(x-h)2+k的图象时,列表时一定要以x=h为中心取点,不要以x=0为中心取点,这样画出的图象不正确.
(2)确定两条抛物线的平移规律时,只需看它们的顶点是如何平移的即可.
探究点2 二次函数y=a(x-h)2+k的性质
典例2 如图是抛物线y=a(x-h)2+k的图象,它的对称轴是 ,当x 时,y随x的增大而增大;当x 时,y随x的增大而减小.?
[解析] 图中抛物线的开口向下,a<0;抛物线与x轴两个交点的横坐标为-2,6,所以抛物线的对称轴是直线x=2,所以在对称轴的左侧,即x<2时,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,即x>2时,y随x的增大而减小.
[答案] x=2 x<2 x>2
变式训练 设A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)2+a上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为 ( )
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2
C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2
[答案] A
三、板书设计
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象
二次函数y=a(x-h)2+k的图象可由抛物线y=ax2的图象向右(或向左)平移|h|个单位,再向上(或向下)平移|k|个单位而得到.二次函数y=a(x-h)2+k的对称轴是直线x=h,顶点坐标是(h,k).
2.二次函数y=a(x-h)2+k的性质
(1)当a>0时,抛物线y=a(x-h)2+k的开口向上,xh(对称轴右侧)时,y随x的增大而增大;x=h时,y取最小值k,即顶点是抛物线的最低点.
(2)当a<0时,抛物线y=a(x-h)2+k的图象开口向下,
xh(对称轴右侧)时,y随x的增大而减小;x=h时,y取最大值k,即顶点是抛物线的最高点.
◇教学反思◇
本节主要学习二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质,要让学生理解y=ax2与y=a(x-h)2+k的图象之间的关系.
在教学中尽量使用多媒体教学,使学生感受到图象之间的关系.另外,在教学中,努力培养学生探索问题,发现规律,解决问题的能力,引导学生积极参与,让每个学生都动手、动脑,使教与学融为一体.
