22.3 实际问题与二次函数
第1课时 最值问题
◇教学目标◇
【知识与技能】
能根据实际问题中的二次函数关系式,结合二次函数的图象分析问题、解决问题.
【过程与方法】
通过探究最大面积、最大利润等问题,体会二次函数是解决最优问题的数学模型,感受数学的应用.
【情感、态度与价值观】
体验函数的实际应用,感受数学与生活的密切联系,从实践动手中,产生对数学的兴趣,从而培养学生创新精神和实践能力.
◇教学重难点◇
【教学重点】
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最值.
【教学难点】
从实际问题中抽象出二次函数模型,利用二次函数知识解决实际生活中的最大(小)值问题.
◇教学过程◇
一、情境导入
在实际生活中,我们常常会碰到一些带有“最”字的问题,如:某商品现在的售价为每件10元,一周可卖出50件.市场调查表明,这种商品如果每件涨价1元,每周要少卖出5件.已知该商品的进价为每件8元,问每件商品涨价多少,才能使每周得到的利润最大?
二、合作探究
探究点1 图形与最大面积
典例1 如图,矩形ABCD的两边长AB=18 cm,AD=4 cm,点P,Q分别从A,B同时出发,P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动,点Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动.设运动时间为x秒,△PBQ的面积为y(cm2).
(1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)求△PBQ的面积的最大值.
[解析] (1)∵S△PBQ=PB·BQ,PB=AB-AP=18-2x,BQ=x,
∴y=(18-2x)x,
即y=-x2+9x(0(2)由(1)知y=-x2+9x,
∴y=-,
∵当0而0即△PBQ的最大面积是20 cm2.
【方法指导】当顶点不在自变量的取值范围内时,用二次函数的增减性求最值;当顶点在自变量的取值范围内时,可通过计算顶点的纵坐标,端点坐标求最值,也可通过画图象求解.
探究点2 何时获得最大利润
典例2 某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元,经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:
(1)求y与x之间的函数解析式;
(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数解析式(利润=收入-成本);
(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?
[解析] (1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b,
∴解得
即y与x之间的函数解析式是y=-2x+200.
(2)由题意,可得W=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280x-8000,
即W与x之间的函数解析式是W=-2x2+280x-8000.
(3)∵W=-2x2+280x-8000=-2(x-70)2+1800,40≤x≤80,
∴当40≤x≤70时,W随x的增大而增大,当70≤x≤80时,W随x的增大而减小,
当x=70时,W取得最大值,此时W=1800.
答:当40≤x≤70时,W随x的增大而增大,当70≤x≤80时,W随x的增大而减小,售价为70元时获得最大利润,最大利润是1800元.
三、板书设计
求实际问题中的最大值或最小值
1.解决问题方法
建立函数关系式,利用二次函数的性质求最大值或最小值.
2.注意事项
求出解析式后,确定最大值或最小值时,要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内.若不在,应结合图象求最大值或最小值.
◇教学反思◇
本节主要学习图形与最值、利润与最值问题.在教学中,通过问题设置,引导学生自主探究、合作交流,让学生经历实际问题——建立模型——问题解决的过程,掌握求最值的过程,学会建模的一般思想.对于例题、习题的教学要注意难度,让学生的思维有一个拓展的空间.在求最值时,一定要注意自变量的取值范围,先看顶点是不是在取值范围内,再求最值.
第2课时 建立适当坐标系解决实际问题
◇教学目标◇
【知识与技能】
通过建立平面直角坐标系进而求出二次函数解析式,解决有关的实际问题.
【过程与方法】
能将生活中的问题转化为数学问题,体验二次函数的应用.
【情感、态度与价值观】
体会数学的应用价值,感受数学与生活的密切联系.
◇教学重难点◇
【教学重点】
解决隧道、桥拱等实际问题.
【教学难点】
把实际问题转化为数学问题.
◇教学过程◇
一、情境导入
一个涵洞成抛物线形,它的截面如图所示,现测得,当水面宽AB=1.6 m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m.此时,距离水面1.5 m处,涵洞宽ED是多少?是否会超过1 m?你能求出来吗?
二、合作探究
探究点 建立平面直角坐标系解决实际问题
典例 随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽,小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根高2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高,水柱落地处离池中心3米.
(1)请你建立适当的直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式;
(2)求出水柱的最大高度是多少.
[解析] (1)如图所示,以水管与地面交点为原点,原点与水柱落地点所在直线为x轴,水管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,
设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+h,
代入(0,2)和(3,0)得
解得,∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+,
即y=-x2+x+2(0≤x≤3).
(2)y=-x2+x+2(0≤x≤3),
当x=1时,y=,即水柱的最大高度为 m.
在建立直角坐标系时,要尽量使已知点在坐标轴上,即所建直角坐标系要使求出的二次函数解析式比较简单.通常情况下以对称轴为y轴,再灵活选择x轴.
变式训练 有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下水面宽度为20米,拱顶距离水面4米.设正常水位时桥下的水深为2米,为保证过往船只顺利航行,桥下水面的宽度不得小于18米,则水深超过 米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.?
[答案] 2.76
三、板书设计
建立平面直角坐标系解决问题
建立平面直角坐标系的方法:在建立直角坐标系时,要尽量使已知点在坐标轴上,即所建直角坐标系要使求出的二次函数解析式比较简单.通常情况下以对称轴为y轴,再灵活选择x轴.
◇教学反思◇
本节主要内容是建立平面直角坐标系解决实际问题.在教学中,应重点讲解如何建立平面直角坐标系,可通过多种方法建立平面直角坐标系,从而找出最佳解决问题的方法.例题与习题的选择应以解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题为主,注意题目选择的难度.
