23.2 中心对称
23.2.1 中心对称
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.了解中心对称的概念,会判断两个图形是否成中心对称;
2.掌握中心对称的性质,会画图形关于某点成中心对称的图形.
【过程与方法】
1.通过类比轴对称,得出中心对称的概念;
2.利用中心对称的性质解决一些实际问题.
【情感、态度与价值观】
经历观察、感受、讲解和类比的过程,发展学生的数学思维,培养学生的创新意识.
◇教学重难点◇
【教学重点】
中心对称的定义及性质.
【教学难点】
中心对称性质的应用.
◇教学过程◇
一、情境导入
观察下列各组中的两个图形.
(1)它们的形状、大小是否相同?
(2)怎样将一个图形旋转得到另一个图形?
二、合作探究
探究点1 中心对称的定义
典例1 如图所示的4组图形中,左边图形与右边图形成中心对称的有 ( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
[解析] 观察知①②③都可找到一点,绕这点旋转180°后,左边的图形与右边的重合,这三个是中心对称图形;④是轴对称,不是中心对称.
[答案] C
判断两个图形是否关于某点成中心对称,只需找到一点,将其中一个图形绕着这点旋转180°后,观察它们是否重合.一般可从图形的上下左右位置的对调入手观察.
探究点2 中心对称的性质
典例2 如图,Rt△ABC与Rt△AB'C'关于点A成中心对称,若∠C=90°,∠B=30°,AC=1,则BB'的长度为 .?
[解析] ∵∠C=90°,∠B=30°,AC=1,∴AB=2,∵Rt△ABC与Rt△AB'C'关于点A成中心对称,∴AB=AB'=2,
∴BB'=4.
[答案] 4
变式训练 如图,四边形ABCD与四边形FGHE关于点O成中心对称,下列选项中错误的是 ( )
A.AD∥EF,AB∥GF B.BO=GO
C.CD=HE,BC=GH D.DO=HO
[答案] D
在成中心对称的两个图形中,对应边平行(或在同一直线上)且相等.
探究点3 中心对称作图
典例3 如图,已知四边形ABCD和点O,画出四边形EFGH,使四边形EFGH和四边形ABCD关于点O成中心对称.
[解析] (1)连接AO并延长AO到E,使OE=OA,于是得到点A的对称点E;
(2)同样画出点B,C,D的对称点F,G,H;
(3)顺次连接EF,FG,GH,HE,
则四边形EFGH即为所求的四边形.
三、板书设计
中心对称
1.中心对称的定义
把一个图形绕着某一点旋转180°后能够与另一个图形完全重合,就说这两个图形关于这点对称或中心对称.
2.中心对称的性质
对应点连线过对称中心并且被对称中心平分.
3.中心对称作图
和旋转作图类似,只需作出各特殊点的对称点,连接即可.
◇教学反思◇
本节主要讲中心对称的定义、性质及中心对称的作图.在教学过程中,由旋转得出中心对称较好.在例3完成后,让学生改变旋转中心的位置,画出四边形ABCD的中心对称图形,并将题目的结论与条件互换,这样处理可加深学生对知识的理解,提高学生运用知识解决问题的能力.另外,如果时间允许可增加一些关于中心对称应用的实际问题.
23.2.2 中心对称图形
◇教学目标◇
【知识与技能】
了解中心对称图形的概念,会判断一个图形是否是中心对称图形.
【过程与方法】
通过类比轴对称及轴对称图形、观察、思考、讨论、归纳得出中心对称图形的有关概念,找出中心对称与中心对称图形的区别与联系.
【情感、态度与价值观】
深刻体会生活中存在大量的中心对称图形及其应用价值,体会中心对称图形的美,积累一定的审美经验.
◇教学重难点◇
【教学重点】
中心对称图形的定义及判断.
【教学难点】
中心对称图形与中心对称的区别与联系.
◇教学过程◇
一、情境导入
观察图中的两个图案,绕点O旋转180°后,你有什么发现?
二、合作探究
探究点1 中心对称图形的定义
典例1
观察图案,其中是中心对称图形的是 ( )
A.①② B.②③
C.②④ D.③④
[解析] 根据中心对称图形的定义可知,①②不是中心对称图形;③④是中心对称图形.
[答案] D
典例2 下列图形中是中心对称图形的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[解析] 根据中心对称图形的概念逐个验证.由中心对称图形的定义知平行四边形和正六边形是中心对称图形,共2个.
[答案] B
探究点2 中心对称作图
典例3 如图,一个长方形内有一任意圆,请你用一条直线同时将圆和长方形的面积二等分,并说明作图的方法.
[解析] 设长方形的两条对角线的交点为O1,圆心为O2,过点O1,O2作直线l,这条直线将长方形和圆的面积二等分.
过中心对称图形对称中心的任一条直线,都能把这个中心对称图形分成全等的两部分.
三、板书设计
中心对称图形
1.中心对称图形的定义
一个图形绕着某一点旋转180°后能够与它本身重合,那么这个图形叫中心对称图形.
2.利用中心对称图形作图
过中心对称图形对称中心的任一条直线,都能把这个中心对称图形分成全等的两部分.
◇教学反思◇
本节主要学习中心对称图形的定义.在教学中,重点突出,通过具体实例引出了中心对称图形的定义.通过表格归纳常见几何图形的轴对称性和中心对称性,可以使学生对轴对称和中心对称有更加深刻的认识.
23.2.3 关于原点对称的点的坐标
◇教学目标◇
【知识与技能】
理解点P与点P'关于原点对称时,它们横坐标、纵坐标之间的关系,并能运用这一关系解决问题.
【过程与方法】
经历猜想、验证的过程,积累数学活动的经验,提高学生分析问题、解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
通过坐标系内点的坐标对称关系的学习,培养学生合作交流的意识和归纳类比的能力,增强学习数学的信心和乐趣.
◇教学重难点◇
【教学重点】
平面直角坐标系内,关于原点对称的两个点的坐标之间的规律及应用.
【教学难点】
运用中心对称的知识推导归纳关于原点对称的点的坐标规律.
◇教学过程◇
一、情境导入
在平面直角坐标系中,作出点A(3,0),B(0,-1),C(1,2),D(-1,-3).关于原点O的对称点,并写出它们的坐标,类比关于x轴、y轴对称点的坐标特点,这些坐标和已知点有什么联系?
二、合作探究
探究点1 关于原点成中心对称的两个点的坐标之间的关系
典例1 若点M(3,a-2),N(b,a)关于原点对称,则a+b= .?
[解析] 由题意,得b=-3,a-2+a=0,解得a=1,a+b=-3+1=-2.
[答案] -2
变式训练 已知点P(2(2a+1)-,-a-1)关于原点的对称点在第四象限,求a的取值范围.
[解析] 点P(2(2a+1)-,-a-1)关于原点的对称点为(-2(2a+1)+,a+1),
由于这个点在第四象限,
所以解得a<-1.
所以a的取值范围是a<-1.
探究点2 在平面直角坐标系中成中心对称的图形
典例2 如图,每个小正方形的边长为1个单位长度,作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1,并写出点A1,B1,C1的坐标.
[解析] 根据图形可知A(-2,2),B(-3,0),C(-1,-1),各点关于原点对称的点的坐标分别是A1(2,-2),B1(3,0),C1(1,1),然后顺次连接,则△A1B1C1就是△ABC关于原点对称的三角形,如图所示.
画关于原点成中心对称的图形步骤:
(1)根据两点关于原点对称的点的坐标特征,写出原图形上各特殊点关于原点对称的点的坐标;
(2)根据所写坐标,描出各点,再顺次连接即可.
三、板书设计
关于原点对称的点的坐标
1.关于原点对称的点的坐标特征:点(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y).
2.画关于原点成中心对称的图形步骤:(1)根据两点关于原点对称的点的坐标特征,写出原图形上各特殊点关于原点对称的点的坐标;(2)根据所写坐标,描出各点,再顺次连接即可.
◇教学反思◇
本节课主要学习用坐标研究中心对称,关键是掌握两个点关于原点对称的坐标特征.在教学中,通过情境引入类比关于x轴、y轴对称的点的坐标,让学生通过合作探究、观察、归纳、猜想得出了关于原点对称的两个点的坐标特征,体现了以学生为主的原则,加深了对知识的理解.例题选取合理,重点突出.在今后的教学中应加大练习量,必要时可出关于图形变换的综合题,但不要太难.
