第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.通过观察实验操作,使学生明确圆的定义;
2.理解圆的基本元素:弦、弧(劣弧和优弧)、半圆等有关概念,能从图形中正确地识别弦、弧、圆心角等有关概念.
【过程与方法】
通过观察实验,让学生深刻认识圆的定义及其基本概念.
【情感、态度与价值观】
通过教学,培养学生乐观自信、积极向上的学习态度.
◇教学重难点◇
【教学重点】
圆的有关概念的认识.
【教学难点】
用集合的观念描述圆.
◇教学过程◇
一、情境导入
如图,几个同学在做一个套圈游戏,他们的目标都是图中的花瓶,如果他们呈“一”字排开,这样的队形对每个人公平吗?你认为他们应该排成怎样的队形才公平?
二、合作探究
探究点1 圆的定义
典例1 下列说法错误的有 ( )
①经过P点的圆有无数个;②以P为圆心的圆有无数个;③半径为3 cm且经过P点的圆有无数个;④以P为圆心,以3 cm为半径的圆有无数个.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[解析] 确定一个圆必须满足两个条件,即圆心和半径,只满足一个条件的圆有无数个,故①②正确;③虽然已知半径,但P点不是圆心,实际上也只是已知一个条件,能作无数个圆,故③正确;④满足两个条件,只能作一个圆,错误.
[答案] A
【方法指导】若已知圆心,而半径没有确定,这样能作无数个圆,并且这些圆是同心圆;若已知半径,而没有确定圆心,这样作出的圆可有无数个,这些圆是等圆.
探究点2 与圆有关的概念
典例2 判断下列说法是否正确.
(1)直径是弦. ( )
(2)弦是直径. ( )
(3)半圆是弧,但弧不一定是半圆. ( )
(4)半径相等的两个圆是等圆. ( )
[解析] (1)正确,直径的两个端点在圆上.
(2)错误.弦的两个端点在圆上,但弦不一定过圆心.
(3)正确.
(4)正确.
典例3 如图所示,AB为☉O的直径,CD为☉O的弦,AB,CD的延长线交于点E,已知AB=2DE,∠E=18°,求∠AOC的度数.
[解析] 连接OD.
∵AB为☉O的直径,OC,OD为☉O的半径,AB=2DE,
∴OD=DE,∴∠DOE=∠E=18°.
∴∠ODC=∠DOE+∠E=36°.
∵OC=OD,∴∠C=∠ODC=36°.
∴∠AOC=∠C+∠E=36°+18°=54°.
三、板书设计
圆
1.圆的定义
在平面内,线段OA绕着它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫圆,其中O是圆心,OA是半径.注意确定圆的条件是圆心和半径.
2.应用
在应用圆的定义解题时,要充分利用圆的所有半径相等及弧、弦等概念.特别是利用圆的半径相等找到等腰三角形.
◇教学反思◇
本节课主要学习圆的定义及其相关概念.在教学中通过变式考察了学生对圆的两种定义的理解.虽然这节课是一节概念课,但在教学中发现学生对一些概念混淆,如弦和弧,等弧与长度相等的弧之间的关系,圆的集合定义等,这就要求在今后的教学中加强直观性.
24.1.2 垂直于弦的直径
◇教学目标◇
【知识与技能】
掌握垂径定理及其推论,理解其证明,并会应用它解决有关的证明与计算问题.
【过程与方法】
经历探索垂径定理及其推论的过程,进一步理解研究几何图形的各种方法.
【情感、态度与价值观】
通过学习,使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动性.
◇教学重难点◇
【教学重点】
垂径定理及其推论.
【教学难点】
垂径定理及其推论的理解及应用.
◇教学过程◇
一、情境导入
你知道赵州石桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶,它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m,你能求出桥拱的半径吗?
二、合作探究
探究点1 垂径定理
典例1 如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为 ( )
A. B.2
C.2 D.8
[解析] 如图,作OH⊥CD于点H,连接OC,∵OH⊥CD,∴HC=HD.∵AP=2,BP=6,∴AB=8,∴OA=4,∴OP=OA-AP=2.在Rt△OPH中,∵∠OPH=30°,∴OH=OP=1,在Rt△OHC中,∵OC=4,OH=1,∴CH=.∴CD=2CH=2.
[答案] C
(1)解决圆中有关弦的计算问题,常作弦的弦心距,连接半径,图形中出现了一个直角三角形,从而可以利用勾股定理及垂径定理,通过解直角三角形,使问题得以解决.
(2)过☉O内一点P最短弦为与OP垂直的弦,最长弦是直径.
探究点2 垂径定理的应用
典例2 有一座石拱桥的桥拱是圆弧形,如图所示,正常水位水面宽AB=60 m,水面到拱顶距离CD=18 m,当洪水泛滥,水面宽MN=32 m时是否需要采取紧急措施?请说明理由(当水面距拱顶3 m以内时需采取紧急措施).
[解析] 设所在圆的圆心为O,连接OA,设OA=R,
在Rt△AOC中,AC=30,OC=R-18,所以R2=302+(R-18)2,解得R=34.
连接OM,设DE=x,在Rt△MOE中,ME=16,OE=34-x,
所以342=162+(34-x)2,解得x1=4,x2=64(不合题意,舍去),所以DE=4.
因为DE>3,所以不需采取紧急措施.
三、板书设计
垂径定理
1.垂直于弦的直径
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
2.应用
构造以圆的半径、弦心距、弦长的一半为边的直角三角形,解直角三角形即可,必要时可利用勾股定理列方程求解.
◇教学反思◇
本节课主要学习垂径定理及其推论.垂径定理涉及的条件和结论比较多,学生容易混淆.在教学中采用了讲练结合动手操作的方法,课前布置学生制作圆形纸片,通过折叠圆形纸片的过程,让学生大胆猜想,得出结论,同时也考察了圆的对称性,并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理,这样让学生参与了知识的形成过程,激发了学生的学习兴趣.通过例2桥的问题让学生进一步领悟学习数学的应用价值.
24.1.3 弧、弦、圆心角
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.了解圆心角的定义;
2.在同圆或等圆中,理解圆心角、弧、弦之间的关系并能利用这一关系解决问题.
【过程与方法】
经历圆心角、弧、弦之间的关系的探索过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.
【情感、态度与价值观】
在探究圆的对称性过程中,感受数学中的对称美.
◇教学重难点◇
【教学重点】
在同圆或等圆中,圆心角、弦、弧之间的关系及其应用.
【教学难点】
利用圆心角、弦、弧之间的关系进行相互转换.
◇教学过程◇
一、情境导入
圆是一个特殊的图形,通过前面的学习,同学们已经了解到圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形.那么圆还有其他特性吗?按下面的要求完成操作.
(1)在两张透明纸上,作两个半径相等的☉O和☉O',沿圆周分别将两圆剪下;
(2)在☉O和☉O'上,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A'O'B'(如图所示),圆心固定;
(3)将其中的一个圆旋转一定角度,使得OA与O'A'重合.
通过上面的做一做,你能发现哪些等量关系?
二、合作探究
探究点 弧、弦、圆心角之间的关系
典例 如图,☉O中的弦AD=BC.求证:AB=CD.
证明:∵AD=BC,∴,
∴,即,
∴AB=CD.
在同圆或等圆中,证两弦相等、两弧相等、两圆心角相等,常用的方法是证两弦相等,转化为证这两弦所对的弧或圆心角相等;证两弧相等,转化为证两弧所对的弦、圆心角相等;证圆心角相等,转化为证这两圆心角所对的弧或弦相等.
变式训练 如图,☉O中AB是直径,CO⊥AB,D是CO的中点,DE∥AB.
求证:=2.
证明:连接OE.∵ED∥AB,
∴∠DEO=∠AOE.
∵D是OC的中点,
∴OD=OC=OE.
又∵CO⊥AB,∴CO⊥DE,∴∠DEO=30°.
∴∠COE=60°,∠AOE=∠DEO=30°.
∴∠DOE=2∠AOE,
∴=2.
在证明弧相等或有等弧时,常作弧所对弦或圆心角等辅助线.
典例2 如图,在☉O中,,∠B=70°,求∠A的度数.
[解析] ∵,∴∠B=∠C.
∵∠B=70°,
∴∠A=180°-70°×2=40°.
三、板书设计
弧、弦、圆心角
1.弧、弦、圆心角的关系
在同圆或等圆中,圆心角相等的弦和弧相等.
2.关系的应用
在同圆或等圆中,证两弦相等、两弧相等、两圆心角相等,常用的方法是:证两弦相等,转化为证这两弦所对的弧或圆心角相等;证两弧相等,转化为证两弧所对的弦或圆心角相等;证圆心角相等,转化为证这两圆心角所对的弧或弦相等.
◇教学反思◇
在同圆或等圆中,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系是研究圆周角问题的基础.学生对圆的这种对称性,早有感性认识,在教学中重点把这种感性认识上升到理性认识.
24.1.4 圆周角
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.理解圆周角的定义,会判断一个角是不是圆周角;
2.理解圆周角定理并能利用它进行有关的计算或证明.
【过程与方法】
经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗透分类的数学思想.
【情感、态度与价值观】
通过观察、猜想、验证推理,培养学生探索数学问题的能力和方法.
◇教学重难点◇
【教学重点】
圆周角定理的证明及运用.
【教学难点】
运用数学分类的思想证明圆周角定理.
◇教学过程◇
一、情境导入
足球场上有句顺口溜:“冲着球门跑,越近就越好;歪着球门跑,射点要选好”,如图,都在球场上,甲、乙两名球员互相配合向对方球门MN进攻,已知M,N,B三点在同一个圆上,当前锋甲带球冲到A点时,后卫乙随后冲到B点,此时甲是直接射门好,还是迅速传给乙,让乙射门好呢?
二、合作探究
探究点1 圆周角
典例1 如图,圆周角有 ( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
[解析] 利用圆周角的定义判定.前三个图顶点不在圆上,都不是圆周角;第5个图,角的一条边与圆不相交,不是圆周角;第6个图,角的两边与圆都不相交,不是圆周角;只有第4个图,符合圆周角定义.
[答案] C
探究点2 圆周角定理
典例2 如图,☉O中,弦AB,CD相交于点P,∠A=42°,∠APD=77°,则∠B的大小是 ( )
A.43° B.35° C.34° D.44°
[解析] ∵∠APD=∠C+∠A,∴∠B=∠C=∠APD-∠A=77°-42°=35°.
[答案] B
已知圆周角求圆心角或已知圆心角求圆周角.可联想同圆中,同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的度数的一半求解.
典例3 弦AB把圆周分成1∶5的两部分,那么劣弧所对的圆周角的度数为多少.
[解析] ∵的度数为×360°=60°.
∴∠AOB=60°,∴圆周角度数为∠AOB=×60°=30°.
三、板书设计
圆周角
1.圆周角:顶点在圆上,两边和圆相交的角叫圆周角.
2.圆周角定理推导
结论:(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(2)同弧或等弧所对的圆心角相等.(3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对弦是直径.
◇教学反思◇
探索圆周角定理采用了由特殊到一般及化归的思想方法,这种方法是认识事物规律的重要方法,通过教学让学生初步掌握这种方法,对于学生良好的思维品质的形成有重要作用,对学生的终身发展也有一定的作用.
24.1.5 圆内接四边形
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.掌握圆周角定理的推论并能应用它们进行计算或证明;
2.能得出圆内接四边形的性质并能应用它们进行解题.
【过程与方法】
经历猜想、推理、验证等活动,获得正确的学习方式.
【情感、态度与价值观】
在经历探索圆周角定理的推论过程中,感受探索的艰辛与喜悦,体验数学活动充满探索与创造,激发学生的学习欲望.
◇教学重难点◇
【教学重点】
圆周角定理的推论,圆内接四边形的性质.
【教学难点】
圆周角定理推论的应用.
◇教学过程◇
一、情境导入
一条直径对应几条弧?这些弧相等吗?每条弧对应的圆周角是多大?
二、合作探究
探究点1 圆周角定理的推论
典例1 如图,AB为☉O的直径,AB=AC,BC交☉O于点D,AC交☉O于点E,∠BAC=45°.
(1)求∠EBC的度数;
(2)求证:BD=CD.
[解析] (1)∵AB是☉O的直径,
∴∠AEB=90°.
又∵∠BAC=45°,∴∠ABE=45°.
又∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=67.5°,
∴∠EBC=22.5°.
(2)连接AD.
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC.
又∵AB=AC,∴BD=CD.
在解决圆的有关问题时,常常利用圆周角定理及其推论进行两种转化:一是利用同弧所对的圆周角相等,进行角与角之间的转化;二是将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等或线段相等的问题.
探究点2 圆内接四边形
典例2 在圆内接四边形ABCD中,若∠A,∠B,∠C的度数之比为4∶3∶5,则∠D的度数是 °.?
[解析] ∵∠A,∠B,∠C的度数之比为4∶3∶5,
∴设∠A=4x,则∠B=3x,∠C=5x.
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠A+∠C=180°,即4x+5x=180°,解得x=20°,
∴∠B=3x=60°,
∴∠D=180°-60°=120°.
[答案] 120
三、板书设计
圆周角推论
1.圆周角定理推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对弦是直径.
2.圆内接四边形
性质:圆内接四边形对角互补.
推论:圆内接四边形的一个外角等于它不相邻的内对角.
◇教学反思◇
本节课充分利用了同弧所对的圆周角与圆心角的关系,使学生探索得到圆周角定理的推论和圆内接四边形的性质.在教学中通过情境引入,对上节所学知识进行回顾,为本节的探究学习打下了基础.设计的问题具有挑战性,激发了学生的求知、探索的欲望.在得出结论的过程中,鼓励学生自觉地总结研究图形所需的方法.
